Введение к работе
Актуальность темы исследования. Системы аналитических исчислений находят шщмжое применение и самых различных областях пауки. Как правила. її эти системы входят процедуры для численных и аналитических расчетов, сред-<-піа для визуализации, программировании и предетниления результатов. Таким образом, системы компьютерной математики совмещают и одной оболочке обширный набор инструментов, позволяющий решать масштабные научные задачи.
В настоящее ніх;мя повсеместно используются такие популярные системы, как Maple, Matlinmatua, MathCad, MatLab, Derive. Они обладают универсальными мак-магическими возможностями, широко расщххтранены и России и па рубежом, інхтоянносовершенствуются, развивая аппарат и пополняя росуіхм.і. имеют возможность взаимной интеграции.
Соіііх;менпая геометрия, так жо как и другие области математики для чтения сиоих задач привлекает новейшие компьютерные технологии для |хчиепня сиоих задач. Сегодня применение систем символьной математики не ограничивается численными расчетами. Существует множество иримерон, доказывающих эффективность математических систем при доказательстве теорем.
Хо)юшо известна работа О. Г. Вагиной и М. И. Кнбенюка |2|, и которой дано более коротксх; доказательство теоремы о покрытии евклидовой нлоекехти равносторонними пятиугольниками, оснонынаясь на вычислениях, сделанных с помощью пакета Марк, Отмстим также доказательство К. Апполя (К. Appel) и В, Хакена (W. Накеп) знаменитой проблемы топологии о четырех красках |11, 12|.
Пакеты аналитических иычислений использовались для исследования одпород-пых римановых пространств. В этом направлении известны результаты К). Г Никош>|юпа по классификации однородных эйнштейновых мноічхюразий |7, 8| и іи'зульїатьі Е. Д. Родионова и В. В. Славского по классификации локально KouiJwpMJio однородных мноічх)бразий ] 10, 21|, а также по оценкам кривизн лево-инвариантных римановых метрик на группах Ли |20|.
Пакеты аналитических иычислений эффективно используются при исследовании геометрии групп Ли. Известны результаты А. Г. К|>емлева и К). Г. Никоноро-ва |4, 5) но классификации сигнатур кривизны Риччи на четьчхжмерных группах Ли с левоиниариантными римаїювьши метриками. При помощи системы Maple
и работах О. П. Гладуновой |3| получена классификация трехмерных іруші Ли с левоинвариаптными (псевдо)римановыми метриками и почти гармоническим тензором Схоутена- Оейля. В работах П. Н. Подкур |9| система MATLAB успешно иеполкювалась для развития теории вейвлстон с коэффициентом маенпабироиа-ния N > 2.
Данная диссертация посвящена исследованию левоипнариаитных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли с помощью пакетов аналитических вычислений, в частности: нахождению А'-контактных. сасакиевых и эйнштейновых леноиинариантных кошактных метрических структур и исследованию их свойств кривизны.
Контактная (ггруктура- это структура на гладком многообразии нечетной раз-мсрікхти Л/2"+1, состоящая из гладкого поля касательных гипершкхжехтей. удовлетворяющих условию максимальной невырожденности (см. ниже). Контактная структура тесно связана с симіїлектической и является сн: аналогом для печегшо-мерпых многообразий [1|.
Поле касательных гиперплоскостей (контактное распределение) D па миогеюб-разии принято задавать дифференциальной 1-формойт?: D = {Л' Є ТМ : tj(X) = 0}. Тогда условие того, что 1-форма г\ оні>еделяст контактную структуру, заключается в Т|)ебоі<апии: т/ Л (drff ф 0.
Простым примером контактной структуры на М3 является 1-форма r\ = dz — xdy. Другие естественные примеры контактных структур связаны с. фазовыми пространствами. С ічюметрической точки зрения фазовое пространство подставляет собой кокасательное расслоение Т'М многеюбразия Л/. На фазовом пространстве опіхідслсна каноническая 1-формаС следующим обранім. Если элемент и,-х Є Т*М имеет в локальных координатах (х-*) вид и>х = pidx', то 0«, - pidx'. Тогда Q = dpi Adz' - каноническая симплектическая структура па фазовом iijxv-странстпс Т*М. Легко видеть, что на многообразии Т*М х R форма г) = dz —p^dx1 определяет контактную структуру. Хорошо известны конструкции коптактизации симплектического многообразия и симилектизации контактного многообразия.
Контактные; структуры находят применение и аналитической механике: |1| благодаря тому, что на любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура. Примопс-
нио контактной геометрии и дифференциальных уравнениях хорон/о представлено и работе В. В. Лычагина |6|. В этой работе даны также приложения контактной геометрии к нариационпому исчислению, симметриям и автомодельным репіени-ям н нелинейной акустике.
Контактная геометрия имеет достаточно длинную историю развития. Наиболее полными изданиями, посвященными контактной геометрии, являются монографии Д. Блэра |13| и |14|, а также кпит X. Гейгеа |1б).
Группы Ли е левоипнариаптиыми симплсктическими структурами широко изучаются п последнее время многими авторами. Однако контактные группы Ли псе еще остаются малоизученными. В работе |17| решен вопрос: о существовании леио-инвариантиых контактных (1м>рм пафилиформовых группах Ли и классификации всех контактных структур на таких группах Ли. В работе А. Диатты |15| нрішо-дсны построении, которые позволяют получать многие контактные группы Ли и любой нечетной размерности. Показано, что и риманоіюм случае не существует Л'-контактных-эйшптейповых, и тем более сасаки-эйнштейионых, ловоиивариаит-пых структур па группах Ли размерности > 5. В работе Бузби и Яіііїі доказано, чтоединственные полупростые группы Ли, которые несут левоинвариантную контактную структуру, только те, которые локально и:юмо]к[)ны SL(2) или SO(3). Классификация пятимерных разрешимых и неразрешимых контактных групп Ли получена в работе Диатты |15].
Проблема нахождения групп Ли, допускающих леїюиннариантнуїо контактную структуру (контактные группы Ли), все еще остается открытой.
Цели исследования:
-
Создание новых алгоритмов и программ всіх'де пакета Марк для построении ассоциированных контактных метрических структур и ощюделсиия их cuoUcrrit.
-
Исследование левоинвариантных контактных метрических еггруктур на ия-тимеримх группах Ли.
Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие задачи:
-
Построение контактных алгебр Ли.
-
Создание математической модели задач нострехшия и исследования ассоциированных левоииварнантиых контактных метрических структур.
-
Исследование контактных метрических структур на разіхмпиммх и пераз)*'-
пшммх алічібрах Ли.
4. Вычисление геометрических характеристик контактных метрических структур.
Объектом исследования являются лсвоинвариаптные контактные метрические структуры на пятимерных группах Ли.
Предметом исследования являются компьютерные модели, алгоритмы, программы и методы исследования лсвоимвариантных контактных метрических структур па пятимерных группах Ли.
Методы исследования. Выполнение задач диссертационного исследования (х:уіцествляется на основе комплексного использования методов компьютерной алгебры, математического анализа, теории групи и алгебр Ли, риманоной и неевдо-римаиовой гоомстрии и тензорного анализа.
Основные положения, выносимые на защиту:
математические модели задачи построения и исследования ассоциированных контактных метрических структур на пятимерных' группах Ли;
пакет программ, написанных на языке Марк, для пост|юсния ловоиннариант-ных контактных метрических структур на пятимерных группах Ли и вычислении их основных характеристик;
классификация пятимерных алгебр Ли, допускающих структуры Сасаки, К-контактпые, ^эйнштейновы и эйнштейновы структуры, и том числе А'-копгактныо-эйшнтейиовы и са(;аки-эйшнтейновы структуры, с приведением явных многопараметрических выражений полученных структур.
Научная новизна работы. В данной диссертационной работе разработаны алгоритмы и программы в системе аналитических вычислений Maple, для ност|хь сиия ассоциированных контактных метрических структур, нахождения основных тензоров и всех геометрических характеристик контактных метрических структур па нятимерных группах Ли.
Применяя разработанные алгоритмы, получены новые результаты в теории контактных метрических структур на группах Ли. Впервые:
1. Получены явные многопараметрические выражения ассоциированных лепо-ипнариантных метрик на нятимерных группах Ли, найдены их гоометрические
характеристики.
2. Найдены и явном виде ЛГ-контактпыс, еасакиены, ^-эйнштейновы, эйнштей-ІЮНМ структуры на пятимерных группах Ли.
Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов, подученных в диссертации, обеспечивается корі>ектінх.тьіо ікх:танонок рассматриваемыхзадач, использованием математических методо», подробными доказательствами теорем и подробно аннотированными листингами программ.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое и практически; значение и могут быть ис-ікиїикіпіиїм и дальнейших исследованиях левоипвариантных контактных структур па группах Ли и однородных пространствах. Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут применяться ;уія (кипения аналогичных задач однородной (песвдо)римановой геометрии. Погашенные компьютерные модели позволяют решать вопросы существования структур Сасаки па пятнмериых группах Ли, определять компоненты связности, тензора кривизны Римана, секционной кривизны, тензора Риччи, оператора Риччи, скалярной кривизны, квадраты норм тешкиюв Римана и Риччи, главные кривизны Риччи, а также компоненты основных тензоров контактной метрической структуры.
Полученные теоретические и практические результаты могут быть использованы в учебном процессе при организации специальных курсов для студентов и аспирантов.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены па ряде конференций: Региональной научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 24 ноября 200G г.); 11 (XXXIV) Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, паука, инновации - вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2007 г.); Российской конференции «Математика в современном мнім:», посвященной 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. (г. Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г.); Международной научно-практической кои<1>сренции «Математическое образование в регионах России», посвященной 65-
летию кж|>едры «Высшая математика» АлтГТУ (г. Барнаул, 2G октября 2007 г.): Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтоиия-2007» (г. Казань. 10-19 декабря 2007 г.); III (XXXV) Международной научно-практической конкуренции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей» (г. Кемерово, апрель, 2008 г.); Всерос-сийской кошреренции по математике и механике (г. Томск, 22-25 сентября 2008 г.): Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование на Алтае» (г. Барнаул, 21 ноября 2008 г.); Седьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские Ч'гсния-2008» (г. Качані,, 1-3 декабря 2008 г.); Двенадцатой региональной конкуренции по математике; «МАК-2009» (г. Барнаул, 19-22 июня 2009 г.); Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (г. Новосибирск, 14-20. сентября 2009 г.); Восьмой молодежной научной школе-конферсиции «Лобачевские чтеиия-2009» (г. Казань, 1-G ноября 2009 г.); Межрегиональной школе-семинаре «Ломоносовские; чтения на Алтае» (г. Барнаул, 4-8 октября 2010 г.); Международной научно-практической Интернет-конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития, 2010» (г. Одесса, 4-15 октября 2010 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19-2G июня 2011 г.); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2011». посвященной 50-летию кафедры геометрии и топологии НГУ (г. Новосибирск, 1-4 сентября 2011 г.); Международной піколе-семішаре, «Ломоносовские чтения па Алтае-2011» (г. Барнаул, 8-11 ноября 2011 г.). Кроме; тот, псе результаты диссертации и разное время докладывались на научном семинаре по геометрии и анализу кш]хуфы математического анализа КемГУ, г. Ксме|юпо.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 печатные работы, куда входит: 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК; 2 статьи- в журнале «Вестник ТГУ. Математика и механика»; 3 статьи - в журнале «Вестник КемГУ»; 1 статья - в журнале «Вестник КузГТУ»; 1 монография - в зарубежном издании и 1G работ - и трудах и тезисах региональных, всероссийских и международных конференций.
Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, т]юх глав, списка литературы, изложенных па 207 страницах машиио-
писпого текста. D работу включены 12 таблиц, список литературы и:і 73 наименовании.
