Введение к работе
Актуальность работы. Развитие современных компьютерных технологий и, в том числе, универсальных систем компьютерной математики способствует формированию современной тенденции синтеза аналитических и численных методов при решении сложных математических проблем. Одной из таких проблем является проблема изучения структуры глобального аттрактора многомерных динамических систем и, в частности, многомерных моделей систем автоматического регулирования.
Исторически эта задача восходит к известной шестнадцатой проблеме Гильберта о нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными правыми частями. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков во второй половине XX века в решении этой проблемы был достигнут существенный прогресс (Н.Н. Баутин, Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, Е.А. Леонтович-Андронова, И.Г. Петровский, Е.М. Ландис, К.С. Сибирский, В.А. Гайко, S. Shi, A. Gassul, Е.М. James, N.G. Lloyd, T.R. Blows, L. Chen, M. Wang, I. Itenberg). Методам оценки числа циклов систем фазовой автоподстройки частоты посвящены работы С.С. Мамонова. Новые аспекты этой проблемы наиболее рельефно проявились после работ С. Смейла, показавшего, что глобальный аттрактор динамической системы порядка выше второго, имеющей даже весьма простую структуру (например, кусочно-линейной), может содержать бесконечное число неустойчивых циклов или странный аттрактор.
Аттракторы в нелинейных динамических системах можно разделить на возбуждающиеся из состояния равновесия и скрытые (по терминологии Г.А. Леонова) аттракторы, область притяжения которых не содержит окрестностей состояний равновесия. Аттракторы, возбуждающиеся из состояния равновесия, могут быть обнаружены путем численного интегрирования системы при выборе начальных условий из малой окрестности неустойчивого состояния равновесия. Так как область притяжения скрытого аттрактора не содержит окрестностей состояний равновесия, для его обнаружения необходимы специальные методы оценки таких областей.
Ситуация, когда система имеет как возбуждающиеся из состояния равновесия, так и скрытые аттракторы, является, в определенном смысле, промежуточной между порядком и хаосом. Выбор начальных условий в областях притяжения каждого из аттракторов выводит систему на различные колебательные режимы. В этом случае говорят, что в системе наблюдается «эффект буферности» .
Техника обнаружения эффекта буферности для многомерных динамических систем, опирающаяся на обобщенный принцип Пуанкаре - Бендиксона, принадлежащего Р.Смиту, была предложена в серии работ И.М. Буркина и О.А. Якушина, в которых были развиты методы оценки числа циклов многомерных моделей автономных регулируемых систем с одним нелинейным блоком. Поэтому актуальной является разработка критериев, охватывающих случаи, когда для исследуемой системы не выполнен обобщенный принцип Пуанкаре-Бендиксона, а также случай многосвязных систем автоматического регулирования.
Оценка областей притяжения орбитально устойчивых циклов многомерных систем автоматического регулирования с единственным состоянием равновесия приводит к необходимости решения линейных матричных неравенств. Матричные неравенства широко применяются также в задачах теории устойчивости, теории управле-
1 Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Явление буферности в резонансных системах нелинейных гиперболических уравнений // Успехи матем. наук. 2000. Т. 55. Вып. 2. С. 95-120.
ния, обработки сигналов, адаптивных и оптимальных систем. Вопросами разрешимости матричных неравенств занимались А.Н. Чурилов, В.А. Якубович, П.В. Пакшин, А.Л. Фрадков и др. В последние годы появилось много программных пакетов с решателями матричных неравенств, таких как LMILab, LMITOOL, SeDuMe Interface, YALMIP и KYPD. Численные алгоритмы, используемые в этих пакетах, позволяют находить, как правило, какое-либо одно решение.
Задача исследования структуры глобального аттрактора многомерных систем автоматического регулирования с несколькими нелинейными блоками наталкивается на существенные вычислительные трудности, связанные с необходимостью отыскания не отдельного решения матричного неравенства, а некоторого семейства решений, обладающих заданными свойствами. В связи с этим актуальной является задача разработки численных алгоритмов, позволяющих находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.
Цель и задачи работы. Целью работы является разработка численно-аналитических методов исследования структуры глобального аттрактора (оценка числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных динамических систем с единственным состоянием равновесия, которые могут быть использованы при математическом моделировании колебательных процессов в многомерных системах автоматического регулирования.
Для ее достижения поставлены следующие задачи:
-
Разработать вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.
-
Разработать метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона.
-
Разработать метод оценки числа циклов многомерных динамических систем, при исследовании которых не удается применить обобщенный принцип Пуанкаре -Бендиксона.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории устойчивости, второй метод Ляпунова, частотные методы; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной алгебры Maple.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертационной работе разработаны новые численно-аналитические методы анализа структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования. Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:
решена задача С. Смейла, относящаяся к теории химической кинетики биологических клеток: найдены условия, при выполнении которых в результате линейной связи между двумя нелинейными устойчивыми в целом системами порядка п, возникает система порядка 2п, почти каждое решение которой асимптотически приближается к орбитально устойчивому циклу;
разработан и доведен до программной реализации в пакете Maple вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами;
разработан метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона;
- разработан метод оценки числа циклов многомерных моделей систем автоматического регулирования с одним нелинейным блоком, для которых не выполнен обобщенный принцип Пуанкаре - Бендиксона.
Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов исследования структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории управления, теории автоматического регулирования и нелинейных колебаний при анализе многомерных моделей систем автоматического регулирования.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)» (Россия, Москва, 2010, 2012), «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 2008, 2011, 2012, 2013), «Dynamical System Modelling And Stability Investigation» (Украина, Киев, 2011).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 13 печатных работ [1-13], в том числе три в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК [1-3]. В работах [1, 3] И.М. Буркину принадлежат постановки задач и идеи методов исследования. Соискателю принадлежат доказательства теорем, реализация численных алгоритмов решения матричных неравенств и построение примеров. В работе [2] соискателю принадлежит доказательство теоремы 2 и построение примера к ней.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, списка литературы, включающего 180 наименований, изложена на 110 страницах машинописного текста и содержит 15 рисунков.
