Содержание к диссертации
Введение
Глава первая. Построение математической модели и постановка задачи ... 16
1. Построение математической модели движения рассматриваемого тела 16
2. Используемый математический аппарат 24
Глава вторая. Поступательное движение тела 29
1. Простейшие стационарные режимы 29
2. Исследование устойчивости режимов вертикального спуска 47
3. Исследование устойчивости режима планирования 49
Глава третья. Движение тела с высокой угловой скоростью 51
1. Режим авторотации 51
2. Получение уравнений первого приближения режима авторотации 57
3. Нормализация уравнений первого приближения режима авторотации. 58
4. Сравнение установившейся скорости режима авторотации со скоростями других режимов 61
Глава четвертая. Программирование и тестирование 63
1. Имитационное моделирование движения тела 63
2. Моделирование множества стационарных режимов 66
3. Численное интегрирование уравнений движения 70
4. Численное исследование простейших режимов 76
5. Численное исследование движения тела вблизи режима авторотации...81
6. Область авторотации 93
Заключение 97
Приложение 99
Список литературы 109
- Используемый математический аппарат
- Исследование устойчивости режимов вертикального спуска
- Получение уравнений первого приближения режима авторотации
- Численное интегрирование уравнений движения
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию движения авторотирующего тела: математическому моделированию и разработке комплекса программ для проведения численного анализа.
В настоящее время динамика тел, взаимодействующих со средой, представляет собой хорошо развитый раздел механики. Этой теме посвящены фундаментальные труды Н.Е. Жуковского и С.А.Чаплыгина, создавших основы современной аэродинамики, работы авиаконструкторов и создателей ракетной техники: А.А. Туполева, СВ. Ильюшина, С.А. Микояна, А.С. Яковлева, В.М.Мясищева, O.K., Антонова, СП. Королева, В.Н. Челомея, М.К. Янгеля и др., исследования В.П. Ветчинкина, К.Э. Циолковского, А.Н. Журавченко, B.C. Пышнова, М.В. Келдыша, Л.И. Седова, А.Ю. Ишлинского и др., а также зарубежных ученых Л. Прандтля Г. Глауэрта, Ч. Циммермана и др.
В задачах динамики тела, взаимодействующего со средой, существует проблема моделирования взаимодействия среды с авторотирующими телами разных конфигураций. Необходимость решения такой проблемы существует и в авиаракетостроении.
Простейшей моделью авторотирующего тела является аэродинамический
маятник в потоке сопротивляющейся среды. Эту модель можно
рассматривать как обобщение классической задачи о физическом маятнике. С другой стороны, с такой моделью можно сопоставить многие реальные механические системы, такие как крыло, парус, парашют, ветродвигатель в виде несущего винта. В начале XVII века окончательно сформировался шатровый тип голландской ветряной мельницы, имеющий форму несущего винта с горизонтальной осью вращения. Несущий винт с вертикальной осью служит еще одной простейшей моделью авторотирующего тела. Всем
режима аварийной посадки. Вертикальная составляющая скорости при снижении быстровращающегося тела намного меньше окружной скорости лопастей. Это позволяет использовать такие модели в качестве систем торможения при спуске в атмосфере. В 1920 году Дарье предложил идею ветротурбины с вертикальной осью вращения, когда лопасти турбины вращаются с высокой угловой скоростью (рис. 5), которая имеет ряд преимуществ перед обычным ветродвигателем. Эта турбина работает по принципу преобразования силы ветра в подъемную силу профилированной лопасти и не требует устройств, отслеживающих направление и скорость ветра.
В настоящей работе построена математическая модель спуска в вертикальной плоскости тела сложной конфигурации, состоящего из стержня и двух параллельных пластинок, плоскости которых могут быть отклонены на малый угол 3 относительно нормали к стержню и разработан комплекс программ для проведения численных исследований движения тела.
Рассматриваемая конструкция представляет собой рабочий элемент ротора Дарье с двумя лопастями. Тело осуществляет плоскопараллельный спуск в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и аэродинамических сил. Полученная математическая модель движения представляет собой систему дифференциальных и тригонометрических уравнений. Рассматриваются классические задачи о существовании у тела различных стационарных режимов спуска и исследовании их устойчивости по первому приближению. Наибольший интерес в исследовании представляет режим авторотации, при котором тело быстро вращается и снижается по вертикали или наклонной прямой подобно свободно вращающемуся несущему винту. При помощи метода осреднения для этого режима получены оценки для средних угловой скорости, скорости центра масс и угла отклонения скорости центра масс от вертикали. Показано, что режим авторотации является притягивающим и асимптотически устойчив.
U^fkAwU'-^ ///- Пі Проведено сравнение параметров снижения режима авторотации с&
параметрами других режимов.
Спуск в режиме авторотации происходит с наименьшей скоростью по сравнению с другими режимами, поэтому авторотация - наиболее подходящий режим для применения этой конструкции в качестве системы вертикального спуска. Показано влияние величины установочного угла пластинок 8 на угол отклонения от вертикали при движении в режиме авторотации.
Цель и задачи исследования.
Основной целью работы является исследование динамической системы, описывающей движение тела при помощи математического моделирования и разработка комплекса соответствующих компьютерных программ. Для достижения этой цели предстоит решить следующие задачи:
Построить математическую модель движения тела сложной конфигурации.
Провести основные аналитические исследования:
найти множество положений относительного равновесия при поступательном движении тела,
исследовать устойчивость установившихся движений тела,
найти установившийся режим спуска тела с авторотацией,
- провести сравнение значений установившейся скорости в режиме
авторотации со скоростями на других установившихся режимах,
3. Провести имитационное моделирование движения тела: разработать
комплекс программ и при помощи численных методов осуществить
параметрический анализ динамической системы.
Методы выполнения исследования.
В диссертационной работе используются методы, базирующиеся на общих теоремах динамики, метод Ляпунова определения устойчивости по первому приближению, метод осреднения. Для проведения численных исследований применяется математический пакет MATLAB 6.5., имеющий развитые
средства диалога, графики и комплексной визуализации. С его помощью проводится численное интегрирование уравнений движения тела методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
Достоверность.
Достоверность полученньгх в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в теоретической механике, строгостью математической постановки задач и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов.
Научная новизна.
Рассмотрено движение перспективной системы спуска твердого тела.
Впервые описано множество стационарных режимов планирования тела и найдено положение тела, при котором достигается наиболее пологое планирование.
Математическая модель спуска объекта имеет режим, аналогичный авторотации. Показано, что на этом режиме скорость спуска минимальна.
Показано, что изменение установочного угла пластинок влияет на угол планирования и служит эффективным управляющим воздействием.
Практическая ценность работы.
Разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют подготовить основу для перспективного предложения - принципиально нового аэродинамического тормозного устройства или системы спуска.
Личный вклад автора.
Все результаты, оценки и алгоритмы, выносимые на защиту, получены автором диссертации лично.
Апробация результатов работы.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Шестнадцатых академических чтениях по
космонавтике (30 января - 01 февраля 2002г. Москва, МГУ), Пятом Международном Аэрокосмическом Конгрессе (27-31 августа 2006г. Москва, МГУ.), Тридцать третьих Гагаринских чтениях (4-5 апреля 2007г. ГОУ ВПО «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского), Всесоюзной научно-технической конференции «Новые материалы и технологии» НМТ-2008 (11-12 ноября 2008г. ГОУ ВПО «МАТИ» -РГТУ им. К.Э. Циолковского).
Реализация и внедрение результатов работы.
Результаты диссертационной работы использованы ФГУП «МИТ» по акту № 1/534-117 при расчете динамических характеристик тел сложной конфигурации на атмосферном участке траектории полета, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Теория информационных систем» студентам факультета № 3 «Информационные системы и технологии» ГОУ ВПО «МАТИ» -РГТУ им. К.Э. Циолковского, о чем имеются акты внедрения.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 30 наименований и приложения. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 56 рисунков и 3 таблицы.
Публикации.
По теме диссертации опубликованы девять печатных работ, из них 5 статей, 4 тезисов докладов. Статьи [1], [2] опубликованы в журналах, которые входят в перечень ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.
Краткая историческая справка
С древнейших времен человек мечтал подняться в воздух подобно птице. Многочисленные попытки создания летательных аппаратов с машущими крыльями не увенчались успехом. До сих пор не построено ни одной такой машины, которая бы обладала элементарными летными характеристиками.
Неудачи в этой области повернули мысль изобретателей к аппаратам с неподвижным крылом, совершающим планирующий полет. В 1891 г. профессор Н.Е.Жуковский опубликовал научный труд "О парении птиц", в котором дал теоретическое обоснование парящего и планирующего полета на планере. Согласно этому труду, при движении крыла в потоке воздуха создаётся подъёмная сила. За счёт того, что путь, проходимый воздухом над крылом, больше пути потока воздуха под крылом, на крыло начинает действовать сила, направленная в сторону потока с большей скоростью.
Таким образом, для того, чтобы подъемная сила могла компенсировать силу тяжести, планер должен иметь достаточно большую продольную составляющую скорости при достаточно малой вертикальной скорости. Это позволяет использовать планер как систему спуска.
Существуют и другие системы спуска. Одна из них называется парашютом. Скорость планирования парашюта также существенно выше скорости его вертикального спуска. Считается, что идея создания парашюта принадлежит великому Леонардо да Винчи. В его сборнике рукописей "Атлантический кодекс" среди других конструкций приведен эскиз парашюта с куполом в форме четырехгранной пирамиды. В средневековье парашютизм развивался как зрелище, как своеобразные цирковые представления под открытым небом. Вместе с тем постепенно закладывались и основы теории парашюта, а изобретатели искали пути его совершенствования. Когда в начале ХХ-го века стала развиваться авиация, появилась потребность в парашюте компактной конструкции. Ранцевый парашют свободного действия создал русский изобретатель Г. Е. Котельников. Основные принципы конструкции этого парашюта применяются до сих пор.
Снижение авторотирующего воздушного винта, имеющего вертикальную ось вращения, обладает такими же свойствами, как полет планера или парашюта. При спуске в режиме авторотации большой окружной скорости
лопастей винта соответствует малая скорость вертикального спуска. Все это позволяет использовать несущий винт как систему спуска, а режим авторотации в качестве режима аварийной посадки вертолета. Трудно установить, какая из идей полета появилась первой: посредством крыла или несущего винта. Игрушки - прообразы несущего винта были известны еще в древности. Они представляли собой маленький винт, насаженный на круглую палочку, которая раскручивалась ладонями (Рис. 1).
\
Рис 1 Эта модель послужила самой первой и самой простой системой вертикального спуска в режиме авторотации. Китайский философ Ко Хунг еще в 320г. указывал на несущий винт как на средство путешествия по воздуху. Первый набросок вертолета был сделан в 1489 г. Леонардо да Винчи, а в 1754г. М.В. Ломоносов предпринял попытку построить малоразмерный вертолет для подъема в воздух метеорологических приборов. Однако все работы по вертолетам, проводившиеся до конца XVIII в., носили случайный характер и оставались неизвестными для современников, пока, наконец, в 1784 г. французская Академия наук официально не признала вертолет одним из возможных средств передвижения по воздуху. Однако все предпринимавшиеся в XIX веке попытки создания натурного вертолета оказались неудачными из-за низких аэродинамических характеристик несущих винтов и отсутствия легкого двигателя. Ситуация изменилась в начале XX века в связи с появлением легких двигателей внутреннего сгорания и накоплением знаний по аэродинамике несущих винтов. 24 августа 1907г. на четырехвинтовом вертолете братьев Луи и Жака Бреге и профессора Шарля Рише впервые был поднят в воздух человек. В начале
1912г. русским конструктором Юрьевым был построен одновинтовой геликоптер. Диаметр двухлопастного винта составлял 8м. Реактивный момент несущего винта конструктор предложил компенсировать при помощи рулевого винта, установленного в конце хвостовой фермы. Он приводился во вращение основным двигателем с помощью специального передаточного механизма. Эта схема вошла в историю современного вертолетостроения как классическая схема одновинтовых вертолетов с хвостовым винтом. Задолго до аналогичных изобретений за рубежом, Б.Г. Юрьеву удалось создать автомат-перекос, изучить авторотацию винтов и разработать проблему безопасности спуска аппарата в случае остановки двигателя. В 1914 г. на вертолете Е. Мумфорда (Великобритания) был совершен полет с поступательной скоростью, а 4 мая 1924 г. вертолет Э. Эмишена (Франция) первым пролетел по замкнутому маршруту в один километр. Все эти первые вертолеты имели многовинтовую схему, обладавшую сложной, а следовательно, и ненадежной конструкцией. Хотя авторотация как режим аварийной посадки была уже общепризнана, но отсутствие в этом практического опыта ограничивало высоту полетов. Упомянутые проблемы задерживали развитие вертолетостроения. Однако к концу 20-х годов наметились пути их преодоления. Новые легкие двигатели и несущие винты с усовершенствованной аэродинамикой уже обеспечивали вертолеты необходимой подъемной силой. Освоение новых авиационных материалов дало возможность существенно увеличить диаметры несущих винтов. Теперь вертолеты строились по конструктивно более простым и надежным одновинтовой и соосной схемам. В 1930 году был создан первый советский вертолет ЦАГИ 1-ЭА, или, как тогда называли такие машины, геликоптер, созданный группой экспериментально-аэродинамического отдела ЦАГИ (см. Рис.2). Группой руководил военный летчик первой мировой войны, инженер-конструктор, впоследствии профессор МАИ А.М.Черемухин. Он сам проводил испытания геликоптера. Эта машина превзошла по своим данным
все зарубежные конструкции тех лет. В 1932 году на ЦАГИ 1-ЭА была достигнута фантастическая высота 605м, когда официальный мировой рекорд составлял всего 18м. На ЦАГИ 1-ЭА впервые был проведен полет в режиме авторотации.
Рис 2
Примерами авторотирующих тел являются также летающая тарелка и спортивный бумеранг. Совокупное воздействие набегающего потока воздуха и веса приводит к неординарной форме траектории центра масс этих тел. При полете летающей тарелки происходит ее быстрое вращение относительно оси динамической симметрии и медленная прецессия. Полет летающего диска похож на полет обычного планера. Движение бумеранга также сопровождается его быстрым вращением. В определенный момент полета возникает впечатление, что бумеранг как бы «останавливается в воздухе», при этом меняется направление вектора скорости его центра масс на почти противоположное. Резко меняется ориентация плоскости вращения бумеранга.
Явление авторотации проявляется и при штопоре самолета (Рис. 3).
Рис З
Рис. З Штопор самолета: а - прямой; б - обратный; а - плоский
Проблемой штопора в 1918—1919 г. занимался английский учёный Г.
Глауерт. Теоретическое обоснование штопора разработано советским
учёным В. С. Пышновым, а дальнейшие экспериментальные работы по
штопору выполнены А. Н. Журавченко.
Понятие авторотации использовано и в конструкции так называемой ротационной бомбы. Идея ротационной бомбы, принадлежит английскому инженеру и авиаконструктору сэру Барнсу Уоллису в годы Второй Мировой войны, в 1942—1943 годах. Проект Уоллиса состоял в следующем: подвесить бомбу цилиндрической формы под самолетом поперек фюзеляжа, раскрутить цилиндр вокруг его оси до высокой скорости, а затем сбросить бомбу с малой высоты на некотором расстоянии от цели. Раскрутка бомбы производилась при помощи электромотора (рис 4). Во время полета, на бомбу действует сила Магнуса, тянущая ее в направлении движения бомбардировщика и ее траектория в режиме планирования представляет собой пологую прямую, что обеспечивает большую точность попадания. Скорость бомбы имеет большую горизонтальную составляющую и достаточно малую вертикальную составляющую.
Рис 4
В случае недолета бомба по инерции продолжает движение и взрывается после попадания в цель.
Одним из самых первых примеров использования авторотации тел служит ветродвигатель. Ветродвигатель представляет собой одну из древнейших машин для получения энергии из природных источников. Ветродвигатель, парашют, парус кроме одного источника энергии объединяет один и тот же используемый принцип. Исследования Ю.С. Крючкова показали, что парус можно представить в виде ветродвигателя с бесконечным диаметром колеса. Все существующие ветротурбины можно разбить на две большие группы: с горизонтальной и вертикальной осями вращения. Известно, что первые ветродвигатели в Персии применялись в 10 веке, а в Западной Европе первые устройства этого типа появились в конце 12 века. В начале 17 века окончательно сформировался шатровый тип голландской ветряной мельницы. Этот ветродвигатель, имеющий форму несущего винта с горизонтальной осью вращения, сохранил свою конструкцию до начала 20 века, когда в результате исследований были значительно усовершенствованы формы и покрытия крыльев. Но лишь в 1920 году Дарье предложил идею ветродвигателя с вертикальной осью вращения (рис. 5), а разработка этой идеи в рабочую конструкцию началась только в 1970 году.
Рис 5
Преимущество такой конструкции перед другими турбинами состоит в том, что она не требует вмешательства в свою работу при смене направления ветра. При увеличении скорости ветра ветротурбина Дарье быстро наращивает силу тяги, после чего скорость вращения стабилизируется. В то же время, у ветротурбины Дарье момент вращения намного больше, чем у обычной крыльчатой ветротурбины (винта).
Мы знаем, что быстро вращающийся несущий винт с вертикальной осью вращения можно использовать как простейшую систему вертикального спуска в режиме авторотации. Возникает естественный вопрос: существует ли аналогичный режим при плоскопараллельном движении рабочего элемента ветротурбины Дарье с горизонтальной осью вращения и можно ли такое тело использовать как систему спуска? Изучению этого вопроса и посвящена настоящая диссертация.
Используемый математический аппарат
В настоящей работе исследуется движение тела, взаимодействующего со средой, и рассматриваются следующие задачи, связанные с обеспечением желаемых установившихся режимов движения: найти множество установившихся движений при поступательном движении тела, исследовать устойчивость установившихся движений тела, найти установившийся режим спуска тела с авторотацией, провести сравнение значений установившейся скорости в режиме авторотации со скоростями на других установившихся режимах, разработать комплекс программ и провести параметрический анализ динамической системы.
Описание возможных режимов движения тела в среде, получение теоретических результатов дает возможность сравнения их с экспериментальными данными и получения дополнительной информации с последующим уточнением экспериментальных зависимостей, фигурирующих в математической модели. Таким образом, можно сделать вывод об адекватности той или иной модели воздействия среды на тело. Рассматриваемая динамическая система подвергается влиянию внешних периодических сил воздействия среды, которые формируются согласно эмпирической теории стационарного обтекания пластинок средой. В работе исследуются вопросы о существовании у системы уравнений движения тела различных точек покоя, которым отвечают стационарные режимы спуска, и их устойчивости. Предоставлены количественные оценки динамических характеристик тела: угловой скорости, скорости спуска, угла планирования, на каждом из режимов.
В начале идет поиск простейших стационарных режимов, при которых у тела отсутствует вращение. В процессе их нахождения проводится достаточно простое графическое исследование [2]. Наряду с двумя очевидными режимами вертикального спуска найдено множество установившихся режимов планирования при различных значениях угла ориентации тела.
Представляет отдельный интерес исследование положения тела, при котором пластинки расположены горизонтально. Для тела, имеющего пластинки с удлинением Я = 8 существует пять режимов планирования под различными углами и режим вертикального спуска. Найдено значение угла ориентации тела, при котором достигается наиболее пологое планирование тела. Найдены оценки минимальной и максимальной скорости спуска. Качественным образом построены зависимости абсолютного значения угла планирования от угла ориентации тела и вертикальной составляющей установившейся скорости от утла ориентации тела. Они имеют довольно сложную форму. Таким образом, можно сделать вывод о том, что любому положению тела можно поставить в соответствие один или несколько стационарных режимов, при которых тело движется поступательно.
Проводится исследование устойчивости режимов вертикального спуска и режима планирования с горизонтально расположенными пластинками.
При вращении тела, крутящий момент меняется в широком интервале значений и неоднократно меняет свой знак за один оборот [16], [17]. Одна из причин этого явления заключается в том, что значения функции качества профиля лопасти велики лишь в относительно узком диапазоне углов атаки. Поскольку эта область перекрывается рабочими значениями углов атаки, то это оказывает существенное влияние на значения: угловой скорости, скорости спуска, угла планирования. При спуске быстро вращающегося тела большой интерес представляет режим авторотации. Исследуется снижение быстро вращающегося тела, в котором пластинки отклонены на постоянный установочный угол S. Поскольку профиль лопасти имеет высокое аэродинамическое качество и, следовательно, тело вращается с высокой высокой угловой скоростью, то угол атаки меняется в небольших пределах. В этом случае аэродинамические характеристики профиля можно приблизить линейными функциями и многочленами второй степени и описать рабочий режим не только качественно, но и количественно, например, вычислить значения средней угловой скорости, средней скорости спуска и среднего угла планирования. При помощи метода осреднения эти оценки получены. Показано, что отклонение спуска от вертикали пропорционально величине установочного угла пластинок S. Таким образом, появляется задача определения характеристик (массы т, момента инерции J, перекоса пластинок S ), при которых авторотирующее тело имеет максимальный угол планирования. Представленный в работе метод состоит в осреднении системы уравнений движения тела, после чего показывается существование стационарного решения, "которое является режимом авторотации.
Для обоснования применения метода осреднения получены уравнения первого приближения для режима авторотации и проведена их нормализация. В качестве малого параметра выбирается безразмерная V величина = —-. Показано, что нормализованные уравнения имеют ограниченное периодическое решение [1]. Для других, более простых установившихся движений, исследуется устойчивость нулевого решения по первому приближению.
Математической основой для всего этого служат фундаментальные положения теории исследования нелинейных колебательных систем при помощи метода осреднения: теорема Боголюбова, метод нормальных координат Булгакова, которые подробно изложены в [19], [20], [21] и основные положения теории устойчивости движения: теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению и.т.д., изложенные в книге [22]. Формулы первого приближения, найденные при помощи метода осреднения тем точнее, чем меньше перекос пластинок 5 и величина є = ——.
Исследование устойчивости режимов вертикального спуска
Простейшие режимы вертикального спуска (2.1.8) и (2.1.11), полученные в 1 представляют собой интерес, как крайние положения тела, между которыми существует семейство режимов планирования. Исследуем устойчивость этих двух режимов. Очевидно, что при малых отклонениях от обоих режимов вертикального спуска, сила сопротивления носит восстанавливающий, а подъемная сила - отталкивающий характер. Для режима (2.1.8) имеем: Введем малые отклонения: 0 Функции s, р разложим в ряд в окрестности a- xxx=S-7r,p S. Возьмем при этом только члены первого порядка:
Обозначим также: p 0 =—pac y0 Кинематические соотношения (1.1.2) разложим в ряд в окрестности Возьмем при этом только члены первого порядка: Проведем линеаризацию правых частей уравнений (1.1.1), получим уравнения первого приближения для стационарного режима (2.1.8): В полученных уравнениях первого приближения стационарного режима (2.1.8) второе уравнение отделилось, и из него следует, что при г да Y асимптотически стремится к нулю. Характеристическое уравнение оставшейся подсистемы имеет нулевой корень, и нельзя дать ответ на вопрос об устойчивости, рассматривая только первое приближение.
Следует отметить, что при выполнении условия - --\ , в характеристическом уравнении появляется корень с положительной вещественной частью и режим вертикального спуска (2.1.8) неустойчив. Механическая интерпретация полученного условия заключается в том, что наблюдается потеря устойчивости для тела, имеющего большой момент инерции и обладающего высоким качеством. Для режима (2.1.11) проведем аналогичные рассуждения: Введем малые отклонения: Функции s, р разложим в ряд в окрестности a-±S — ,/?-» + — : Кинематические соотношения (1.1.2) линеаризуем в окрестности: Уравнения первого приближения для стационарного режима (2.1.11) имеют вид: Видно, что второе уравнение отделилось и из него следует, что Y асимптотически стремится к нулю при / - со. Характеристическое уравнение оставшейся подсистемы опять имеет нулевой корень, т.е. ответ на вопрос об его устойчивости не может быть дан при рассмотрении первого приближения. Однако, при выполнении условия р т - sm
О для режима (2.1.11) будет иметь место неустойчивость, так как в характеристическом уравнении появляется один корень с положительной вещественной частью. Механическая интерпретация полученного условия заключается в том, что наблюдается потеря устойчивости для тела, имеющего пластинки, у которых
Получение уравнений первого приближения режима авторотации
Общепринятым является разделение математического моделирования на два основных вида - аналитическое и имитационное. Характерной особенностью аналитического моделирования является запись процессов функционирования элементов моделируемой системы в виде некоторых соотношений - дифференциальных, интегро-дифференциальных, конечно-разностных, либо логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: 1. Аналитическим. При этом целью является получение в общем виде различных зависимостей для искомых характеристик. 2. Численным. В этом случае целью является получение количественных результатов при определенных исходных данных. Решение в общем виде не находится, но в результате параметрического анализа могут быть обнаружены определенные тенденции в поведении исследуемой системы. 3. Качественным. Решение в явном виде отсутствует, но можно оценить некоторые свойства решения.
Принцип имитационного моделирования основывается на том, что математическая модель воспроизводит процесс фуніщионирования во времени, причем имитируются элементарные события, протекающие в системе с сохранением логики их взаимодействия и последовательности протекания во времени. Таким образом, есть возможность получения по исходным данным сведений о состоянии системы в определенные промежутки времени, что позволяет оценить характеристики системы. Имитационное моделирование может быть положено в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая будет оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности. С развитием вычислительной техники появилась возможность проводить достаточно точное моделирование различных систем. При этом значительно сокращаются расходы на проведение натурных экспериментов, так как многие параметры модели уточняются еще в ходе компьютерного моделирования. Кроме того, существует ряд задач, где постановка опыта на реальной модели просто невозможна или экономически неоправданна.
В самом начале использования компьютеров для научно-технических расчетов применялись программы, написанные в машинных кодах. После этого широкое распостранение получили программы, созданные на языках высокого уровня. В последнее время для решения достаточно большого круга прикладных задач математического моделирования в различных областях человеческой деятельности достаточно успешно применяются специализированные математические пакеты. Наибольшую популярность из них имеют последние версии специализированных компьютерных систем Maple, MatLab, Mathematica и др. Для решения серьезной задачи на языке высокого уровня потребовалось бы написать и оттестировать несколько десятков подпрограмм. Применение же математических пакетов приводит к резкому сокращению времени создания и реализации на компьютере расчетных методик и математических моделей, так как решение большинства математических задач происходит на основе готовых подпрограмм. Более того, задачи математического моделирования в современных системах компьютерной математики можно решать при помощи визуального программирования. В большинстве случаев современные средства моделирования позволяют обеспечить высокий уровень адекватности модели.
Построенная в работе математическая модель движения тела представляет собой систему, состоящую из обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши и нелинейных алгебраических уравнений. Задача численного построения фазовой траектории такой системы разрешима, если совокупность нелинейных уравнений однозначно разрешима в каждой временной точке, и правые части дифференциальных уравнений достаточно гладкие. Ядро системы MATLAB и пакеты расширения поддерживают все три вида математического моделирования для самых различных областей применения. Для имитационного моделирования динамических систем, описываемых линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями, используется пакет Simulink [26].
При помощи системы компьютерной математики MATLAB 6.5 Release 13 проводится имитационное моделирование динамической системы, описывающей движение тела на различных режимах. Построена зависимость абсолютного значения угла планирования от угла ориентации тела. Имитация движения тела около найденных режимов вертикального спуска и планирования проводится для того, чтобы подтвердить неустойчивость этих режимов. Имитационное моделирование движения на режиме авторотации заключается в поиске численных решений при различных значениях массы и угла перекоса. Построенная имитационная модель имеет входящий блок данных (площадь пластинок, размер стержня, масса тела, установочный угол пластинок, аэродинамические функции, начальные условия), программу, определяющую динамические характеристики движения тела на режиме авторотации. Вычисления проводятся многократно при различных значениях массы тела и угла перекоса пластинок. После окончания вычислений результаты моделирования формируются в виде графика области авторотации тела, поверхности o) = a)(m,S), изображающей численную зависимость угловой скорости от массы и перекоса пластинки (рис 54), поверхности y = y(m,S), изображающей зависимость расчетного угла планирования от массы и перекоса пластинки (рис. 55). Таким образом, рассмотренная имитационная модель позволяет построить на плоскости параметров m,S область авторотационньгх режимов движения тела (рис. 53).
Численное интегрирование уравнений движения
Полученные в 1-4 Главы 2 и в 1, 2 Главы 3 основные аналитические результаты использованы для построения с помощью математического пакета MATLAB 6.5 программы, реализующей численное интегрирование уравнений движения тела (приложение программа 1). При поиске численного решения используется процедура ode45, реализующая методы Рунге-Кутта четвертого и пятого порядка с автоматическим выбором шага. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями: заключается в поиске решения y=y(t), отвечающего этим начальным условиям. Методы Рунге-Кутта - это группа итерационных методов решения задачи Коши, характеризуемая следующими условиями: 1. Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки (tk,yk) в точку (fk+l,JVn) используется лишь информация о предыдущей точке (tk,yk). Этому условию соответствует такая общая запись итерационной процедуры где кЦк,ук) выражается через значения функции fit,у) в точке (tk,yk). 2. Процедура метода согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где р - порядок метода. 3. Метод не использует производных от f{t, у), а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции -минимально возможное для данного порядка. 4. Правило оценки точности метода, основано на проведении вычислений с разными шагами интегрирования. Основная идея правила Рунге заключается в следующем. Вычисления проводятся с обычным шагом и с шагом вдвое меньшим.
Погрешность метода, с точностью &0(hp) оценивается по простой формуле: Это правило используется не только для оценки погрешности вычисления, но и для автоматического выбора шага интегрирования. Если величина є превышает некую заданную (или заранее выбранную) константу Єо, то шаг интегрирования уменьшается; если, напротив, є существенно меньше є0, то h увеличивается. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности, наиболее употребляемый на практике, сформулирован следующим образом: При поиске численного решения аэродинамические функции p,s "интерполируются кубическим сплайном. Использование кубической сплайн-интерполяции дает хорошие результаты и обеспечивает следующие свойства кусочно-полиномиальной аппроксимирующей функции: 1. Ее график проходит точно через узловые точки, в узловых точках нет разрывов и резких перегибов. 2. Появляется возможность аппроксимации функций с множеством пиков и впадин. 3. Первая и вторая производная результата интерполяции непрерывны в узловых точках, что обеспечивает достаточно высокую степень гладкости аппроксимирующей функции.
При запуске программы вводятся числовые значения параметров: Значения аэродинамических функций для прямоугольных пластинок с удлинением Л = 8 вводятся как в предыдущем параграфе (стр. 73). После этого вычисляются стационарные значения a 0,V0,r0, полученные при помощи После этого для работы решателя ode45, необходимо подготовить файл функцию вычисляющую правые части системы (1.1.1): function dydt =vertl(T,Y); dydt(6)=Y(3) sin(Y(4)); При работе программы процедура ode45 постоянно обращается к файлу-функции vertl. Далее происходит графический вывод полученного численного решения: [T,Y]=ode45(@vert 1 ,Tspan,Yo,al); subplot(3,l,1); hold on рЫ(У(:Л),У(:,2);М У, plot(Y(:,l), Y(:,3)/R ); plot(Y(:,5), Y(:,6), R ), grid on После выхода тела на режим авторотации и окончания интегрирования уравнений движения тела происходит сглаживание полученного решения. Численные значения угловой скорости, скорости спуска и угла планирования аппроксимируются набором кубических сплайнов и проводится их осреднение на последнем обороте. При этом используются функции fhint и fnval из пакета расширения Spline Toolboox. Полученные численные результаты сравниваются с теоретическими оценками, найденными при помощи метода осреднения: Проведем моделирование поступательного движения тела, имеющего пластинки с удлинением Л = 8. Зададим размеры тела, массу, установочный угол пластинок, момент инерции, начальные условия и проведем численное исследование движения тела около найденных стационарных режимов. Начнем с имитации движения тела в окрестности простейшего режима вертикального спуска (2.1.6). При построении модели, используем следующие числовые значения параметров: т = 2к, г - 1.6 м., 1=0.1кг-л 2, СГ = 0,32 М2, ё = 2. Вычислим установившуюся скорость режима (2.1.8) и получим Vx к 31.623—. Выберем начальные условия, близкие к с стационарным значениям: [i//(0), /(О), у(0), V(0), х(0), у(0)] = [92 ,0,0,31.623,0,0]. В качестве результатов моделирования сформируем фазовые зависимости угловой скорости, скорости планирования и траектории центра масс при движении тела на режиме вертикального спуска (2.1.8), изображенные на рисунке 35. Как видно из рисунка 35, тело из вертикального спуска переходит в пикирование, потом выравнивается и описывает мертвую петлю, т.е. происходит уход тела с режима (2.1.8) и подтверждается его неустойчивость. Отметим, также, что в данном случае условие неустойчивости: — -\ -тг s0 J для режима вертикального спуска (2.1.8) выполняется. Возникает естественный вопрос о поведении модели в ситуации, когда условие неустойчивости для режима (2.1.8) не выполнено, например, при числовых значениях т 50кг, г = 1.6 м., 1=0Лкг м2, х = 0,32м2, = 2. Величина установившейся скорости в этом случае будет равна Vx «158.114—. Выберем с начальные условия, близкие к стационарным значениям: [ (0),7(0),«(0),Г(0),х(0),Я0)] = [92,0,0,158.114,0,0].
