Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи. Вспомогательные результаты 20
Глава 2. Внешняя краевая задача для системы Стокса 29
Глава 3. Математическая модель неограниченного стационарного потока вязкой неньютоновской жидкости 63
1. Преобразование уравнения с выделением главной линейной части. Построение последовательности приближений 65
2. Доказательство сходимости последовательности приближений 77
3. Доказательство разрешимости краевой задачи 86
4. Доказательство единственности решения краевой задачи 89
Заключение 110
Список основной использованной литературы
и неопубликованных документов (источников) 112
- Постановка задачи. Вспомогательные результаты
- Внешняя краевая задача для системы Стокса
- Доказательство сходимости последовательности приближений
- Доказательство единственности решения краевой задачи
Введение к работе
В основе классической гидродинамики лежит закон Ньютона, соглас
но которому в случае прямолинейного слоистого (ламинарного) течения
имеет место пропорциональная зависимость между касательным напря
жением ту деиствуюпщм в плоскости соприкосновения слоев жидкости, и
производной от скорости по направлению, нормальному к этой плоскости,
*, |^ (скоростью сдвига), то есть
где ji — коэффициент вязкости жидкости, или просто вязкость, — положительная постоянная, зависящая от температуры.
Жидкости, удовлетворяющие соотношению (1), получили название ньютоновских.
Однако многие материалы, в частности расплавы и растворы полимеров, суспензии, глинистые растворы, масляные краски, фармацевтичес-кие и пищевые продукты дают примеры жидкостей, отличных от ньютоновских. Вязкость таких жидкостей, получивших название неньютоновских, является функцией скорости сдвига и температуры. Кроме того, такие жидкости могут проявлять пластические свойства, заключающиеся в наличии некоторого предельного напряжения сдвига, после которого возникает "текучесть среды". Наконец, эти материалы могут проявлять вязкоупругие свойства таким образом, что состояние среды определяется историей ее деформации.
Движение жидкости характеризуется скоростью и давлением. Движете
ние сплошной среды описывается двумя тензорами — тензором напряже-
«J
ний и тензором скоростей деформаций. Ньютоновскими называют жидкости, для которых тензор напряжений линейно зависит от компонент тензора скоростей деформаций.
Тензор скоростей деформаций S имеет вид
5« = wu = {+&, (2)
dvi dv^i
Те жидкости, для которых тензор напряжений нелинейно зависит от компонент тензора деформаций, называются неньютоновскими. Расплавы и растворы полимеров, концентрированные суспензии, эмульсии, краски представляют собой примеры материалов, обнаруживающих "неньютоновское" поведение.
Для ньютоновских жидкостей тензор напряжений Т имеет вид
Г = -pi + S,
где р — давление, I — единичный тензор, S — тензор скоростей деформаций.
Уравнения движения такой жидкости суть уравнения Навье - Стокса
dv ' dv -
^7 + Е Vk» div Г = /, div v = О,
dt к=1 дхк
divT = {E^}
I / dXj > i=l,2,J
АЖ,
,3
В случае установившегося движения потока жидкости получаем нелинейную стационарную краевую задачу с нулевым условием на границе области
' Щдх*
й\дп - 0.
і/Ай+ І uk-jg- + Vp = f, divu = 0 вП
Первым шагом исследования этой задачи является решение аналогичной задачи для линеаризованной системы Стокса с нулевым условием на
бесконечности
—uAu + Vp = /, div и — О в Q
й\дп = 0.
В 50-70 годах 20 века была создана математическая теория вязкой
несжимаемой ньютоновской жидкости. Была доказана разрешимость и
единственность решений начально - краевых задач для уравнений На-
вье - Стокса, построены численные методы для описания свойств течения
вязкой несжимаемой жидкости. Результаты исследования по уравнениям
Навье - Стокса содержатся, в частности, в монографиях О. А. Ладыженс
кой [16,17, 18] и Р. Темама [36]. Экспериментальные данные подтвердили
правильность полученной теории для определенного класса жидкостей.
<* Еще в 50 - х годах 20 века были выявлены несоответствия между ма-
тематической моделью вязкой жидкости и реальными течениями в ней, так как течения многих жидкостей не описываются адекватно системой уравнений Навье - Стокса.
Бурное развитие химической, нефтяной и пищевой промышленности привели к необходимости построения математической теории для неньютоновских жидкостей. К неньютоновским жидкостям относятся вязко-эластичные жидкости, растворы полимеров, жидкие кристаллы, суспензии, различные пластики. Многие материалы в определенных условиях текут, проявляя свойства нелинейно - вязкой (неньютоновской) жидкости. Развитие промышленности и широкое внедрение пластмасс выдвинули задачу изучения закономерностей движения таких жидкостей. Различные технологические процессы в химической, нефтяной и пищевой промышленности связаны с течением таких материалов. В химическом производстве распространена ситуация движения сильновязкой жидкости в трубе. Одна из возможных моделей движения такого рода жидкостей — модель неньютоновской жидкости. Постоянно возникают новые модели движения неньютоновских жидкостей, предназначенные для адекватного описания реальных течении.
Математический анализ движения неньютоновсих жидкостей стал проводиться в России и других странах в последние 15-20 лет.
Неньютоновской жидкостью является также и кровь. На макроскопическом уровне, стенки артериальных сосудов представляют собой комплексную многослойную структуру, которая деформируется под действием кровяного давления. Определить степень эластичности кровяносных сосудов — довольно трудная задача и обычно вывод об эластичности делается по результатам пульса. Кровь представляет собой суспензию, состоящую из мельчайших частиц (красных и белых кровяных телец); плазмы, состоящей из органических и неорганических солей, протеинов и транспортных субстанций. Поток крови проявляет вязкоэластичные свойства, которыми нельзя пренебрегать, в частности, когда диаметры кровеносных сосудов сравнимы с размерами кровяных телец. Это означает, что при высокой вязкости и медленном потоке кровотока могут образовываться сгустки (тромбы), а низкая вязкость и быстрый кровоток являются следствием разрывов кровеносных сосудов. Таким образом, изучение движения крови с математической точки зрения может привести к построению математического описания сердечных патологий, в частности, инфаркта миокарда. Изучению движения кровотока посвящена работа А. Сикейры [68].
Исследования течения неньютоновских жидкостей в основном носят экспериментальный характер и математическая теория неньютоновской жидкости, аналогичная той, что создана для ньютоновской жидкости, до сих пор не построена.
Одна из первых математических моделей неньютоновской жидкости была предложена О. А. Ладыженской в [16].
В 70-х годах 20 века О. А. Ладыженская предложила для несжимаемых жидкостей вместо уравнений Навье - Стокса рассмотреть уравнения, которые лучше описывают движение неньютоновских жидкостей
Vit - Ц)^—1(1 + tv2)vik 1 + vkvixk = -pXi + /і, (3)
в которых
Щк = ViXk +vkXi, v = ^2 vik,
i,k=l
є — малая положительная постоянная.
Там, где величины \vx\ невелики (порядка 1), система (3) практически не отличается от системы уравнений Навье - Стокса. При больших же \vx\ члены, содержащие є, вносят дополнительную вязкость, которой оказывается достаточно для удержания детерминированного процесса. На систему (3) можно смотреть как на способ "регуляризации"системы Навье - Стокса.
Другая модель неньютоновской жидкости это так называемые жидкости второго порядка.
Тензор напряжений для таких жидкостей имеет вид
T = -pI + iiS + ссх [jfS + SVv + (Vvfs] + a2S\
где I — единичная матрица, v(x) = (^1,^2,^3) — поле скоростей, S — тензор скоростей деформаций — имеет вид (2), р — давление, /і = const > О — коэффициент вязкости, сх\ = const > 0 и с*2 = const — нормальные модули напряжений,
Жидкости второго порядка являются частным случаем более общего
** класса жидкостей порядка п, для которых тензор напряжений Т зависит
от L = grad v
Т=-рІ + Т(Ь,Ь',...,ІЇп-%
где р — давление, п = 1,2... и іДп_1) означает (п — 1) - ую производную L.
Дж. Галди и К. Раджагопалом [50] была исследована задача медленно
го движения тела в несжимаемой жидкости второго порядка. Были дока
заны существование и единственность решения уравнений движения для
^ жидкости второго порядка. В частности, было показано, что если на тело
it'A
У;
не действуют силы и скорость достаточно мала, то решение совпадает с классическим решением Стокса.
М. Ружичка в своих работах [66, 67] исследовал модель электрореологических жидкостей, для которых внешняя часть П тензора напряжений —фі + П определяется соотношениями
П = a2i((l + \S\2)^ -1)ЕЕ+ (азі + азз|Я|2)(1 + \S\2)^S+
+азі(1 + \S\2)^(SE Е + Е SE),
где 5/2 = (Vv + VvT)/2 — тензор скоростей деформаций и Е — вектор электрического поля, р зависит от \Е\2 и
для некоторых констант р^ и р$.
ЕЕ обозначает векторное произведение векторов, Vv есть матрица,
состоящая из элементов вида
дхкУ VvT есть матрица, транспонированная матрице Vv.
М. Ружичка исследует существование решения в так называемых обобщенных пространствах Лебега Lp^(Tt) и обобщенных пространствах Соболева W1,P^X\Q). Доказано существование обобщенного решения при условии роо > |. Обобщенное решение единственно при условии малости данных. Разрешимость получена с помощью теории монотонных операторов для обобщенных пространств Соболева. Существование классического решения получено с помощью метода последовательных приближений и получены оценки вторых производных этого решения. И наконец, был исследован нестационарный поток, для которого получены глобальное существование обобщенного (при условии Роо > 2) и классического решений и единственность последнего.
К. Раджагопал и М. Ружичка [64] в своей работе рассматривают уравнения движения электрореологических жидкостей, для которых имеет
место комплексное взаимодействие между термо - механическими и электромагнитными полями. Уравнения отражают природу электрореологических жидкостей и имеют большое значение для математического и численного анализа.
Дж. Малек, К. Раджагопал и И. Нечас в [53] рассматривают жидкости, вязкость которых зависит одновременно от давления и скорости. Ранее глобальное существование решений для таких жидкостей в случае размерности 3 было исследовано Дж. Малеком. Позднее было доказано глобальное существование решение для такого рода жидкостей для случая размерности 2.
Тензор напряжений Т для рассматриваемого в диссертации класса жидкостей определяется соотношениями
Т = -рІ + П, (4)
n = (l + C(|S|2))S (5)
\s\ = (.i S|)1/2,
где () — гладкая непрерывная функция, определенная при t > 0, ограниченная, имеющая ограниченные первую и вторую производные и удовлетворяющая условиям
СМ >-1-м, «о) = о (6)
для некоторой положительной константы .
Одна из наиболее распространенных задач — задача об обтекании ограниченного тела потоком вязкой неньютоновской жидкости. На основании приведенных в литературе экспериментальных данных в диссертации выбирается определенный класс моделей квазиньютоновских жидкостей, для которых тензор напряжений Т имеет вид (4), (5), и средствами теории дифференциальных уравнений исследуются свойства течений. Речь
идет о достаточно медленных течениях, скорость которых на бесконечности фиксирована. Задача об обтекании препятствия потоком жидкости — одна из наиболее распространенных задач гидродинамики вообще и динамики неньютоновской жидкости в частности. Математическая теория внутренних задач для неньютоновских жидкостей изложена, в частности, в [21]. Для задач обтекания (внешних задач) такая теория не построена. Математическая теория внешних задач даст возможность получить качественное и количественное описание явлений, наблюдающихся в разного рода технологических процессах. Указанная теория является базой для построения численных методов решения задач обтекания, которые в свою очередь послужат инструментом решения ряда инженерных и технологических проблем.
Ряд экспериментальных и теоретических работ посвящен анализу неньютоновской жидкости, для которых тензор напряжений имеет вид (4), (5). В частности весьма подробное исследование такого рода моделей течения вязкой жидкости приведено в монографии В. Г. Литвинова [21]. Жидкости, для которых тензор напряжений имеет вид (4), (5), в этой книге названы квазиньютоновскими.
Основное внимание В. Г. Литвинов уделял вопросу постановки и решения стационарных и нестационарных задач, связанных со сложными течениями нелинейно-вязких жидкостей. При этом теоремы существования и единственности лежат в основе построения приближенных решений соответствующих задач. Эти теоремы совместно с результатами по аппроксимации позволяют правильно выбирать конечномерные подпространства, в которых отыскиваются приближенные решения, и эффективно получать последние. В. Г. Литвиновым был проведен анализ внутренних задач и полученные им результаты нашли свое подтверждение в экспериментальных данных.
В. Г. Литвинов исследовал трехмерные стационарные задачи о движении нелинейно - вязкой жидкости с учетом и без учета инерционных сил. Установлены теоремы существования решений этих задач при од-
нородных граничных условиях, а также и для неоднородных граничных условий, если внешние силы не слишком велики. Для некоторых случаев доказываются теоремы единственности.
В. Г. Литвинов в своей работе использует следующие инварианты тензора скоростей деформаций
*1 == ZJ <Ьи,
г=1 3 /2 = . SikSkii
где S — тензор скоростей деформаций.
Для несжимаемых жидкостей инвариант її — 0.
Тензор напряжений Т = (сг^) удовлетворяет уравнению Рейнера- Рив-
лина
у = -pSij + <}>\{h,h)Sii +
к=\
где р — давление, ф\ и 2 — материальные функции, ф\ — кажущаяся вязкость, 4>2 — поперечная вязкость, 8ij — компоненты единичного тензора.
Для ньютоновских жидкостей фі = const, фі = 0.
Помимо теоретических аспектов В. Г. Литвинов занимался численным решением задач о движении нелинейно - вязкой жидкости.
В частности, исследованы течения расплава полиэтилена; изучена задача, связанная с течением разогретой стали в различных цилиндрах с учетом и без учета проскальзывания на твердой границе. На примере раствора полимера исследовано движение жидкости в различных цилиндрах. Установлен характер вихревых течений для такой жидкости.
Течения таких жидкостей исследованы экспериментально. Результаты экспериментов приведены в [21].
Приведем примеры некоторых функций С(), имеющихся в [21].
1. Для расплава полипропилена
С№) =
-0.0013^/р2 + о.ооз ю-4/2, 0 < у/\Г2 < 500
0.076 - 0.001 v/pj - 1.6 10- + 0.8 .10-9(^)3, 500 < /2 < 550
193,0894
- 0.88,
550 < I2 < со.
2. Для стали, разогретой до 1200 градусов
С№) =
о,
0 < h < 2 10~4
23.65 -108/2 - 3.08 - Ю8^ - Щ^ + 0.6 106, 2 10"4 < /2 < 8 10"2
-0.99 +
0.1 \/\h
8 Ю-2 < Ь < со.
3. Для раствора гидроксилэтилцеллюлозы
С№) =
о,
-0.57 + О.Зг^/рз - 0.028/2 + 0.002(|/2)3/2, 4 < ^Г2 < 10
(}^щ -1> 10 < VT?2 < ЮОО
Графики функций () имеют асимптоты. 1. Для расплава полипропилена
7о = 0.12, 71 = 0.
2. Для расплава стали
7о = 0.01, 71 = 0. 12
*}
3. Для гидроксилэтилцеллюлозы
7о = 0.03, 71 = 0.
Как видно из представлений функции (), приведенные экспериментальные данные подтверждают правильность предположений (6) о свойствах функции С(^), которые используются при доказательстве теоремы существования и единственности.
Графики некоторых функций () представлены ниже.
Рисі. Полипропилен
-f'
Рис 2. Гидроксилэтилцеллюлоза
т*
1>
>*»
т*
В монографии В. Г. Литвинова [21], а также в работах М. Ружички и К. Раджагопала [64] исследуются только внутренние задачи, то есть задачи о течении жидкости в ограниченной области.
Настоящая диссертация посвящена исследованию стационарной задачи для квазиньютоновской жидкости в неограниченной области пространства Л3.
Основная задача, исследуемая в диссертации, состоит в определении движения вязкой неньютоновской жидкости, если известны внешние силы, действующие на жидкость, граничный режим и скорость потока на бесконечности.
Движение потока описывается следующей системой уравнений
-z/div П + (vV)v + Vp = /, div v - 0 в ft с граничными условиями
где Q — внешняя область из І?3, дополнение к компактному множеству, Г — граница области из класса С3, v — скорость потока, р — давление, / — внешние силы, действующие на жидкость, v — коэффициент вязкости.
Поставленная задача решается в весовых пространствах Соболева. Исследование указанной задачи основано на методах и результатах для внешней стационарной задачи для системы Навье - Стокса.
Внешняя стационарная задача для системы уравнений Навье - Стокса исследована О. А. Ладыженской в [16], где речь идет об обобщенном решении, т. е. решении, которое удовлетворяет некоторому интегральному тождеству.
Доказана однозначная разрешимость задачи Стокса в ограниченных и неограниченных областях при условии
^Ы = 0, гі|оо = 0. 15
Линейная стационарная задача первоначально была решена методами теории потенциалов. Именно, Одквистом [61] и Лихтенштейном [55], независимо друг от друга были построены гидродинамические потенциалы, исследованы их свойства и с их помощью решена система Стокса.
Для нелинейной стационарной задачи при малых /,г> доказана однозначная разрешимость для ограниченных и неограниченных областей, где v — скорость потока на бесконечности для задач в неограниченных областях. Показано, что дифференциальные свойства обобщенных решений улучіпаются по мере улучшения гладкости данных задачи и что это улучшение носит локальный характер.
В. А. Солонниковым, А. Новотным и П. Пенелем [31] рассматривалась внешняя стационарная задача для уравнений изотермического движения вязкой сжимаемой жидкости
-/Д72й - (/i + A)Vdi + Vcr + UooЛ = F(a,v),
div v + div (a(v + qo)) = 0
v\d(i = — Vqo,
v(x) —У 0, a(x) —> 0 при \x\ —> oo,
где fj, и Л — постоянные коэффициенты вязкости, удовлетворяющие условиям [і > 0, А + |/х > 0, г^оо — постоянный вектор, направленный вдоль оси #з : ^оо = ^ос/з^оо ф 0,Гз = (0,0,1), /— заданное векторное поле внешних сил и
F{a,v) = (1 =
Ранее была доказана разрешимость поставленной задачи в пространствах Соболева, позднее — в весовых пространствах Гельдера. Доказаны теоремы существования и единственности при условии малости данных: если внешние силы и скорость на бесконечности малы, то задача однозначно разрешима. Доказательство основано на оценках сингулярных интегра-
лов и решений транспортных уравнений в весовых пространствах.
В. А. Солонниковым в [33] была исследована нестационарная система уравнений Навье - Стокса в цилиндрической области. Разрешимость задачи Дирихле для трехмерной линейной и нелинейной системы Навье -Стокса была установлена в работах Е. Хопфа [52], А. А. Киселева [12, 13, 14] и О. А. Ладыженской [17]. В них были определены обобщенные решения этих задач из различных функциональных классов и показано, что линейная задача всегда однозначно разрешима. Однозначная же разрешимость нелинейной задачи при любых / получена лишь при достаточно малом Г, зависящем от некоторых норм / и неограниченно возрастающем, когда эти нормы стремятся к нулю. Были исследованы дифференциальные свойства решений линейной и нелинейной задач. В частности, были получены оценки решения линейной задачи в нормах Lq и в гельдеров-ских нормах На и с их помощью были исследованы дифференциальные свойства обобщенных решений нелинейной задачи. Доказана однозначная разрешимость внешней стационарной задачи для системы Навье - Стокса при малых данных.
Внешняя задача Стокса была исследована М. Спековиус - Нойгебау-эр в [70] с помощью теории гидродинамических потенциалов в весовых пространствах Соболева. Ею сформулировано условие, гарантирующее разрешимость задачи в весовых пространствах Соболева.
Р. Финн в [45] исследовал внешнюю стационарную задачу для системы уравнений Навье - Стокса
i/Aw — w - Vw — Vp = —/, div w = 0 в fi, w{x)\da = w\ Jim w(x) = w0,
где Q — внешняя область из і?3, дополнение к компакту.
В 1965 г. Р. Финном было введено так называемое "физически осмыс-
ленное решение, т. е. решение, удовлетворяющее соотношениям
\v(x)\ = 0([ж|-1), ЄСЛИ Vqo = О,
\v(x) - t/ool = 0(|ж|~2_6), ЄСЛИ Vqo ф О,
где є может быть произвольно мало, г>оо — скорость потока на бесконечности.
Доказательство разрешимости задачи осуществляется с помощью метода Галеркина с использованием тензора Грина. Получены априорные оценки, позволяющие конструктивно построить решения нелинейной задачи при малых данных, такие что \w{x) — wo\ < С|ж|-1 при х —> оо.
Было доказано, что если данные достаточно малы, то существует решение задачи, поведение которого соответствует физически осмысленному. Доказана единственность построенных решений в подходящих функциональных классах.
Исследованию внешней стационарной задачи для систем уравнений Стокса и Навье - Стокса посвящена работа С. А. Назарова и К. Пилецкаса [57]. Ими были рассмотрены поставленные задачи с нулевыми условиями на бесконечности
-vAv + Vp = /, V v = д х Є О, v = h, x Є <9Q, lim v(x) = 0
|ж|->оо И
-vAv + (v V)v + Vp = /, V v = 0 x Є fi, v = h, x Є $0, lim v(x) = 0,
\x\—ЮО
где fi — внешняя область из R?.
т>
С. А. Назаровым и К. Пилецкасом было сформулировано условие, гарантирующее однозначную разрешимость задачи Стокса в весовых пространствах Соболева и Гельдера. Получены оценки решений в соответствующих нормах.
Для системы уравнений Навье - Стокса также была доказана однозначная разрешимость при условии достаточной малости данных задачи и получены оценки для ее решения в используемых функциональных пространствах.
Укажем расположение материала диссертации.
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи исследования.
В первой главе проводится обзор используемого в диссертации математического аппарата (теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория функций и функциональный анализ), вводятся определения используемых функциональных пространств. Формулируется постановка задачи. Вводятся обозначения.
Во второй главе исследуется разрешимость краевой задачи для системы Стокса в весовых пространствах Соболева. Установлена шкала функциональных пространств, позволяющая дать количественное описание решений указанной системы уравнений. Сформулировано условие, при котором доказана однозначная разрешимость краевой задачи в выбранной шкале функциональных пространств.
В третьей главе исследуется разрешимость нелинейной задачи. Решение получено методом последовательных приближений.
Результаты диссертации могут быть использованы для разработки численных методов, что в свою очередь может быть использовано в химической, нефтяной, пищевой промышленности, в фармокологии.
i> ГЛАВА 1.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Рассматривается стационарная задача об обтекании ограниченного те
ла потоком неньютоновской жидкости. Задача состоит в отыскании век-
J тор — функции v{x) и скалярной функции р(х) при заданных внешних
силах /. v(х) и р(х) описывают движение жидкости, обтекающей заданное тело с нулевой скоростью на бесконечности.
Движение потока описывается следующей системой уравнений
—z/divll + (vW)v + Vp = /, divv = О в ft (1.1)
с граничными условиями
С|г = 0, \\mv(x) = 0, (1.2)
где тензор напряжении Т имеет вид
Т = -р/ + П, (1.3)
П=(1 + С(|5|2))5 (1.4)
и тензор скоростей деформаций S определяется соотношениями
3 ^1
Здесь Q С R — внешняя область, дополнение к компактному множеству, Г — граница области из класса С3 , v — скорость жидкости, р — давление жидкости. Положительная постоянная v — коэффициент вязкости, / — заданное векторное поле, характеризующее внешние силы, действующие на жидкость.
Приняты обозначения
(vV)v = f «,,
^5 = 1^(^ + ). i = 1,2,3.
Всюду далее Dkg(x) будет обозначать любую производную порядка к функции д(х).
Всюду далее с будет обозначать константу из теорем вложения.
При доказательстве различных фактов не будем учитывать абсолютные константы.
Определим используемые в работе функциональные пространства.
Определение. Пусть г > 1. Будем говорить, что функция f принадлежит классу Lr(Q), если f измерима и
j\j(x)\rdx < со, а
і/і = (/?)*
І/Г(ГХ) — банаховы пространства с введенной нормой
II/IU = (/|/(*)Г *»)*
Определение. Для 1 < г < со, S Є R определим весовые L$(Q) пространства как
Ц(0) = {/Є L'(0)| ||/||rAo = (/(1 + H'Wwr**)1" < оо}.
Определение. Для натурального т, 1 < г < со, б Є R весовые пространства Соболева определяются как
НГ(П) = {/ Є ЩП) | В/ Є Ц+Н(П)У О < И < т},
где о; — это мультииндекс, |а| = Ес^, ( > О,
0ai da2 даз
Da =
дх\дх2дх$
, х = (жьж2,жз), Q С І? .
H'r(Q) — банахово пространство с нормой
1/r
Л \\Daf\\l,6+\a\,Q \a\
||/||га,гДП —
\a\
В работе используются весовые пространства Hs'r(Cl). Решение задачи ищется в классе функций, убывающих на бесконечности. Условие 8 > — -гарантирует убывание функций из Hs' (12) на бесконечности.
Замечание. Отметим, что при m = О
ЩП) = Я,'Г(П).
Определение. Пусть I — целое неотрицательное число, О < s < 1, -со < /3 < со.
Весовыми пространствами Гельдера называют пространства CpS(Q) функций, имеющих непрерывные производные вплоть до порядка I, для которых конечна норма
|U. ,= вир|х|Мн»|в-а(х)|+ бирИ^
' |а|<1 *& \a\=l х^
(*),
\u{x)-u(y)\
7/ в
[и]8(ж) = sup
о<|*-у|<Ці,»єп Iя5 У
Определение. Пусть I — целое неотрицательное число и
р> 1.
Будем говорить, что функция / принадлежит классу W^(Q), если f(x) Є LP(Q) и имеет в Q всевозможные обобщенные производные до порядка I включительно, также принадлежащие пространству Lp(l).
Пространства Соболева Wp — полные пространства с нормой
1М1^(П) = (/ \Dau\*>dxf.
Определение. Пусть I > 1 - целое число. Определим пространство 1--Wp p(Ra~1) как пространство следов функций из W^BJ1) на подпространстве Rn~l, в котором норма введена следующим образом
+ Е / /
irfW-DPftf)
аЫ-1Д»-1Я«-1 las'-y'l" 2+р
dx'dy'Y.
Мы будем систематически пользоваться следующими фактами. Неравенство Гельдера.
ff(x)g(x)dx < (f\f(x)\rdx)'(f\g(x)rdx)^,
где показатели р и pi удовлетворяют условиям
1 1 -,
- + — = 1, р>1, Р1>1.
Р Pi Обобщенное неравенство Гельдера.
/ fi(x)f2(x)fn(x)dx < < (f\fi{*)Pidx)»(f\Mx)Y*dz)» х (/|/з(х)р^)*,
где показатели рі,Р2>Рз связаны соотношением
E- = l, Pi>l, t = 1,2,3.
i=lPi
Неравенство Соболева. Пусть Q — внешняя область из пространства R3. Для функции f{x) Є Lq(Q) справедлива оценка
Il/»lk < ^l|V/||xa. (1.6)
Неравенство Соболева имеется, в частности, в [48]. Неравенство Р. Финна Пусть Q — внешняя область, не содержащая начала координат.
Для любой функции w Є W^O) справедлива оценка
J\x\~2\w\2dx<4j\Vw\2dx. (1.7)
a a
Неравенство Р. Финна доказано, в частности, в [45]. Теорема 1.1 (Кальдерона - Зигмунда). Пусть ядро К(х) удовлетворяет условиям
\К(х)\ < В\х\~п, О < \х\,
/ \K(x-y)-K(x)\dx
И>2|»|
J К(х) cfo = О, 0 < Ri < R2 < со.
Л!<|а;|<Д2
Для f Є Lp(Rn). 1 < p < oo, положим
Uf){x)= I f(x-y)K(y)dy, e>0.
Тогда
||T(/)||P < Л„||/||р, (*)
где Ар не зависит от f и е. Кроме того, для любой функции f Є Lp(Rn) существует
ПтЩ/) = T(f)
в смысле сходимости в пространствах Lp. Оператор Т, определенный таким образом, удовлетворяет неравенству (*).
Эта теорема доказана, в частности, в [34].
В работе используются следующие теоремы вложения.
Теорема 1.2 (В. Борхерс, К. Пилецкас)
Пусть Q — неограниченная область из Rz, I — целое неотрицательное число, 1 < s < со, —со < /3 < со.
(г) Пусть й Є Н1/(П) и si < 3, s < t < 3.
Тогда
и имеет место оценка
где с — некоторая константа, зависящая от области Q, показателей lys,(3. (гг) Если si > 3, m + Л < ^f2, Л (0,1), то
и имеет место оценка
где с — также некоторая константа, зависящая от области Q, показателей т, A, I, s, /3.
Замечание. Так как в работе используются пространства Hs,r(Q) с параметром г > 3, то применяем пункт (гг) теоремы 1.2:
, « 0 г n sl-Z 2r-3 п 3
s = г, J = 2, /3 = + 2, = = 2--.
S г г
Так как г > 3, то 1 < 2 - < 2.
:к.
2,г/
Поэтому если и Є Ну (fi), то
т, а Г*1,7 — Г*1'7
Это, в частности, означает, что
sup |а;|*+г|й(а>)| + sup \x\1+s+*\Du(x)\ < с\\й\\Д7,г(а)1 (1.8)
хЄІЇ |«|=1 жЄЙ *
где с — константа из теоремы вложения.
Эта теорема сформулирована и доказана в [42].
Теорема 1.3 Пусть Q — неограниченная область из R3, дополнение к компактному множеству с гладкой границей.
Тогда
(г) Если р > 1, га > 3 - р, р < q < со, 1 - * + m > 0, то Wp(Q)вкладывается в Lq(Qm) для произвольного сечения Ото области О, m - мерной плоскостью.
(гг) Если р > 3, то W*(fi) вкладывается в С(П), то есть
шах|й| < с||й||и2(п),
где константа с зависит только от области и показателя р.
Эта теорема доказана в [38].
При анализе задачи (1.1),(1.2) понадобятся некоторые специальные
факты. Докажем для этого вспомогательные утверждения. 1
Лемма 1. Пусть Q—неограниченная область, удовлетворяющая уело- //
/У
*<6<1-1
г г
то для любой функции й Є H$,r(Q) справедлива оценка
max\Du\ < c\\u\\H2,r{Q).
Еслиг>3, -f
г2,г
виям теоремы 1.3.
Доказательство:
Пусть функция й Є W2(Q), тогда ее первая производная Du Є W^(Q). Из теоремы 1.3 следует цепочка оценок
max|Du| < с||)й||^гі(п) < с||й||иг2(п).
По определению,
Ww?(fl) = (/ Е |Deu(aj)rdx + / Е |1>вй(»)ГАг+
^0 |а|=0 П 1^1=1
+ / Е |Х>ай(а;)|г^я:У <
П |а|=2 '
<(s е ііт«й(*)іг(і+и2)т<&+/ е ірм^га + кі2)1^1^^
^П|а|=0 П|а|=1
і, +і( 1Д2 1-й(*)1г(1 + ^^ da:)' = ІІйІІя?-(П)-
Следовательно, верна оценка
тах|)й|<с||й||яа.г(п),
где с — константа из теоремы 1.3, зависящая от области и показателей г, 8.
Лемма 2. Пусть Q — неограниченная область, удовлетворяющая условиям теоремы 1.3,
г>з, -J<* Тогда для любых функций u,v,w Є Hs,r(l) справедлива оценка \\D uDvDw\\Lr+2m < с НііІІяз.г^І^Ід.а.г^ІІадІІяз.г^, где с - константа из теоремы 1.3. Доказательство: Рассмотрим \\D2uDvDw\\Lr ^ \\D2uDvDw\\Lr+2W = (j\D2uDvDw\r(l + \х\2)^ dxf = Оценивая первые два множителя подынтегральной функции по лемме 1, получаем ^ W^uDvDwWl^^ < < сЧПну{ф\\нум{[ WC1 + N2)1^dxf < J\Me>*(q)\W\eI'{q)U І«Г(1 + \x\2)Sf dx+ + f \Du\r(l + |ж|2)^ dx + / |>2йГ(1 + l*!2)1^ da?)' = Й6 ль = с2||«|1лг-'(п)1И11дг"(п)11й11я|"(п)» что и доказывает утверждение леммы. і- Лемма 3. Пусть Q — неограниченная область, удовлетворяющая условиям теоремы 1.3,, 3 „ 3 — <8<1--, г>3. Если v, й Є H6'r(Q) и выполнены условия \v(x)\ = 0\Xj, ЩЖХ-+ОО, \й(х)\ = 0\фЛ, приж-юо, ^*> то для функций й(х) и v(x) справедлива оценка ||(uV)||Xr+a < c*\\u\\H2,r{Q)\\v\\H2,r((i)t где с* — константа, зависящая от параметров г и 5 и гладкости границы области Q. Доказательство леммы имеется в [57]. т> В 50-70 годах 20 века была создана математическая теория вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости. Была доказана разрешимость и единственность решений начально - краевых задач для уравнений На вье - Стокса, построены численные методы для описания свойств течения вязкой несжимаемой жидкости. Результаты исследования по уравнениям Навье - Стокса содержатся, в частности, в монографиях О. А. Ладыженс кой [16,17, 18] и Р. Темама [36]. Экспериментальные данные подтвердили правильность полученной теории для определенного класса жидкостей. Еще в 50 - х годах 20 века были выявлены несоответствия между ма тематической моделью вязкой жидкости и реальными течениями в ней, так как течения многих жидкостей не описываются адекватно системой уравнений Навье - Стокса. Бурное развитие химической, нефтяной и пищевой промышленности привели к необходимости построения математической теории для неньютоновских жидкостей. К неньютоновским жидкостям относятся вязко-эластичные жидкости, растворы полимеров, жидкие кристаллы, суспензии, различные пластики. Многие материалы в определенных условиях текут, проявляя свойства нелинейно - вязкой (неньютоновской) жидкости. Развитие промышленности и широкое внедрение пластмасс выдвинули задачу изучения закономерностей движения таких жидкостей. Различные технологические процессы в химической, нефтяной и пищевой промышленности связаны с течением таких материалов. В химическом производстве распространена ситуация движения сильновязкой жидкости в трубе. Одна из возможных моделей движения такого рода жидкостей — модель неньютоновской жидкости. Постоянно возникают новые модели движения неньютоновских жидкостей, предназначенные для адекватного описания реальных течении. Математический анализ движения неньютоновсих жидкостей стал проводиться в России и других странах в последние 15-20 лет. Неньютоновской жидкостью является также и кровь. На макроскопическом уровне, стенки артериальных сосудов представляют собой комплексную многослойную структуру, которая деформируется под действием кровяного давления. Определить степень эластичности кровяносных сосудов — довольно трудная задача и обычно вывод об эластичности делается по результатам пульса. Кровь представляет собой суспензию, состоящую из мельчайших частиц (красных и белых кровяных телец); плазмы, состоящей из органических и неорганических солей, протеинов и транспортных субстанций. Поток крови проявляет вязкоэластичные свойства, которыми нельзя пренебрегать, в частности, когда диаметры кровеносных сосудов сравнимы с размерами кровяных телец. Это означает, что при высокой вязкости и медленном потоке кровотока могут образовываться сгустки (тромбы), а низкая вязкость и быстрый кровоток являются следствием разрывов кровеносных сосудов. Таким образом, изучение движения крови с математической точки зрения может привести к построению математического описания сердечных патологий, в частности, инфаркта миокарда. Изучению движения кровотока посвящена работа А. Сикейры [68]. Исследования течения неньютоновских жидкостей в основном носят экспериментальный характер и математическая теория неньютоновской жидкости, аналогичная той, что создана для ньютоновской жидкости, до сих пор не построена. Одна из первых математических моделей неньютоновской жидкости была предложена О. А. Ладыженской в [16]. В 70-х годах 20 века О. А. Ладыженская предложила для несжимаемых жидкостей вместо уравнений Навье - Стокса рассмотреть уравнения, которые лучше описывают движение неньютоновских жидкостей М. Ружичка исследует существование решения в так называемых обобщенных пространствах Лебега Lp (Tt) и обобщенных пространствах Соболева W1,P X\Q). Доказано существование обобщенного решения при условии роо . Обобщенное решение единственно при условии малости данных. Разрешимость получена с помощью теории монотонных операторов для обобщенных пространств Соболева. Существование классического решения получено с помощью метода последовательных приближений и получены оценки вторых производных этого решения. И наконец, был исследован нестационарный поток, для которого получены глобальное существование обобщенного (при условии Роо 2) и классического решений и единственность последнего. К. Раджагопал и М. Ружичка [64] в своей работе рассматривают уравнения движения электрореологических жидкостей, для которых имеет место комплексное взаимодействие между термо - механическими и электромагнитными полями. Уравнения отражают природу электрореологических жидкостей и имеют большое значение для математического и численного анализа. Дж. Малек, К. Раджагопал и И. Нечас в [53] рассматривают жидкости, вязкость которых зависит одновременно от давления и скорости. Ранее глобальное существование решений для таких жидкостей в случае размерности 3 было исследовано Дж. Малеком. Позднее было доказано глобальное существование решение для такого рода жидкостей для случая размерности 2. Тензор напряжений Т для рассматриваемого в диссертации класса жидкостей определяется соотношениями где () — гладкая непрерывная функция, определенная при t 0, ограниченная, имеющая ограниченные первую и вторую производные и удовлетворяющая условиям для некоторой положительной константы . Одна из наиболее распространенных задач — задача об обтекании ограниченного тела потоком вязкой неньютоновской жидкости. На основании приведенных в литературе экспериментальных данных в диссертации выбирается определенный класс моделей квазиньютоновских жидкостей, для которых тензор напряжений Т имеет вид (4), (5), и средствами теории дифференциальных уравнений исследуются свойства течений. Речь идет о достаточно медленных течениях, скорость которых на бесконечности фиксирована. Задача об обтекании препятствия потоком жидкости — одна из наиболее распространенных задач гидродинамики вообще и динамики неньютоновской жидкости в частности. Математическая теория внутренних задач для неньютоновских жидкостей изложена, в частности, в [21]. Для задач обтекания (внешних задач) такая теория не построена. Математическая теория внешних задач даст возможность получить качественное и количественное описание явлений, наблюдающихся в разного рода технологических процессах. Указанная теория является базой для построения численных методов решения задач обтекания, которые в свою очередь послужат инструментом решения ряда инженерных и технологических проблем. Ряд экспериментальных и теоретических работ посвящен анализу неньютоновской жидкости, для которых тензор напряжений имеет вид (4), (5). В частности весьма подробное исследование такого рода моделей течения вязкой жидкости приведено в монографии В. Г. Литвинова [21]. Жидкости, для которых тензор напряжений имеет вид (4), (5), в этой книге названы квазиньютоновскими. Основное внимание В. Г. Литвинов уделял вопросу постановки и решения стационарных и нестационарных задач, связанных со сложными течениями нелинейно-вязких жидкостей. При этом теоремы существования и единственности лежат в основе построения приближенных решений соответствующих задач. Эти теоремы совместно с результатами по аппроксимации позволяют правильно выбирать конечномерные подпространства, в которых отыскиваются приближенные решения, и эффективно получать последние. В. Г. Литвиновым был проведен анализ внутренних задач и полученные им результаты нашли свое подтверждение в экспериментальных данных. В. Г. Литвинов исследовал трехмерные стационарные задачи о движении нелинейно - вязкой жидкости с учетом и без учета инерционных сил. Установлены теоремы существования решений этих задач при однородных граничных условиях, а также и для неоднородных граничных условий, если внешние силы не слишком велики. Для некоторых случаев доказываются теоремы единственности. Ранее была доказана разрешимость поставленной задачи в пространствах Соболева, позднее — в весовых пространствах Гельдера. Доказаны теоремы существования и единственности при условии малости данных: если внешние силы и скорость на бесконечности малы, то задача однозначно разрешима. Доказательство основано на оценках сингулярных интегралов и решений транспортных уравнений в весовых пространствах. В. А. Солонниковым в [33] была исследована нестационарная система уравнений Навье - Стокса в цилиндрической области. Разрешимость задачи Дирихле для трехмерной линейной и нелинейной системы Навье -Стокса была установлена в работах Е. Хопфа [52], А. А. Киселева [12, 13, 14] и О. А. Ладыженской [17]. В них были определены обобщенные решения этих задач из различных функциональных классов и показано, что линейная задача всегда однозначно разрешима. Однозначная же разрешимость нелинейной задачи при любых / получена лишь при достаточно малом Г, зависящем от некоторых норм / и неограниченно возрастающем, когда эти нормы стремятся к нулю. Были исследованы дифференциальные свойства решений линейной и нелинейной задач. В частности, были получены оценки решения линейной задачи в нормах Lq и в гельдеров-ских нормах На и с их помощью были исследованы дифференциальные свойства обобщенных решений нелинейной задачи. Доказана однозначная разрешимость внешней стационарной задачи для системы Навье - Стокса при малых данных. Внешняя задача Стокса была исследована М. Спековиус - Нойгебау-эр в [70] с помощью теории гидродинамических потенциалов в весовых пространствах Соболева. Ею сформулировано условие, гарантирующее разрешимость задачи в весовых пространствах Соболева. Р. Финн в [45] исследовал внешнюю стационарную задачу для системы уравнений Навье - Стокса где Q — внешняя область из і?3, дополнение к компакту. В 1965 г. Р. Финном было введено так называемое "физически осмыс ленное решение, т. е. решение, удовлетворяющее соотношениям где є может быть произвольно мало, г оо — скорость потока на бесконечности. Доказательство разрешимости задачи осуществляется с помощью метода Галеркина с использованием тензора Грина. Получены априорные оценки, позволяющие конструктивно построить решения нелинейной задачи при малых данных, такие что \w{x) — wo\ Сж-1 при х — оо. Было доказано, что если данные достаточно малы, то существует решение задачи, поведение которого соответствует физически осмысленному. Доказана единственность построенных решений в подходящих функциональных классах. Исследованию внешней стационарной задачи для систем уравнений Стокса и Навье - Стокса посвящена работа С. А. Назарова и К. Пилецкаса [57]. Ими были рассмотрены поставленные задачи с нулевыми условиями на бесконечности т С. А. Назаровым и К. Пилецкасом было сформулировано условие, гарантирующее однозначную разрешимость задачи Стокса в весовых пространствах Соболева и Гельдера. Получены оценки решений в соответствующих нормах. Для системы уравнений Навье - Стокса также была доказана однозначная разрешимость при условии достаточной малости данных задачи и получены оценки для ее решения в используемых функциональных пространствах. Укажем расположение материала диссертации. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи исследования. В первой главе проводится обзор используемого в диссертации математического аппарата (теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория функций и функциональный анализ), вводятся определения используемых функциональных пространств. Формулируется постановка задачи. Вводятся обозначения. Во второй главе исследуется разрешимость краевой задачи для системы Стокса в весовых пространствах Соболева. Установлена шкала функциональных пространств, позволяющая дать количественное описание решений указанной системы уравнений. Сформулировано условие, при котором доказана однозначная разрешимость краевой задачи в выбранной шкале функциональных пространств. В третьей главе исследуется разрешимость нелинейной задачи. Решение получено методом последовательных приближений. В основе классической гидродинамики лежит закон Ньютона, соглас но которому в случае прямолинейного слоистого (ламинарного) течения имеет место пропорциональная зависимость между касательным напря жением ту деиствуюпщм в плоскости соприкосновения слоев жидкости, и производной от скорости по направлению, нормальному к этой плоскости, , (скоростью сдвига), то есть где ji — коэффициент вязкости жидкости, или просто вязкость, — положительная постоянная, зависящая от температуры. Жидкости, удовлетворяющие соотношению (1), получили название ньютоновских. Однако многие материалы, в частности расплавы и растворы полимеров, суспензии, глинистые растворы, масляные краски, фармацевтичес-кие и пищевые продукты дают примеры жидкостей, отличных от ньютоновских. Вязкость таких жидкостей, получивших название неньютоновских, является функцией скорости сдвига и температуры. Кроме того, такие жидкости могут проявлять пластические свойства, заключающиеся в наличии некоторого предельного напряжения сдвига, после которого возникает "текучесть среды". Наконец, эти материалы могут проявлять вязкоупругие свойства таким образом, что состояние среды определяется историей ее деформации. Движение жидкости характеризуется скоростью и давлением. Движете ние сплошной среды описывается двумя тензорами — тензором напряже Еще в 50 - х годах 20 века были выявлены несоответствия между ма тематической моделью вязкой жидкости и реальными течениями в ней, так как течения многих жидкостей не описываются адекватно системой уравнений Навье - Стокса. Бурное развитие химической, нефтяной и пищевой промышленности привели к необходимости построения математической теории для неньютоновских жидкостей. К неньютоновским жидкостям относятся вязко-эластичные жидкости, растворы полимеров, жидкие кристаллы, суспензии, различные пластики. Многие материалы в определенных условиях текут, проявляя свойства нелинейно - вязкой (неньютоновской) жидкости. Развитие промышленности и широкое внедрение пластмасс выдвинули задачу изучения закономерностей движения таких жидкостей. Различные технологические процессы в химической, нефтяной и пищевой промышленности связаны с течением таких материалов. В химическом производстве распространена ситуация движения сильновязкой жидкости в трубе. Одна из возможных моделей движения такого рода жидкостей — модель неньютоновской жидкости. Постоянно возникают новые модели движения неньютоновских жидкостей, предназначенные для адекватного описания реальных течении. Математический анализ движения неньютоновсих жидкостей стал проводиться в России и других странах в последние 15-20 лет. Неньютоновской жидкостью является также и кровь. На макроскопическом уровне, стенки артериальных сосудов представляют собой комплексную многослойную структуру, которая деформируется под действием кровяного давления. Определить степень эластичности кровяносных сосудов — довольно трудная задача и обычно вывод об эластичности делается по результатам пульса. Кровь представляет собой суспензию, состоящую из мельчайших частиц (красных и белых кровяных телец); плазмы, состоящей из органических и неорганических солей, протеинов и транспортных субстанций. Поток крови проявляет вязкоэластичные свойства, которыми нельзя пренебрегать, в частности, когда диаметры кровеносных сосудов сравнимы с размерами кровяных телец. Это означает, что при высокой вязкости и медленном потоке кровотока могут образовываться сгустки (тромбы), а низкая вязкость и быстрый кровоток являются следствием разрывов кровеносных сосудов. Таким образом, изучение движения крови с математической точки зрения может привести к построению математического описания сердечных патологий, в частности, инфаркта миокарда. Изучению движения кровотока посвящена работа А. Сикейры [68]. Исследования течения неньютоновских жидкостей в основном носят экспериментальный характер и математическая теория неньютоновской жидкости, аналогичная той, что создана для ньютоновской жидкости, до сих пор не построена. Одна из первых математических моделей неньютоновской жидкости была предложена О. А. Ладыженской в [16].
Т> = (/ \Dv\r\Dw\r\D2u\r(l + \х\2)^ dxf.
г гПостановка задачи. Вспомогательные результаты
Внешняя краевая задача для системы Стокса
Доказательство сходимости последовательности приближений
Доказательство единственности решения краевой задачи
Похожие диссертации на Математические модели неограниченного стационарного потока неньютоновской жидкости
