Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Магнитогидродинамические уравнения для тонких магнитных трубок 9
1.1 Объекты моделирования 9
1.2 Бездиссипативные МГД уравнения 11
1.3 Вмороженные лагранжевы координаты 13
1.4 Уравнение" сохранения энергии 17
1.5 Полная система МГД уравнений в лагранжевых координатах 18
1.6 Вывод уравнений для тонкой магнитной трубки 19
1.7 Выводы 28
Глава 2. Влияние кривизны магнитной трубки на распространение МГД волн 30
2.1 Колебания трубки в азимутальном магнитном поле . 30
2.2 Дисперсионные эффекты . 32
2.3 Алгоритм численного решения 38
2.4 Результаты расчетов 42
2.5 Сводка результатов главы 49
Глава 3. Альфвеновские волны в магнитном поле со сходящимися силовыми линиями 50
3.1 Альфвеновские волны в радиальном магнитном поле . 50
3.2 Альфвеновские волны в дипольном магнитном поле . 63
3.3 Результаты и выводы 77
Глава 4. Нелинейные магнитозуковые волны в тонкой магнитной трубке 78
4.1 Система уравнений в случае продольных возмущений скорости 78
4.2 Простые волны в модели магнитной трубки 80
4.3 Результаты расчетов простых волн 82
4.4 Ударные волны в модели магнитной трубки 84
4.5 Результаты расчетов ударных волн при постоянных фоновых параметрах 90
4.6 Основные результаты главы 109
Глава 5. Распространение ударных волн вдоль вращающейся магнитной трубки 110
5.1 Постановка задачи ПО
5.2 Результаты расчетов ИЗ
5.3 Основные результаты главы 124
Заключение 125
- Вывод уравнений для тонкой магнитной трубки
- Алгоритм численного решения
- Альфвеновские волны в дипольном магнитном поле
- Результаты расчетов ударных волн при постоянных фоновых параметрах
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке и исследованию математических моделей распространения альфвеновских и медленных магнитозвуковых волн вдоль искривленных и сужающихся магнитных силовых трубок. В работе построены конечно-разностные вычислительные алгоритмы и выполнены расчеты как альфвеновских, так и медленных магнитозвуковых импульсов в азимутальном, радиальном и дипольном магнитных полях для различных параметров модели. На основе проведенных расчетов сделаны выводы о влиянии кривизны и сужения магнитной трубки на взаимодействие поперечной и продольной мод и отражение альфвеновской волны от диссипативной границы.
Актуальность темы. Альфвеновские волны играют важную роль в космической плазме [1, 2], осуществляя перенос возмущений электрического поля вдоль магнитных силовых линий в различные точки пространства. Поэтому изучение условий генерации и распространения альфвеновских волн является актуальной проблемой [3], имеющей большое прикладное значение. В частности, геомагнитные пульсации, регистрируемые на уровне ионосферы Земли, являются хорошими индикаторами состояния магнитосферы Земли и широко используются для ее диагностики. Однако трудность заключается в том, что магнитосферное магнитное поле имеет сложную конфигурацию. Магнитные силовые трубки сильно сужаются вблизи ионосферы и расширяются по мере удаления от планеты. В этой связи возникает вопрос о влиянии сужения и расширения магнитных трубок на характер распространения альфвеновских волн. Кроме того, недостаточно изученным остается вопрос о влиянии на распространение волновых импульсов такого фактора, как кривизна магнитных силовых линий, которая является причиной взаимодействия различных типов волн. Выяснение этих вопросов на основе решения мо-
дельных задач составляет содержание диссертационной работы.
Целью настоящей работы является анализ и вывод общих уравнений динамики тонкой магнитной трубки во вмороженных лагранжевых координатах, разработка вычислительного алгоритма и комплекса программ, а также решение следующих задач.
Взаимодействие альфвеновских и медленных магнитозвуковых волновых пакетов в искривленной магнитной трубке.
Распространение альфвеновских импульсов вдоль сильно сужающихся магнитных трубок.
Формирование и распространение медленных ударных волн вдоль сужающихся магнитных трубок.
Научные результаты, выносимые на защиту.
Разработаны математическая модель и метод расчета нестационарных МГД возмущений тонкой магнитной трубки, позволяющие расщепить исходную трехмерную нестационарную задачу на совокупность одномерных гиперболических нестационарных задач для "магнитных струн", эффективно решаемых на основе консервативных двухшаговых явных разностных схем с автоматическим выделением разрывов.
Получены соотношения между амплитудами поперечных и продольных волновых возмущений магнитного поля и скорости газа в искривленной магнитной трубке, зависящие от параметра /3q/R, где Ро - отношение фоновых давлений плазмы и магнитного поля, R -радиус кривизны магнитной трубки.
Найдены времена затухания альфвеновских волновых импульсов, многократно отражающихся от диссипативной границы, в зависи-
мости от длительности импульсов и коэффициента схождения магнитных силовых линий в трубке.
Показано возрастание интенсивности медленных ударных волн, распространяющихся вдоль сужающихся магнитных трубок в диполь-ном магнитном поле. Данный эффект усиливается в случае вращающейся магнитной трубки.
На основе разработанной модели определено время распространения медленной ударной волны от Ио (источника импульсов давления) до Юпитера. Это время хорошо согласуется со временем запаздывания наблюдаемого излучения в области магнитной трубки, близкой к ионосфере Юпитера.
Научная новизна. В работе получены новые результаты:
изгибные и продольные волновые деформации тонкой магнитной трубки описываются гиперболическими уравнениями магнитной струны. Их связь определяется отношением локального параметра бета плазмы к радиусу кривизны;
поперечные альфвеновские возмущения магнитного поля и скорости индуцируют продольные возмущения скорости, амплитуда которых пропорциональна параметру бета плазмы, а также отношению нормального смещения (по отношению к магнитной силовой линии) к радиусу кривизны магнитной линии: Vy ос PoVAoSr/R;
кривизна магнитных силовых линий в трубке существенно влияет на скорости альфвеновской и медленной магнитозвуковой волн. В искривленной магнитной трубке скорость альфвеновской волны больше, а скорость магнитозвуковой волны меньше их соответствующих значений в прямолинейной трубке. Возмущения скоростей волн, связанные с кривизной трубки, имеют порядок l/(kR)2, где к - волновой вектор, а Я -
радиус кривизны магнитной трубки;
схождение магнитных силовых линий вызывает отражение волны от узкой части магнитной трубки и этим значительно уменьшает влияние диссипативной границы, находящейся в основании трубки. Этот эффект сужения магнитной трубки выражен тем сильнее, чем больше продольный масштаб волнового пакета;
увеличение фактора сужения магнитной трубки приводит к уменьшению диссипации волны, связанной с конечной проводимостью границы и, соответственно, к значительному возрастанию числа отражений волны;
интенсивность медленной ударной волны значительно возрастает при ее распространении вдоль сужающейся магнитной трубки. Этот эффект усиливается в случае вращающейся магнитной трубки, который имеет место в магнитосфере Юпитера.
Научное и практическое значение работы. Разработанные модели распространения МГД волн представляют интерес для физики плазмы и космической физики, и, в частности, они важны для изучения волновых процессов в магнитосфере Земли. Они могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных о пульсациях геомагнитного поля, связанных с нестационарными вариациями параметров плазмы на границе и в хвосте магнитосферы.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Генеральной Ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2001); Объединенном симпозиуме "Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics" ( г. Иркутск, Россия, 2001); Международной конференции "Planetary Radio Emission" (г. Грац, Австрия, 2001); Всероссийской конференции "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск,
Россия, 2001); Международной конференции "Problems of Geocosmos" (г. Санкт- Петербург, Россия, 2002,2004); Симпозиуме Европейского геофизического союза (г. Ницца, Франция, 2004); Научной Ассамблее COSPAR (Париж, Франция, 2004).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]. Все результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, 50 рисунков и списка литературы из 93 наименований. Общий объем диссертации - 138 страниц.
В первой главе сформулировано приближение тонкой магнитной трубки, введены вмороженные лагранжевы переменные и криволинейные координаты, связанные с магнитной трубкой. Дана вариационная формулировка задачи, и получены основные уравнения в лагранжевых координатах.
Вторая глава посвящена исследованию влияния кривизны магнит
ной трубки на взаимодействие альфвеновской и медленной магнитозву-
ковой волн. .
В третьей главе рассмотрены задачи распространения альфвенов-ских волн вдоль сходящихся магнитных силовых линий (радиальное и дипольное магнитные поля).
В четвертой главе исследовано формирование и распространение ударных волн вдоль дипольных магнитных трубок с однородными фоновыми параметрами плазмы.
В пятой главе рассмотрены задачи распространения медленных маг-нитозвуковых волн в случае вращающейся магнитной трубки применительно к проблеме взаимодействия Ио и Юпитера.
Вывод уравнений для тонкой магнитной трубки
Научное и практическое значение работы. Разработанные модели распространения МГД волн представляют интерес для физики плазмы и космической физики, и, в частности, они важны для изучения волновых процессов в магнитосфере Земли. Они могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных о пульсациях геомагнитного поля, связанных с нестационарными вариациями параметров плазмы на границе и в хвосте магнитосферы.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Генеральной Ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2001); Объединенном симпозиуме "Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics" ( г. Иркутск, Россия, 2001); Международной конференции "Planetary Radio Emission" (г. Грац, Австрия, 2001); Всероссийской конференции "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск, Россия, 2001); Международной конференции "Problems of Geocosmos" (г. Санкт- Петербург, Россия, 2002,2004); Симпозиуме Европейского геофизического союза (г. Ницца, Франция, 2004); Научной Ассамблее COSPAR (Париж, Франция, 2004).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]. Все результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, 50 рисунков и списка литературы из 93 наименований. Общий объем диссертации - 138 страниц. В первой главе сформулировано приближение тонкой магнитной трубки, введены вмороженные лагранжевы переменные и криволинейные координаты, связанные с магнитной трубкой. Дана вариационная формулировка задачи, и получены основные уравнения в лагранжевых координатах. Вторая глава посвящена исследованию влияния кривизны магнит ной трубки на взаимодействие альфвеновской и медленной магнитозву ковой волн. . В третьей главе рассмотрены задачи распространения альфвенов-ских волн вдоль сходящихся магнитных силовых линий (радиальное и дипольное магнитные поля). В четвертой главе исследовано формирование и распространение ударных волн вдоль дипольных магнитных трубок с однородными фоновыми параметрами плазмы. В пятой главе рассмотрены задачи распространения медленных маг-нитозвуковых волн в случае вращающейся магнитной трубки применительно к проблеме взаимодействия Ио и Юпитера.
Уравнения идеальной магнитогидродинамики (МГД) широко используй ются для моделирования динамики космической плазмы [13, 14, 15, 16, 17]. Однако в общем случае расчет трехмерных МГД течений представляет собой трудную задачу. Для упрощения проблемы используются асимптотические методы, основанные на разложениях по малым параметрам. Примером такого подхода являются модели тонкой магнитной трубки, которые рассматривают нормированную толщину магнитной трубки в качестве малого параметра. Можно выделить два различных типа моделей, использующих аппроксимацию тонкой магнитной трубки. К первому типу относятся модели, разрабатываемые применительно к внутренности Солнца [18, 19, 20, 21, 22], где магнитное поле сосредоточено внутри тонких магнитных трубок, аккумулирующих магнитную энергию. Давление плазмы внутри такой трубки очень мало по сравнению с магнитным давлением. При этом давление плазмы снаружи является преобладающим. К другому типу относятся модели тонких трубок с повышенным давлением плазмы внутри, которое уравновешено избыточным внешним магнитным давлением. При этом снаружи доминирует магнитное давление. Такие модели применяются для описания распространения возмущений магнитного поля и параметров плазмы в хромосфере Солнца [23, 24], а также в магнитосфере Земли и других планет. В частности, приближение тонкой магнитной трубки применяется для моделирования медленных магнитозвуковых импульсов, распространяющихся вдоль дипольных магнитных трубок в магнитосфере Юпитера [5, 6]. В отношении магнитосферы Земли в ряде работ [25, 26, 27, 28, 29] плодотворно использовалось асимптотическое приближение больших азимутальных волновых чисел,- применимое в тех случаях, когда продольные длины волн много больше поперечных. В названных работах рассматриваются постановки задач, связанные с вычислением собственных мод и спектра частот линейных колебаний плазмы в магнитном поле. В рамках этого приближения быстрая магнитозвуковая мода исчезает, и остаются только связанные между собой альфвеновская и медленная магнитозвуковая волны. В этом случае возмущение полного давления (суммы магнитного и газового давлений) равно нулю, что аналогично условию на полное давление в модели тонкой магнитной трубки.
Поведение плазмы и динамика формы магнитной трубки сильно зависят от отношения давлений плазмы и магнитного поля, которое называется плазменным параметром бета (/?). При больших значениях этого параметра форма магнитной трубки сильно зависит от распределения давления плазмы внутри трубки.
Внутри магнитосферы Земли, в большей ее части, магнитное поле довольно сильное, и параметр /3 плазмы относительно мал. В этом случае можно считать малыми изменения конфигурации магнитной трубки, связанные с возмущениями давления плазмы.
Изучение волновых процессов в магнитосфере Земли проводилось в основном в направлении поиска спектра собственных частот и резонансных гармоник в магнитосферном резонаторе [30, 31, 32].
Алгоритм численного решения
Легко заметить, что уравнение (1.86) для поперечной компоненты SX связано с возмущениями давления посредством члена, пропорционального параметру плазмы /. Уравнение для продольной компоненты также имеет связь с поперечными возмущениями. Эта связь осуществляется через возмущение давления, которое определяется выражением (1.88) и содержит член, пропорциональный / и 6 та.
Приближение тонкой магнитной трубки позволяет считать полное давление заданной функцией координат, определяемой на основе фонового распределения магнитного поля и давления плазмы. 2. Введена вмороженная лагранжева система координат, в которой первая координата характеризует распределение массы вдоль магнитной трубки, а две другие координаты имеют смысл потенциалов Эйлера для магнитного поля. 3. Возмущение магнитной трубки характеризуется вектором смещения, для задания которого используются криволинейные координаты, связанные с трубкой. В случае оеесимметричного магнитного поля, одно координатное направление выбирается вдоль трубки, другое - перпендикулярно трубке в меридиональной плоскости, и третье направление -азимутальное. 4. Варьированием функционала действия получена система уравнений относительно компонент вектора смещения для волновых возмущений в тонкой магнитной трубке. Во вмороженной системе координат исходная МГД система сводится к уравнениям "магнитной струны". 5. Для малых возмущений получена линейная система уравнений, описывающая альфвеновские и медленные магнитозвуковые волны в искривленной трубке переменного сечения. 6. На основе анализа общего вида уравнений определены коэффициенты связи альфвеновской и магнитозвуковой мод, зависящие от радиуса кривизны магнитной трубки и параметра / (отношения фонового давления плазмы к магнитному давлению). В случае осесимметричного магнитного поля продольная мода взаимодействует только с меридионально поляризованной альфвеновской волной. Азимутально поляризованная альфвеновская волна не может индуцировать возмущений давления и плотности.
Влияние кривизны магнитной трубки на распространение МГД волн Общая система уравнений, полученная в первой главе, может быть применена к любой конфигурации магнитного поля. Поведение волнового возмущения в неоднородной магнитной трубке существенно зависит от двух факторов - кривизны магнитных силовых линий, образующих трубку, и сужения трубки. В общем случае оба эти фактора присутствуют одновременно. Однако их влияние можно изучать отдельно в случаях азимутального и радиального магнитных полей.
В этой главе рассматривается поведение магнитной трубки в упрощенной модельной конфигурации магнитного поля, в которой магнитные силовые линии имеют вид концентрических окружностей. В этом случае общая криволинейная система координат сводится к цилиндрической системе. Модель азимутального магнитного поля позволяет исследовать влияние первого фактора - кривизны на характер распространения аль-фвеновских и медленных магнитозвуковых волн.
Для изучения эффектов, связанных с искривленностью линий магнитного поля, рассмотрим модель с азимутальной конфигурацией магнитного поля, показанную на рис. 2.1. В этом случае наиболее удобно использовать цилиндрическую систему координат.
Альфвеновские волны в дипольном магнитном поле
К первому типу можно отнести медленные магнитозвуковые волновые возмущения, распространяющиеся в обе стороны магнитной трубки примерно со скоростью звука, которая много меньше альфвеновской скорости. Второй тип - это продольные возмущения сжатия и разрежения, распространяющиеся с альфвеновской скоростью вместе поперечными возмущениями. Это означает, что в искривленной магнитной трубке альфвеновская волна не является чисто поперечной модой, в отличие от прямолинейной трубки. В случае конечного радиуса кривизны, альфвеновская волна неизбежно сопровождается возмущениями давления и плотности плазмы, а также продольной компоненты скорости. Амплитуда продольной компоненты скорости, индуцированной поперечным смещением трубки 5г примерно равна 2(ЗОУАО5Г/ГО .
В искривленной магнитной силовых трубке возникает связь между поперечными и продольными волновыми возмущениями. Интенсивность взаимодействие между альфвеновскими и магнитозвуковыми волнами определяется отношением параметра бета к радиусу кривизны.
Амплитуда продольной скорости, индуцированной поперечным смещением магнитной трубки, пропорциональна пропорциональна амплитуде поперечного смещения, параметру бета, местной альфвеновской скорости и кривизне: 5V\\ 2(3oVa5r/R.
Кривизна магнитных силовых линий является причиной дисперсии альфвеновских и медленных волн. В изогнутой магнитной трубке скорость альфвеновских волн возрастает, а скорость медленных магни-тозвуковых волн убывает относительно их значений для прямой трубки. Относительное изменение скоростей волн определяется безразмерным параметром Po/(kR)2, где к - волновое число.
В этой главе рассматривается влияние фактора схождения линий магнитного поля на распространение альфвеновских волн вдоль магнитной трубки. Альфвеновские волны играют важную роль в физике магнитосферы [1, 2], осуществляя перенос возмущений электрического поля вдоль магнитных силовых линий. Изучение условий генерации и распространения альфвеновских волн является актуальной проблемой [3], имеющей большое прикладное значние. Например, геомагнитные пульсации, регистрируемые на уровне ионосферы, являются индикатором состояния магнитосферы Земли и широко используются для ее диагностики. Трудность заключается в том, магнитосферное магнитное поле имеет сложную конфигурацию. Магнитные силовые трубки сильно сгущаются вблизи ионосферы и расширяются по мере удаления от планеты. В этой связи возникает вопрос о влиянии сужения и расширения магнитных трубок на характер распространения альфвеновских волн. Для ответа на этот вопрос далее решаются модельные задачи о распространении альфвеновскх волн в радиальном и дипольном магнитных полях.
Радиальное магнитное поле, показанное на рис. 3.2, имеет простейшую конфигурацию магнитных силовых линий, пригодную для изучения воздействия фактора сужения магнитной трубки. В этой модели кривизна магнитных линий равна нулю. Линии поля ортогональны оси z и ради-ально сходятся к этой оси. В этом случае общая криволинейная система координат, рассмотренная в первой главе, сводится к цилиндрической системе (г, в, z).
Результаты расчетов ударных волн при постоянных фоновых параметрах
На графиках энергия волны нормирована к ее начальному значению. Диссипативные свойства границы у основания трубки (ионосферы) характеризуются параметром /х = Ел/Ej, равным отношению альфвеновской проводимости к проводимости отражающей поверхности. При проведении расчетов этот параметр полагался равным 0.5. Сравнение графиков показывает, что затухание энергии волны менее заметно в случае меридиональной поляризации и для больших длительностей импульса.
В космической плазме исключительно важную роль играют процессы быстрого пересоединения магнитных полей [56,, 57], которые обеспечивают преобразование магнитной энергии в энергию волн и ускоренных частиц. Магнитное пересоединение, может возбуждать альфвенов-ские волны на границе магнитосферы [58, 59] при южном направлении межпланетного магнитного поля, а также в хвосте магнитосферы [60] во время взрывной фазы магнитосферной суббури. Эти волны распространяются вдоль геомагнитных силовых линий в направлении к ионосфере Земли, имеющей конечную электропроводность. Другим важным источником альфвеновских волн являются неустойчивости, развивающиеся на границе магнитосферы [51, 61].
Существование стоячих альфвеновских волн в магнитосфере Земли является известным экспериментальным фактом [62]. Эти волны могут возбуждаться во время магнитосферных суббурь [63, 64, 65]. Взрывная фаза магнитосферной суббури связана с быстрым пересоединением магнитных полей в хвосте магнитосферы, которое сопровождается ускорением плазмы в направлении к Земле [65, 60, 66, 64]. 1. На основе модели тонкой магнитной трубки исследовано распространение альфвеновских импульсов вдоль сужающейся магнитной трубки. Рассмотрены варианты с радиальным и дипольным магнитным полем. 2. Показано, что продольная характерная длина альфвеновского импульса возрастает пропорционально напряженности магнитного поля. Кроме того, значительно возрастает амплитуда электрического поля при распространении импульса в направлении роста магнитного поля. 4. При сильном сужении магнитной трубки, импульс достаточно большой длительности отражается прежде, чем успевает дойти до границы трубки. В этом случае потери энергии импульса на диссипативной границе очень малы при любой электропроводности граничной поверхности, и импульс может совершать многократные отражения без заметного затухания, 5. Эффекты сужения трубки выражены тем сильнее, чем больше длительность импульса. При многократных отражениях время диссипации энергии импульса существенно возрастает с увеличением длительности импульса. 6. Результаты имеют непосредственное отношение к условиям в магнитосфере Земли, где источники альфвеновских импульсов располагаются на границе и в хвосте магнитосферы. Генерация импульсов может быть связана с быстрым пересоединением магнитных полей. Вариации давления газа в магнитной трубке могут инициировать магни-тозвуковые волны, эволюционирующие в ударные разрывы. Если фоновое давление плазмы много меньше магнитного давления, то импульсы давления плазмы в магнитной трубке генерируют медленные магнито-звуковые волны, распространяющиеся вдоль трубки. В случае сходящихся магнитных силовых линий (например, в дипольном поле) площадь поперечного сечения магнитной трубки уменьшается с возрастанием напряженности магнитного поля. Для магнитосферного магнитного поля сужение магнитных трубок может быть очень большим. В этом случае распространение МГД волн вдоль магнитных трубок сильно отличается от случая однородного магнитного поля. В этой главе на основе идеальных МГД уравнений рассмотрены аналитические и численные решения, описывающие распространение медленных магнитозвуковых волн в тоникой магнитной трубке. Рассмотрены приложения результатов к случаю взаимодействия между Юпитером и его спутником Ио, который является источником импульсов давления плазмы.
В первой главе получена общая система уравнений, описывающая как альфвеновские, так и медленные магнитозвуковые волны в тонкой магнитной трубке. Взаимодействие этих двух типов волн определяется параметром Р, равным отношению давления плазмы к магнитному давлению. При малых значениях этого параметра медленные магнитозвуковые волны распространяются вдоль магнитных силовых линий и практически не взаимодействуют с альфвеновскими волнами. В этом случае оба типа волн можно рассматривать отдельно. Влияние параметра (3 на характер распространения медленных магнитозвуковых волн исследован в работах [67, 68]. Для чисто продольных волн из общей системы уравнений выделяется подсистема, описывающая скорость, плотность и давление газа, совершающего нестационарные движения вдоль магнитной силовой трубки (рис. 4.1).
