Введение к работе
Акутальность темы исследований
Технологии моделирования динамических процессов, развивающихся в условиях структурной реорганизации физико-технических систем, нередко сопровождающейся различного рода бифуркациями, фазовыми переходами, деформационными сдвигами, разрывами скоростей и напряжений и другими особенностями, представляют наиболее сложное и, следовательно, наименее разработанное направление исследования технических систем. Правильная постановка задачи — особенно важный и трудный этап при моделировании экстремальных ситуаций, который является основополагающим моментом при решении любой проблемы.
Для более точного математического описания динамических процессов в постоянно эволюционирующих реальных средах, представляющих результат суперпозиции бесконечного числа различных полей, довольно часто приходится увеличивать не только размерность факторного пространства, то есть количество независимых переменных, но и вводить в модель оптимально наибольшее количество источников исследуемых функций, порождающих рассматриваемое явление. Следует также учитывать, что физические процессы развиваются одновременно во времени и пространстве — в пространственно-временном континууме.
Одним из путей решения обозначенной задачи может служить разработка теоретической базы для построения, исследования и численной реализации многомерных моделей с системами дифференциальных уравнений в частных производных, более адекватно представляющих реальные процессы, чем в случае достаточно хорошо изученных задач на плоскости или в трехмерном пространстве. При этом важное теоретическое и прикладное значение имеет исследование вырождающихся уравнений и систем, для которых, как правило, нарушается корректность классической постановки задачи математической физики.
Первым обратил внимание на зависимость постановки задачи от характера вырождения М.В. Келдыш. Дальнейшее развитие теория вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производными получила в трудах М.И. Вишека, А. В. Бицадзе, М.М. Смирнова. Значительные результаты в данном направлении получены в работах О.А. Олейник, A.M. Ильина, С.А. Терсенова, А.И. Янушаускаса, A.M. Нахушеева, Р.С. Сакса и др.
Следующим этапом моделирования после постановки задач является выбор алгоритма численной реализации поставленной задачи. При моделировании в слаборавновесных и неравесных средах довольно часто имеющаяся у исследователей информация позволяет записать лишь такую формальную модель, для которой при традиционных подходах сложно подобрать обоснованный вычислительный алгоритм. Среди наиболее востребованных методов решения сложных
прикладных задач важное место занимают различные модификации сеточных алгоритмов и их многомерные обобщения, разрабатываемые в трудах А.А. Самарского, В.П. Ильнина, С.К. Годунова, Г.И. Марчука, В.В. Шайдурова и др.
Для моделирования хаотических режимов в равновесных и слаборавновесных средах, когда невозможно выделить отдельные элементарные процессы, поддающиеся описанию интегро-дифференциальными операторами целого, дробного или континуального порядка, довольно часто применяются идеи и методы многомерной математической статистики. Это направление исследований зародилось в 20-30 годах XX века и его возникновение в значительной степени связано с именами Р. Фишера и Н. Винера.
Английский математик Р.Фишер первым предложил новый подход к проведению научных исследований, при котором математические методы применяются не только при обработке данных, как это делалось ранее, но и при выборе условий проведения опытов. Начало следующего этапа связано с опубликованной в 1951г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона, в которой разработана последовательная стратегия решения экстремальных задач. Весомый вклад в развитие теории методов планирования эксперимента внесли Г. Кифер, В. Хантер, Д. Финни, Ч.Хикс, Р.Плакетт, Г. Шефе, а также отечественные ученые В.В. Налимов, В.Г. Горский, Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Г.К. Круг, В.А. Вознесенский и др.
С появлением быстродействующих высокоорганизованных ЭВМ стали развиваться новые альтернативные технологии моделирования, при которых рассматриваемое явление изучается одновременно по нескольким методологически отличным математическим моделям, каждая из которых с различных позиций представляет объект моделирования и при определенных условиях оказывается эффективнее других.
Несмотря на наличие нескольких десятков обобщающих монографий и несколько сот основополагающих статей задача выбора наиболее адекватной модели или системы альтернативных моделей по-прежнему не решена не только в общем виде, но и применительно к более узкой области исследования, к которой относится анализ эволюции динамических процессов в нелинейных неоднородных средах физико-технических систем.
Цель и задачи диссертационной работы заключаются в разработке эффективных компьютерно-математических технологий и практической реализации моделей для исследования и управления динамическими процессами в физико-технических средах с меняющейся структурой:
определение корректных постановок задач для моделирования в слаборавновесных средах, находящихся в состоянии начальной самоорганизации;
разработка теоретической базы для моделирования стационарных процессов в равновесных средах физико-технических систем, способных к упорядочиванию структурных связей на границе или на внутренних локальных
подмножествах области исследования;
разработка теоретической базы для построения многомерных нелинейных моделей диффузионных процессов переноса массы или энергии;
разработка сеточных алгоритмов решения кусочно-корректных задач, возникающих при моделировании технологических процессов обработки металлов давлением;
решение нелинейной задачи диффузии газа из плазменной струи в металл и разработка на ее основе математической модели процесса плазменного легирования металлов, позволяющей подбирать технологические режимы упрочнения для целенаправленного улучшения эксплуатационных свойств обработанных деталей машин и инструмента;
разработка комплекса вычислительных программ на базе статистических методов планирования эксперимента для моделирования хаотических режимов в саморегулирующихся средах и апробация полученных результатов при оптимизации микроклимата производственных помещений.
Методы исследования включают комплексы и модификации методов теории дифференциальных уравнений математической физики и теории функций комплексного переменного, сеточные алгоритмы конечных разностей и линий скольжения, статистические методы оптимального планирования и обработки результатов эксперимента.
Достоверность полученных результатов основывается на использовании общепринятых технологий теоретических и практических исследований, апробированных ранее большим числом авторов: для разработанных математических моделей доказана корректность поставленных задач, проведены вычислительные эксперименты на ЭВМ и натурные испытания с последующей статистической обработкой результатов, показавшей допустимое в инженерной практике расхождение расчитанных и измеренных параметров.
Выводы, вытекающие из представленной работы, находятся в логическом соответствии с физической интерпретацией полученных результатов.
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы, составляющие предмет ее научной новизны:
постановки корректных задач для линейных эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, обобщающих систему Коши-Римана в трехмерном пространстве и вырождающихся внутри или на границе области исследования;
постановка и метод исследования модифицированной задачи Дирихле в конечном цилиндре для параболически вырождающейся на оси цилиндра эллиптической системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка;
методология исследования влияния младших членов на решение краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, характеристический определитель которых тождественно равен нулю;
модифицированная постановка и метод исследования задачи Дирихле в круговом полицилиндре для многомерной эллиптической по И.Г. Петровскому системы второго порядка, вырождающейся во всем пространстве изменения независимых переменных;
постановки корректных задач при меняющемся направлении времени и новый подход к исследованию влияния граничных условий на эволюцию многомерной параболической системы, обобщающей уравнение диффузионного переноса массы или энергии;
алгоритм решения нелинейной задачи диффузионного переноса газа из движущегося плазменного луча в металл с помощью сеточного метода конечных разностей по неявной схеме на четырехточечном шаблоне;
математическая модель процесса локального азотирования поверхности стали из низкотемпературной плазменной струи;
новое понятие кусочно-корректных дифференциальных задач, базирующееся на универсальных сеточных методах, алгоритм численной реализации которых представлен при моделировании процесса плоского течения металла при прессовании алюминия через наклонную матрицу с малым обжатием заготовки;
комплекс компьютерных программ для расчета и прогнозирования тепло-влажностных и воздушных полей в различных помещениях общественного здания, разработанный по симметричным композиционным планам второго порядка с помощью методов факторного и регрессионного анализа.
Теоретическая ценность, практическая значимость и реализация результатов работы
Новые постановки корректных задач математической физики могут быть
использованы при моделировании стационарных процессов в асимметрич
ном соленоидальном поле скоростей и в пространстве плоскопараллельных
векторных полей. Такие задачи могут применяться при построении вырож
дающихся моделей динамических процессов в слаборавновесных средах с
переменной структурой, например,при моделировании трансзвуковых тече
ний в гидро- и газодинамике, в теории бесконечно малых изгибаний выпук
лых поверхностей вращения, в теории упругости, в теории пограничного
слоя и других областях, а также при классификации и разработке общей
теории вырождающихся систем дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядка.
Результаты исследования многомерной параболической системы второго порядка при изменяющемся направлении времени могут быть использованы в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, в гидродинамике при изучении движения жидкости со знакопеременной вязкостью и др. Поставленная для такой системы краевая задача с гармоническими граничными условиями может быть применена для моделирования процессов диффузионного переноса многокомпонентных смесей.
Компьютерная программа численной реализации разностной схемы решения задачи нелинейной диффузии газа в металл может быть использована при моделировании процессов поверхностного легирования материалов. Разработанная на ее базе математическая модель процесса упрочнения поверхности деталей машин и инструмента из низкотемпературной плазменной струи позволяет подбирать оптимальные технологические режимы локального азотирования при минимальном количестве пробных натурных экспериментов.
Полученная модель прошла производственную апробацию при разработке и внедрении технологий упрочнения дереворежущих рамных пил на ПО "Бельсклес"и подающих роликов высадочного автомата на Иркутском опытномеханическом заводе.
На базе разработанной методологии по плану Минвуза выпущено учебное пособие, поставлены курс лекций и серия лабораторных работ по математическому моделированию сварочных процессов для студентов специальности 15020 "Оборудование и технология сварочного производства"в Иркутском государственном техническом университете.
Математические модели с кусочно-корректными задачами, введенные при исследовании плоского течения жесткопластичного тела, реализуются, главным образом, на сеточных алгоритмах метода линий и полос скольжения, широко используемых в практике моделирования многих технологических процессов обработки металлов давлением - при прессовании, прошивке, волочении, штамповке и др.
Разработанный комплекс компьютерных программ расчета и прогнозирования тепловлажностных и воздушных режимов позволяет эффективно решать вопросы формирования и управления микроклиматом помещений любого назначения.
Апробация модели проведена при выполнении научно-исследовательских хоздоговорных работ по оптимизации микроклимата помещений Иркутского государственного краеведческого музея и ООО "Спецпроект".
Полученная методология может быть использована для определения климатических параметров в любых замкнутых локальных воздушных объемах - в холодильных установках и рефрижераторах, в нагревательных печах, в саунах и бассейнах, в реанимационных больничных палатах, в салонах самолетов и др.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научной конференции "Климат и окружающая среда организованной Российской Академией Естествознания совместно с Голландским университетом WAGENINGEN UNIVERSITY AND RESEARCH CENTRE (г. Амстердам, Голландия, 2006г.); на Юбилейной конференции "Современные проблемы науки и образования посвященной 10-летию Российской Академии Естествознания (г. Москва, 2005г.); на третьем и четвертом Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1998 и 2000 г.г.) на Первой международной научно-практической конференции "Сварка. Контроль. Реновация -2001 "(г. Уфа, 2001г.); на международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения"(г. Челябинск, 1999г.); "Математические модели и методы их исследования "(г. Красноярск, 2001г.); "Симметрия и дифференциальные уравнения"(г. Красноярск, 2002г.); "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования "(Воронеж, 2001г.); на XI научной конференции международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения "(г. Иркутск, 1998г.); на научных конференциях Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач "(г. Воронеж, 1998 и 2004г.г.); на научных конференциях Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(г. Воронеж, 2003г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Прогрессивные технологии обработки металлов давлением в машиностроении "(г. Иркутск, 1996г.); на первом, втором и третьем Всесибирских конгрессах женщин-математиков (г. Красноярск, 2000,2002 и 2004г.г.); на региональных конференциях "Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири "(г. Иркутск, 1989 и 1996г.г.); на Восточно-Сибирских зональных межвузовских конференциях по математике и проблемам её преподавания в ВУЗе (г. Иркутск, 1999 и 2003 г.г.); на областной научно-технической конференции "Молодые ученые области — ускорению научно-технического прогресса и развитию науки"(г. Павлодар, 1987г.); на научных семинарах кафедры математического анализа и кафедры гидромеханики механико-математического факультета Московского Государственного Университета (г. Москва, 2002 г.); на научных семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск, 2000 и 2002г.г.), Института математики АН Узбекской ССР (г. Ташкент, 1984г.), Таджикского Государственного Университета (г. Душанбе, 1984г.), а также на ряде научных семинаров Института
динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутского государственного университета , Иркутского государственного технического университета, Иркутского государственного педагогического университета, Иркутского государственного университета путей сообщения (г. Иркутск, 1996-2006г.г.)
Публикации
По теме диссертации опубликовано около 60 работ, среди которых одна монография, одно учебное пособие по плану Минвуза РСФСР (в соавторстве), 10 статей в реферируемых журналах, 8 в трудах международных и всероссийских конференций.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 230 наименований. Общий объем работы составляет 315 страниц, в тексте диссертации содержится 20 таблиц и 31 рисунок.
