Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическое моделирование и метод численного решения многомерных задач теплопроводности в анизотропных затупленных телах в условиях сложного теплообмена и уноса массы 18
1.1. Физико-математическая постановка 19
1.2 Аппроксимация задачи (1.1)-(1.11) для затупленных анизотропных тел, ограниченных произвольной границей. Метод погружения 24
1.2.1. Аппроксимация в регулярных узлах 26
1.2.2. Аппроксимация на границах 1-ІI и границах разрыва ТФХ 28
1.2.3. Аппроксимация краевых условий (1.5)- (1.8) на свободных границах wl, w2 и в узлах, непосредственно примыкающих к граничным. Метод погружения 30
1.3. Метод прогонки с неявной аппроксимацией существенно нелинейных лучистых тепловых потоков 37
1.4. Нестационарное движение наружной границы в процессе уноса массы 46
1.5. Общий алгоритм численного решения задачи (1.1) - (1.11) с использованием метода переменных направлений с экстраполяцией 55
1.6. Исследование теплового состояния анизотропных затупленных тел при сложном
теплообмене 59
Выводы к главе 1 65
ГЛАВА 2. Численное моделирование многомерных задач неизотермической анизотропной фильтрации и плёночного охлаждения затупленных тел при аэродинамическом нагреве 67
2.1. Двумерная нелинейная задача анизотропной фильтрации капельной жидкости с сильной зависимостью вязкости от температуры 69
2.2. Моделирование возникновения плёнки из отфильтровавшейся жидкости, её течения и теплообмена в ней 74
2.3. Определение динамических и тепловых характеристик жидкой плёнки в первом приближении 79
2.3.1. Первоначальное определение массы жидкости, поступающей в плёнку и испаряющейся с её поверхности 80
2.3.2. Определение толщины плёнки жидкости в первом приближении 81
2.3.3. Вычисление относительной функции тока и относительной скорости жидкой плёнки в первом приближении 85
2.3.4. Распределение температуры в жидкой плёнке на первой итерации 86
2.4. Уточнение динамических и тепловых характеристик жидкой плёнки 91
2.4.1. Уточнение динамических характеристик жидкой плёнки 92
2.4.2. Уточнение тепловых характеристик жидкой плёнки 98
2.5. Численные результаты совместного решения задач фильтрации, течения и
теплообмена в жидкой плёнке 100
Выводы к главе 2 109
ГЛАВА 3. Аналитическое исследование тепломассопереноса при плёночном охлаждении тел 111
3.1 Физико-математическая мод ель 113
3.2. Метод аналитического решения комплекса задач (3.1) -(3-17) 116
3.2.1.Опре деление массовой скорости испарения защитной пленки и температуры ее наружной границы 117
3.2.2. Определение линейной скорости фильтрации 118
3.2.3. Распределение температуры с учетом неизотермической фильтрации 119
3,3.Анализ результатов моделирования 120
Выводы к главе 3 126
ГЛАВА 4. Численное исследование тепломассопереноса в анизотропных телах 128
4.1, Исследование двумерных нестационарных температурных полей в условиях уноса
массы 128
4.2. Численное исследование задач совместной анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации при пленочном охлаждении носовых частей ЛА 134
Выводы к главе 4 147
Заключение 149
Список использованной литературы
- Аппроксимация задачи (1.1)-(1.11) для затупленных анизотропных тел, ограниченных произвольной границей. Метод погружения
- Моделирование возникновения плёнки из отфильтровавшейся жидкости, её течения и теплообмена в ней
- Метод аналитического решения комплекса задач (3.1) -(3-17)
- Численное исследование задач совместной анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации при пленочном охлаждении носовых частей ЛА
Введение к работе
При гиперзвуковых скоростях полёта (числа Маха М > 5 - 6) носовые части фюзеляжей, несущих и управляющих поверхностей летательных аппаратов (ЛА) изготовляют притуплёнными. Это позволяет за счёт образования высокоэнтропийного слоя существенно снизить тепловые потоки к боковой поверхности ЛА по сравнению с острыми носовыми частями [1, 16-18, 71, 72, 166, 167]. В этих условиях необходимо с высокой точностью определять тепловое состояние носовых частей ЛА, как наиболее теплонагруженных их частей.
Для тепловой защиты носовых частей Л А от аэродинамического нагрева используются пассивные и активные способы. К пассивным относятся различные теплозащитные материалы (ТЗМ), поглощающие тепловую энергию, возникающую при адиабатическом сжатии в ударной волне и от трения в пограничном слое, за счёт теплоёмкости материала ТЗМ, за счёт различных физико-химических процессов, сопровождающих тепловое разрушение ТЗМ в условиях уноса массы и за счёт вдува в высокотемпературный пограничный слой газообразных продуктов разложения.
При активных способах тепловой защиты разрабатываются специальные системы подачи в высокотемпературный пограничный слой газообразных или жидких охладителей. При этом, для уменьшения расхода охладителя могут применяться активные схемы охлаждения как с регулировкой (или даже автоматической регулировкой), так и без регулировки подачи охладителя.
Отсюда видно, что математическое моделирование теплового состояния носовых частей ЛА является комплексной проблемой, включающей в себя следующие математические модели: потенциального течения между ударной волной и телом; вязкого течения с теплообменом в пристенном пограничном слое; теплопроводности, в том числе с учётом уноса массы и возможной неизотермической фильтрации через организованные поры; течения жидких или газообразных охладителей около затупленного тела; теплообмена на внутренней границе с жидкими или газообразными охладителями.
При этом необходимо учитывать различные физические (и химические) явления, приводящие к существенной нелинейности математических моделей. К таким явлениям можно отнести излучение, зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от определяющих параметров (например, температуры), унос массы, а также анизотропию распространения тепла и массы, разрывы ТФХ, кривизну конструкции, многомерность, нестационарность и др.
Большинство теплозащитных материалов, в той или иной степени, являются анизотропными. К ним относятся графиты и графитосодержащие материалы, различные стекло-, угле- и асбопластики, композиционные материалы, некоторые тугоплавкие металлы. При этом композиционные теплозащитные материалы при разложении связующих образуют пористые остатки, сквозь которые фильтруются газообразные продукты разложения и вдуваются в пограничный слой. Пористые системы охлаждения можно получить, организуя поры в тепловой защите под различными углами к нормали поверхности так, что искусственный пористый материал становится анизотропным как для теплопроводности, так и для фильтрации.
Функционирование носовых частей ЛА в условиях уноса массы увеличивает радиус их затупления, что при гиперзвуковом полёте приводит к резкому повышению волнового сопротивления и, как следствие, к значительным дополнительным расходам топлива.
С другой стороны, поскольку на носовые части Л А приходятся максимальные механические нагрузки, то на несущие (металлические) части конструкции накладываются существенные ограничения по максимальному уровню температур.
Таким образом, математическое моделирование совместной многомерной теплопроводности и фильтрации в анизотропных затупленных носовых частях Л А при их аэродинамическом нагреве является актуальной проблемой.
В диссертационной работе исследуются вопросы численного моделирования процессов совместной нелинейной теплопроводности и фильтрации в анизотропных носовых частях ЛА, в том числе в условиях уноса массы и плёночного охлаждения при сложенном теплообмене (конвективно-кондуктивном и лучистом видах теплообмена). Кроме этого, в диссертации моделируется перспективный способ тепловой защиты носовых частей ЛА с автоматическим регулированием подачи охладителя через организованные поры [133, 135, 139, 141], когда охладитель выбирается с сильной зависимостью его динамической вязкости от температуры (на 3-5 порядков при нагреве на 150-200 градусов). При этом на наружной границе образуется защитная плёнка охладителя, испаряющаяся под действием аэродинамического теплового потока. При увеличении, например, теплового потока в какой-либо точке носовой части увеличивается температура каркаса и охладителя, резко уменьшается его динамическая вязкость и при одном и том же перепаде давления увеличивается расход охладителя, компенсируя увеличение теплового потока. Таким образом, применение такого охладителя позволяет разработать систему автоматического регулирования подачи охладителя через организованные поры, автоматически препятствующего изменению теплового потока.
Можно насчитать десятки работ по совместной теплопроводности и фильтрации. Например, работы отечественных учёных, таких как Лыков А.В. со своей школой [74-82], Полежаев Ю.В. [104, 105], Боровой В.Я. [16-18], Зарубин B.C. [42, 43], Никитенко Н.И. [95, 96], Формалёв В.Ф. [133, 135, 137, 141].
Проблемы теплопроводности в пористых и дисперсных средах при наличии фильтрации газов и жидкостей рассматривались в работах Аравина В.И. и Нумерова В.И. [5], Баренблатта Г.И. [14, 15], Васильева Л.А. [30], Бровкина Л.А. [25], Коллинза Р. [56], Лыкова А.В. [74-76, 82, 127], Борового В.Я. [16-18].
Значительный вклад в развитие теории теплопроводности внесли советские и российские теплофизики Лыков А.В. [77, 82], Зарубин B.C. [42, 43], Коздоба Л.А. [53, 54], Дульнев Г.Н. [38-40], Перельман Т.Л. [100], Карташов Э.М. [47-49], Формалёв В.Ф. [132, 134, 136, 137] и многие другие, а также зарубежные теплофизики Карслоу Г. И Егер Д. [46], Берман Р. [10], Гребер Г., Эрк С. И Григулль У. [33], Шнейдер П. [152], Камья Ф.М. [45].
Различные методы решения задач, моделирующих теорию теплопроводности в условиях уноса массы, когда возникают подвижные границы, разрабатывались в работах Самарского А.А. [118, 122, 123], Будака Б.М. и Гольдмана [19], Гринберга Г.А. [34], Карслоу Г. И Егера Д. [46], Лыкова А.В. [74-78], Любова Б.Я. и Соболя Э.Н. [83], Никитенко Н.И. [95-96], Полежаева Ю.В. [104, 105], Розенсвейга Р.Е. и Бичера Н. [113], а также в работах [127-129]. В этих работах рассматривались в основном одномерные по пространственным переменным задачи.
Течение жидких плёнок с испарением и вдувом рассматривалось в работах Полежаева Ю.В. [104], Мугалёва В.П. [93], Борового В.Я. [16-18], Лыкова А.В. [80-82], Формалёва В.Ф. [133, 135, 139, 141].
Вопросы теплообмена при естественной конвекции газообразных и жидких охладителей подробно рассмотрены в работах Кутателадзе С.С. [67] и Михеева М.А. [92]. Правда, в них рассмотрены методы определения коэффициента теплоотдачи от жидких или газообразных сред, но не изложены методы определения температуры этих сред.
Значительные сложности возникают при моделировании теплового состояния анизотропных материалов, используемых в качестве теплозащитных при аэродинамическом нагреве ЛА, чем обусловлено
8 незначительное число работ по этой проблематике. Прежде всего, это работы Пэдовена Д. [106-108], Пуня К.С., Цзоу Р.Ц. и Чжана Ю.П. [109, 149, 150], Формалёва В.Ф., Москаленко А.А., Тюкина О.А., Колесника С.А. [137], Коляно Ю.М. [55], в которых получены аналитические решения некоторых простейших задач анизотропной многомерной теплопроводности операционными методами.
В работе Кима Л.В. и Микова В.Л. [52] рассмотрен полу аналитический метод решения линейных задач анизотропной теплопроводности в полупространстве, основанный на численном обращении преобразования Лапласа.
В работе Чепрасова А.И. [148] численно моделируется трёхмерная анизотропная теплопроводность в аномальной подобласти, принадлежащей бесконечной расчётной области с использованием метода дробных шагов Яненко [156].
Как видно, работ по анизотропной теплопроводности очень мало, а работы по анизотропной теплопроводности многомерных тел с криволинейными границами в условиях сложного теплообмена, фильтрации и уноса массы и вовсе отсутствуют.
На основе изложенного, формулируются следующие цели диссертации:
Модификация существующей и разработка новой математической модели плёночного охлаждения анизотропных пористых тел в условиях аэродинамического нагрева на основе моделирования неизотермической фильтрации охладителя с сильной зависимостью его динамической вязкости от температуры.
Разработка инженерной методики определения массовых скоростей расхода и испарения жидкой плёнки, а также температурных полей с учётом фильтрации охладителя со «сверхтекучими» свойствами при умеренном изменении температуры, на основе аналитического решения нелинейной задачи тепломассопереноса при плёночном охлаждении.
Модификация существующей математической модели и методов решения многомерной анизотропной теплопроводности с учётом фильтрации и уноса массы в затупленных носовых частях ЛА в криволинейных системах координат при их аэродинамическом нагреве.
Исследование многомерных температурных полей в зависимости от величин главных коэффициентов теплопроводности и ориентации главных осей тензора теплопроводности. Исследование полей давления и компонентов скорости анизотропной фильтрации, а также динамических и тепловых характеристик защитной жидкой плёнки. Для численной реализации комплексов задач, перечисленных в этих целях, необходимо выбрать численный метод, удовлетворяющий следующим требованиям: экономичности, абсолютной устойчивости, простоте алгоритмизации. К настоящему времени существует огромное число работ, посвященных численному решению параболических задач. Среди экономичных численных схем необходимо отметить следующие: метод дробных шагов (МДШ) Яненко Н.Н. [156, 157], метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда [162], центрально-симметричный метод Самарского А.А. [117], метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) Формалёва В.Ф. [136, 137], метод полного расщепления (МПР) Формалёва-Тюкина [137]. Метод стабилизирующей поправки, являясь разновидностью методов расщепления, был предложен Дугласом Д. и Ганном Д. [159]. Метод предиктор-корректор для уравнений параболического типа был развит в работе Дугласа Д. и Джонса В. [160].
Все эти методы являются экономичными, поскольку сводятся к скалярным прогонкам по координатным направлениям и абсолютно устойчивыми, если дифференциальные уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. При наличии смешанных производных все перечисленные методы, за исключением методов [136, 137], являются условно устойчивыми, даже такой метод, как метод дробных шагов Яненко Н.Н. Поэтому для программной реализации использован экономичный,
10 абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ), разработанный научным руководителем. По точности и порядку аппроксимации он уступает таким методам, как МПН, метод стабилизирующей поправки, но по запасу устойчивости он не имеет себе аналогов. Кроме этого, МПНЭ обладает полной аппроксимацией на каждом дробном временном подслое.
Ниже изложено краткое содержание диссертации. Она состоит из введения, четырёх глав с выводами, заключения и списка литературы.
В первой главе рассматривается математическая модель по определению нестационарных температурных полей в анизотропных затуплениях носовых частей Л А в условиях конвективно-кондуктивного и лучистого теплообмена. Моделирование осуществляется в криволинейных системах координат, причём разные части тела рассматриваются в различных системах координат. Наружная граница тела может задаваться произвольно и, как обобщение, может учитывать неравномерное движение наружной границы в условиях уноса массы. Кроме этого, математическая модель может учитывать фильтрацию газообразных или жидких охладителей.
В параграфе 1.1 дана формулировка задачи, причём, если непосредственно затупление рассматривается в сферических или полярных координатах, то хвостовая часть - в произвольных координатах, а на линии сопряжения затупленной и хвостовой частей выполняются не дифференциальные уравнения, а условия непрерывности тепловых потоков и температур.
В параграфе 1.2 осуществлена конечно-разностная аппроксимация на сетке, содержащей 8 типов узлов, для которых аппроксимация может быть различна. Чтобы учесть отличие режимов в отсутствие уноса массы от режимов с уносом массы, вводится функция Хэвисайда при аппроксимации краевых условий на наружных границах. Для аппроксимации в областях с произвольными наружными границами используется метод погружения расчётной области в область классических форм и на эту расширенную
11 область накладывается фиксированная сетка, относительно узлов которой движется наружная граница. При этом продольные координаты могут выходить из расчётной области и снова входить в неё.
В параграфе 1.3 изложен метод прогонки с использованием неявной аппроксимации лучистых тепловых потоков, как в радиальном, так и в продольном направлениях, что позволяет путём точного определения температуры на наружной границе исключить неустойчивость и большие погрешности при высоких температурах (-2500-3000^:). Получена верхняя оценка погрешности в определении температуры по явной и неявной схемам. Доказана теорема о существовании как минимум одного вещественного положительного корня уравнения четвёртой степени на наружной границе в широком диапазоне изменения теплофизических характеристик.
В параграфе 1.4 рассматривается способ определения моментов начала и окончания уноса массы в существенно нестационарных случаях, когда тепловые пики, сопровождающиеся уносом массы, сменяются тепловыми спадами в отсутствие уноса массы. Кроме этого, найдена связь нормальной скорости движения границы с функцией, описывающей её поведение.
В параграфе 1.5 описан общий алгоритм численного решения задачи (1.1)-(1.11).
В параграфе 1.6 исследуется тепловое состояние анизотропных затупленных тел при сложном теплообмене. Проанализировано влияние на температурные поля степени анизотропии, углов, ориентирующих главные оси тензора теплопроводности, указана существенная связь между ориентацией главных осей тензора теплопроводности с величиной уноса массы.
Во второй главе численно моделируются задачи неизотермической анизотропной фильтрации в условиях плёночного охлаждения затупленных тел при аэродинамическом нагреве.
В параграфе 2.1 моделируется двумерная нелинейная задача неизотермической фильтрации с сильной зависимостью динамической
12 вязкости охладителя от температуры. Аппроксимация модели осуществляется тем же методом МПНЭ, что и задача теплопроводности, Это позволяет совместить соответствующие алгоритмы в единый программный комплекс, причём вместо тензора теплопроводности задействован тензор проницаемости с теми же главными осями.
В параграфе 2.2 моделируется возникновение жидкой защитной плёнки охладителя из отфильтровавшейся жидкости, её течение с теплообменом и испарением. Поскольку линейная скорость фильтрации имеет порядок миллиметров (т.е. такой порядок имеет вертикальная составляющая плёнки), а горизонтальная составляющая плёнки имеет порядок сантиметров и даже метров, то моделирование течения плёнки осуществляется в приближении пограничного слоя, с использованием переменных Дородницына-Лиза,
В параграфе 2.3 определяются динамические и тепловые характеристики жидкой плёнки в первом приближении. При этом продольный компонент вектора скорости определяется в предположении о том, что не только продольная скорость, но и её производная первого порядка по вертикальной переменной равны нулю, а на наружной границе скорость определяется из аналогии между трением и теплообменом. Это позволило не только определить профиль скорости в плёнке, но и её толщину. При определении теплового состояния плёнки в начальном приближении используется локально - одномерное радиальное распределение температуры в теле и соответственно на границе жидкость — тело.
В параграфе 2.4 изложен алгоритм уточнения характеристик жидкой плёнки на основе разложения в ряд Тейлора продольной составляющей скорости в окрестности границы тела до четвёртой производной включительно. В этом разложении вторая производная от относительной функции тока уточняется в локальном итерационном цикле. Доказана теорема о достаточных условиях сходимости этого итерационного процесса. Уточнение распределения температур в плёнке осуществляется с помощью
13 численного решения уравнения энергии на основе уже решённой двумерной задачи теплопроводности с учётом фильтрации.
В параграфе 2.5 численно исследуются поля давлений фильтрации, поля компонентов вектора скорости фильтрации в пористом анизотропном теле и компоненты вектора скорости течения плёнки. Приведены результаты сходимости глобального итерационного процесса по определению скоростей вдува и испарения жидкой плёнки, разность которых в основном определяет толщину жидкой плёнки. При этом если скорость вдува устанавливается с первой итерации, не считая нулевую, то скорость испарения устанавливается со 2-й, 3-ей итерации. В заключение, приведены экспериментальные результаты (в численных экспериментах) по сходимости итерационного процесса для относительной функции тока и относительной скорости течения плёнки охладителя. Показано, что для сходимости указанных величин, достаточно трёх глобальных итераций.
В третьей главе разработана упрощённая (инженерная) математическая модель плёночного охлаждения при аэродинамическом нагреве жидкостью, динамическая вязкость которой изменяется на 3-5 порядков при умеренном изменении её температуры (на 150-300 градусов). Хотя модель и нелинейна, было найдено аналитическое решение в виде неявных функций для температуры, расхода и испарения охладителя.
В параграфе 3.1 приводится упрощенная математическая модель, учитывающая все физические процессы при плёночном охлаждении тел, а именно: теплопроводность с учётом фильтрации, неизотермическую фильтрацию, вдув, испарение, теплообмен на внутренней границе.
В параграфе 3.2 приводится метод аналитического решения всей комплексной модели. В основе метода лежит определение температуры наружной границы плёнки на основе равенства массовой скорости испарения, используя понятие эффективной энтальпии жидкости и массовой скорости испарения> пропорциональной разности давлений насыщенного пара, определяемого из уравнения Клапейрона - Клаузиуса и парциального
14 давления пара, определяемого из аналогии между диффузией и теплообменом. Полученная таким образом температура, которая не превышает температуры испарения жидкости, используется в качестве краевого условия для аналитического решения нелинейной стационарной задачи теплопроводности с учётом фильтрации.
В параграфе 3.3 исследуются массовые скорости вдува охладителя, его испарение, а также температурные поля. Для уменьшения расхода, с сохранением теплового эффекта, фильтрационные отверстия организованы под углом к нормали поверхности, вследствие чего исследовано влияние этого угла на расход охладителя. Интересно отметить, что температура наружной границы не зависит от величины подводимого теплового потока и находится в окрестности температуры кипения охладителя.
В четвёртой главе получены результаты численного решения задач анизотропной теплопроводности в условиях уноса массы и анизотропной фильтрации при плёночном охлаждении затупленных тел.
В параграфе 4.1 получены температурные поля в затупленном анизотропном теле в условиях уноса массы, когда главные компоненты и ориентация главных осей тензора теплопроводности принимают различные значения. Рассмотрены случаи минимального и максимального по затуплению величин уноса массы в зависимости от ориентации главных осей тензора теплопроводности.
В параграфе 4.2 получены результаты численного исследования полей продольного и радиального компонентов скорости двумерной анизотропной фильтрации в квазистационарном случае в условиях, когда изменяются главные коэффициенты и ориентация главных осей тензора проницаемости. Показано, что радиальный компонент скорости фильтрации монотонно убывает с ростом радиальной переменной, а продольный, с ростом продольной переменной немонотонно возрастает, принимая различные знаки. При этом если в изотропной фильтрации на изобаре продольный
15 компонент равен нулю, то в анизотропной может принимать произвольные по знаку ненулевые значения.
Анализ массовых скоростей вдува и испарения охладителя показал, что эти скорости, в основном, отслеживают друг друга, причём в некоторых точках (особенно в окрестности звуковой линии) скорость испарения может превысить скорость подачи охладителя. Это не означает, что в этих местах толщина жидкой плёнки обязательно будет равна нулю. Для этого необходимо, чтобы поступление жидкости из точек вниз по потоку, зависящее от градиента давления, не уравновешивало отрицательный баланс вдува и испарения.
Таким образом, на защиту выносится:
Математическая модель и разностно-итерационный метод её решения по расчёту тепломассопереноса в анизотропных затупленных телах при их плёночном охлаждении в условиях аэродинамического нагрева.
Метод формирования защитной жидкой плёнки на основе анизотропной фильтрации охладителя через организованные поры и определения динамических и тепловых характеристик в приближении пограничного слоя.
Упрощённая (инженерная) модель одномерной теплопроводности и фильтрации при плёночном охлаждении тел охладителями с сильной зависимостью их динамической вязкости от температуры, а также разработанный метод аналитического решения этой модели.
Модифицированная математическая модель анизотропной теплопроводности затупленных тел с учётом уноса массы и фильтрации. Модификация коснулась в части использования нового экономичного абсолютно устойчивого метода МПНЭ численного решения, метода погружения и метода неявной аппроксимации лучистых тепловых потоков, как в радиальном, так и в продольном направлениях.
16 5. Результаты численного и аналитического исследований температурных полей в анизотропных телах в условиях уноса массы, полей давления и компонентов скорости анизотропной фильтрации, образования защитной жидкой плёнки с определением её динамических и тепловых характеристик.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [139 - 146]. Степень участия автора: в работе [139] - разработка метода, алгоритма и анализ результатов; в работах [140 - 142] - разработка алгоритма, программ и анализ результатов.
Основные результаты диссертации докладывались: на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У.Г.; на 3-й Международной конференции «Математические модели физических процессов», г. Таганрог, 27-28 июня 2003 г.; на 12-й Международной конференции «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы», г. Владимир, 30 июня — 5 июля 2003 г.; на 10-м Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец, Моск. Обл., 9-13 февраля 2004 г.; на 3-й Международной конференции «Авиация и космонавтика -2004», г. Москва, октябрь 2004 г.; на 29-х академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики», г, Москва, январь 2005 г.
Диссертационная работа выполнялась при поддержке грантов:
РФФИ, № 04-01-81012 Бел 2004а;
Министерства образования РФ ЖГО2-14.0-1812;
17 3. Президента РФ МК-1576.2003.01
Аппроксимация задачи (1.1)-(1.11) для затупленных анизотропных тел, ограниченных произвольной границей. Метод погружения
В соответствии с системами координат, введёнными в параграфе 1.1, координатными линиями являются следующие линии: в подобласти I продольными линиями являются концентрические окружности с радиусами г} - const] и центром в полюсе О, а радиальными - линии в, = const 2, выходящие из полюса О перпендикулярно продольным линиям; в подобласти II продольными являются линии r} = constt, параллельные базовой поверхности 02002, а радиальными - линии в,=соті2, проходящие перпендикулярно базовой поверхности. Таким образом, на пространственно-временную расчётную область наносится сетка а =\г; = R2+jAr,j = \,M; в{=гА9п / = 1,«,; вк=\Ьи, / = 1,«2; тк =кАт, к = 1,к\. Здесь m,E»i2. количество шагов в радиальном направлении для соответствующей подобласти; n]tn2- количество шагов в продольном направлении для подветренной (или наветренной) части соответствующей подобласти; Дг = ( - R2)/M; Д0, = (л/2 - ва)/п}; Д0„ = Цпг.
Такой подход, в совокупности с методом погружения, даёт возможность всю расширенную область покрыть системой продольно -поперечных полос, позволяющих на наружной границе wl расщепить нормальный тепловой поток (1.7) по координатным направлениям и учесть поведение наружной границы г = /гр(в). Это существенно уменьшает погрешности потока (1.7) по сравнению со случаем, когда на границу выходит не координатная полоса, а координатная линия.
Аппроксимация дифференциальных операторов по какой-либо пространственной переменной осуществляется в соответствующей координатному направлению полосе таким образом, что составляющая теплового потока, соответствующая рассматриваемому направлению, не протекает через стенки полосы (аналогия струек тока в гидродинамике).
Аппроксимация дифференциального оператора по времени в пространственном узле осуществляется для объёма, полученного путём пересечения продольных и поперечных координатных полос в окрестности этого узла.
В соответствии с видом расчётной области, представленной на рис. 1.1, могут быть следующие типы узлов, для которых аппроксимация различна: 1) регулярные узлы - узлы, находящиеся внутри подобластей I, II и не соприкасающиеся ни с одной из границ; 2) узлы, лежащие на границе подобластей I и II (обозначение «І-ІЇ»); 3) узлы, лежащие на внутренней свободной границе w2 (обозначение w2); 4) узлы, лежащие на наружной свободной границе wl (обозначение «w7»); 5) узлы, непосредственно примыкающие к наружным (обозначение «qp»); 6) узлы на оси ЛА в подобласти I (обозначение «СЮ4»); 7) узлы на возможных границах разрыва анизотропных и изотропных ТФХ (обозначение «wi»); 8) узлы на замыкающей границе w4 (обозначение «vv4»).
На границах разрыва геометрических и теплофизических характеристик дифференциальные уравнения (1.1), (1.3) не выполняются. На этих границах выполняются граничные условия IV-ro рода [77] (1.9). Погрешность аппроксимации в областях с разрывными характеристиками переноса сохраняется такой же, как и в областях без разрывов, если сетку узлов наносить таким образом, чтобы узлы попадали на границы разрывов [132].
В конечно-разностной аппроксимации к узлу, лежащему на границе разрыва ТФХ слева и справа примыкают элементарные объёмы в размере половины шагов сетки с ненулевыми объёмными теплоємкостями ср (граница имеет нулевую объёмную теплоёмкость, так как её масса равна нулю) и, в соответствие с первым началом термодинамики, разность тепловых потоков теперь будет равна не нулю, как в первом из условий (1.9), а количеству тепла, идущему на повышение температуры в элементарном объёме, примыкающему к разрывному узлу, то есть величине cpv—, где V элементарный объём.
В [122, 138] удовлетворение конечно-разностной аппроксимации закону сохранения энергии названо консервативностью конечно-разностной схемы.
В соответствии с этим принципом запишем конечно-разностную аппроксимацию на границах разрыва геометрических и теплофизических характеристик.
Слева от границы I-II выполняется уравнение (1.1) и аппроксимация (1.12), а справа - уравнение (1.3) и аппроксимация (1.13). Поэтому неявная аппроксимация для узлов, лежащих на границе I-II имеет вид;
Моделирование возникновения плёнки из отфильтровавшейся жидкости, её течения и теплообмена в ней
Капельная жидкость, отфильтровавшаяся через пористую область, под действием касательных напряжений в газодинамическом пограничном слое начинает стекать вниз по потоку, при этом с наружной границы плёнки жидкость испаряется под действием аэродинамического теплового потока. Поэтому естественно предположить, что течение и теплообмен в плёнке подчиняются законам движения несжимаемой теплопроводной жидкости в пограничном слое.
Чтобы это предположение соответствовало реальной картине, необходимо, чтобы продольный компонент скорости был на порядок выше вертикального компонента скорости (и, в частности, максимального его значения - скорости вдува).
Действительно, в реальных условиях скорость вдува капельной жидкости не может быть выше порядка нескольких миллиметров в секунду (в силу ограничения расходуемой жидкости), а продольная скорость имеет порядок см/с и м/с.
Тогда система уравнений, описывающая течение в жидкой плёнке и теплообмен в ней содержит в себе следующие уравнения: В этой задаче неизвестными являются относительная функция тока /, относительная температура в и относительная толщина плёнки 5 (или абсолютная - 5 ) -g=Mis (2.39)
При этом, для решения уравнения (2.31) используются краевые условия (2,33), (2.34) и (2.36), а для решения уравнения энергии (2.32) - краевые условия (2.35) и (2.38). Для определения 8 может быть использовано равенство (2.37).
Для замыкания задачи (2.31) - (2.39) необходимо предварительно определить касательное напряжение на границе раздела «газ-жидкость» гдв-ж массовую скорость испарения (pv)uc„, массовую скорость расхода (pv)wl, распределение скорости иД)или давления рД)и плотность / Д)на внешней границе пограничного слоя. Также (в силу нелинейности уравнений (2.31), (2.32)) необходимо оценить на первой итерации относительную функцию тока f($,Tj), относительную в(,ц) и абсолютную Т(,ті) температуры плёнки, первоначальную толщину плёнки и все необходимые для вычислительного процесса параметры.
Таким образом, при решении системы (2.31) (2.38) необходимо разработать адекватные модели вычисления всех параметров на первой итерации, разработать процедуры их уточнения и сходимости итерационного процесса. В силу этого вначале моделируются характеристики, не уточняемые в итерационном процессе, такие как газодинамические характеристики, затем моделируются уточняемые характеристики на первой итерации и, наконец, процедуры уточнения в итерационном процессе уточняемых характеристик.
В силу существенной нелинейности всей комплексной проблемы совместной теплопроводности и фильтрации в анизотропных телах с образованием жидкой плёнки и теплообменом в ней получить решение в безытерационных процедурах не удаётся.
Поэтому необходимым шагом является первоначальное определение следующих динамических и тепловых характеристик плёнки: МиЛї») д,/{%,гі\/№,іт), 0(Л\Т($,ГІ\ уточняемых затем из решения задачи (2.31)-(2.38).
Первоначальное определение массы жидкости, испаряющейся с наружной границы w плёнки, будем вести на основе понятия эффективной энтальпии охлаждающей жидкости [1, 104]. В этом приближении вместо точного баланса энергии на границе плёнки w га ycpJ„ (і.-КІ + я,)- =WL eL+/K .-O0+ .)+ К т (2.40) используем баланс, в котором вместо Tw принята температура испарения Тжп, кондуктивныи тепловой поток в плёнке принят равным тепловому потоку на границе wl анизотропного тела в соответствии с представлением (1.7)
Метод аналитического решения комплекса задач (3.1) -(3-17)
Значение скорости фильтрации из этого выражения можно вычислить вначале по линейному распределению температуры тЬ Тщ- -{8г-у), (3.25) а затем уточнить из решения задачи теплопроводности с учетом неизотермической фильтрации.
Таким образом, определяется температура наружной границы Т„ Twl и линейная скорость фильтрации vf, после чего можно приступить к решению задачи теплопроводности.
Полагая вначале линейным по толщине стенки распределение давления фильтрации в законе (3.5), подставляя в него выражение динамической вязкости охладителя (3.7), а затем используя в уравнении теплопроводности (3.2) полученное выражение для линейной скорости фильтрации Vf, сформулируем задачу теплопроводности в следующем виде: 4- + -ехр[-4г-я)2]— = 0, 0 y ST; (3.26) dyl dy ГЫ=Г„, ,y = ST- (3.27) (х ) dT = WJ, = 0, (3.28) 2 где температура Twi наружной границы стенки определяется выражением (3.19)rwl rw.
В уравнении (3.26) величина коэффициента D определяется следующим образом: G=VI - Рууг)ъщ С\ гДе С- постоянная из выражения (3.7). Решением нелинейной задачи теплопроводности (3.26)-(3.28) будет неявная функция T{y)=Twl -r )cxp\-D.)cxV[-A(T )-B)2]dAcirj. (3.29) гуу едг у L о J Распределение температуры т(у) из (3.29) можно вычислить итерационным методом с использованием любой квадратуры численного интегрирования, например, метода трапеций, полагая при этом на нулевой итерации распределение температуры линейным по переменной у в виде соотношения (3.25) (3.31)
Поскольку для решения задачи (3.26)-(3.28) делалось предположение о линейности по переменной у распределения давления, то, после получения распределения температуры из (3.30), необходимо уточнить распределение давления (3.23) и значение скорости фильтрации (3.24), а также распределение температуры (3.30). Таким образом, решение всей комплексной задачи (3.1)-(3.17) хотя и получено в виде неявных функций, без использования вложенных итерационных циклов обойтись не удалось.
Для получения и анализа результатов моделирования предлагаемого способа тепловой защиты рассматривается жидкость, динамическая вязкость которой определяется аппроксимационным выражением (3,7) с постоянными Л = 0,55-КГ4; 5 = 800; С = 14,29 [28]. Значения остальных характеристик охладителя и каркаса приняты следующие:
Основными характеристиками изложенного способа тепловой защиты являются массовый расход охладителя [pfVf) , массовая скорость испарения [p/Vf) , температура наружной границы жидкой пленки и наружной границы тела wl, распределение температуры и давления фильтрации по толщине стенки.
На рис. 3.2 получены зависимости массового расхода охладителя с сильной зависимостью динамической вязкости от температуры при изменении проницаемости и теплового потока qw2 на внутренней границе ц 2. Ясно, что с увеличением проницаемости ft расход охладителя в соответствии с выражением (3.24) возрастает нелинейно. Нелинейность связана с зависимостью от проницаемости коэффициента D в уравнении теплопроводности (3.26), а также сильной зависимостью динамической вязкости jUy от температуры в выражении (3.24), определяемой задачей (3.26)-(3.28). Из этого рисунка видно также, что массовый расход охладителя зависит нелинейно и от теплового потока qwl на границе w2.
Для уменьшения расхода охладителя с одним и тем же охлаждающим эффектом фильтрационные отверстия можно организовать под углом р к оси Оу в направлении оси ОЕ,, в результате чего тело становится анизотропным с главными осями 04, Orj, и коэффициентами теплопроводности Л%, Кп и проницаемости k , кп =0.
Численное исследование задач совместной анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации при пленочном охлаждении носовых частей ЛА
В этом разделе приведены результаты численных экспериментов по исследованию взаимного влияния многочисленных параметров, связанных между собой обобщённой математической моделью теплопроводности с учётом неизотермической фильтрации, методы, решения которой изложены в главах 1 и 2.
Наиболее интересным является вопрос о величине расхода охладителя под действием баро- и термофильтрации в условиях, когда на границе н-2 принимается постоянное давление, а на наружной границе w\ давление равно газодинамическому /?е(х,г) и существенно изменяется вдоль образующей вниз по потоку, начиная от точки полного торможения, в результате чего вдоль переменной х существенно изменяется и перепад давления между границами wl и w2, изменяя все динамические и тепловые характеристики системы охлаждения.
Для исследования принимались следующие значения входных данных: Д0= 0,018JW ; R2=0,0\M; 0О=1О; А, = 0,084 кВт/м- К ; Хц = 0,336 кВт/м К \ = 30; Хж=0,2ШкВт/м-К\ сж = 2,52кДж/кг-К; рж =\200кг/м3; р„2 = 0,5-106/7я; Мпар=29г/молъ; Qvcri = 2\00кДж/кг\ Тисп = 700; gc =420л#ж/кг; 77„я/1 = 0,4; =(0,1 0,4 10-%2; fe7=0,bl0-u 2 или kn =0,4-1043V; /7 =0,0001; / . =10"4 -0,2-]О"7 -Г,кг/м-с. На рис. 4.4 представлено изменение тепловых потоков к наружной границе wl в зависимости от скорости полёта и продольной координаты х, отсчитываемой от критической точки, а на рис. 4.5 - изменение перепада давления Ар = р„2- / „, и давления pw] в зависимости от тех же переменных. Эти характеристики соответствуют стрём значениям скорости полёта VH(т) =2200м/с, 2600м/с, 3000л /си постоянной высоте равной 10000м.
Из рис. 4.4 видно, что максимальные тепловые потоки наблюдаются не в точке полного торможения ( = 0), а в окрестности звуковой линии (х = 0,006м), что согласуется с данными теории [1,104], так как, во-первых, в окрестности этой точки расход газа максимален, а, во-вторых, газодинамический поток в окрестности звуковой линии уже турбулизован.
На хвостовой (конической) части тепловой поток имеет примерно постоянное значение и по уровню существенно ниже тепловых потоков на затуплении.
Изменение перепада давления &p = pw2 p„i и давления pw] по образующей затупления в зависимости от скорости (р„2 = 0,5 106 Па = const). 137 Аналогично, перепад давления Ар (рис. 4.5) имеет минимальное значение в точке полного торможения в силу того, что давление pwl в этой точке максимально. Резко увеличиваясь на затуплении, перепад давления достигает максимального постоянного значения на конической части. На рис,4.6 для изотропной фильтрации (к4 = А =0,]-іО_,їд 2) приведены результаты расчёта расхода охладителя (pv)wl, массовой скорости испарения (pv)Ui.n и относительной толщины плёнки (S ) в зависимости от координаты х вдоль образующей затупления и скорости набегающего потока (при фиксированной высоте) или от величины тепловых потоков, если этот рисунок сравнить с рисунком 4.4. Из рисунка видно, что массовая скорость испарения отслеживает расход охладителя вдоль образующей, оставаясь всюду ниже последнего, за исключением окрестности точки X = 0,009л непосредственно на затуплении при очень высоких тепловых потоках (VH-3000 м/с). Это указывает на автоматическое регулирование подачи охладителя при изменении тепловых потоков и температур тела.
В окрестности звуковой линии массовая скорость испарения превысила массовый расход охладителя (промежуток между точками А и В на рис. 4.6), что, казалось бы, должно было привести к отрицательному значению толщины жидкой плёнки (граница жидкой плёнки находится внутри пористого тела). Однако этого не происходит, поскольку толщина жидкой плёнки зависит не только от расхода и испарения, но и от перераспределения охладителя на наружной границе тела под действием отрицательного градиента давления — (см. формулу 2.49). dx
Однако ясно, что если расход охладителя меньше массовой скорости испарения и градиента давления, то, по видимому, получим отрицательное значение толщины плёнки. В расчётах такие режимы тепломассопереноса не наблюдались.
Вместе с тем на всех режимах полёта расход охладителя pvwX минимален в точке полного торможения (х—0), возрастая вниз по потоку и достигая максимального, почти стационарного, значения в хвостовой части (JC 0,025.«).
Этот факт объясняется поведением перепада давления До (рис. 4.5), от которого зависит расход и который имеет минимальное значение именно в точке полного торможения и максимальное - на боковой поверхности тела.
Вместе с тем это указывает на невозможность плёночного охлаждения боковых поверхностей из-за большого расхода охладителя и применять этот способ непосредственно для затуплений.
Результаты исследования влияния главных коэффициентов проницаемости к4,кп на расход охладителя приведены на рис. 4.7.
