Введение к работе
Актуальность темы. При теоретическом рассмотрении различных процессов задаются параметры и функции, определяющие свойства изучаемого объекта, а также характер внешних и внутренних воздействий. Если исследование проводится на основе некоторой математической модели, то предполагается, что полученное решение приближенно описывает поведение реального объекта, т.е. предполагается непрерывная зависимость решения от исходных данных. Под исходными данными будем понимать характеристики самого объекта и внешнего воздействия на него.
Фундаментальные основы для исследования данной проблемы содержатся в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов, приведенные в классической литературе, в которых исходными данными являются параметры. К работам по этому направлению можно отнести труды на основе статических критериев (В.В. Болотин, А.С. Вольмир, А. Н. Гузь, Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский и др.), в которых анализируется поведение функции, характеризующей равновесное состояние системы. Исследованиям непрерывной зависимости решения от исходных данных на бесконечном интервале посвящены известные труды А. М. Ляпунова, И. Г. Малкина, О. Перрона, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева и др., в которых изучаются дифференциальные уравнения, и анализируется устойчивость решения дифференциального уравнения по Ляпунову. В работах по теории катастроф (Р. Гилмор, М.Голубицкий и др.) непрерывная зависимость от исходных данных рассматривается для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции. К трудам по этому направлению можно отнести и исследования по математической теории управления (Л.С. Понтрягин, Ж.-Л. Лионе, В.А. Ильин, Е.И. Моисеев и др.), в которых используются методы математической теории устойчивости, теории катастроф. Из анализа работ следует, что вопрос о непрерывной зависимости решения, описывающего поведение механической системы при стационарных состояниях, от исходных данных, являющихся непрерывными функциями, рассматривался лишь в некоторых частных случаях.
В связи с этим дальнейшее развитие методов исследования непрерывной зависимости решений математических задач, описывающих квазистационарное состояние систем с распределенными параметрами, от исходных данных является актуальной проблемой.
В случаях, когда необходимо получить более точные решения, как правило, учитывают различного рода «несовершенства» изучаемого объекта. Найти точное решение такой задачи достаточно сложно, поэтому используются приближенные методы. Одним из них является метод возмущений, который нашел широкое применение в различных научных областях: прикладной математике, механике, гидродинамике, колебаниях, электрофизике, экономике и т.д. Для метода возмущений важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи (А. Найфе, М. Ван-Дайк, А. Ю. Ишлин-ский, Д. Д. Ивлев и др.). При решении задач методом возмущений вопрос об оценке погрешности метода рассматривался или в некоторых частных случаях (А. Пуанкаре, М. В. Келдыш, Ф. И. Франкль, И. Г. Малкин и др.), или путем сравнения с известными точными решениями (Л. А. Галин, Г. П. Черепанов и др.), поэтому дальнейшее изучение этой проблемы является актуальным. Помимо этого слабо разработано применение разложения по нескольким независимым параметрам.
Цель работы. Разработка условий для исследования математических моделей, учитывающих отклонения характеристик от осредненных значений, квазистационарных состояний упругопластических тел при потенциальных нагрузках.
Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:
разработать новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел с учетом отклонений характеристик тела от осредненных значений;
получить условия непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенного дифференциального уравнения, дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, а также вариационной задачи для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;
построить математическую модель линеаризованных граничных условий в напряжениях, заданных на подвижной границе;
получить критерии аналитичности по независимым малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных;
применить полученные условия для исследования математических моделей напряженно-деформируемого состояния некоторых упругопластических тел при комбинированном внешнем воздействии.
разработать численные схемы решения задачи, описывающей со
стояние тела при плоском напряженно-деформируемом состоянии.
Методы исследования. В данной работе для решения поставленных задач были использованы основные методы математического моделирования, функционального и математического анализов, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории упругости, пластичности и метод возмущений.
Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:
построены математические модели квазистационарных состояний некоторых упругопластических тел, учитывающие отклонения характеристик тела от осредненных значений;
получены новые условия непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных, от исходных данных, являющихся функциями;
показано, что если в математическую модель, на основе которой предполагается проводить исследования непрерывной зависимости, входят граничные условия в напряжениях, то они должны быть заданы на деформированной границе;
в пространстве описывающих параметров найдены области, за пределами которых анализируемое решение уже не будет описывать поведение упругопластического тела при комбинированном нагру-жении. В некоторых случаях они также будут и областями применимости рассматриваемой модели;
на основе критериев непрерывной зависимости получены критерии аналитичности по независимым малым параметрам решений обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных, позволяющие находить границу области сходимости метода возмущений в пространстве параметров, характеризующих исходные данные;
разработан метод построения аналитической функции, приближенно описывающей границу тела в деформированном состоянии в декартовой и полярной системах координат;
создан комплекс программ для нахождения решения, описывающего поведение упругопластической трубы из несжимаемого материала при комбинированном нагружении;
с точностью до величин первого порядка малости найдены решения
задач, описывающих напряженно-деформированное состояние уп
ругих идеально пластических твердых тел, с учетом начальных не
совершенств.
Практическое значение. Полученные новые критерии позволяют проводить качественный, а в некоторых случаях и количественный анализ найденного решения, описывающего квазистатическое состояние упругопластических тел при комбинированном нагружении. Достигнутые в работе результаты могут быть использованы заинтересованными учреждениями, предприятиями и научными коллективами соответствующих отраслей науки и производства в своей практической деятельности. Их можно рекомендовать распространить в НИИ авиационной, автомобильной, строительной отраслей промышленности, при рассмотрении стержневых и пластинчатых конструкций в машиностроении, при определении прочностных характеристик горных выработок и т.д.
На защиту выносятся:
математическая модель для исследования непрерывной зависимости от исходных данных решения задач механики сплошных сред.
условия непрерывной зависимости решений, определенных в ограниченной области, обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной;
критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений, определенных на ограниченной области, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных;
критерий аналитичности по малым параметрам решений дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;
метод нахождения приближенного аналитического решения краевых задач с оценкой погрешности;
Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах-семинарах и симпозиумах: 53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999; 12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999; Воронежской весенней математической школе, 1999; 7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000; международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» г. Воронеж, 2000, 2003; математической школе «Понтрягинские чтения-ХП»,
Воронеж, 2001, 2007; II международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов н/Д, 2002, 2006, 2008; X международной конференции «Математика. Экономика. Образование». Пушино, 2003, 2005; международной научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке». С-Пб. 2003; всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 2003; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004, 2008; международной школе-семинаре по современным проблемам МСС. Воронеж, 2004, 2005, 2007, 2009; всероссийской научной конференции «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкции». Самара, 2007, 2008; международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, 2009; региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования в режим развития». Воронеж, 2007, 2008; ежегодных научно-технических конференциях ВГТА. Воронеж, 2001-2009.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 48 работ. Основные результаты отражены в 2 монографиях и 20 статьях, изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 256 страницах, состоит из введения, шести глав, приложения, 23 рисунка и списка литературы, включающего 198 наименований.
