Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию распространения нелинейных поверхностных волн в средах, взаимодействующих с электрическим полем: на заряженной поверхности жидкого проводника, а также на поверхности жидкого диэлектрика в приложенном электрическом поле.
Колебательные и волновые движения чрезвычайно широко распространены в природе, а также часто встречаются во многих технических устройствах и технологических процессах. Значительный интерес представляют волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем, в связи с разнообразными практическими применениями. Эффекты, возникающие при взаимодействии жидких сред с электрическим полем, широко распространены также во многих природных процессах, таковы, например, атмосферные явления.
Раздел гидродинамики, изучающий движение жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, называется электрогидродинамикой (ЭГД).
Особенность электрических сил в ЭГД заключается в том, что они позволяют ослаблять действие силы тяжести, направлять и транспортировать диэлектрические жидкости по трубам и каналам. Развитие гидродинамики диэлектрических (поляризующихся) сред стимулируется в значительной мере задачами управления поведением жидкости в состоянии невесомости .
Электрическое распыление жидкости широко используется в ряде отраслей промышленности. В основе процессов распыления лежит гидродинамическая неустойчивость волн, распространяющихся на свободной поверхности жидкости.
В последнее время обнаружились новые возможности интенсификации тепломассообмена в диэлектрических жидкостях при помощи электрического поля. Значение этого обстоятельства особенно велико в связи с тем, что электрическое поле позволяет управлять процессом тепломассообмена.
Особенно интенсивно теплоотдача происходит при кипении жидкости, связанного с гидродинамической неустойчивостью волн, распространяющихся на поверхности раздела пара и жидкости. При этом слой пара
обволакивает нагретую твердую поверхность, защищая жидкость от соприкосновения с ней. Неустойчивость поверхности раздела пара и жидкости приводит к ее деформации в виде волнообразной конфигурации, приводящей к возникновению пузырьков - кипению. Поперечное к поверхности жидкости электрическое поле дестабилизирует эту поверхность, что приводит к увеличению количества паровых пузырьков, а следовательно, к усилению интенсивности кипения. На этом эффекте основано широкое использование диэлектрических жидкостей в приложенном электрическом поле в разнообразных охлаждающих устройствах.
Исследование волновых процессов на поверхности жидкости в приложенном электрическом поле представляет интерес также с точки зрения технических и технологических использований диэлектрических и электропроводящих струй. Здесь важно предотвратить преждевременное разрушение струй и создать способы их стабилизации.
Примером практического использования теории волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле служит анализ явлений на линиях высокого напряжения при неблагоприятных погодных условиях. На поверхности пленки жидкости, обволакивающей провод, возникают волны, неустойчивость которых приводит к разрыву пленки электрическими силами. Острые вершины, образуемые возмущениями на поверхности жидкости, становятся местами коронного разряда.
В современной промышленности широко используются поверхностно-активные вещества, обладающие способностью накапливаться на свободной поверхности жидкости и поверхностях раздела, и влияющие на распространение поверхностных волн. Приложенное электрическое поле дает возможность управлять процессом распространения поверхностных волн.
Весьма велико значение поверхностных электрогидродинамических волн для геофизических, метеорологических и других природных процессов. Известно, что вблизи поверхности Земли существует электрическое поле, напряженность которого перпендикулярна к ее поверхности. Это поле, взаимодействуя с потоками воздуха, оказывает существенное влияние на метеорологические процессы. Особенно сильные электрические поля возникают в грозовых облаках, влияя на движение потоков воздуха. Распыление крупных заряженных дождевых капель на более мелкие происходит в результате разрушения волн на поверхности капли.
Вышеприведенные примеры показывают, что исследование поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем, имеет несомненный как практический так и теоретический интерес и является актуальным.
С точки зрения математики задача о распространении волн на поверхности жидкости представляет собой нелинейную краевую задачу для области с заранее неизвестной и зависящей от времени границей. При этом область, в которой изучается решение задачи превышает область, занятую жидкостью, поскольку надо искать электрическое поле, не только в области, занятой жидкостью, но и в граничащей с ней атмосфере.
Следует отметить, что исследование поверхностных элекгрогидро-динамических волн проведено к настоящему времени только в нескольких частных случаях, а полный нелинейный анализ этого явления отсутствует. Решение задачи в линейном приближении дает неполное, представление о распространении волн.
В связи с этим в диссертации были поставлены следующие цели:
-
Построить математическую модель распространения поверхностных нелинейных волн в средах, взаимодействующих с электрическим полем: по заряженной поверхности жидкого проводника, а также жидкого диэлектрика в приложенном электрическом поле;
-
Исследовать зависимость величин, характеризующих распространение волны, а также формы траектории жидких частиц от напряженности приложенного электрического поля, плотности поверхностного заряда и других параметров задачи.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключаются в следующем:
-
Построена математическая модель распространения нелинейных волн по заряженной поверхности жидкого проводника, а также по свободной поверхности жидкого диэлектрика в приложенном электрическом поле в случаях конечной и бесконечной толщины слоя жидкости;
-
Нелинейная краевая задача решена в общем виде методом малого параметра с точностью до третьего приближения. Получены выражения для поля скоростей жидкости, электрического поля, поля давления в слое жидкого диэлектрика. Исследованы частные случаи слоев жидкости конечной и бесконечной толщины;
-
Получены выражения для скорости, давления, электрического по-
ля, а также плотности поверхностного заряда для волн на заряженной поверхности жидкого проводника;
-
В нелинейном приближении найдены траектории жидких частиц в электропроводной, а также диэлектрической жидкостях в случае конечной и бесконечной толщины слоя жидкости. Показано, что в линейном приближении траекториями частиц являются эллипсы (переходящие в окружности для бесконечно глубокой жидкости), а в нелинейном приближении траектории разомкнуты. Период колебания частицы превышает период колебания волны. Показано, что переносная скорость Стокса, связанная с разом кнутостью траекторий частиц, увеличивается с ростом поверхностного натяжения и уменьшается с возрастанием электрического поля, а также с ростом глубины жидкости;
-
Исследовано влияние электрического поля на форму свободной поверхности жидкости. Показано, что высота волны растет при увеличении плотности поверхностного заряда (для жидкого проводника) и при увеличении напряженности электрического поля (для жидкого диэлектрика), и убывает при увеличении поверхностного натяжения;
-
Показано, что разность высоты волны и глубины ее впадины зависит от электрического поля. С ростом поля эта разность уменьшается, т.е. волна теряет свою асимметрию в вертикальном направлении;
-
получены общие выражения для фазовой и групповой скорости поверхностной волны в жидких средах, взаимодействующих с электрическим полем. Найдены дисперсионные соотношения, связывающие частоту с волновым числом и прочими параметрами;
-
Показано, что фазовая скорость волны зависит от квадрата ее амплитуды (кроме прочих параметров). Как для жидкого проводника, так и для диэлектрика фазовая скорость достигает минимума при некотором значении длины волны. Установлено, что с ростом электрического поля частота волны (с фиксированной длиной) уменьшается и обращается в ноль при некотором значении напряженности электрического поля;
-
Показано, что с ростом электрического поля фазовая скорость волны (с фиксированной длиной) уменьшается. В нелинейном приближении фазовая скорость волны больше, чем в линейном при одинаковой длине волны и равных прочих параметрах (как для жидкого проводника, так и для диэлектрика).
Методика исследования заключается в применении методов возму-
щсний для решения нелинейных краевых задач электрогидродинамики. Основная суть этих методов состоит в том, что некоторые дифференциальные уравнения, моделирующие конкретные физические задачи, допускают в результате обезразмеривания (приведения к безразмерному виду) введение безразмерного малого параметра 5, имеющего различный смысл в разных физических задачах, так что решение при 8=0 (линейное приближение) может быть легко найдено. Тогда решение при 8 =* 0 (нелинейная задача) молено искать в виде ряда (не обязательно сходящегося) по степеням 8, такого, что нулевой член этого ряда соответствует решению краевой задачи при 5 = 0.
Практическая и научная ценность проведенных исследований и полученных в диссертации результатов заключается в том, что они имеют как самостоятельный научный интерес, являясь новыми разделами гидродинамики, так и в связи с многочисленными практическими приложениями. Полученные результаты являются теоретической основой расчета различных технологических процессов и технических устройств, в которых используются жидкие среды, взаимодействующие с электрическим полем (жидкие проводники и диэлектрики), например, в охлаждающих устройствах; устройствах электрического распыления жидкостей; а также геофизических, метеорологических и других природных процессов. Результаты диссертации также могут быть использованы при чтении спецкурсов по гидродинамике и методам математической физики.
Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов определяется применением хорошо разработанных математических методов, в том числе метода малого параметра, использованного ранее при решении многочисленных прикладных задач, а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи результаты, найденные другими авторами и подтвержденные в экспериментальных исследованиях. Теоретические результаты диссертации также согласуются с экспериментами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Огаревских чтениях (Мордовский университет, Саранск, 1997 г.); на конференции молодых ученых (Саранск, 1998 г.); на научном семинаре кафедры механики и математического моделирования МГУ имени Н.П.Огарева; на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В.Воскресенского (Саранск, 1997,
1998 гг.); на Ш международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1998 г.); на научно-практической конференции «Научно-технический прогресс и социально-экономические, правовые аспекты потребительской кооперации в современных условиях» (Чебоксары, 1998 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и библиографического списка, содержащего 78 наименований. Общий объем диссертации 141 страница, включая 13 рисунков.
