Содержание к диссертации
Введение
1 Основные закономерности электродиффузионных процессов пере-носа в мембранных системах и их математическое моделирование: обзор литературы по теме исследования . 11
2 Математическое моделирование переноса ионов около ионоселек-тивной мембраны с учетом объёмного электрического заряда . 24
2.1 Концептуальная модель процессов переноса около ионоселек-тивной мембраны во внешнем электрическом поле 24
2.2 Построение математической модели переноса ионов около ио-носелективной мембраны с учетом объемного электрического заряда . 27
2.3 Исследование математических моделей электродиффузионного переноса около ионоселективной мембраны 30
2.3.1 Вид краевой задачи в зависимости от разности потенциа-лов 30
2.3.2 Уравнение для плотности тока для n-компонентной элек тромембранной системы . 40
2.4 Решение двухточечной краевой задачи электродиффузионного переноса методом пограничных функций 42
2.4.1 Применение метода пограничных функций . 42
2.4.2 Краевые задачи для нулевых приближений . 47
2.4.3 Краевые задачи для первых приближений 56
2.5 Исследование некоторых закономерностей и особенностей электродиффузионного переноса около ионообменной мем-браны 58
3 Численное моделирование электродиффузионного переноса около ионоселективной мембраны . 72
3.1 Применение численных методов для нахождения решения за-дачи электродиффузионного переноса . 72
3.2 Алгоритм нахождения численного решения задачи электро-диффузионного переноса 75
3.2.1 Метод пристрелки 75
3.2.2 Метод линеаризации Ньютона . 79
3.3 Реализация вычислительного алгоритма в пакете Mathematica... 90
3.4 Сравнительный анализ аналитического и численного решения.. 95
4 Математическое моделирование переноса ионов около ионоселек-тивной мембраны с учетом объёмного электрического заряда при наличии гомогенной химической реакции 97
4.1 Построение математической модели переноса ионов около ио-носелективной мембраны при наличии гомогенной химиче-ской реакции 97
4.2 Решение двухточечной краевой задачи электродиффузионного переноса методом пограничных функций в случае наличия гомогенной химической реакции . 105
4.3 Исследование некоторых закономерностей и особенностей электродиффузионного переноса около ионообменной мем-браны в случае наличия гомогенной химической реакции . 116
Заключение 122
Литература . 124
Приложения . 140
- Концептуальная модель процессов переноса около ионоселек-тивной мембраны во внешнем электрическом поле
- Решение двухточечной краевой задачи электродиффузионного переноса методом пограничных функций
- Применение численных методов для нахождения решения за-дачи электродиффузионного переноса
- Построение математической модели переноса ионов около ио-носелективной мембраны при наличии гомогенной химиче-ской реакции
Введение к работе
Во многих технологических процессах разнообразных производств не-обходимо разделять жидкие и газовые смеси. Нейтральные или заряженные компоненты, входящие в состав таких смесей, отличаются коэффициентами диффузии и равновесными параметрами растворимости в различных мате-риалах, в связи с этим, появляется принципиальная возможность достаточно эффективно разделять целевые компоненты с использованием полупрони-цаемых мембран. Этот принцип разделения положен в основу производст-венной деятельности химической, нефтехимической, газовой, пищевой, фар-мацевтической, электронной и других промышленных отраслей, водоподго-товки с различным целевым назначением. К числу основных проблем, ре-шаемых с помощью мембранных технологий, относятся: деминерализация воды, извлечение минерального сырья из природных соленых вод, обессоли-вание сахарных растворов, молочной сыворотки. Мембранные методы обла-дают малой металлоемкостью, высокой компактностью оборудования, без-реагентностью, экологичностью и простотой конструктивного оформления, возможностью гибкого управления ходом процесса и др.
Электромембранные системы, процессы разделения в которых проте-кают под действием внешнего электрического поля, характеризуются много-образием конструктивных различий, постоянным совершенствованием суще-ствующих и появлением новых схем функционирования. В основе этих про-цессов лежит использование ионообменных мембран, обладающих высокой избирательной проницаемостью для ионов определенного знака заряда.
Однако применение электромембранных методов в процессах очистки, концентрирования, дифференцированного выделения ионов из многокомпо-нентных систем сталкивается с рядом существенных проблем: • отсутствием надежной теоретической базы, позволяющей оценивать и про-гнозировать механизм разделения и показатели количественного и качест-венного характера в широкой области изменения концентрации, плотности тока, напряженности; • отсутствием программных средств для расчета электромембранных аппара-тов и установок, позволяющих определять основные размеры аппарата и установок, а также основные режимные параметры ведения мембранного процесса. В этой связи актуальным является разработка и исследование матема-тических моделей, описывающих электродиффузионные процессы переноса, а также создание программ, позволяющих проводить расчет параметров функционирования электромембранных систем. Цели и задачи исследования. Основной целью работы является раз-работка методов математического моделирования процесса электродиффузии электролита около ионоселективных мембран в электродиализных системах, построение асимптотических представлений и разработка методов численно-го расчета основных характеристик работы электромембранных систем. Для достижения поставленной цели сформулированы следующие основные зада-чи: - математическое моделирование и построение иерархической совокупно-сти моделей, описывающих электродиффузионный процесс переноса электролита около ионоселективной мембраны; - анализ построенных моделей и возможных методов их решения; - построение асимптотических формул для основных характеристик элек-тродиффузионного процесса переноса; - разработка алгоритмов численного решения полученных математиче-ских задач; - создание программ для численной реализации построенных решений и их визуализации; - проведение вычислительных экспериментов для идентификации основ-ных характеристик процесса, систематизирование полученных сведений и сравнение результатов с данными других исследователей. Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе ис-пользованы апробированные методы математического моделирования, мате-матической физики, вычислительной математики и функционального анали-за, современные методы и технологии программирования. Научная новизна. 1. Построена иерархическая совокупность моделей, описывающих электродиффузионный процесс переноса электролита около ионоселектив-ной мембраны при заданной разности потенциалов; 2. Выделено три различных типа сингулярно возмущенных краевых за-дач с двумя параметрами, описывающих процесс электродиффузионного пе-реноса с учетом наличия пространственного электрического заряда вблизи границы раздела сред: ионообменная мембрана /раствор электролита. 3. Методом пограничных функций А.Б. Васильевой построены асим-птотические приближения решений для рассматриваемых моделей электро-диффузионного процесса. 4. Предложены алгоритмы численного решения сингулярно возмущен-ной краевой задачи для системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона. 5. Разработан комплекс программ, позволяющий проводить расчет и визуализацию исследуемых параметров функционирования электромембран-ных систем в зависимости от исходных данных, вычислительные экспери-менты с рассматриваемыми моделями.
Практическая значимость работы. Результаты, полученные в дис-сертационном исследовании, могут быть использованы как в теоретических работах, так и для решения прикладных задач, например, в полупроводниках и биологических средах, электрохимических и мембранных системах, в био-физике и биохимии, теории процессов переноса в топливных ячейках и кол-лоидных структурах. Полученные результаты расчетов могут быть примене-ны при исследовании физико-химических свойств ионообменных мембран, а также для расчета режимов функционирования электромембранных систем, конструирования установок, осуществления компьютерного управления про-цессом.
Отдельные результаты диссертационной работы используются в учеб-ном процессе Старооскольского Технологического Института (филиал) НИ-ТУ МИСиС, Воронежского Государственного Университета, Военного Авиационного Инженерного Университета (г. Воронеж) при проведении за-нятий по математическому моделированию и численным методам.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Ука-занная область исследования соответствует формуле специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы про-грамм» (физико-математические науки), а именно: пункту 1 – «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», пункту 2 – «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», пункту 4 – «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимен-та».
Апробация результатов исследования. Основные результаты диссер-тационной работы докладывались на конференциях: XI Международная кон-ференция «Физико-химические основы ионообменных процессов – ИОНИ-ТЫ 2007» (г. Воронеж, 2007 г.); XXI (XXII) Международная научная конфе-ренция «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-21(22)» (г. Саратов, 2008 г.; г. Псков, 2009 г.); III Международная конференция по коллоидной химии и физико-химической механике IC-CCPCM 2008 (г. Мо-сква, МГУ, 2008 г.); IX (X) Всероссийский симпозиум по прикладной и про-мышленной математике (г. Волгоград - г. Волжский, 2008 г.; г. Сочи - Даго-мыс, 2009 г.); III Международная научная конференция «Современные про-блемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воро-неж, 2009 г.); XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (г. Москва, 2009 г.); Воронежская весенняя математическая школа. Современные методы теории краевых задач «Понтря-гинские чтения – ХХ (XXI)» (г. Воронеж, 2009-2010 гг.); I Международная научная конференция «Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникациях» (заочная элек-тронная конференция); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна (г. Воронеж, 2010 г.); Международная научно-практическая конфе-ренция «Образование, наука, производство и управление» (г. Старый Оскол, 2006-2010 гг.); Всероссийская научно-практическая конференция «Молодые ученые – науке и производству» (г. Старый Оскол, 2008-2010 гг.). Личный вклад соискателя. Все представленные в диссертационной работе результаты получены либо лично соискателем, либо при его непо-средственном участии. Основные положения, выносимые на защиту.
1. Математические модели, описывающие процесс электродиффузи-онного переноса с учетом наличия пространственного электрического заряда вблизи границы раздела двух сред: ионообменная мембрана/раствор электро-лита, а также гомогенных реакций в растворе. 2. Классификация типов сингулярно возмущенных краевых задач с двумя параметрами, описывающих процесс электродиффузионного переноса.
3. Асимптотические приближения, построенные методом пограничных функций, для решений исследуемых моделей электродиффузионного процес-са переноса.
4. В допредельном токовом режиме около принимающей поверхности мембраны образуется область пространственного электрического заряда, знак которого противоположен знаку ионогенных групп в мембране, причем максимальное значение заряда достигается непосредственно на поверхности мембраны.
5. Аналитические выражения для распределения объемного электри-ческого заряда и толщины области, где он образуется.
6. Численный алгоритм решения нелинейной сингулярно возмущен-ной краевой задачи для системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона, основанный на методе линеаризации Ньютона. 7. Комплекс программ, обеспечивающих проведение вычислительного эксперимента в электромембранных системах.
Структура и объем диссертации. Основное содержание изложено в четырех главах. Работа содержит 139 страниц машинописного текста, 25 ри-сунков, 6 таблиц и 8 приложений. Список использованных источников со-стоит из 163 наименований.
В первой главе приводятся сведения об основных закономерностях электродиффузионных процессов переноса в мембранных системах, вводятся основные понятия и представления. Дается вывод и анализ уравнений Нерн-ста-Планка и Пуассона, используемые для описания явлений переноса носи-телей электрических зарядов в различных средах. Приводится краткий теоре-тический обзор краевых задач для уравнений Нернста-Планка и Пуассона, анализируются граничные условия и методы решения рассматриваемых за-дач.
Вторая глава посвящена математическому моделированию электро-диффузионного процесса переноса ионов около ионоселективной мембраны с учетом объемного электрического заряда, образующегося вблизи границы раздела сред электролит/мембрана. Третья глава посвящена численному решению нелинейной краевой за-дачи для уравнений Нернста – Планка и Пуассона.
Четвертая глава диссертационной работы посвящена математическому моделированию переноса ионов около ионоселективной мембраны с учетом объёмного электрического заряда при наличии гомогенной химической реак-ции. В заключении приведены основные выводы и положения, выносимые на защиту.
Концептуальная модель процессов переноса около ионоселек-тивной мембраны во внешнем электрическом поле
Таким образом, рассмотрены изучавшиеся ранее краевые задачи для уравнений Нернста–Планка–Пуассона, описывающие процесс переноса ио-нов в различного рода системах: электрохимических, мембранных, полупро-водниковых, мембранных, биологических и др.
Уравнения Нернста – Планка совместно с уравнениями Навье – Стокса описывают электрогидродинамичесий перенос заряженных ионов.
В случае приведения к безразмерному виду с использованием масшта-бов соответствующих величин, система уравнений НПП будет относиться к сингулярно возмущенным системам с несколькими параметрами.
При стационарном режиме системы уравнений НПП являются систе-мами обыкновенных дифференциальных уравнений, при нестационарном режиме – системами дифференциальных уравнений в частных производных. Для замыкания системы стационарных уравнений Нернста – Планка и Пуассона во всех рассмотренных задачах используются граничные условия, определяющие значения концентраций ионов на внешних границах диффу-зионного слоя. В некоторых работах считаются также известными значения напряженности на обеих границах диффузионного слоя, что является не-сколько некорректным, так как неизвестно способов экспериментального оп-ределения напряженности электрического поля, более правильным, на наш взгляд, является задание величины электрического потенциала.
Для решения краевых задач применяют как численные методы – метод разностных схем, метод Галеркина, так и различные аналитические, к приме-ру, метод сращиваемых асимптотических разложений, метод декомпозиции, метод малого параметра и др. Рассмотрим модель стационарного процесса электродиффузии бинар-ного электролита во внешнем электрическом поле около ионоселективной мембраны с учетом наличия объемного электрического заряда вблизи грани-цы раздела сред электролит/мембрана.
Действие электрического поля напряженностью такого, что вектор плотности возникающего в системе электрического тока ортогонален по-верхностям мембраны.
Постановка задачи осуществляется в рамках приближения Нернста [44], когда вся область протекания процесса разбивается на две подобласти – непосредственно примыкающую к поверхности мембраны и называемую диффузионным слоем, в котором пренебрегается конвективным движением раствора, а перенос заряженных компонентов осуществляется за счет двух механизмов – диффузии и миграции, и область перемешиваемого раствора, в котором происходит прямолинейное движение однородного раствора. Для определенности изложения будем считать, что мембрана является катионообменной, то есть преимущественно пропускает через себя положи-тельно заряженные компоненты – противоионы, движущиеся слева направо к поверхности мембраны (Приложение 4). Также полагается, что эффектами экзо- и эндотермичности можно пренебречь и процесс считать изотермиче-ским.
Выделим основные факторы рассматриваемого процесса: f1 – толщина диффузионного слоя ( ), зависящая от скорости течения раствора, а также от подвижности ионов раствора [60]; f2 – типы ионов и количество их сортов; f3 – селективность мембраны, количественной характеристикой которой явля-ется эффективное число переноса ионов i-го сорта и характеризующее до-лю электрического заряда, переносимого через мембрану ионами данного сорта; f4 – наличие внешнего электрического поля; f5 – наличие пространст-венного электрического заряда вблизи границы раздела сред; f6 – наличие магнитного поля; f7 – фактор стационарности процесса; f8 – изменение тем-пературы под действием электрического поля; f9 – наличие химических взаимодействия между различными сортами ионов; f10 – постоянство ди-электрической проницаемости среды ( ); f11 – движение раствора электролита.
Исходя из перечисленных факторов, построим базовую модель (BM) процесса электродиффузии раствора электролита вблизи катионообменной мембраны, имеющей фиксированное число переноса противоионов, с учетом постоянства толщины диффузионного слоя и диэлектрической проницаемо-сти среды и наличия объемного электрического заряда вблизи границы раз-дела сред электролит/мембрана. Процесс протекает под действием внешнего электрического поля и при отсутствии влияния магнитного поля. Пусть раствор электролита неподвижен и содержит два различных сор-та ионов, положительного и отрицательного типов, не вступающих в химиче-ское взаимодействие друг с другом. Будем также считать электродиффузионный процесс стационарным и изотермическим. Тогда базовая модель (BM) будет включать следующие факторы: f1 – фактор f1 при условии постоянства толщины диффузионного слоя ( ); f2 – фактор f2 при условии наличия двух различных сорта ионов ( ), по-ложительного и отрицательного типов; f3 – фактор f3 при фиксированном числе переноса противоионов ( ); f7 – фактор f7 при условии стацио-нарности ( ). Таким образом, BM = {f1 , f2 , f3 , f4, f5, f7 , f10}.
На основе ВМ составим модели первого, второго и третьего уровней, путем добавления к последующим уровням факторов, неучтенных в преды-дущих. Так, модели первого уровня получаются из базовой модели: первая (FM1) – при условии зависимости толщины диффузионного слоя от скорости движения раствора, FM1 = BM + f1 ( ); вторая модель (FM2) – учитывая наличие более двух сортов ионов, FM2 = BM + f2 ( ); третья модель (FM3) – при условии непостоянства эффективного числа переноса, FM3 = BM + f3 ( ); четвертая модель (FM4) – при условии нестационарности процес-са, FM4 = BM + f7 ( ).
Модели второго уровня составляются из моделей первого уровня сле-дующим образом: первая модель (SM11) – учитывая в первой модели первого уровня наличие более двух сортов ионов, SM11 = FM1 + f2 ( ); вторая мо-дель (SM12) – добавлением условия непостоянства эффективного числа пере-носа в первой модели первого уровня, SM12 = FM1 + f3 ( ); третья мо-дель (SM13) – добавлением условия нестационарности процесса в первой мо-дели первого уровня, SM13 = FM1 + f7 ( ); четвертая модель (SM21) – при условии непостоянства эффективного числа переноса во второй модели первого уровня, SM21 = FM2 + f3 ( ); пятая модель (SM22) – учитывая нестационарность процесса во второй модели первого уровня, SM22 = FM2 + f7 ( ); шестая модель – учитывая нестационарность процесса в третьей модели первого уровня, SM31 = FM3 + f7 ( ).
Решение двухточечной краевой задачи электродиффузионного переноса методом пограничных функций
Построена математическая модель стационарного электродиффузион-ного переноса бинарного электролита около ионоселективной мембраны с учетом наличия объемного электрического заряда около поверхности мем-браны. Методом пограничных функций найдено приближенное решение син-гулярно возмущенной краевой задачи, описывающей рассматриваемый про-цесс.
Исследованы некоторые закономерности и особенности процесса элек-тродиффузионного переноса. Установлено, что в допредельном токовом ре-жиме в области обессоливания около принимающей поверхности мембраны образуется область пространственного электрического заряда, знак которого противоположен знаку ионогенных групп в мембране, при этом максималь-ное значение заряда достигается непосредственно на поверхности мембраны.
Плотность пространственного заряда монотонно возрастает при увели-чении концентрации ионов в растворе;
Большая часть величины падения напряжения приходится на область в непосредственной близости от поверхности мембраны, протяженность кото-рой является величиной порядка 10-3d. Вне этой области величина падения напряжения электрического поля изменяется незначительно.
Получено аналитическое выражение для расчета толщины области пространственного заряда. Установлено, что толщина области пространст-венного заряда имеет близкую к линейной зависимость от разности потен-циалов и уменьшается при повышении концентрации раствора. Причем, при небольших концентрациях (меньше 50 моль/м3) сужение области простран-ственного заряда происходит быстрее, чем при более высоких.
Обширная журнальная литература посвящена различным методам ре-шения системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона. Достаточно эффек-тивные схемы для решения уравнений НПП рассмотрены в теории полупро-водников, где они носят название дрейфово-диффузионных уравнений. В 1965 H. Cohen ом и J.W. Cooley [108] был предложен алгоритм чис-ленного решения нестационарной системы уравнений Нернста – Планка для тонких проницаемых мембран между растворами электролитов, основанный на методе конечных разностей со схемой предиктор-корректор. Однако на этапе прогнозирования используется аналитическое решение, полученное Планком в 1890 году, что ограничивает применение алгоритма до простых случаев.
Нестационарная система уравнений Нернста – Планка и Пуассона, опи-сывающая диффузионный перенос в мембранной системе, рассматривалась в работе J.P. Meyer а и M.D. Kostin а [123]. Численное решение, найденное ме-тодом конечных разностей, показало, что резкое увеличение проницаемости мембраны для ионов натрия влечет за собой быстрый рост потенциала.
I. Rubinstein, L. Shtilman [135] в 1979 году рассматривали систему урав-нений Нернста – Планка и Пуассона для мембранных систем. После приведения к безразмерному виду авторами была получена сингулярно воз-мущенная система уравнений, приближенное аналитическое решение кото-рой найдено методом сращиваемых асимптотических разложений, также приведено численное решение с помощью метода квазилинеаризации. Сис-тема уравнений замыкалась граничными условиями, определяющими значе-ния концентраций и электрического потенциала на границах.
В работе [70] предложен численный метод решения системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона. Исходная система уравнений преобразуется с помощью введения новых искомых функций – квазипотенциалов. На основе методов расщепления и квазилинеаризации строится разностная схема. При-водится пример расчета модельной задачи о распределении потенциала и но-сителей заряда в двумерной структуре металл – диэлектрик – полупроводник.
Y. Hwang и F. Hellferich [114] (1987) разработали алгоритм решения не-стационарного уравнения Нернста – Планка для многокомпонентного рас-твора, используя неявную конечно-разностную схему. J.L. Harden и J.L. Viovy [112] (1996) использовали конечно-разностную схему для дискретизации нестационарного уравнения Нернста-Планка. Явная схема Эйлера использовалась для дискретизации по времени. Преимущество данного алгоритма по сравнению с предыдущими в том, что он легко перено-сится на случай более высоких размерностей. Система уравнений Нернста – Планка и Пуассона для одномерного стационарного режима была решена M. Kato [116] (1995) методом конечных разностей. J. Hsu [113] (1997) была записана система уравнений НПП в безразмерном виде, решение которой было найдено специально разработанным численным методом. E. Samson с соавторами [146] (1999) решали систему уравнений НПП для одно- и двумерного случая. Для модели, описывающей движение ионов в растворах электролитов, сравниваются два алгоритма, использующих метод конечных элементов для пространственной дискретизации. Первый метод основывается на итерационном методе Пикара, второй – на методе Ньютона – Рафсона. Результат показывает, что метод Ньютона – Рафсона сходится бы-стрее и является более устойчивым, чем Пикара. J. Horno с соавторами в [124] (1995) для получения численного реше-ния системы уравнений Нернста–Планка–Пуассона, описывающих транспорт ионов в электрохимических ячейках использовали схему термодинамическо-го приближения. Смысл метода в преобразовании дифференциальных урав-нений в частных производных в эквивалентную электрическую цепь. После чего с помощью программы, моделирующей электрические цепи (PSPICE), находится приближенное решение исходной системы уравнений.
E.T. Enikov и J.G. Boyd [110] (2000) решали двумерную систему урав-нений Нернста–Планка–Пуассона, используя метод конечных разностей, применительно к анодному соединению стекла с полупроводниками. Ста-ционарные уравнения решались с помощью полудискретного метода и мето-да интегрирования Эйлера.
В работе [119] J. Lim (2006) и др. представлено применение метода ко-нечных элементов для решения нестационарных нелинейных моделей Нерн-ста–Планка–Пуассона и модифицированной Нернста–Планка–Пуассона–Штерна. Также содержится подробный обзор применения численных мето-дов для уравнений НПП.
S.R. Mathur и J.Y. Murthy в [122] предложен численный метод решения системы уравнений Нернста – Планка – Пуассона, обладающий более высо-кой скоростью сходимости, чем обычно используемые алгоритмы. С помо-щью метода контрольного объема на неструктурированной центрированной сетке построен дискретный аналог системы уравнений Пуассона и непрерыв-ности электрического заряда. Изложен метод линеаризации Ньютона – Рап-сона для связи уравнений через граничные условия как для электрического заряда, так и для потока. Полученная линейная система уравнений решена с помощью алгебраического многосеточного метода.
Применение численных методов для нахождения решения за-дачи электродиффузионного переноса
Mathematica – типичная система программирования с проблемно-ориентированным языком программирования сверхвысокого уровня. Его можно отнести к классу интерпретаторов. Как известно, языки такого типа последовательно анализируют (интерпретируют) каждое выражение и тут же исполняют его. Таким образом, работа с системой происходит явно в диало-говом режиме – пользователь задает системе задание, а она тут же выполняет его. Разумеется, Mathematica содержит достаточный набор управляющих структур для создания условных выражений, ветвления в программах, цик-лов и т. д. Можно сказать, что для решения математических задач система содержит готовые рецепты почти на любой «вкус и цвет». Однако с помо-щью пакетов расширения (Add-ons) имеется возможность постоянно гото-вить новые «блюда», подстраивая возможности системы под запросы любого ее пользователя. К идеологии систем Mathematica надо отнести и комплексную визуали-зацию всех этапов вычислений, начиная с легко понятного и естественного ввода текстов и формул и кончая наглядным выводом результатов в разнооб-разных формах представления. Особое место при этом играет полная визуа-лизация результатов вычислений, включающая в себя построение огромного числа графиков самого различного вида, в том числе средства анимации изо-бражений и синтеза звуков. Центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций – Kernel. Для ориентации систе-мы на конкретную машинную платформу служит программный интерфейс-ный процессор Front End.
Такие мощные системы, как Mathematica, предназначены, в основном, для решения математических задач без их программирования большинством пользователей. Однако это вовсе не означает, что Mathematica не является языком (или системой) программирования и не позволяет при необходимости программировать решение простых или сложных задач, для которых имею-щихся встроенных функций и даже пакетов расширений оказывается недос-таточно или которые требуют для реализации своих алгоритмов применения типовых программных средств, присущих обычным языкам программирова-ния. Фактически, основой системы Mathematica является проблемно-ориентированный на математические расчеты язык программирования сверхвысокого уровня. По своим возможностям этот язык намного превосхо-дит обычные универсальные языки программирования, такие как Паскаль или Си.
Mathematica изначально реализует функциональный метод программи-рования – один из самых эффективных и надежных. А обилие логических операторов и функций позволяет полноценно реализовать и логический ме-тод программирования. Множество операций преобразования выражений и функций позволяют осуществлять программирование на основе правил пре-образования. Надо также отметить, что язык системы позволяет разбивать програм-мы на отдельные модули (блоки) и хранить эти модули в тексте документа или на диске Возможно создание полностью самостоятельных блоков – име-нованных процедур и функций с локальными переменными. Все это наряду с типовыми управляющими структурами позволяет реализовать структурное и модульное программирование. Столь же естественно язык системы реализует объектно-ориентированное программирование. Оно базируется прежде всего на обоб-щенном понятии объекта и возможности создания множества связанных друг с другом объектов. В системе Mathematica каждая ячейка документа является объектом и порождается другими, предшествующими объектами. При этом содержанием объектов могут быть математические выражения, входные и выходные данные, графики и рисунки, звуки и т. д. С понятием объекта тесно связаны три основных свойства, перечис-ленные ниже: инкапсуляция – объединение в одном объекте как данных, так и ме-тодов их обработки; наследование – означает, что каждый объект, производный от дру-гих объектов, наследует их свойства; полиформизм – свойство, позволяющее передать ряду объектов со-общение, которое будет обрабатываться каждым объектом в соответст-вии с его индивидуальными особенностями. Мощным средством расширения возможностей системы Mathematica является подготовка пакетов расширений. Пакеты расширений позволяют создавать новые процедуры и функции и хранить их на диске в виде файлов с расширением .m. После считывания такого пакета с диска все входящие в него определения функций становятся доступными для использования в со-ответствии с правилами, принятыми для встроенных функций. Текст пакета расширения не выводится после его вызова, чтобы не загромождать доку-мент вспомогательными описаниями. В сущности, пакеты расширения – это просто наборы программ на языке программирования системы Mathematica, подобранные по определенной тематике. Для специальных областей приме-нения математики рекомендуется создавать пакеты применений – это группы документов с программами, предназначенные для решения определенного класса математических или научно-технических проблем и задач. В отличие от пакетов расширения, в документах пакетов применений обычно дается подробно комментируемое описание всех основных алгоритмов решения за-дач. При этом комментарий, как правило, выводится на экран дисплея.
Построение математической модели переноса ионов около ио-носелективной мембраны при наличии гомогенной химиче-ской реакции
Анализируя данные таблицы, можно сделать вывод о том, что гомогенные реакции в растворе при электродиффузионном переносе ионов около ио-носелективной мембраны способствуют увеличению концентрации противо-ионов (на 20%) и плотности электрического заряда (на 26%) и незначитель-ному (на 0,12%) уменьшению концентрации коинов на поверхности мембра-ны.
Результаты вычислений говорят о том, что влияние фактора гомоген-ных химических реакций оказалось значительным лишь для взаимодейст-вующих компонентов смеси. На невзаимодействующих компонентах смеси, определяющих поведение системы, оно почти не отразилось. Полученные в ходе компьютерного эксперимента характеристики переноса невзаимодействующих компонентов смеси, качественно согласуются с результата-ми полученными другими авторами. В то же время модель, предложенная в настоящей работе, учитывающая гомогенные реакции, дает более детальную картину исследуемого процесса.
Построена математическая модель электродиффузионного процесса переноса многокомпонентных растворов с учетом объемного электрического заряда при наличии гомогенных химических реакций.
Методом пограничных функций А.Б. Васильевой найдены асимптоти-ческие приближения полученной сингулярно возмущенной краевой задачи.
Проведено исследование некоторых закономерностей и особенностей электродиффузионного переноса около ионообменной мембраны в случае наличия гомогенной химической реакции с учетом полученных решений. Ре-зультаты исследований говорят о том, что влияние фактора гомогенных химических реакций оказалось значительным лишь для взаимодействующих компонентов смеси. На невзаимодействующих компонентах смеси, опреде-ляющих поведение системы, оно почти не отразилось. Полученные в ходе компьютерного эксперимента характеристики переноса невзаимодействующих компонентов смеси качественно согласуются с результатами других исследователей. Результаты проведенных исследований можно сформулировать сле-дующим образом:
Предложен метод математического моделирования электродиффу-зионного процесса переноса электролита около ионоселективной мембраны, отличающийся использованием величины разности потенциалов в качестве одного из граничных условий, позволяющий определить распределения кон-центраций, потенциала, напряженности электрического поля и другие харак-теристики процесса. 2. Построена иерархическая совокупность математических моделей, описывающих электродиффузионный процесс переноса электролита около ионоселективной мембраны. 3. Методом пограничных функций найдены асимптотические прибли-жения решениясистемы уравнений, описывающей процесс электродиффузии бинарного электролита во внешнем электрическом поле около ионоселектив-ной мембраны с учетом наличия объемного электрического заряда вблизи границы раздела сред электролит/мембрана в случае, когда падение электри-ческого потенциала есть величина порядка . 4. Полученные решения позволяют сделать следующие выводы: – в допредельном токовом режиме в области обессоливания около при-нимающей поверхности мембраны образуется область пространственного электрического заряда, знак которого противоположен знаку ионогенных групп в мембране, при этом максимальное значение заряда достигается непо-средственно на поверхности мембраны; – плотность пространственного заряда монотонно возрастает при уве-личении концентрации ионов в растворе; – большая часть величины падения напряжения приходится на область в непосредственной близости от поверхности мембраны, протяженность ко-торой является величиной порядка 10-3d. Вне этой области величина падения напряжения электрического поля изменяется незначительно. 5. Получено аналитическое выражение для расчета толщины области пространственного заряда. Установлено, что толщина области пространст-венного заряда имеет близкую к линейной зависимость от разности потен-циалов и уменьшается при повышении концентрации раствора. 6. Предложены алгоритмы численного решения нелинейной сингуляр-но возмущенной краевой задачи для уравнений Нернста – Планка и Пуассо-на. 7. Разработан комплекс программ, позволяющий проводить расчет и визуализацию исследуемых параметров функционирования электромембран-ных систем в зависимости от исходных данных, вычислительные экспери-менты с рассматриваемыми моделями.
