Содержание к диссертации
Введение
1 Дискретизированная система Лоренца 16
1.1 Методы дискретизации 17
1.1.1 Метод пространственно-временной дискретизации 18
1.1.2 Метод центроидальной пространственно-временной дискретизации 20
1.2 Дискретный аттрактор Лоренца 21
1.3 О роли параметров алгоритма дискретизации 24
1.3.1 Шаг решетки 25
1.3.2 Вершины дискретных циклов 37
1.3.3 Шаг на решетке 41
2 Модифицированная модель нейронной сети Кропотова-Пахомова 45
2.1 Формулировка оригинальной модели 46
2.2 Модификация модели 47
2.2.1 Принцип Хэбба 47
2.2.2 Охлаждение 48
2.2.3 Формулировка модифицированной модели 48
2.3 Выбор параметров 49
2.4 Виды динамических режимов 52
2.5 Фазы динамических режимов и фазовые переходы 56
2.6 Энтропия рассинхронизации и энтропия связей 58
2.7 Периодический режим 62
2.7.1 Структура сети в установившемся простом периодическом режиме 63
2.7.2 Структура сети в установившемся сложном периодическом режиме 67
2.7.3 Вынужденные длиннопериодические колебания 70
2.7.4 Собственные длиннопериодические колебания 78
2.8 Непериодический режим 80
Приложение 1. Запись и воспроизведение последовательностей образов 86
Приложение 2. Программное обеспечение 89
Заключение 94
Список литературы 96
- Метод пространственно-временной дискретизации
- Вершины дискретных циклов
- Структура сети в установившемся простом периодическом режиме
- Собственные длиннопериодические колебания
Введение к работе
Исследования, связанные с изучением различных дискретных систем, становятся в настоящее время все более актуальными. Количество публикаций по данной тематике ощутимо растет. Очевидно, толчком послужил технологический прорыв последних лет в развитии вычислительной техники, благодаря которому появилась принципиальная возможность без серьезных затрат проводить сложные эксперименты с объектами, аналитические подходы к которым малоэффективны.
Интересно, что параллельно с рождением новых прикладных областей науки, где изучение дискретных математико-алгорит-мических конструкций является основой методологии исследования (нейронные сети, моделирование биологических, социальных и информационных процессов, решеточные алгоритмы в применении к непрерывным системам и т.п.), наблюдается четко выраженная тенденция к переосмыслению адекватности описания физической реальности в терминах континуальной математики (см. [1-7]), что далеко не в последнюю очередь происходит благодаря интенсивным исследованиям хаотических систем.
В настоящей работе рассматривается комплекс вопросов, связанных с устойчивым и хаотическим поведением нерегулярных дискретных динамических систем, на примерах дискретизиро-ванной системы Лоренца [8] и модифицированной модели реалистической нейронной сети Кропотова-Пахомова [9-11]. Модель Лоренца относится к динамическим системам, которые в современной научной литературе называют хаотическими (chaotic systems), а нейронные сети являются представителями сложных систем (complex systems). Определение хаоса и соответственно хаотических систем содержит обычно три элемента: непериодическое асимптотическое по времени движение, детермини-стичность системы и чувствительность к начальным условиям. Первое подразумевает существование траекторий, которые не уходят в бесконечность и не стремятся к периодическим орбитам или фиксированным точкам. Согласно второму условию в уравнения, задающие систему, не должны входить случайные члены. Чувствительность к начальным данным означает экс-
поненциальный рост расстояния между сколь угодно близкими траекториями со временем. Сложными системами, как правило, называются конструкции, состоящие из большого количества нелинейным образом взаимодействующих объектов. Отметим, что универсальных определений, как для хаотических, так и для сложных систем в данный момент не существует.
На сегодняшний день в исследовании хаотических систем есть два подхода, которые, в определенном смысле, можно считать философскими концепциями. Первый традиционный подход состоит в использовании методов классической континуальной математики. Стержнем второго является теория алгоритмической информации А. Н. Колмогорова (см. [12-16]), известная под термином «сложность Колмогорова» (Kolmogorov complexity) и основанная на понятии конечной точности. Если, к примеру, для динамических систем вида х = v(x), х ЄШП при известных условиях классическая математика утверждает существование траектории x(t), x(to) = xq и предъявляет формальное точное решение x(t) = [P(t)x] \х=Хо, где P(t) = е"\ T = t-t0,i> = v(x) д/дх, то в теории Колмогорова применительно к хаотическим системам классического понятия траектории не существует. Вместо траекторий, которые по словам Колмогорова «невычислимы», предлагается рассматривать либо решения, получающиеся в результате регуляризации, либо функционалы от этих решений. В обоих случаях параметры алгоритма регуляризации и сам алгоритм становятся частью исследуемой системы.
В подходе Колмогорова просматривается некоторая аналогия с квантовой механикой, где роль квантовых объектов играют решения дифференциальных уравнений, акт наблюдения состоит во введении регуляризации, означающий на практике применение того или иного численного метода, а наблюдаемыми становятся результаты вычислений. Однако, в отличие от физических объектов, дифференциальные уравнения принадлежат сфере классической математики. С одной стороны, ввиду того, что сами уравнения можно рассматривать в качестве идеализированных моделей реально существующих физических объектов, понятна позитивистская философия теории, предложенной Колмогоровым и развитой его последователями, утверждающей, что
существуют только вычислимые объекты. С другой стороны, нельзя забывать, что математическое понимание содержит элементы, несводимые полностью к алгоритмическим методам [17]. Не углубляясь сейчас в философскую сторону вопроса, отметим, что, не смотря на наличие взаимоисключающих установок в описанных подходах, при исследовании хаотических систем нельзя полностью отказываться ни от одного из них.
Первый блок рассматриваемых в диссертации вопросов посвящен вышеупомянутой проблематике. Показано, что математическая модель в результате дискретизации приобретает уникальные свойства, вследствие чего к полученной конструкции необходимо подходить как к новому объекту исследований, а не использовать исключительно в качестве инструмента изучения исходной модели. Вместе с этим дискретная система позволяет не только получить количественную информацию о своем «и-деальном» прообразе, недоступную при классическом описании, но и, в некотором смысле, экспериментально подтвердить факты существования «идеальных» математических объектов, доказанные аналитически.
Исследования проведены на системе Лоренца при параметрах, соответствующих наличию в ее фазовом пространстве странного аттрактора. Алгоритм дискретизации является разновидностью метода, предложенного Ф. Рану (F. Rannou) [18], и удовлетворяет требованию теории алгоритмической информации о наличии конечной точности. В фазовом пространстве дискре-тизируемой системы вводится кубическая решетка и задается определяемое векторным полем однозначное отображение решетки саму в себя, задающее правила перехода от одного узла решетки к другому при вычислении дискретных траекторий. При фиксированных параметрах странный аттрактор представляется набором дискретных циклов, независящих от начальных условий, использованных при их вычислении, что является следствием применения однозначного отображения. Дискрети-зированная система регулярна, так как однозначно определен переход от предыдущей точки траектории к последующей. Хаос исходной системы проявляется в нетривиальной топологии циклов, образующих дискретный аттрактор.
Ключевыми параметрами алгоритма дискретизации являются расстояние между узлами решетки а, ассоциируемое с упомянутой выше конечной точностью вычислений, и, так называемый, «шаг на решетке» 6, определяющий расстояние между соседними точками дискретных траекторий. Среднее количество циклов в аттракторе не зависит от параметров алгоритма, а так как аттрактор исходной системы является ограниченным множеством, то параметр а задает сложность дискретных циклов и определяет верхний предел на количество точек в аттракторе. Параметр Ь преимущественно влияет на гладкость циклов, поэтому при рассмотрении различных нелокальных характеристик циклов аттрактора его можно фиксировать. Естественно ожидать, что с уменьшением шага решетки сложность циклов, в частности, их длины должны возрастать. Удобной характеристикой, позволяющей оценить сложность аттрактора, является суммарная длина I циклов его составляющих. Оказывается, что зависимость 1(a) при фиксированном 6 представляет собой кусочно-непрерывную функцию и обладает рядом интересных свойств.
При вариации шага решетки в пределах каждого отдельного непрерывного участка зависимости 1(a) все изменения аттрактора сводятся к незначительным сдвигам координат точек циклов, поэтому его структура сохраняется. Точки разрыва функции 1(a) соответствуют перестроению аттрактора, при котором в общем случае изменяется и форма отдельных циклов и их количество. Длины непрерывных участков на несколько порядков меньше текущих значений а. Они также стохастично зависят от а и в среднем падают при а —> 0.
С уменьшением шага решетки амплитуда флуктуации величины / увеличивается. Если разбить область изменения а на непересекающиеся интервалы и вычислить для каждого интервала среднее и дисперсию, то получим, что среднее величины / растет при а —> 0 пропорционально а~й, где \х > 0, а ее дисперсия — пропорционально а~", причем ь> ~ 2/л. Особо отметим, что степенные показатели ц и v не зависят от параметра 6 и могут использоваться в качестве характеристик исходной не-
прерывной системы.
По мере роста амплитуды флуктуации величины 1(a) положение нижней границы флуктуации практически не изменяется. Это означает, что, несмотря на увеличивающуюся в среднем сложность циклов, даже в области малых значений параметра а существуют точки, при которых дискретный аттрактор имеет простую структуру и состоит из единственного простейшего нетривиального2 цикла, имеющего только по одному витку в каждом из полупространств х < 0 и х > 0. Пространственное положение этих циклов в процессе снижения шага решетки стабилизируется, поэтому уместно говорить о существовании предела при а —» 0. Аналогичная картина происходит и с другими циклами. На основании проведенных численных экспериментов в качестве правдоподобной гипотезы можно выдвинуть утверждение о том, что всю совокупность циклов, полученных при всевозможных шагах решетки, можно разбить на классы эквивалентности, каждому из которых будет сопоставлен свой предельный цикл при а —> 0.
Пространственное расположение дискретных циклов в области аттрактора определяется положением так называемых нестабильных периодических орбит (unstable periodic orbit UPO), которые являются замкнутыми решениями исходной недискре-тизированной системы. Существование этих объектов доказано аналитически, и имеются разнообразные вычислительные методы по их поиску (см. [19-30]). Если предположить, что между классами эквивалентных циклов и UPO существует взаимооднозначное соответствие, а это проверено для некоторого количества случаев, то рассматриваемый алгоритм дискретизации может быть использован не только для локализации UPO, но и для их классификации. Вышеупомянутые предельные циклы при определенных условиях на процедуру снятия регуляризации могут рассматриваться в качестве «хороших кандидатов» bUPO.
Отыскание UPO актуально в разделе теории управления, где
1 Построение более сложных характеристик хаотических систем на основе дискретных циклов приведено в работе [60].
2Нетривиальными мы называем циклы, лежащие по обе стороны от плоскости х = 0-
решаются задачи «регуляризации» хаотических систем (control, optimal control, digital control (см. [31-37])). Контроль хаотической динамической системы означает такое ее изменение или внешнее воздействие, которые исключают ее хаотическое поведение. Важным является соблюдение условия малости соответствующих изменений или воздействий. В случае применения рассматриваемого в настоящей работе алгоритма дискретизации и выборе параметров, при которых аттрактор представлен одним простым циклом, оптимальный контроль осуществляется посредством особенностей внутренней динамики дискретной системы. Для системы Лоренца, введение решетки, узлы которой не совпадают с началом координат, являющимся устойчивой фиксированной точкой, практически исключает зависимость результата контроля от начальных условий, так как почти все траектории попадают на единственный цикл аттрактора. Возможность варьировать параметры, не изменяя при этом структуры аттрактора, допускает применение метода к реальным физическим системам с целью регуляризации их хаотической динамики.
В контексте теории алгоритмической информации Колмогорова необходимо выделить особую роль, играемую шагом решетки а в процессе дискретизации. С одной стороны, будучи параметром дискретной системы, он существенным образом определяет ее динамику. С другой стороны, имеет смысл точности, с которой мы подходим к изучению исходной математической модели. Тогда, во-первых, проекции непрерывных участков функции 1(a) на ось а приобретают смысл допустимых погрешностей, не влияющих на динамику дискретизированной системы. При этом каждому значению точности будет соответствовать своя погрешность, в среднем уменьшающаяся с увеличением точности. Во-вторых, в силу стохастической зависимости структуры аттрактора от шага решетки на шкале точности в окрестности любой ее точки не только существуют выделенные непрерывные интервалы, где аттрактор представлен единственным простейшим циклом, но и участки, где аттрактор имеет наперед заданную структуру из допустимых верхним пределом флуктуации, который определяется текущей точностью. Следовательно, ка-
ждому значению точности а можно сопоставить два характерных масштаба: погрешность 6(a) и интервал А (а), определяющий окрестность точки а, в рамках которой гарантированно найдется точка, соответствующая требуемой структуре аттрактора. При фиксированном а дискретизированная система регулярна. Ее динамика устойчива относительно вариаций меньших 6(a). Если по каким-либо причинам, в процессе дискретизации шаг решетки нельзя поддерживать в рамках (5(a), то мы получим нерегулярную дискретную систему.
Различные характеристики дискретной системы, которые в той или иной степени инвариантны относительно изменения параметров алгоритма, очевидно, должны иметь отношение к исходной математической модели. К таким характеристикам относятся степенные показатели ц и р, о которых говорилось выше. Факт существования классов эквивалентных циклов, также может быть доказан только накоплением статистической информации о дискретной системе путем изменения параметров.
Таким образом, явления, связанные с фиксацией конкретных значений параметров алгоритма, есть то новое, что привносит дискретизация в математическую модель. Получить же информацию об исходной модели, исследуя ее дискретный образ, можно по пути поиска каких-либо инвариантов.
Метод пространственно-временной дискретизации
Для устойчивого эволюционирования модифицированной нейронной сети в определенном динамическом режиме в ней должен сохраняться соответствующий этому режиму уровень беспорядка, проявляющийся в рассогласованном поведении нейронов и различных численных значениях межнейронных связей. Максимальная упорядоченность сети происходит в случае полной синхронизации нейронов, что приводит к так называемому обнулению, в результате которого динамика сети становится тривиальной: все нейроны неактивны, а значения межнейронных связей стремятся к нулю. Максимальный уровень беспорядка достигается во время воздействия на нейронную сеть случайными импульсами. После снятия сигнала, а в некоторых случаях еще до момента его отключения, в сети начинаются переходные процессы, связанные с ее упорядочиванием, в результате которых нейронная сеть либо попадает в один из устойчивых динамических режимов, либо обнуляется.
В периодическом режиме нейронная сеть обладает структурой связей, которая формируется в результате разбиения сети на группы синфазно-колеблющихся нейронов. Зависимости всех динамических переменных модели от времени в периодическом режиме, а также тип соответствующей этому режиму структуры связей, могут быть аналитически найдены по временным зависимостям активностей нейронов4. Частоты колебаний разных нейронов сети в периодическом режиме могут отличаться друг от друга, но количество этих частот ограничено и в проведенных экспериментах не превышало двух.
При непериодическом динамическом режиме нейроны сети могут переключаться с одной частоты колебаний на другую. Количество допустимых частот также ограничено. При этом существуют доминирующие частоты, на которых нейроны находятся наибольшее время. Промежутки времени, в течение которых нейрон колеблется с доминирующей частотой и не переходит на другие частоты, подчиняются кусочно-степенному распределению и по величине могут на два-три порядка превосходить период колебаний. В результате при непериодическом режиме в нейронной сети могут появляться короткоживущие
Необходимо отметить, что вышеупомянутые колебания нейронов являются результатом модификации модели и не имеют аналога в оригинальном варианте. Именно благодаря наличию этих высокочастотных колебаний, выполняющих роль своеобразной подпитки диссипативной сети, последняя может устойчиво эволюционировать независимо от внешнего воздействия. Однако интерес представляют не сами колебания, а их модуляции. Если исключить из рассмотрения высокочастотную составляющую, то каждому периодическому режиму будет соответствовать свое стационарное состояние с определенной структурой связей.
Интересно, что при определенных условиях в некоторых областях высокой чувствительности сети к внешним воздействиям в ней возникают так называемые длиннопериодические колебания, период которых может в тысячи раз превосходить период высокочастотных колебаний нейронов. Обнаружены, как собственные, так и вынужденные длиннопериодические колебания. В обоих случаях поведение большинства нейронов не изменяется, и они образуют своеобразный фон, на котором оставшаяся малая часть нейронов эволюционирует по сложному закону. Длиннопериодические колебания представляют собой модулированные по фазе или частоте высокочастотные колебания. Вынужденные колебания появляются при воздействии на один или несколько нейронов сети периодическими импульсами. Замечательно, что период вынуждающих импульсов должен быть по порядку величины равен периоду высокочастотных колебаний. Таким образом, мы имеем явление, в котором период вынужденных колебаний на несколько порядков превосходит периоды вынуждающих импульсов и собственных колебаний.
В главе 1 приводятся результаты исследования аттрактора дискретизированной системы Лоренца. Параграф 1.1 содержит определения алгоритмов дискретизации. В параграфе 1.2 вводится понятие дискретного аттрактора и описываются типы циклов. В параграфе 1.3 рассматриваются свойства дискретного аттрактора в зависимости от параметров алгоритма дискретизации: строятся инвариантные характеристики аттрактора; изучаются особенности его структуры; вводится понятие вершин циклов и исследуется характер их распределения по аттрактору и циклам. В приложении к главе 1 описано использованное при численных экспериментах программное обеспечение.
В главе 2 изучается модифицированная модель нейронной сети Кропотова-Пахомова. В параграфе 2.1 формулируется оригинальная модель, в 2.2 — модифицированная. Выбор параметров модифицированной модели и его обоснование — в 2.3. Классификация динамических режимов сети, фаз и фазовых переходов приведены в параграфах 2.4 и 2.5. В параграфе 2.6 вводятся определения энтропии и рассматриваются зависимости последних от времени в переходных и устойчивых процессах. Результаты исследования особенностей динамики и структурообразо-вания в нейронной сети при периодическом и непериодическом режимах приведены в параграфах 2.7 и 2.8 соответственно. В приложении 1 предлагается способ записи в нейронную сеть последовательностей образов. Описание программного обеспечения, разработанного для исследования модифицированной модели нейронной сети Кропотова-Пахомова, приведено в приложении 2.
Вершины дискретных циклов
Экстраполируя полученные данные, заключаем, что расстояние между циклами в пределе линейно стремится к нулю. Следовательно, можно сделать правдоподобный вывод о существовании предела последовательности циклов, принадлежащих выделенному ранее семейству. Очевидно, что цикл, являющийся пределом, должен иметь определенное отношение к исходной недискретизированной системе.
В современной научной литературе, посвященной исследованию хаотических систем, большое внимание уделяется построению численных методов поиска так называемых нестабильных периодических орбит (unstable periodic orbit UPO) (см. [19-30]). Отыскание UPO весьма актуально в разделе теории управления, где решаются задачи «регуляризации» хаотических систем (control, optimal control (см. [31-37])).10 Контроль хаотической динамической системы означает такое ее изменение или внешнее воздействие, которые исключают ее хаотическое поведение. В обоих случаях важным считается соблюдение условия малости соответствующих изменений или воздействий. Очевидно, что методы дискретизации, рассматриваемые в настоящей работе, можно считать одним из способов подобного контроля.
Сравнение отдельных семейств циклов с соответствующими UPO п, дает веское основание предполагать, что дискретные циклы являются хорошим приближением к нестабильным периодическим орбитам. Экспериментально показано достаточно точное совпадение пространственного расположения дискретных циклов и соответствующих им UPO, примеры которых рассматриваются в имеющихся на эту тему публикациях. Особо отметим, что все методы поиска UPO являются численными, поэтому любое сравнение дискретных циклов и UPO сводится, по сути, к сравнению различных приближений к некоторым «и-деальным» объектам, называемых UPO.
Известно, что аттрактор Лоренца содержит бесконечное множество различных UPO от самых простых (см. рис. 1.12) до сколь угодно сложных. Мы рассмотрели только простейший случай, когда можно явно выделить семейство однотипных циклов. Аналогичные эксперименты с такими же результатами можно проделать и для других семейств циклов, длины которых формируют отдельные горизонтальные линии на рис. 1.10. При этом необходимо собирать некоторую дополнительную информацию о циклах, в частности, знать, является ли цикл самосимметричным или входит в пару симметричных друг другу циклов. Очевидно, что симметричные друг другу циклы (см. рис. 1.4) имеют одинаковую длину, а потому на графиках аналогичных представленному на рис. 1.10, будут давать вклад в одну и ту же линию. Трудности возникают при выделении последовательно 10Существует также термин «anticontrol» — раздел теории управления, занимающейся обратной задачей.
Сравнение проведено для нескольких простых циклов при различных параметрах системы Лоренца Ь, а и г. стей циклов, относящихся к сложным UPO, которым на рис. 1.10 нельзя сопоставить явных горизонтальных линий. В случае системы Лоренца вопрос решается подсчетом количества и порядка следования витков циклов на левом и правом «крыльях бабочки».
Рассмотрим вид зависимости 1(a) на некотором интервале шагов решетки Ла. При этом удобно использовать терминологию, применяемую при исследовании спектров излучений. Конечно, ни о какой физической интерпретации речь не идет. Тогда можно сказать, что, к примеру, участок графика рис. 1.10(a), показанный на рис. 1.10(b) имеет «дискретную» и «сплошну-ю» составляющие. Дискретные «уровни спектра» образованы семействами однотипных циклов. В «сплошной спектр» дают вклад более сложные циклы. Было показано, что при уменьшении шага решетки происходит стабилизация положения циклов на аттракторе. Очевидно, это должно выполняться для любых циклов. То есть, если при а Є [«і, аг] на определенном участке [/1,/2] зависимости 1(a) наблюдается «сплошной спектр», то существует такое значение ас а\, при котором для всех а ас на том же участке [/і,/г] будет наблюдаться «дискретный спектр». Иными словами, положение границы, разделяющей «дискретный» и «непрерывный спектры» отодвигается вверх при уменьшении шага решетки. В пределе а — 0 должен иметь место бесконечный «дискретный спектр», каждый «уровень» которого будет относиться к определенной нестабильной периодической орбите. Понятно, что проблема выделения из всей совокупности циклов, полученных при всевозможных шагах решетки, семейств однотипных циклов, которые затем будут рассматриваться в качестве приближений к определенной UPO, может быть решена путем уменьшения параметра а до некоторого необходимого значения.
Следуя и далее используемой терминологии, отметим, что каждый отдельный «уровень спектра» обладает «тонкой структурой», поскольку, как было ранее установлено, в последовательности циклов, относящейся к рассматриваемому «уровню», можно выделить некоторое число подпоследовательностей. Последние различаются между собой «скоростями» приближения к общему пределу, которому соответствует некоторая UP О.
Еще раз подчеркнем, что, если факт существования пределов у последовательностей однотипных циклов является вполне обоснованным утверждением, то рассмотрение UPO в качестве этих пределов достаточно гипотетично, тем более в условиях, когда отсутствует аналитическое описание UP О. В следующем пункте будет показано, что при фиксированном параметре Ь и а — 0 в предельных циклах должно оставаться конечное число точек, где первая производная терпит разрыв. Следовательно, UPO не может быть предельным циклом. Однако, если иметь дело с той или иной комбинацией пределов а —» 0 и 6 — оо, то такой подход дает основание считать предельным циклом именно UPO.
Структура сети в установившемся простом периодическом режиме
Основным инструментом исследования модели являлась специально разработанная с этой целью программа «Модель нейронной сети Кропотова-Пахомова». Главные решаемые ею задачи: подготовка начальных данных для вычисления зависимостей динамических переменных модели от времени, непосредственно само вычисление и анализ полученных результатов.
Дополнительно для анализа данных применялась среда Mat-lab 6.1 и пакет TISEAN 2.1. [72]. Широкие возможности системы Matlab, связанные с моделированием и численными расчетами, хорошо известны. Отметим, что в Matlab есть средства создания независимых приложений, а, начиная с версии 5.3, поддерживается компиляция функций, использующих графические объекты. Эта возможность была использована при создании интерфейса основной программы. Пакет TISEAN 2.1 представляет собой обширный набор независимых консольных приложений, предназначенных для анализа временных рядов. По утверждению авторов проекта ими были использованы наиболее оптимальные с точки зрения скорости вычислений алгоритмы. Пакет свободно распространяемый и находится на сайте http://www.mpipks-dresden.mpg.de/ tisean.
Программа реализована в виде двух независимых приложений, условно называемых интерфейсом и ядром. Работая с интерфейсом, исследователь может быстро подготовить все необходимые для дальнейших вычислений данные, запустить ядро и проанализировать полученные результаты. Все вычисления, связанные с эволюцией нейронной сети во времени, производятся ядром. Обмен данными между ядром и интерфейсом происходит через жесткий диск компьютера. Интерфейс написан на макроязыке Matlab 6.1 и откомпилирован компилятором Borland C++ Builder 5.0. Ядро — это консольное C++ приложение. Код обрабатывался компилятором Intel C++ Compiler 5.0. Разделение программы на два разных независимых приложения достаточно целесообразно, поскольку здесь сочетается высокая скорость вычислений, обеспечиваемых ядром, и большие возможности среды Matlab при обработке данных и их визуальном представлении.
Далее описываются возможности, предоставляемые пользователю, каждой из подпрограмм. Окно выбора задачи позволяет запустить окно создания реализаций, где подготавливаются все необходимые данные для работы ядра, и окно анализа результатов, либо закрыть все окна и выйти из программы.
В окне создания реализаций устанавливаются параметры модели, начальные условия и параметры наблюдения. Для всех параметров, кроме количества нейронов и задержек правила обучения, можно задать интервал и шаг изменения. В этом случае ядро производит серию вычислений для каждого набора параметров и сохраняет результаты по каждой серии в отдельные каталоги данных.
К параметрам наблюдения относятся промежуток времени наблюдения за моделью, интервал времени, через который периодически сохраняются текущие значения динамических переменных нейронной сети, и имена самих наблюдаемых характеристик. Наиболее значимые динамические переменные — это активности Ni(k), потенциалы Pi(k), суммы ]Г] Wij(k)Nj(k), эф фективности связей x](k)+x2j(k) и матрицы W (k), Wij(k). Возможен сбор данных, как для каждой из перечисленных величин в отдельности (выбор нейронов и матричных элементов происходит в соответствующих окнах), так и для их средних по нейронной сети. Значения задержек правила обучения могут задаваться не только непосредственным перечислением конкретных величин, но и заданием интервалов. Есть возможность комбинировать оба способа. Имеется поле ввода количества значащих цифр после запятой в представлении данных, сохраняемых ядром. Ограничивать точность вывода чисел актуально при сохранении больших объемов данных с целью экономии дискового пространства. Если установлены соответствующие флаги, то ядро прекращает вычисления до достижения заданного конца интервала наблюдения при обнаружении обнуления нейронной сети или факта нахождения последней в периодическом режиме. В последнем случае в текущий каталог данных сохраняется значение периода собственных колебаний сети. Есть возможность указать ядру вычислять «на лету» статистические распределения, примеры которых рассматривались в параграфе 2.8. Наконец, рассматриваемая подпрограмма позволяет записать в отдельный файл все текущие настройки окна и загрузить ранее сохраненные. Непосредственно из окна создания реализаций вызываются окна просмотра текущих, создания новых и загрузки заранее подготовленных файлов матрицы И (0) и сигнала воздействия Si(k). Начальные значения матричных элементов И О) задаются в окне создания матрицы связей. Выбрав один или группу матричных элементов, можно присвоить им равные либо случайные (с равномерной функцией распределения) из установленного интервала величины. Текущие значения матричных элементов отражаются во встроенной в окно масштабируемой карте матрицы с цветовой шкалой. Масштабирование карты и вывод численных значений матричных элементов осуществляется мышью. Есть возможность загрузки и сохранения созданных матриц.
Окна просмотра матрицы связей и просмотра сигнала воздействия функционально не отличаются от вышеупомянутой карты матрицы. Для сигнала воздействия роль индексов матричных элементов играют текущие время и номер стимулируемого нейрона.
В окне создания сигнала воздействия есть средства для генерации постоянного, периодического и случайных сигналов. Возможна подача сигнала на один или группу нейронов в любые моменты или интервалы времени. Для задания периодического сигнала необходим шаблон (один период), в качестве которого может использоваться любая непрерывная часть уже созданного сигнала. Случайным сигнал может быть, как по выбору нейронов, так и по величине. В обоих случаях распределение равномерное.
Собственные длиннопериодические колебания
Значения задержек правила обучения могут задаваться не только непосредственным перечислением конкретных величин, но и заданием интервалов. Есть возможность комбинировать оба способа.
Имеется поле ввода количества значащих цифр после запятой в представлении данных, сохраняемых ядром. Ограничивать точность вывода чисел актуально при сохранении больших объемов данных с целью экономии дискового пространства.
Если установлены соответствующие флаги, то ядро прекращает вычисления до достижения заданного конца интервала наблюдения при обнаружении обнуления нейронной сети или факта нахождения последней в периодическом режиме. В последнем случае в текущий каталог данных сохраняется значение периода собственных колебаний сети.
Есть возможность указать ядру вычислять «на лету» статистические распределения, примеры которых рассматривались в параграфе 2.8. Наконец, рассматриваемая подпрограмма позволяет записать в отдельный файл все текущие настройки окна и загрузить ранее сохраненные. Непосредственно из окна создания реализаций вызываются окна просмотра текущих, создания новых и загрузки заранее подготовленных файлов матрицы И (0) и сигнала воздействия Si(k). Начальные значения матричных элементов И О) задаются в окне создания матрицы связей. Выбрав один или группу матричных элементов, можно присвоить им равные либо случайные (с равномерной функцией распределения) из установленного интервала величины. Текущие значения матричных элементов отражаются во встроенной в окно масштабируемой карте матрицы с цветовой шкалой. Масштабирование карты и вывод численных значений матричных элементов осуществляется мышью. Есть возможность загрузки и сохранения созданных матриц.
Окна просмотра матрицы связей и просмотра сигнала воздействия функционально не отличаются от вышеупомянутой карты матрицы. Для сигнала воздействия роль индексов матричных элементов играют текущие время и номер стимулируемого нейрона.
В окне создания сигнала воздействия есть средства для генерации постоянного, периодического и случайных сигналов. Возможна подача сигнала на один или группу нейронов в любые моменты или интервалы времени. Для задания периодического сигнала необходим шаблон (один период), в качестве которого может использоваться любая непрерывная часть уже созданного сигнала. Случайным сигнал может быть, как по выбору нейронов, так и по величине. В обоих случаях распределение равномерное.
В окнах выбора нейронов и выбора матричных элементов пользователь работает с визуальным представлением сети, где нейроны показываются кружками, а матричные элементы — векторами. В обоих окнах есть возможность выделить все или снять выделение со всех элементов. Для матричных элементов предусмотрена загрузка групп номеров нейронов, и в зависимости от установок окна автоматически создаются всевозможные связи внутри группы или симметричные или направленные связи между нейронами, принадлежащими к разным группам. Можно сохранять в файлы индексы выбранных элементов и загружать заранее подготовленные.
Основная задача окна анализа результатов — представление информации (преимущественно графической) по проделанным ядром вычислениям. Имеются следующие возможности: работа с тремя системами координат одновременно; масштабирование графиков; выбор стиля, цвета и размера линий и маркеров; вывод нескольких графиков в одну систему координат; сохранение данных, содержащихся на текущем графике, либо в растровом или векторном форматах либо в виде ASCII текста; автоматическая загрузка данных по щелчку мыши; автоматический вывод всех параметров текущего эксперимента; вывода на график заданных интервалов вычисленных зависимостей переменных модели от времени, в том числе с прореживанием; построение графиков для выбранных динамических переменных, их групп и средних по группе; встроенная программа поиска кластеров; файловый браузер и средства удаления каталогов данных. При запуске ядра из окна создания реализаций происходит проверка всех параметров и, если ошибок не найдено, запускается ядро. Ядро можно запустить и как отдельное приложение, но оно само подобной проверки не производит. Основные результаты, полученные в настоящей работе, могут быть сформулированы следующим образом. 1. Подробно исследована структура аттрактора дискрети-зированной системы Лоренца. Дискретизация выполнялась по одному из двух предложенных алгоритмов, являющихся видоизменениями метода, впервые описанного в работе [18]. Найдены характеристики системы, независящие от численных значений параметров алгоритма дискретизации. Экспериментально показаны нечувствительность системы к микровариациям параметров алгоритма в рамках некоторых интервалов, с одной стороны, и сильная зависимость структуры аттрактора к изменениям параметров, превышающим упомянутые интервалы — с другой. Последнее позволяет найти такие значения параметров, при которых дискретный аттрактор будет иметь определенную заранее структуру, а в совокупности с предыдущим свойством использовать предложенный метод дискретизации для практического применения в области регуляризации хаотических систем. Исследованы характеристики циклов, образующих дискретный аттрактор в зависимости от параметров. Отмечена связь между дискретными циклами и нестабильными периодическими орбитами исходной непрерывной системы. Показано, что совокупность всевозможных циклов, полученных при различных параметрах алгоритма, может быть разбита на классы эквивалентных циклов, каждому из которых можно поставить в соответствие некоторый предельный цикл при снятии регуляризации. Разработан комплекс консольных приложения для исследования различных характеристик хаотических систем, дис-кретизированных описанными в работе алгоритмами.
