Содержание к диссертации
Введение
1 Начально-краевые задачи для уравнения Россби в ограни ченной области. 22
1 Моделирование планетарных волн. Уравнение Россби (уравнение планетарных волн) 23
2 Первая и смешанная начально-краевые задачи 28
2.1 Постановка задачи 28
2.2 Существование и единственность решения 31
3 Вторая начально-краевая задача 34
3.1 Постановка задачи 34
3.2 Разрешимость задачи 37
4 Li-обобщенные решения начально-краевых задач для уравне ния Россби 42
Выводы по главе 1 50
2 Численное решение начально-краевых задач для уравнения Россби 51
1 Приближенное решение 51
1.1 Приближенное решение первого порядка точности not . 52
1.2 Приближенное решение р-го порядка точности по t . 55
1.3 Приближенное решение второй начально-краевой задачи 59
2 Численные эксперименты 60
2.1 Погрешность приближенного решения первого порядка точности 60
2.2 Погрешность приближенного решения р-го порядка точности 62
2.3 Расчеты в области сложной конфигурации 65
2.4 Расчеты в области, имитирующей Черноморскую акваторию 67
3 Программный комплекс «Rossby» 68
ыводы по главе 2 73
Численное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом точечных потенциалов (МТП) 76
1 Точечные потенциалы(ТП) 79
2 Множества единственности потенциала простого слоя 80
2.1 Потенциал простого слоя (ППС) и его свойства 81
2.2 Множества единственности ППС 82
2.3 Полнота в L2(dQ) системы точечных потенциалов . 85
2.4 Признаки и примеры множеств единственности ППС . 86
3 Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона 88
3.1 Свойства объемного логарифмического потенциала . 89
3.2 Сведение задачи Дирихле для уравнения Пуассона к задаче Дирихле для уравнения Лапласа 96
3.3 Задача Дирихле для уравнения Лапласа 98
3.4 Полнота расширенной системы точечных потенциалов в Hl{dQ) 100
3.5 Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа 105
3.6 Численные эксперименты 108
4 Сравнение метода точечных потенциалов с конечно-разностными методами 111
4.1 Описание тестовой задачи 111
4.2 Результаты численного эксперимента 115
5 Задача Неймана для уравнения Лапласа 118
5.1 Потенциал двойного слоя и его свойства 119
5.2 Множества единственности ПДС 120
5.3 Сходимость МТП для задачи Неймана для уравнения Лапласа 124
5.4 Численные эксперименты 127
Выводы по главе 3 128
Заключение 131
Обозначения 135
Литература
- Первая и смешанная начально-краевые задачи
- Приближенное решение второй начально-краевой задачи
- Потенциал простого слоя (ППС) и его свойства
- Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
Введение к работе
Актуальность темы. В геофизической гидродинамике изучаются планетарные волны, возникновение и распространение которых обуславливается вращением Земли. Эти волны могут оказывать существенное влияние на океанические, морские и атмосферные течения, поэтому их изучение имеет большую практическую значимость. Планетарные волны изучались в ходе крупномасштабных экспериментов в Северной Атлантике (программы «Полигон» и «Mode»). Эволюция планетарных волн достаточно хорошо описывается уравнением Россби.
Уравнение Россби исследовалось в работах Успенского СВ., Демиденко Г.В., Ильина A.M., Петрушко И.М., Лежнева В.Г. Для ряда начально-краевых задач в областях простой геометрии в них изучено асимптотическое поведение решения уравнения Россби при больших временах.
Для практических нужд важно не только асимптотическое поведение планетарных волн, но и их поведение при конечных временах. Аналитическое исследование этого поведения весьма затруднительно, так как реальные водоемы (моря и океаны) имеют достаточно сложную геометрию. Современное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения здесь численных методов.
Эффективность численных методов решения начально-краевых задач существенно зависит от математических постановок этих задач, выбора функциональных пространств и т.п. Поэтому возникает необходимость в пересмотре имеющихся постановок начально-краевых задач для уравнения Россби и исследования новых постановок. Диссертация посвящена исследованию математических моделей планетарных волн, которые представляют собой начально-краевые задачи для уравнения Россби.
Цель работы:
-
Создать математические модели, описывающие эволюцию планетарных волн, в виде обобщенных постановок начально-краевых задач для уравнения Россби, исследовать корректность этих моделей.
-
Построить эффективные численные алгоритмы решения начально-краевых задач для
уравнения Россби, разработать комплекс программ, реализующий эти алгоритмы.
3. Провести численные расчеты для областей различной конфигурации.
Научная новизна работы. В работе даны новые обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области. Для первой и смешан-
ной начально-краевых задач доказана их однозначная разрешимость, для второй найдены необходимые и достаточные условия существования обобщенного решения. Разработаны алгоритмы численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана их сходимость. В разработанных алгоритмах численного решения используется метод точечных потенциалов (метод фундаментальных решений для уравнения Лапласа), для которого в работе исследована сходимость в норме W\ и предложены новые, простые и легко проверяемые достаточные условия полноты системы точечных потенциалов.
На защиту выносятся:
-
Математические модели планетарных волн, описываемые начально-краевыми задачами для уравнения Россби в ограниченной области. Обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, теоремы устанавливающие их корректность, (стр. 22-50)
-
Алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, теорема
о его сходимости, (стр. 51-60)
-
Результаты численных экспериментов по решению начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. 60-68)
-
Определение множества единственности потенциала простого слоя, признаки множеств
единственности потенциала простого слоя, необходимое и достаточное условие полноты системы точечных потенциалов, (стр. 80-88)
-
Способ численного решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона методом точечных потенциалов, который гарантирует приближение решения задачи в норме W\. (стр. 98-111)
-
Программный комплекс «Rossby», реализующий разработанный в диссертации алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. 68-75)
Методы исследования. Для исследования начально-краевых задач и численных методов их решения применяются методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории потенциала, а также методы вычислительной математики.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на II и Ш-й всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», 2005 и 2006; на четвертой международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы матема-
тического образования», посвященной 90-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, 2013; на семинаре отдела механики пористых сред НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КФУ, 2010; на семинаре Южно-Российского регионального центр информатизации (ЮГИНФО) ЮФУ, 2012; на семинарах кафедры численного анализа и кафедры теории функций Кубанского государственного университета, 2006-2013.
Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, численные алгоритмы их решения могут быть использованы при исследовании динамики океана и атмосферы. Исследование варианта метода точеных потенциалов, обеспечивающего сходимость по норме пространства И^1, может быть использовано для решения таких актуальных задач, как задача Хеле-Шоу.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 25 рисунков, 18 таблиц, 111 наименований литературных источников. Общий объем диссертации составляет 151 страницы.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, из них 4 в изданиях рекомендованных ВАК России для опубликования научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.
Первая и смешанная начально-краевые задачи
Впервые планетарные волны (волны Россби) были рассмотрены в работе Rossby C.-G. On the dispersion of planetary waves in barotropic atmosphere [104] в 1949 году. Волнам Россби (Россби - Блиновой) отведено место в учебных курсах и монографиях по теории колебаний и волн [59], по механике сплошных сред [6], гидродинамики атмосферы и океана [52], [57], [35]. В этих книгах рассмотрена механика течения, дан вывод уравнений описывающих динамику течения с учётом различных факторов, рассмотрены волны простого вида.
Существует ряд работ [22, 23, 11, 58, 55, 37, 83, 77] в которых исследованы начально-краевые задачи для уравнения Россби в неограниченных областях. Основной целью этих работ является изучение поведения решений при больших значениях времени. Так, задача Коши для уравнения Россби во всем пространстве рассмотрена В.Г. Лежневым [37]. Планетарные волны в неограниченной области, граница которой напоминает берег океана или моря, исследованы Огородниковым И.Е. [55]. В области похожей на канал — А.А. Тикиляйненом [77] и С.А.Габовым.
При выводе уравнения Россби был сделан ряд предположений, анализируя которые, можно видеть, что уравнение Россби хорошо описывает эволюцию планетарных волн при малых временах в достаточно маленькой области. Поэтому большой интерес представляет исследование поведения решений уравнений Россби в ограниченных областях. Такие исследования проводились. Например, исследованиям начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области посвящены разделы работ В.Г. Лежнева [37] и И.Е. Огородникова [55]. В.Г. Лежневым рассмотрена первая начально-краевая задача, а И.Е. Огородниковым смешанная начально-краевая задача в циллиндрической по одной из пространственных координат области. В первой главе настоящей работы восполнены пробелы в исследованих по начально-краевым задачам в ограниченной области.
В разделе 1.2 даны обобщенные постановки первой и смешанной начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана их корректность.
Функцию и Є С1(\0,Т); Н (Q)) назовем обобщенным решением смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби: для любой функции h Є іі/р (Q). Здесь щ Є іїр (Q), f Є C([0,T); L/2(Q)) (перечень обозначений приводится в разделе 1.1). Заметим, что приГ2 = 0 смешанная начально-краевая задача переходит в первую начально-краевую задачу, поэтому последняя не рассматривается отдельно.
В теореме 2 раздела 1.2 установлена однозначная разрешимость смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби в обобщенной постановке. В разделе 1.3 дается обобщенная постановка второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, исследуется ее корректность. Обозначим L2{Q) = {v Є L2(Q) : (v, 1)ыя) = О}, Hl(Q) = LC2(Q) П Hl{Q).
Обобщенное решение смешанной начально-кравой задачи для уравнения Россби является в то же время её Li-обобщенным решением (лемма 9), досточно гладкое Li-обобщенное решение является обобщенным решением (лемма 10).
Смешанная начально-краевая задача обладает ровно одним Ьі-обобщенньїл/ решением (теорема 5). В разделе также исследуется Li-обобщенное решение второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, для него доказана теорема, аналогичная теореме 5.
Глава 2, состоящая из трех разделов, посвящена численному решению начально-краевых задач для уравнения Россби и программному комплексу «Rossby». В разделе 2.1 дается определение приближенных решений начально-краевых задач для уравнения Россби, доказывается их сходимость к обобщенным решениям. Для простоты для смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби выкладки проделаны при / = 0.
К -llffi(Q) Є Сходимость приближенного решения к обобщенному решению смешанной начально-краевой задачи устанавливается теоремой 8. В разделе также дано определение приближенного решения второй начально-краевой задачи для уравнения Россби и установлена его сходимость к обобщенному решению.
В разделе 2.2 приведены результаты численных экспериментов. Численные эксперименты проводились лишь для первой начально-краевой задачи для уравнения Россби, так как алгоритм численного решения второй и смешанной начально-краевых задач аналогичен алгоритму решения первой. Наибольшую сложность при построении приближенного решения, особенно в областях сложной конфигурации, представляет нахождение функций , которое сводится к численному решению краевой задачи для уравнения Пуассона, причем погрешность решения должна быть мала в норме пространства W}(Q).
Численные эксперименты подтвердили теоретические результаты о сходимости, изложенные в разделе 2.1. Кроме того, во всех проведенных численных экспериментах наблюдалось смещение вихревых пятен в западном направлении, а также образование и исчезновение вихревых пятен на восточной и западной границах соответственно.
В разделе 2.3 описан разработанный для проведения численных экспериментов программный комплекс «Rossby».
Программный компелкс написан на языке C++ в среде Microsoft Visual Studio 2010. Он включает в себя следующие блоки: - управляющий блок, в нем содержится цикл по временной координате и вызываются все основные функции программного комплекса; - блок выбора базисных точек. В зависимости от контура расстановки и количества базисных точек выбираются сами базисные точки; - блок вычисления интегралов типа объемного потенциала. В этом блоке по заданной плотности вычисляются интегралы типа потенциала с помощью квадратурных формул пятого порядка точноти по Х\ и второго по х% - блок решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Реализация методом точечных потенциалов, описанного ниже в третьей главе; - блок вывода приближенного решения в файлы.
Приближенное решение второй начально-краевой задачи
Сформулируем теорему существования и единственности обобщенного решения задачи (1.15) (1.17). Оператор А2 определим равенством: Область определения А2 есть все пространство H\{Q). Очевидно, что оператор А2 непрерывен и выполняется равенство A2v = A2V для всех v Є D. Следовательно, обобщенное решение задачи (1.15) (1.17) удовлетворяет равенству можно рассматривать как задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в банаховом пространствеН\(Q). Её решение имеет вид (1.23) [80, гл.УП, 31, п.31.1]. Таким образом, если обобщенное решение задачи (1.15) (1.17) существует, то оно единственно и представляется формулой (1.23). Доказательство утверждения этапа 1 завершено.
Докажем, что если щ Є Р, то обобщенное решение задачи (1.15)-(1.17) существует и представимо формулой (1.22). Для этого понадобятся следующие леммы. Доказательство утверждения этапа 2. Пусть щ(х) принадлежит Р. Согласно лемме 7, равенство (1.21) является дифференциальным уравнением в банаховом пространстве Р. Задача Коши для дифференциального уравнения (1.21) с начальным условием (1.25) имеет единственное решение в пространстве С1([0,Т], Р). Причем это решение u{t) имеет вид (1.22). Отметим, что С1([0,Т], Р) является подпространством пространства С1 ([0, Т], D). Легко видеть, что функция u{t) есть обобщенное решение задачи (1.15) (1.17). Доказательство утверждения этапа 2 завершено.
Докажем, что обобщенное решение задачи (1.15) - (1.17) не существует, если щ ф. Р. Для этого понадобится следующая лемма. Лемма 8. Пусть v Є H (Q). Если Из этого следует, что f{t) не равна нулю в некоторой окрестности t = 0. Доказательство теоремы 4 закончено. Замечание. Пространство Р, рассмотренное выше, можно определить следующим образом. Простраство Р — это пространство функций v Є H iQ), таких что [ 9 / ——v(x)dx = 0, Jgn{x1=c} ох\ почти для всех с, при которых плоскость х\ = с имеет непустое пересечение с Q. Доказательство эквивалентности определений не представляет сложности, поэтому приводить его здесь не будем.
Приведем примеры обобщенных решений в некоторых частных случаях.
1. Пусть щ(х) Є H\iQ) не зависит от переменной х\. Тогда обобщенное решение u(x,t) существует и выполняется равенство u(x,t) = щ(х) при любом t Є [0,Т]. Отметим, что при этом щ(х) Є Р. Функция и в общем случае не является классическим решением задачи (1.15) (1.1Т), так как для неё не всегда выполняется равенство (1.17).
2. Рассмотим задачу (1.15) (1.17) в области Q = (0,1) х (0,1). Пусть щ(х) = cos27nr2(cos47nri — 4cos7nri), тогда классическое и, следовательно, обобщенное решение задачи (1.15)—(1.17) имеет вид uix, t) = COS 27ПГ2 ( COS (COS 47ПГі — 4 COS 7ГХі) — Sin (sin AnXi — 4 Sin 7TX\) ) \ 07Г 07Г J (1.29) В том, что и, заданная формулой (1.29), является классическим решением, легко убедиться проверкой. 4 Li-обобщенные решения начально-краевых задач для уравнения Россби.
В данном параграфе рассматривается другая обобщенная постановка начально - краевых задач (1.15) (1.17) и (1.1)—(1.4), с более слабыми требованиями на гладкость решения по переменной t.
Определение 7. L\-обобщенным решением задачи (1.1)-(1.4) будем называть такую функцию и Є Li([0,T],ii/p (Q)), что для любой функции h Є С1([0,Т],Н (Q)), h{T) = 0; справедливо тождество
Установим связь между Li-обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4) и её обобщенным решением. Лемма 9. Обобщенное решение задачи (1.1)-(Ц) являетсяL\-обобщенным.
Доказательство. Пусть и — обобщенное решение задачи (1.1)—(1.4). Тогда и Є С1 ([0,T\,H (Q)), и(0) =щя для любой h Є С1 ([0,T\,H (Q)), удо-влетворяющей условию h(T) = О, при любом фиксированном
Доказательство. Из интегрального тождества (1.37) следует, что функция (j2 является обобщенной производной функции (j\. Тогда, по теореме об абсолютной непрерывности функции из пространства Wi(0}T) [51, гл.2, 6], имеем, что для выполнения интегрального тождества (1.37) необходимо (но, не достаточно) выполнение равенства Очевидно, что только при С = 0 функция (?i, определенная равенством (1.39), удовлетворяет интегральному тождеству (1.37). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 5. Существование Li-обобщенного решения задачи (1.1)—(1.4) следует из существования обобщенного решения (теорема 2) и того факта, что обобщенное решение является Li-обобщенным (лемма 9). Докажем единственность решения Li-обобщенного решения однородной (/ = Оимо = 0) задачи (1.1)—(1.4). Из линейности единственность будет следовать и для неоднородной задачи. Для однородной задачи (1.1)—(1.4) интегральное тождество (1.31) имеет вид: является непрерывным. Очевидно, что для if Є ii/p (Q) равенство (1-43) выполняется тогда и только тогда, когда J( f) = 0. Тогда из плотности S в Нг (Q) И равенства J = 0 на множестве S следует, что J = 0 на Н (Q). Т.е. при всех t Є 5у и всех (/9 Є ii/p (Q) равенство (1.43) имеет место. Утверждение доказано.
Сравнивая равенство (1-43) с интегральным тождеством (1.11), приходим к выводу: для всех t Є [0,Т], при которых равенство (1-43) выполнено для всех if Є HY (Q), u(t) является обобщенным решением смешанной
Потенциал простого слоя (ППС) и его свойства
Из леммы 10 следует, что и является обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4) с нулевым начальным условием и нулевой правой частью. Но тогда, по теореме 2 о существовании и единственности обобщенного решения, имеет место и = 0. Теорема доказана.
Для второй начально-краевой задачи имеется аналогия со смешанной в рассмотрении её Li-обобщенного решения, поэтому приведем только определения и формулировки теорем, опуская доказательства.
Определение 8. Li-обобщенным решением задачи (1.15)-(1.17) будем называть такую функцию и Є Li([0,T], H\{Q)), что для любой функции h Є Cl([0,T], Hl(Q)), h{T) = 0; справедливо тождество
В главе 1 приведены математические модели планетарных волн в виде обобщенных постановок начально-краевых задач (первой, второй и смешанной) для уравнения Россби в ограниченной области, исследуется корректность этих постановок.
В разделе 1 настоящей главы показано, что в научной литературе имеются пробелы при рассмотрении начально-краевых для уравнения Россби в ограниченной области: 1. Смешанная начально-краевая задача рассмотрена в очень частном случае. 2. Вторая начально-краевая задача вообще не рассмотрена. Результаты данной главы полностью закрывают эти пробелы. Кроме того, приведенные в главе постановки удобны для построения и анализа численных алгоритмов решения, что показано далее во второй главе. Глава 2 Численное решение начально-краевых задач для уравнения Россби
Решение начально-краевых задач для уравнения Россби в общем случае нельзя получить аналитически, поэтому для решения этих задач приходится прибегать к численным методам. В настоящей главе даны алгоритмы численного решения начально-краевых задач, рассмотренных в первой главе, приведены результаты численных экспериментов, в которых изучалась зависимость погрешности приближенного решения от параметров алгоритма и поведение решений начально-краевых задач для уравнения Россби в областях сложной конфигурации.
1 Приближенное решение
В настоящем разделе рассмотрены приближенные решения смешанной и второй начально-краевых задач для уравнения Россби. Более подробно исследована смешанная начально-краевая задача, а для второй приведены определение приближенного решения и формулировка теоремы о сходимости приближенного решения к обобщенному.
Для простоты выкладок будем полагать / = 0 в задаче (1.1) (1.4). Тогда, согласно теореме 2, обобщенное решение задачи (1.1)—(1.4) имеет вид В определении г — шаг дискретизации по времени; є — погрешность при вычислении значений оператора Аз, т.е. при численном решении смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона.
Алгоритм построения (г, е)-приближенного решения первого порядка точности смешанной начально-краевой задачи состоит в следующем: Сходимость приближенного решения первого порядка точности к обобщенному решению смешанной начально-краевой задачи для уравнения Росс-би устанавливается следующей теоремой.
Доказательство. Доказательство будем вести по индукции. Очевидно, что для і = 0 неравенство (2.6) выполняется. Предположим, что оно выполняется для некоторого і — 1. Тогда Неравенство (2.2) позволяет говорить о двух причинах возникновения погрешности приближенного решения: первая — это погрешность при решении смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, вторая — погрешность, обусловленная дискретизацией по времени. Для увеличения точности вычислений необходимо уменьшать как погрешность численного решения смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, так и шаг дискретизации по времени, что повлечет увеличение времени вычислений. Поэтому имеет смысл рассматривать алгоритмы численного решения более высокого порядка точности по времени, что и проделано в следующем параграфе.
Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
В этом параграфе будет показано, что обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона может быть представлено в виде суммы объемного логарифмического потенциала и некоторой гармонической в Q функции из Hl(Q).
Легко видеть, что равенство (3.18) остается верным для любой функции (р Є Hl{Q). Рассмотрим разность д = u—If, очевидно, что д Є Hl(Q) и для любого (р Є HQ(Q) удовлетворяет интегральному тождеству Тогда по известной теореме [51, гл. 11, 8] д Є C(Q) и Дд = 0 в Q. Лемма доказана. Следствие. Из леммы 31 следует, что функция g имеет след на dQ из пространства Hl(dQ). Таким образом доказано, что с помощью объемного потенциала задаче Дирихле для уравнения Пуассона (3.5) сводится к задаче Дирихле для уравнения Лапласа (3.6).
Перед тем, как перейти к исследованию корректности задачи Дирихле для уравнения Лапласа, рассмотрим вопрос о продолжении произвольной функции (р Є Hl(dQ) с границы dQ внутрь области Q.
Лемма 33. Существует линейный непрерывный оператор L : Hl(dQ) — Hl(Q), который для всех (р Є Hl(dQ) удовлетворяет равенству
Доказательство леммы аналогично доказательству теоремы 2 в [49, глава 3, 4]. Следующая теорема устанавливает однозначную разрешимость задачи Дирихле для уравнения Лапласа для любого граничного условия ір Є H\dQ).
Теорема 11. Для любого р Є Hl(dQ) задача Дирихле для уравнения Ла-палса (3.19)-(3.20) однозначно разрешима. Более того, существует такая константа С 0, не зависящая от р , что выполнено неравенство Доказательство. Единственность решения задачи следует из теоремы 1 первой главы.
Перейдем к доказательству существования решения. Пусть оператор L : Hl(dQ) — Hl(Q) — это оператор из леммы 33. По теореме Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве [60] Существует единственная функциям Є HQ(Q), которая удовлетворяет интегральному тождеству / VvVhdx = - V(L(p)Vhdx (3.22) JQ JQ для всех h Є Hl{Q). Легко проверить, что функция и = v + Lip является решением задачи (3.19)-(3.20). Осталось доказать неравенство (3.21). Из интегрального тождества (3.22) и неравенства Фридрихса [56] следует неравенство ІМІячз) — к ІІ- ИІячз) где К 0 не зависит от ір. Тогда получим IMIffi(Q) = \\v + L(P\\m(Q) {K + l) \\Lip\\H1{Q) (K + 1) \\L\\ ІМІяі(дд) , т.е. при С = (К + 1) L неравенство (3.21) выполняется. Доказательство завершено. Замечание. В неравенстве (3.21) нельзя заменить норму пространства Hl(dQ) нормой пространства L/2(dQ). Пример последовательности гармонических функций, следы которых сходятся в норме L2(dQ) (даже в норме C(dQ)), а нормы самих функций в Н (Q) стремятся к +оо, дан в [12, гл. 3, 22].
3.4 Полнота расширенной системы точечных потенциалов BH1{8Q)
Метод точечных потенциалов, который рассмотрен в работах [38, 2, 31] не гранатирует приближения решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в норме пространства W2l(Q)- Теорема 11 позволяет модифицировать метод точечных потенциалов, если расширенная система точечных потенциалов полна в Hl(dQ)).
Перед тем, как перейти к рассмотрению вопроса о полноте расширенной системы точечных потенциалов, рассмотрим потенциал простого слоя с плотностью из H l(dQ) (ППС-Я"1).
Определение 19. Потенциалом простого слоя с плотностью р Є H l(dQ) называется функция вида Vp{x) = / р(у)Е(х - y)dy, JdQ где интеграл понимается как действие обобщенной функции на основную. Лемма 34. Потенциал простого слоя Vp с плотностью р Є H l(dQ) является бесконечно гладкой функцией в Q и Q+. Кроме этого Vp — гармониче 100 екая функция как в Q, так и в Q+. Дадим для этих потенциалов определение множества единственности, аналогичное определению множеств единственности ППС с плотностью из L2(dQ). Определение 20. Множество А С Q+ будем называть множеством единственности потенциала простого слоя с плотностью из H l(dQ) (множеством единственности ППС-Н 1), если из равенства Vp(x) = 0 для всех х Є А следует равенство Vp(x) = 0 для всех х Є Q+. Приведем несколько простых утверждений о множествах единственности потенциала простого слоя с плотностью из H l(dQ): 1. Множества единственности ПТ1С-Н существуют, так как Q+ является множеством единственности ППС-І7-1. 2. В силу непрерывности потенциала простого слоя в Q+, любое множество всюду плотное в некотором множества единственности YIHC-H , в свою очередь является множеством единственности YIHC-H . 3. Существуют счетные множества единственности YIHC-H , например, множество точек Q+ с рациональными координатами. 4. В силу аналитичности потенциала простого слоя с плотностью изH (dQ) в Q+, любое множество содержащее круг с центром в Q+ является множеством единственности потенциала простого слоя с плотностью изH (dQ).
