Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор современных методов анализа напряженно-деформированного состояния неоднородных материалов 13
1.1 Неоднородные упругие материалы 13
1.2 О задачах теории упругости неоднородных тел. 16
1.3 Механические характеристики неоднородных материалов 17
ГЛАВА 2. Решение задачи ламе для неоднородного упругого материала и его применение при исследовании действия агрессивной среды на материал 22
2.1 Исследование влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы 25
2.2 Об определении характеристик неоднородных материалов 34
2.3 Идентификация механических свойств неоднородных материалов 36
2.4 Влияние неоднородности на компоненты тензора напряжений 40
2.5 Применение метода прогонки в случае сжимаемого материала 46
ГЛАВА 3. Приближенный аналитический метод решения плоских задач теории упругости неоднородных тел 50
3.1 Основные соотношения и постановка задачи 50
3.1.1 Плоская деформация 50
3.1.2 Плоское напряженное состояние 53
3.2 Приближенное решение задачи плоской деформации 54
3.2.1 Схема организации приближенного решения 54
3.2.2 Сходимость последовательных приближений 57
3.3 Применение функций комплексного переменного при реализации последовательных приближений 59
3.3.1 Представление компонент тензора напряжений при помощи функций комплексного переменного 59
3.3.2 Реализация процедуры последовательных приближений при использовании функций комплексного переменного 61
ГЛАВА 4. Некоторые применения приближенного аналитического метода к определению напряженно-деформированного состояния 68
4.1 Неоднородность механических свойств горных пород и грунтов.. 68
4.2 Действие равномерного внутреннего давления на контур круговой цилиндрической полости 71
4.2.1 Однородный массив горных пород 74
4.2.2 Неоднородный массив 75
4.3 Одноосное растяжение неоднородного упругого пространства с круговой цилиндрической полостью 85
4.3.1 Постановка задачи 85
4.3.2 Решение задачи для однородного тела. Первое приближение 87
4.3.3 Второе приближение 91
Общие выводы по работе 103
Список литературы 104
Приложения 116
- Механические характеристики неоднородных материалов
- Влияние неоднородности на компоненты тензора напряжений
- Реализация процедуры последовательных приближений при использовании функций комплексного переменного
- Действие равномерного внутреннего давления на контур круговой цилиндрической полости
Введение к работе
Актуальность темы исследования определяется его направленностью на решение одной из важнейших народнохозяйственных проблем — повышение надежности и уровня безопасности эксплуатации различного уровня конструкций и сооружений. В последнее время с целью предотвращения возникновения техногенных катастроф повышаются нормативные требования к эксплуатации многих промышленных объектов. Газопроводы, большое количество которых (разных диаметров и давлений) ежегодно вводится в работу в связи со строительством и развитием городов, поселков, предприятий, нефтепроводы, транспортирующие большие объемы нефти при высоких давлениях, циркуляционные трубопроводы АЭС — вот далеко неполный перечень сооружений, основу которых составляют трубчатые конструкции. Все вышеперечисленные объекты отличаются повышенной сложностью анализа безопасности и рисков, сводящегося, прежде всего, к исследованию их напряженно-деформированного состояния.
Обычно анализ напряженно-деформированного состояния производится в предположении однородности механических, в частности прочностных, свойств материала конструкции или какого-либо изделия или сооружения. Однако некоторые конструкционные, строительные и другие виды материалов являются неоднородными уже вследствие условий их изготовления. Так, неоднородность бетонов, пластмасс и металлов или сплавов возникает в результате неравномерности их созревания, полимеризации или остывания соответственно.
Зависимость механических свойств материалов от координат может возникать и в процессе эксплуатации какого-либо изделия или конструкции в агрессивной среде или при наличии радиации, тепла, влажности и в общем случае при различных сочетаниях многофакторных механических, термических, коррозионных, эрозионных и некоторых других процессов. В частности, непрерывная неоднородность механических свойств материала возникает в сосудах и трубопроводах АЭС под действием тепла, радиации и т.п.
Неоднородность механических свойств материала наблюдается, в частности, в окрестности вертикальных и горизонтальных протяженных горных выработок и гидротехнических сооружений произвольного сечения, сооружаемых с применением буровзрывных работ, искусственным укреплением кольцевой зоны с помощью цементации, созданием ледопородного ограждения и другими способами.
В ряде случаев, например, при развитии упруго-пластических или высокоэластических деформаций механические свойства деформируемого материала при неоднородном напряженно-деформированном состоянии могут существенно зависеть от координат. В многочисленных исследованиях установлено, что в таких состояниях деформируемый материал практически несжимаем; при этом коэффициент Пуассона принимают равным 0,5.
Таким образом, актуальность темы работы определяется в первую очередь широким применением в инженерной практике конструкций и соору-
жений из материалов, обладающими неоднородными механическими характеристиками, и необходимостью разработки современных методов определения их напряженно-деформированного состояния, учитывающих эту неоднородность.
Другой аспект актуальности темы исследования напрямую связан с имеющей важное научное и практическое значение проблемой идентификации механических свойств неоднородных деформируемых материалов. Особую значимость, с практической точки зрения, эта проблема приобретает при изучении воздействия агрессивных сред и радиации на конструкционные материалы, что связано, в первую очередь, с обеспечением безопасности химических производств, атомных энергетических установок, трубопроводов различного назначения. В частности, после завершения срока службы натурных элементов трубопроводов АЭС проводят испытания с целью определения механических свойств до разрушения при повышенных статических давлениях. Анализ результатов испытаний, согласно федеральным нормам и правилам, необходим для обоснования продления назначенного срока эксплуатации объектов атомной энергетики. В этой связи большое значение приобретает разработка оперативных методов контроля напряженно-деформированного состояния и оценки прочностных характеристик материала конструкции.
Разработка методов идентификации механических свойств деформируемых материалов актуальна как в научных исследованиях, так и при получении исходных данных, используемых в прочностных расчетах.
Вместе с тем отметим, что математическое моделирование процессов деформирования неоднородных тел было начато лишь несколько десятилетий назад, в силу чего большое число проблем еще требует своего разрешения.
Целью диссертационной работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программного обеспечения для исследования напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации, в том числе:
формулировка модельных задач определения компонент тензоров напряжения и деформации;
разработка алгоритмов решения плоских задач при статической нагрузке; получение приближенного аналитического решения;
разработка математического обеспечения для определения основных характеристик неоднородного упругого тела.
Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:
построение математической модели толстостенной трубы из неодно
родного упругого материала, характеризующегося переменным моду
лем сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона;
разработка алгоритмов и программного комплекса для численного решения задач определения напряженно-деформированного состояния в трубе из неоднородного упругого материала;
разработка метода идентификации упругих характеристик неоднородных несжимаемых материалов;
разработка математической модели и приближенного аналитического метода для определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации;
разработка алгоритмов и пакета программ, предназначенного для реализации приближенного метода, проведение тестовых расчетов и сравнение полученных результатов с точным аналитическим решением;
проведение серии вычислительных экспериментов для определения напряженно-деформированного состояния и исследования влияния на него параметров модели неоднородного тела.
Объектом исследования является напряженно-деформированное состояние в элементах конструкций, изделиях, сооружениях и т.п., выполненных из неоднородного упругого материала, в качестве которых выбраны толстостенные трубы, распространенные во многих отраслях промышленности и неоднородные области с цилиндрической полостью (окрестности шахт, горных выработок, ледопородные ограждения шахтных стволов).
Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность полученных результатов базируется на использовании общих уравнений механики деформируемого твердого тела, общепринятых граничных условий и апробированных форм определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями; выполнением интегральных условий равновесия в задачах деформирования трубы. Достоверность полученных результатов обеспечивается сопоставлением их с точным решением задачи Ламе об осе-симметричной плоской деформации полого цилиндра из неоднородного материала; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения при реализации итерационного процесса; сравнением результатов расчетов, полученными другими методами.
Методы и средства исследования. В диссертационной работе применялись методы математического и компьютерного моделирования. При разработке модели и получении решения использованы метод последовательных приближений, метод прогонки, метод комплексных потенциалов Коло-сова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Копій и некоторые другие положения теории функций комплексного переменного.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: 1. Разработаны математическая модель, методики и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе при различных соотношениях толщин слоев с неоднородными и однородными механическими характеристиками.
Разработана методика определения некоторых механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации на внешней поверхности трубы.
Разработаны математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации неоднородных тел.
Получены новые приближенные аналитические и численные решения задач плоской деформации в телах из неоднородного упругого материала (для случаев сжимаемого и несжимаемого материалов).
На защиту выносятся:
Математическая модель деформирования толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, подвергнутой действию внутреннего давления и продольному растяжению, методики и алгоритмы определения напряженно-деформированного состояния трубы.
Методика определения механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации, измеряемых на внешней поверхности трубы, и осевой силе.
Математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации тел из неоднородных упругих материалов.
Результаты приближенного решения задач плоской деформации неоднородного пространства с круговой цилиндрической полостью бесконечной протяженности, полученные с помощью данного метода.
Практическая значимость. Решение задачи Ламе для неоднородного материала и разработанная методика определения его упругих характеристик позволяют использовать полученную информацию при расчетах и эксплуатации конструкций из неоднородного материала. На этой же основе может быть разработана система оперативного контроля напряженно-деформированного состояния трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала. Разработанный комплекс компьютерных программ позволяет по заданным характеристикам неоднородного упругого тела, находящегося в условиях плоской деформации, определять его напряженно-деформированное состояние.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались
на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в МГУ им. М.В. Ломоносова (в 2009 г. и в 2010 г.);
на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством акад. РАН И.Г. Горячевой;
на заседании секции научного совета НИИ механики МГУ;
на заседании кафедры высшей математики МГИУ.
Ряд положений диссертации был использован в учебном курсе «Уравнения математической физики» и нашел применение в учебном процессе МГИУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ, в том числе 2 — в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 130 наименований и 2 приложений. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков.
Механические характеристики неоднородных материалов
Адекватный учет свойств реальных материалов в задачах механики деформируемого твердого тела (МДТТ) в ряде случаев связан с необходимостью введения зависимости их прочностных характеристик от координат. Наиболее ярким примером этого является действие агрессивной среды на конструкционные материалы, что приводит к изменению их прочностных свойств. Анализ экспериментальных данных [26, 27, 61, 63] свидетельствует о возможности такого изменения свойств материалов, как в сторону упрочнения, так и в сторону снижения прочностных характеристик деформируемого материала.
Подобное воздействие на конструкционные материалы оказывает также ионизирующее облучение и неоднородные температурные поля. Причина возникновения неоднородности материалов в ряде случаев определяется условиями их синтеза или изготовления [40, 47, 116].
К задачам теории упругости неоднородных тел могут быть приведены и некоторые нелинейные задачи механики деформируемого твердого тела. В частности, в ряде исследований [8, 54, 89, 116] процессов пластического деформирования при активном нагружении широко используется метод упругих решений А.А. Ильюшина [41], основанный на использовании переменного модуля сдвига где G — модуль сдвига в области линейной упругости, со — некоторая функция интенсивности пластических деформаций, равная нулю в упругой области. При этом справедливо условие несжимаемости материала в пластической области [36, 41, 70]; это означает, что коэффициент Пуассона у = 0,5.
Введение переменных характеристик деформируемого материала, в частности модуля сдвига (или модуля Юнга), позволяет учесть эффект изменения прочностных и деформативных характеристик конструкций при повреждении материала или изменении его свойств с позиций механики деформируемых неоднородных тел.
Проблемы, связанные с механической неоднородностью (как упругой, так и пластической), возникают в механизмах и конструкциях, подверженных действию радиации. В некоторых случаях наблюдалось качественное изменение вида кривой растяжения под влиянием нейтронного пучка [13, 90, 91, 105]. Известно, что потоки элементарных частиц, в первую очередь нейтронов, вызывают значительное изменение ряда механических свойств. Интенсивные экспериментальные исследования влияния нейтронных потоков на механические свойства материалов проводятся примерно с середины 50-х годов прошлого века. Доказано [34, 45], что упругие свойства материалов меняются вследствие нейтронной бомбардировки. В некоторых случаях отмечалось значительное изменение модуля Юнга Е, например, трехкратный рост для графита при дозе облучения nvt = 1020 нейтр/ см2 [130], при весьма незначительном изменении коэффициента Пуассона. Неоднородность распределения нейтронов в облучаемом теле приводит к неоднородности механических свойств материалов. Если неоднородность упругих свойств деформируемого материала задана в виде зависимости модуля Юнга от координат в предположении постоянства коэффициента Пуассона v, то модуль сдвига, связанный с модулем Юнга соотношением /Li-El2(1 + v), также можно считать известной функцией. И, наоборот, если известен вид функции /л, то модуль Юнга в этом случае определяется однозначно.
Учет переменных упругих характеристик существенно усложняет даже линейную теорию упругости, в силу чего точные аналитические решения задач механики неоднородных деформируемых тел в настоящее время получены лишь в крайне малом числе задач. По этой причине большое значение имеет разработка приближенных методов решения задач этого класса, одним из которых является достаточно распространенный метод малого параметра [63]. Широкое применение находят итерационные методы [3, 50, 63, 67]. При решении задач механики неоднородных тел могут быть использованы также обратные и полуобратные методы решения [8, 15, 16].
Другой аспект проблемы состоит в выборе законов неоднородности механических характеристик. Безусловно, при решении конкретных задач должны быть использованы реальные характеристики материалов, однако во многих случаях возникает проблема их определения. Например, известно [61, 62], что на процесс диффузии существенное влияние оказывает напряженно-деформированное состояние, в силу чего рассматриваемые проблемы являются связанными. Нетрудно видеть, что идентификация свойств материалов в таких случаях представляет собой достаточно непростую задачу.
Сами характеристики материалов при разработке методов решения и в практических целях выбираются, как правило, в упрощенном виде. В частности, в аналитических исследованиях неоднородные модули упругости, в силу сложности задач механики деформируемых неоднородных тел, выбираются в виде линейной, экспоненциальной или степенной функции [5, 50, 63, 66, 70, 126]; в последнем случае, как правило, невысокой степени. Такой подход к проблеме выбора характеристик неоднородных деформируемых материалов, несомненно, оправдан, поскольку позволяет упростить основные уравнения задачи. В этой связи следует отметить, что предпочтительнее получить точное решение задачи при приближенном выборе характеристик материала, нежели приближенное решение задачи при точном их выборе. Добавим к тому же, что зачастую характеристики деформируемых материалов определяются приближенно, с той или иной степенью точности.
Влияние неоднородности на компоненты тензора напряжений
Апробацию процедуры последовательных приближений проведем на примере определения напряженно-деформированного состояния в массивах горных пород. Производство горных работ и, в частности, сооружение горных выработок сопровождается нарушением естественного напряженно-деформированного состояния и формированию нового равновесного состояния массивов. Образуется новое поле напряжений, которое отличается от начального концентрацией напряжений вблизи поверхностей обнажения. На величину концентрации напряжений влияют форма выработки (в первую очередь форма поперечного сечения) и пространственная ориентация выработок в породном массиве. Существенное влияние оказывают деформационные свойства пород и распределение их в массиве [9, 10, 121]. Максимальная концентрация напряжений имеет место на контуре выработок или сдвинута вглубь массива, если породы вблизи контура имеют повышенную деформируемость по сравнению с остальным массивом, что наблюдается, например, в окрестности выработок, сооружаемых буровзрывным способом [17, 43, 44].
Одной из основных задач механики горных пород является научное обоснование процессов и явлений, происходящих в породных массивах, вмещающих горные выработки, в частности, в окрестностях незакрепленных горных выработок [11]. Выбор способа искусственного упрочнения горных пород и расчет несущей способности ограждающих упрочненных породных массивов обеспечивает безопасность строительных работ и нормальное эксплуатационное состояние выработок. В качестве примера наиболее сложных инженерных задач по расчету упрочненных породных массивов укажем на расчет ледопородных ограждений вокруг вертикальных стволов [22, 24, 25, 38] и расчет подземных емкостей в глинах, сооружаемых взрывом камуф-летных зарядов [14, 15, 17, 46, 53, 71, 93, 95].
Исследование механических процессов, протекающих в породном массиве, может быть выполнено различными методами: экспериментальными (как лабораторными, так и натурными) и аналитическими. Следует подчеркнуть, что информация, получаемая в результате натурных исследований, хотя и является весьма ценной для понимания механических процессов в горных массивах, имеет региональный характер, т.е. отражает специфику горнотехнических условий эксперимента. Аналитические же методы обладают наибольшей общностью при описании механических процессов и свободны от влияния частных факторов. Аналитические методы позволяют исследовать механические процессы в более широком диапазоне, т.е. позволяют не только качественно, но и количественно прогнозировать проявления горного давления.
Основные уравнения механики сплошной среды, необходимые для решения прикладных задач механики горных пород, вместе с указанием специфики их приложения к данным задачам содержаться в работах [86, 87]. Механические процессы в природных массивах в большинстве случаев удовлетворяют условиям простого нагружения [10, 30].
Естественная неоднородность наблюдается практически во всех породных массивах. Изучение естественной неоднородности, характеризуемой различием деформационных свойств массива в различных его точках, сопряжено со значительными техническими трудностями по отбору образцов породы во многих точках массива. В настоящее время такие экспериментальные данные ограничены. Искусственная неоднородность появляется процессе технологического воздействия на породный массив при сооружении горных выработок и разработке полезных ископаемых, в частности при буровзрывной выемке породы в горных выработках [10, 93]. Первоначально однородно-изотропный массив в результате производства буровзрывных работ приобретает технологическую неоднородность деформационных характеристик. Исследования [10, 11] свидетельствуют о том, что величина коэффициента Пуассона v практически не влияет на качественную картину напряженно-деформированного состояния и незначительно влияет на количественные показатели. Поэтому с целью упрощения задачи в расчетам зачастую принимают v = 0,5.
Другой технологической сферой приводящей к неоднородности механических характеристик материала является построение ледопородных ограждений при проходке шахтных стволов. В отечественной практике последних лет появились шахтные стволы, сооружаемые с применением иску-ственного замораживания до глубин 600-800 м и более в неустойчивых обводненных породах. Различные методики расчета ледопородных ограждений с учетом свойств мерзлых грунтов позволяют определить безопасные размеры ограждений [22, 24,25, 38], однако значительные математические трудности, возникающие при решении данной задачи, зачастую вынуждают прибегать к численным методам расчета. Принцип динамического равновесия количеств незамерзшей воды и льда в зависимости от изменения температуры и нагрузки [109, 118] играет важную роль в объяснении физической сущности деформируемых мерзлых грунтов. В соответствии с ним в окрестности ледопородного цилиндра формируется зона неоднородности механических характеристик мерзлого грунта. Взаимодействие ледопородного ограждения и окружающего массива талого грунта, а также разгружающего действия более прочных слоев грунта усиливает неоднородность механических характеристик грунта в окрестности шахтного ствола [127].
С точки зрения математического моделирования описанные выше ситуации сводятся к задаче определения напряженно-деформированного состояния неоднородного пространства, в котором имеется круговая цилиндрическая полость радиуса R бесконечной протяженности. Применим метод, разработанный в предыдущей главе к решению данной задачи при различных видах нагрузки.
Апробацию разработанной в предыдущей главе процедуры последовательных приближений с использованием функций комплексного переменного изложим для задачи плоской деформации, для которой получено точное аналитическое решение [110]. Для удобства анализа получаемых результатов далее все величины используются в безразмерной форме.
Реализация процедуры последовательных приближений при использовании функций комплексного переменного
Методы исследования. В диссертационной работе применялись методы математического и компьютерного моделирования. При разработке модели и получении решения использованы метод последовательных приближений, метод прогонки, метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Кошй и некоторые другие положения теории функций комплексного переменного.
Теоретическая значимость работы заключается в развитии приближенных аналитических методов решения плоских задач теории упругости неоднородных тел.
Практическая значимость. Решение задачи Ламе для неоднородного материала и разработанная методика определения его упругих характеристик позволяют использовать полученную информацию при расчетах и эксплуатации конструкций из неоднородного материала. На этой же основе может быть разработана система оперативного контроля напряженно-деформированного состояния трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала. Разработанный комплекс компьютерных программ позволяет по заданным характеристикам неоднородного упругого тела, находящегося в условиях плоской деформации, определять его напряженно-деформированное состояние.
Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность полученных результатов базируется на использовании общих уравнений механики деформируемого твердого тела, общепринятых граничных условий и апробированных форм определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями; выполнением интегральных условий равновесия в задачах деформирования трубы.
Достоверность полученных результатов обеспечивается сопоставлением их с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из неоднородного материала; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения при реализации итерационного процесса; сравнением результатов расчетов, полученными другими методами. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1,5%. На защиту выносятся: 1. Математическая модель напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, подвергнутой действию внутреннего давления и продольному растяжению. 2. Методика определения механических характеристик толстостенной трубы из неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации. 3. Приближенный аналитический метод для решения задач в случаях плоской деформации и обобщенного плосконапряженного состояния тел из неоднородных упругих материалов. 4. Результаты приближенного решения задач плоской деформации неоднородного пространства с круговой цилиндрической полостью бесконечной протяженности, полученные с помощью данного метода. Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: 1. Разработаны математическая модель, методики и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе при различных соотношениях толщин слоев с неоднородными и однородными механическими характеристиками. 2. Разработана методика определения некоторых механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации на внешней поверхности трубы. 3. Разработаны математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации неоднородных тел. 4. Получены новые приближенные аналитические и численные решения задач плоской деформации в телах из неоднородного упругого материала (для случаев сжимаемого и несжимаемого материалов). Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в МГУ им. М.В. Ломоносова (в 2009 г. и в 2010 г.); на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством акад. РАН И.Г. Горячевой; на заседании секции научного совета НИИ механики МГУ; на заседании кафедры высшей математики МГИУ. Ряд положений диссертации был использован в учебных курсах «Математические модели в естествознании» и «Уравнения математической физики» и нашел применение в учебном процессе МГИУ. Основное содержание работы отражено в 5 печатных трудах, которые включены в список литературных источников [82-84, 113,114]. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и 2 приложений. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практические результаты.
В первой главе выполнен аналитический обзор отечественных и зарубежных литературных источников, посвященных проблемам определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел. Исследованы существующие физико-математические модели напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел и применяемые для их расчета аналитические и численные методы.
Во второй главе приводятся результаты разработки математической модели, предназначенной для исследования напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, ан-налитические и численные методы решения соответствующего класса задач о действии внутреннего давления и/или продольной силы и примеры их применения в некоторых конкретных случаях. Обоснована возможность создания системы ореративного контроля трубопровода в процессе его эксплуатации. Рассматрены также некоторые вопросы идентификации механических свойств неоднородных упругих материалов.
В третьей главе представлена математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние неоднородного упругого тела в плоском случае. Разработана процедура построения приближенного аналитического решения задач плоской деформации, базирующаяся на широком применении методов ТФКП.
Действие равномерного внутреннего давления на контур круговой цилиндрической полости
Задача о деформировании толстостенной трубы, внутри которой находится активно действующая агрессивная или радиоактивная среда, приводящая к неоднородному изменению механических характеристик материала, имеет большое практическое значение. Детальный анализ решения этой задачи важен, в частности, в силу того, что трубчатые образцы часто используются при определении механических характеристик материалов. Их широкое применение в экспериментальных исследованиях объясняется наличием естественной защиты (стенки трубки) персонала и измерительной аппаратуры от агрессивной среды, радиации и т.п. [2, 26, 29].
Экспериментальному изучению воздействия радиационных сред на трубчатые образцы (сосуды и трубопроводы давления АЭС, элементы корпусов реакторов) посвящено определенное количество работ [19, 26, 28, 34]. Облучение сильно влияет на механические свойства конструкционных материалов. Обычно материал упрочняется из-за того, что возникшие под влиянием облучения дефекты тормозят движение дислокаций, при этом модуль упругости растет [117]. По некоторым данным, облучение металлического изделия может привести к изменению модуля Юнга на 5-10%, коэффициент Пуассона при этом практически не меняется [13, 26, 74].
При наличии значительного числа работ, посвященных математическому моделированию поведения трубчатых конструкций в условиях воздействия радиационных или других агрессивных сред, количество публикаций, в которых адекватно описывается реальная работа таких конструкций, невелико. В большинстве используемых моделей материал считается однородным, либо, в лучшем случае, состоящим из двух слоев с постоянными механическими характеристиками. Однако, как указано выше, механические свойства конструкционных материалов в процессе эксплуатации изменяются и эти изменения по своей сути являются неоднородными.
Оставаясь в рамках модели деформирования неоднородного материала с непрерывной зависимостью механических характеристик (модуля сдвига іл) материала от координат, рассмотрим задачу о деформировании толстостенной трубы, состоящей из двух слоев материала — однородного и неоднородного, с Материал поврежденной части трубы считаем неоднородным, причем эта неоднородность, выражающаяся в зависимости модуля сдвига от координат при постоянстве коэффициента Пуассона, вследствие круговой симметрии, зависит лишь от радиальной координаты /л = /л(г). Для несжимаемого неоднородного материала (коэффициент Пуассона v = 0,5) получена система уравнений, аналитическое решение которой позволяет идентифицировать вид неоднородности материала. Если неоднородный материал сжимаем (v =0,5), то используется итерационная схема определения напряженно-деформированного состояния или метод прогонки.
Основные соотношения. Рассмотрим цилиндрическую трубу с внешним и внутренним радиусами а и Ъ соответственно. Введем цилиндрическую систему координат (r,i9,z), расположив координатную ось OZ вдоль продольной оси трубы. Система координат (r,&,z) связана с декартовой системой соотношениями х = г cos і9, у - г sin 3, z = z.
Неоднородность прочностных свойств материала трубы примем в виде непрерывно- или кусочно-дифференцируемой зависимости параметра Ламе от текущего радиуса: // = //(г). Такая классификация неоднородности материала наиболее естественна как с математической, так и с физической точки зрения [5, 63, 112]. В качестве второй характеристики возьмем коэффициент Пуассона V, который будем считать в общем случае кусочно-постоянным.
В силу осевой симметрии радиальную компоненту вектора перемещений представим в виде и = и(г), окружное перемещение положим равным нулю, а продольную деформацию єх будем считать постоянной. Таким образом, ненулевые компоненты тензора деформаций є определяются соотношениями Уравнение (2.3) легко решается методом прогонки [33, 75] при любом типе краевых условий, после чего при помощи (2.1) и (2.2) нетрудно определить компоненты тензора деформаций и напряжений. Однако для анализа влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние тела желательно получить решение уравнения (2.3) в замкнутой форме.
Допустим, что труба, внутри которой находится некоторая среда под давлением р, подвержена продольному растяжению силой F. Находящуюся внутри трубы среду будем считать агрессивной, радиоактивной или нейтральной — в зависимости от рассматриваемой задачи. В том случае, когда внутри трубы находится агрессивная среда, целесообразно ввести диффузионный фронт [62]. При этом будем считать, что внутренний слой трубы определенной толщины имеет неоднородные упругие характеристики, в то время как внешний неповрежденный слой материала трубы сохраняет свои первоначально однородные свойства. При необходимости исследования действия радиации, в силу ее большой проникающей способности, материал трубы следует считать неоднородным по всей ее толщине. При действии нейтральной среды неоднородность материала трубы может индуцироваться, например, неоднородным напряженно-деформированным состоянием в пластической области [41].
