Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы моделирования электромагнитных полей 10
1.1. Математические модели 10
1.2. Современные методы решения задач электромагнетизма. Векторный метод конечных элементов 15
1.3. Многосеточные, многоуровневые методы и методы декомпозиции . 20
ГЛАВА 2. Векторные вариационные формулировки и их дискретные аналоги 28
2.1. Математическая модель 28
2.2. Векторная вариационная постановка 33
2.3. Дискретные подпространства 38
2.4. Дискретные аналоги вариационных задач 51
ГЛАВА 3 . Многоуровневые методы решения СЛАУ 54
3.1. Двухуровневый итерационный решатель 54
3.2. Алгоритм решения СЛАУ, использующий ядро rot оператора . 59
3.3. Многосеточный алгоритм 61
3.4. Мультипликативный алгоритм 63
3.5. Особенности построения и реализации матриц перехода 65
ГЛАВА 4. Структура программного комплекса. численные результаты 69
4.1. Структура программного комплекса 69
4.2. Верификация программного комплекса 73
4.3. Тестирование многоуровневых алгоритмов 83
4.4. Моделирование работы высокочастотного каротажного зонда в неоднородной среде 93
Заключение 103
Литература
- Современные методы решения задач электромагнетизма. Векторный метод конечных элементов
- Векторная вариационная постановка
- Алгоритм решения СЛАУ, использующий ядро rot оператора
- Тестирование многоуровневых алгоритмов
Введение к работе
Моделирование электромагнитных полей играет важную роль при разработке различных приборов и интерпретации данных физических экспериментов. Часто эти две задачи дополняют друг друга, например, в электроразведке необходимо разработать прибор, обладающий заданными свойствами, и методы интерпретации данных, полученных с его помощью. Методы моделирования должны, с одной стороны, обеспечивать возможность учета особенностей конструкции прибора (различающиеся на порядки геометрические фрагменты прибора), а с другой — сложные по строению вмещающие среды, обладающие разрывными физическими свойствами. Часто возникают ситуации, когда из-за наличия геометрических и физических неоднородноетей модель невозможно свести к одномерному, двумерному или осесимметрично-му случаю.
Одним из современных методов моделирования электромагнитных процессов является векторный метод конечных элементов. В отличие от других сеточных методов, векторный метод конечных элементов работает в терминах векторных переменных, что позволяет без использования дополнительного математического аппарата корректно отображать поведение векторных полей на границах разрыва физических свойств среды и вблизи острых углов расчетной области.
Одним из недостатков векторного метода конечных элементов являются плохие спектральные свойства матриц систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации непрерывной задачи. Это связано с наличием большого ядра у rot оператора, что приводит к отсутствию свойств эллиптичности у дифференциального оператора и неопределенности матрицы. Поэтому применение многосеточных и многоуровневых методов, не учитывающих этой особенности, не приносит ожидаемого эффекта.
В связи с этим, разработка эффективных методов моделирования гар- монических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим и геометрическим свойствам средах, позволяющих корректно учитывать ядро rot оператора, является актуальной задачей математической физики и вычислительной математики.
Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем на базе векторного метода конечных элементов, которые позволили бы выполнять многовариантные расчеты векторного электромагнитного поля (гармоническая зависимость от времени) в трехмерных областях с резко контрастными по физическим свойствам материалами. Для решения дискретного аналога векторного уравнения Гельмгольца, построенного при помощи элементов Не де лека 1-го и П-го типов, разработать специальные процедуры предобу-словливания.
Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к аналитическим решениям.
Защищаемые положения и научная новизна:
На базе векторного метода конечных элементов разработан и реализован алгоритм моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в трехмерных неоднородных по физическим свойствам областях.
Разработана технология учета ядра rot оператора, при использовании векторных базисных функций Неделека низкого порядка 1-го и П-го типов на параллелепипеидальной и тетраэдральной сетках.
С использованием построенного алгоритма учета ядра rot оператора разработан и реализован многосеточный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на параллелепипеидальной сетке. Численно показана его эффективность.
С использованием алгоритма учета ядра разработан мультипликатив ный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на тетраэдральной сетке, с использованием элементов Неделека 2-го типа. Численно показана его эффективность.
Значимость работы. Предложены, реализованы и исследованы многоуровневые алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца при помощи векторного метода конечных элементов в неоднородных трехмерных областях. Для дискретизации непрерывной задачи использовались векторные конечные элементы 1-го и ІГго типов первого порядка на параллелепипеидальной и тетраэдральных сетках. На ряде тестов показана эффективность предложенных алгоритмов по сравнению со стабилизированным методом бисопряженных градиентов. При помощи разработанного комплекса программ было выполнено моделирование процесса высокочастотного каротажного зондирования для различных конструкций зонда и различных типов сред.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на:
Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск 2002),
Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск 2002),
Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск 2003),
Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск 2004).
Объединенном семинаре института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. (Новосибирск, 2005).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 работ [ЮЦ12], [23], [26].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (134 наименования). Работа изложена на 118 страницах, включая 26 иллюстраций и 12 таблиц.
Первая глава посвящена современному состоянию проблемы и обзору литературы по тематике работы. В п. 1.1 рассматриваются математические модели, используемые для описания электромагнитных процессов. В п.1.2 дается обзор методов моделирования электромагнитных полей. Особое внимание уделено векторному методу конечных элементов, рассматриваются его преимущества и недостатки. В п. 1.3 дается обзор многосеточных и многоуровневых методов и методов декомпозиции, используемых для решения систем линейных алгебраических уравнений, являющихся дискретизациями непрерывных задач.
Во второй главе сформулированы постановки для моделирования гармонического по времени электрического поля в неоднородных трехмерных областях. В п. 2.1 описывается математическая модель и класс решаемых в работе задач. В п. 2.2, для рассматриваемых математических моделей, формулируются векторные вариационные постановки. В п. 2.3 вводятся дискретные подпространства пространств, используемых, для построения вариационных постановок. Строятся локальные векторные базисные функции на паралле-лепипеидальных и тетраэдральных элементах. В п. 2.4 строятся дискретные вариационные постановки и соответствующие им системы линейных алгеб- раических уравнений.
В третьей главе строятся многоуровневые алгоритмы, для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), построенных в предыдущей главе. В п. 3.1 формулируется абстрактный двухуровневый алгоритм решения СЛАУ. В п. 3.2 на основе построенного в предыдущем пункте алгоритма предлагается двух уровневый алгоритм, использующий ядро rot оператора. В п. 3.3 и 3.4 строятся многосеточный и мультипликативный алгоритмы для решения СЛАУ, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на параллелепипеидальных и тетраэдральных сетках соответственно. В п. 3.5 рассматриваются особенности реализации матриц перехода, используемых многоуровневыми алгоритмами.
Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам. В п. 4.1 описывается структура разработанного программного комплекса. В п. 4.2 проводится верификация программного комплекса на задаче с известным аналитическим решением. Предложенные многоуровневые алгоритмы численно исследуются в п. 4.3. В п.4.4 представлены результаты численного моделирования высокочастотных каротажных зондов в неоднородных средах. В случае однородных сред проведено сравнение данных, полученных численно и аналитически.
Основные результаты исследования сформулированы в заключении диссертации.
Достоверность полученных результатов подтверждена результатами экспериментального оценивания порядка аппроксимации, построенных вычислительных схем, сравнениями с аналитическими решениями.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант No03-05-64795, грант No05-05-64528 ), совместного международного проекта NWO (грант 047.016.003) и РФФИ (грант No04-01-89003).
Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института геофизики СО РАН и НППГА "Луч"и лично д.т.н., чл.корр. РАН Эпову Михаилу Ивановичу за помощь и поддержку при работе над диссертацией.
Современные методы решения задач электромагнетизма. Векторный метод конечных элементов
Для многих задач электромагнетизма существуют аналитические решения, полученные с помощью методов разделения переменных, преобразования Лапласа и Фурье, характеристик и т.п.[16]. Но такие методы трудно применимы к задачам со сложным строением расчетной области(наличие неодно-родностей, отсутствие симметрии, сложная конфигурация источника и т.п.), для решения таких задач применяют численные методы, самыми широко используемыми из которых являются сеточные методы.
Наиболее распространенными на данный момент сеточными методами решения краевых задач являются методы конечных разностей, конечных объемов и конечных элементов. Метод конечных разностей[2, 14] заключается в построении дискретных дифференцальных операторов в узлах сетки расчетной области. Недостатком этого метода является использование структурированных сеток, что затрудняет его применение в областях, обладающих сложной геометрией. Существуют конечноразностные схемы для решения широкого класса задач, в том числе и для задач электромагнетизма [103, 125, 33, 83].
В отличие от метода конечных разностей, метод конечных объемов для построения дискретных аналогов задач на заданной сетке использует интегральные балансные соотношения на элементарных объемах, разбивающих расчетную область[5, 120]. Этот метод может работать как со структурированными, так и с неструктурированными сетками, что позволяет решать задачи со сложной геометрией. В последнее время метод конечных объемов получил широкое распространение при решении задач электромагнетизма [47, 61, 65, 91, 100, 113].
Метод конечных элементов основан на построении вариационных поста новок в форме Галеркина или Ритца, эквивалентных исходной дифференциальной краевой задаче[7, 40, 41]. Для построения дискретных аналогов исходных вариационных задач расчетная область разбивается на множество непресекающихся подобластей — элементов. На каждом элементе определяются базисные функции, через линейную комбинацию которых выражается приближенное решение задачи. Процесс решения задачи сводится к нахождению весов этого разложения. В настоящее время метод конечных элементов активно применяется для моделирования электромагнитных полей[29, 73, 88, 114, 131, 134]. Наличие в математических моделях электромагнитного поля дивергентных ограничений[46, 105] приводит к необходимости использования смешанных вариационных постановок[8, 42]. Для учета дивергентных ограничений применяют декомпозицию Гельмгольца, которая заключается в разложении искомого поля на градиентную и соленоидаль-ную составляющие. Такой подход тоже требует смешанных вариационных постановок[107]. Существование и единственность решения смешанных вариационных постановок гарантируется выбором используемых пространств, удовлетворяющих условию Ладыженской-Бабушки-Бреззи[42, 52, 64].
Скалярный метод конечных элементов при решении векторных задач электромагнетизма обладает рядом недостатков: возникновение «паразитных мод», сложность работы с областями, содержащими острые углы, трудоемкость учета условий на границах подобластей с различными материалами, неустойчивость решения при моделировании микроволновых процессов [38, 45, 45, 88, 90]. Кроме того, решение, полученное при помощи стандартного скалярного метода конечных элементов, является непрерывным, в то время как для электромагнитных полей в областях с разрывными матери — — алами характерной является непрерывность либо нормальной (В, D), либо тангенциальной (Н, Е) компонент. Необходимо отметить, что скачок нормальной компоненты поля обеспечивает выполнение дивергентных ограничений на границе раздела двух сред.
Разрывный метод Галеркина — это класс конечно элементных методов, использующих в качестве базиса дискретного подпространства разрывные на границе элементов полиномиальные функции[34, 48]. Использование такого базиса позволяет точно учитывать численные потоки через границу элементов[34]. Изначально этот метод получил широкое распространение при моделировании течения жидкости с преобладающей конвекцией[48]. В настоящее время ведутся разработки по использованию разрывного метода Галеркина для решения задач электромагнетизма[34, 66, 122]
В векторном методе конечных элементов для аппроксимации искомого векторного решения используются векторные пространства, обладающие специфическими свойствами[101, 102]. Благодаря этому удается избежать появления ложных мод в решении[126], облегчается моделирование в областях, состоящих из различных материалов[79], и естественным образом учитываются углы в расчетных областях[97, 74, 128]. Для построения векторных вариационных постановок используют роторно конформное H(rot) и дивергентно конформное H(div) пространства. В 1980 в своей статье[101] Неделек доказал, что для того, чтобы некоторая векторная функция принадлежала пространству H(rot), необходимо и достаточно непрерывности тангенциальной компоненты поля на границе между двумя элементами, а для принадлежности функции H(div) пространству необходимо и достаточно непрерывности нормальной компоненты поля. Основываясь на этих теоремах, автор для кубического, тетраэдрального и призматического элементов в [101] определил вид и число степеней свободы для базисных функций произвольного порядка, образующих дискретные подпространства пространств H(rot) и H(div). В своей последующей работе [102]
Векторная вариационная постановка
Обозначим через Ь2(П) гильбертово пространство измеримых функций v : Г2 —» R, квадраты которых суммируемы на области Q, в смысле Лебега. Скалярное произведение элементов пространства L2(0) будем обозначать (и, v)ci I uv dx, о, для элементов пространства L2(0)3 — (u,v)fi = J й-vdx, а а соответствующие нормы Iklln = yj(u,u)n, un = \/(u,u)fj. В области П введем гильбертовы пространства H(grad; П) = El(tt) = {и Є L2(Q); Vu Є L2(Q)3}, H(rot ;fi) = {u6 L2(0)3; V x ІЇ L2(fi)3}, H(div; S7) = {u Є L2(f2)3; V - u Є Ь2(П)} с соответствующими нормами ll llH(grad;fl) = Hn+V«&, ИІ(п :п) - ЦЙІІЙ + V x n\\l luH(div;a) = iu +V-U2. Определим полунорму пространства Соболева Н к(К) следующим образом 1/2 J s и,ы} \=kK HHW = (E/ A,« )1/ где Dxu — обобщенная производная: Д«=ЯАГ—АХ ОмХі...ОЛтХ\ А — (Лі,...,Лт) — мультииндекс, \ — целые неотрицательные числа, ]А = Аі + ... + Am.
В вариационных постановках полагают, что скалярные величины принадлежат пространству H(grad; П). Для формулирования векторных вариационных постановок используют пространства H(rot;fi) и H(div;Q), что позволяет при дискретизации задачи перейти к векторным конечным элементам конформным в этих пространствах. Для пространств H(grad; П), H(rot; П) и H(div ; Q) имеет место следующее свойство включения[67] и Є H(grad; П) - Vw Є H(rot; П), u Є H(rot; О) - V x ц Є H(div; fi), flH(div;0) V-ueL2(n).
Данное свойство включения играет важную роль при моделировании электромагнитных полей с использованием векторного метода конечных элементов, так как его дискретный аналог используется при доказательстве корректности аппроксимаций[67]. Введем следующие пространства Ho(grad;Q) = {и Є Hfgrad; ІЇ);и\дп = 0}, H0(rot ;fi)-{ue H(rot ;fi);ux п\дп - 0}.
Рассмотрим выполнение свойства включения для этих пространств. Если и Є Ho(grad; Г2), то Vu Є H(rot; Q), следовательно, для того чтобы выполнялось условие включения необходимо, чтобы Vuxn — 0. Градиент функции в точке направлен нормально к поверхности равного уровня в этой точке, то есть если функция и на поверхности дО, равна нулю, то градиент этой функции будет ортогонален границе области и его тангенциальная компонента будет равна нулю. Следовательно, имеет место следующее свойство включения и Є H0(grad; її) - Vu Є H0(rot; Q),
В связи с тем, что комплексные амплитуды величин имеют вид U Ure + iUiTm вариационные постановки будут формулироваться в терминах мнимых и действительных компонент. Пусть Jo — Jore Для задачи (2.22),(2.24) сформулируем векторную вариационную постановку — -f - Для Jore H(rot; Сі) найти Ere Ho(rot; Cl) и Eim е Ho(rot; Сі), такие что Vvi Є H0(rot; Гі) и Vv2 Є Ho(rot; О) выполняется (V х /х-1 V х Ёге, v!)n - (ЛЁТС, vi)n - (wcrEim, vi)n = 0 (V x /i-1V x Eim, v2)a - {и2єЕіт, v2)n + (шстЁге, v2)n - (сД Є) v2)n Воспользуемся первой векторной теоремой Грина J[a(V х u) (V х v) - u (V x a4v)]dx = J a(u x V x v) ndS и преобразуем первое слагаемое первого уравнения в вариационной постановке следующим образом (V х jtT1 V х Ёге, vi)n = (jT1 V х Ёге, V х vi)n - J fi l(vi х V х Ёге) n dS. да (2.26)
Согласно свойству векторного произведения (UXY)-W= —(ІЗ х w) v, преобразуем второе слагаемое в правой части (2.26) -/M_1(VI х V xEre)-iidS = /M_1(VI х n) VxErerfS, an 9 36 тогда из Vi Є Ho(rot;n) следует, что интеграл по поверхности в (2.26) равен нулю. Точно также можно преобразовать первое слагаемое во втором уравнении векторной вариационной постановки. В результате получаем следующую задачу
Вариационная задача 1. Для Jore Є H(rot; П) найти Егє Є Ho(rot; П) и Ejm e Ho(rot;fi), такие что Vvi Є H0(rot;f2) и Vv2 Є Ho(rot;f2) выполняется ( -1 V х Ёге, V х Vi)n - (ЛЁге, v!)n - (wcrEim, V!)n - О (/i V x Eim, V x V2)Q - (ЛЕіт, v2)n + (wo-Ere, v2)fj = (wJ0re, v2)fi Для задачи в непроводящей области (2.24),(2.25) вариационная постановка имеет следующий вид —# —t
Вариационная задача 2. Для JQ Є H(rot; її) найти Е Є H0(rot; її), такое что Vv Є HQ (rot; її) выполняется : (м"1 V xE,Vxv)fi- (ЛЁ, т?)п - (J0, v)
В вариационной задаче 1 равенства выполняются для Vvi Є Но (rot; її) и Vv2 Є Ho(rot;0), а согласно свойству включения, если и Ho(grad;n), то Vu Є H[}(rot; її), следовательно равенства будут иметь место и в случае, когда vi — Vuy ,Ми\ Є L2(f2), v2 — Vu2, Vu2 Є L2(f2). Подставим эти выражения в вариационную постановку ( _1V х Ёге, V х Vt i)n - (ЛЁге, Vui)n - {иаЕіті V«i)n = 0, ( _1V x Eim, V x Vu2b - (ш2еЕітп, Vu2)ft + (шаЕгє, Vu2)n = (wJ0re, Vu2)n Так как V x V — 0 и плотность сторонних токов Jo является дивергентно свободной, равенства примут следующий вид
Алгоритм решения СЛАУ, использующий ядро rot оператора
При таком выборе параметра у алгоритм Sy.(A b,XQ,t/) будет сходиться всегда, но в отличие от традиционных итерационных решателей количество операций необходимых, для выполнения одной итерации, в общем случае будет различным. С другой стороны возможна ситуация (сочетание свойств матрицы А и решателя S(A,b} ))1 когда выполнение неравенства ]r.j Ї"Ї_]. можно добиться при фиксированном количестве итераций решателя S(A, b, и), тогда количество операций совершенных за одну итерацию будет постоянным.
Для симметричных и положительно определенных матриц СЛАУ в качестве решателя 5(А, 6,7) будем использовать предобусловленный метод сопряженных градиентов CG(A,6,7)[П5]. где М —- матрица предобусловливания. В случае, когда матрица СЛАУ не обладает симметрией в качестве решателя будет применяться предобуслов-ленный стабилизированный метод бисопряженных градиентов BICGstab(A,b,j) [115]
Рассмотрим решение системы алгебраических уравнений (2.52), соответствующей дискретной вариационной задаче 1. Согласно свойству включения uh Є H grad; П) + Vuh Є H frot; fi), следовательно, в качестве подпространства V в алгоритме Sy (A, b, XQV) МОЖНО выбрать линейное пространство эквивалентное ядру rot оператора N/l(r ;0)-{uHh(rot;n); Vxu-0}, столбцы матрицы Р будут являться координатами градиентов базисных функций пространства Hg(grad;"2) в базисе пространства Ho(rot;Q). В таком случае, система линейных алгебраических уравнений РтЛРи = Ртг (3.7) будет эквивалентна следующей дискретной вариационной задаче Для F0re,FoJm Є Hfrot ;П) найти U Є Hj(grad;fi) и U m Є Hj(grad;fi), такие что Vt Є Ho(grad;fi) и Vv Є Hg(grad; О) выполняется (/Г1 V х Vt/rAe, V х Vv?)n - (Л Vt, V-ufh - (wcrVt/i, Vvf)n = (FWm, VuJ) (/i-1 V x Vt#„, V x VvJ)n - ( VL , VvJ)n + (w rVt/ , VuJ)n - (F0re, VvJ) учитывая, что V x V = 0 в результате получаем дискретную вариационную задачу Дискретная вариационная задача 3. Для F07.e, F0im Є H(rot; О) найти U% Hj(grad;0) и U m Є H(grad;fi), такие что Vvf Є Hg(grad;fi) и V 2 Є Hg(grad;f2) выполняется
Таким образом, матрица системы (3,7) может быть получена с помощью ко-нечноэлементой технологии, а не путем непосредственного умножения матриц. Решатель Sy(A,b,XQiy), использующий ядро rot оператора, будем обозначать следующим образом 5рцГ0г)(А, 6, x0v). Пусть в области О задано векторное уравнение Гельмгольца, у которого существует единственное решение. Lu = /, Для данной задачи сформулируем вариационную задачу Для / W найти ugW, такое что VuGW выполняется (Lu,v) = (і».
Зададим в расчетной области Q разбиение Т (2.34), с характерным размером HQ. Определим на геометрических элементах разбиения Т локальные базисные функции, при помощи которых построим множество базисных функций { $}, і S дискретного подпространства W0 пространства W. Далее перейдем к дискретной вариационной постановке Для / Є W найти и0 Є W", такое что W G W0 выполняет.ся которая эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений со следующими элементами матрицы и вектора правой части [ЛЬ = (Lvlv]); [b\ = {/,VJ), і, j Є 5.
Разобьем каждый геометрический элемент К є Т на равное количество подобных элементов, в результате получим новое разбиение Т1 области Г2, с характерным размером hl h. Используя элементы разбиения Г1 построим дискретное подпространство W1, так чтобы базисные функции подпространства W0 являлись линейными комбинациями базисных функций подпространства W где Фг — вектор, элементами которого являются базисные функции подпространства Wг, Р — матрица перехода из W в Wг, ее столбцы являются координатами базисных функций подпространства W0 в базисе подпространства W1. Для подпространства W 1 сформулируем дискретную вариационную постановку, и построим соответствующую ей СЛАУ =61. (3.8) Можно показать, что для матриц Л и А1 справедливо следующее соотношение [19] Л = РТА1Р.
Следовательно, если для решения СЛАУ (3.8) воспользоваться алгоритмом SV (А Ъ, XQV), беря в качестве пространства V пространство W , то генерация матрицы РТА1Р — А0, и решение соответствующей СЛАУ не будет вызывать затруднений.
Тестирование многоуровневых алгоритмов
При помощи разработанного программного комплекса было осуществлено численное моделирование высокочастотного каротажного зонда ВИКИЗ [15] в неоднородной среде. Расчетная область состоит из следующих объектов: 1. скважина (радиус гс=0.108 м), заполненная буровым раствором с удельным сопротивлением р\\ 2. непроводящий корпус зонда (радиус 7=0.035 м, є = Зєо, о = 8-85 10 12) с генераторной (Т) и двумя приемными (Яі, .) катушками. Амплитуда тока в генераторной катушке 1 А, частота f—14 МГц. Измерительная катушка Ri расположена на расстоянии 0.4 м, a . на расстоянии 0.5 м от генераторной. Зонд может смещаться внутри скважины в горизонтальной плоскости; 3. вмещающая среда характеризуется удельным сопротивлением р%\ 4. в среде расположены один или несколько пропластков с удельным сопротивлением Р4І
Сечение расчетной области в плоскости Z0Y приведено на рис. 4.17. Результатом моделирования является разность фаз Аф между ЭДС, наведен ньши в приемных катушках Ri и i?2- Решая обратную задачу относительно Аф, можно получить значение удельного сопротивления в окружающем скважину пространстве.
Тестирование программного комплекса проводилось в случае однородной среды с удельным электрическим сопротивлением pi — р2 — рз — РА = Р-В таб. 4.10 приведены значения разности фаз, найденные численно — Аф , аналитически [15] — Афа, а также модуль относительной погрешности. Из таб. 4.10 следует, что относительная погрешность моделирования разности фаз не превосходит 1.1%.
В таб. 4.11 и на рис. 4.18 приведены зависимости Аф от удельного сопротивления однородной внешней среды (рз — р$) при различных смещениях оси зонда с оси скважины. По горизонтали в таблице приведен эксцентриситет, последняя колонка соответствует ситуации, когда зонд лежит на стенке скважины.
При менее проводящем буровом растворе влияние смещения зонда проявляется уже при относительно мало контрастных значениях удельного сопротивления. Следовательно, во время решения обратной задачи, необходимо учитывать влияние смещения зонда, которое проявляется как в повышении значения разности фаз в средах с большим сопротивлением, так и в снижении сигнала в относительно проводящих средах.
Большой интерес представляет изучение возможности выделения тонких проводящих пропластков. Бедем считать, что центр пропластка совпадает с точкой z=0.
Рассмотрим эффект от прохождения зонда через тонкий проводящий про-пласток. На рис. 4.19 приведена зависимость разности фаз от положения зонда. Основной максимум соответствует прохождению через центр пропластка дальней приемной катушки. Показание зонда в этой точке соответствует однородной среде с УЭС 2 Омм. Можно отметить повышение значения разности фаз до 5.5е1 при прохождении генераторной катушки через пропласток. Излом на диаграмме соответствует прохождению дальней приемной катушкой нижней границе пропластка. Положение границ с достаточной точностью можно определить, взяв отметки глубины, где разность фаз достигает половины своего максимального значения. Относительный вклад пропластка в сигнал становится незначительным(менее 10%), когда дальняя приемная катушка удалена примерно на 0.9м , а генераторная на 0.4 м от ого нижней границе. При приближении к пропластку сверху его влияние изменяет значение разности фаз более чем на 10%, когда измерительная катушка отстоит от верхней
