Содержание к диссертации
Введение
1. Полугрунтовои подход 36
1.1. Замкнутые относительно а -ограниченные операторы 36
1.2. Аналитические группы разрешающих операторов с ядрами 54
1.3. Условия существования фазовых пространств 59
1.4. Относительно р -секториальные операторы 73
1.5. Аналитические полугруппы разрешающих операторов с ядрами 79
1.6. Единицы разрешающих полугрупп и существование обратного оператора 89
2. Динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей 98
2.1. Задача Коши для линейного неоднородного уравнения 98
2.2. Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости нулевого порядка 100
2.3. Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка 111
2.4. Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости высшего порядка 122
2.5. Задача Коши для полулинейного уравнения 133
2.6. Модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка 141
2.7. Задача Тейлора для жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка 149
2.8. Модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка 156
2.9. Модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта высшего порядка 164
3. Эволюционные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей 172
3.1. Задача Коши для полулинейного уравнения 172
3.2. Неавтономная система термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка 181
3.3. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка 190
3.4. Задача термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости высшего порядка 199
Заключение 207
Литература
- Аналитические группы разрешающих операторов с ядрами
- Аналитические полугруппы разрешающих операторов с ядрами
- Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости нулевого порядка
- Неавтономная система термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка
Введение к работе
Актуальность темы. Пусть U и Т —банаховыпространства, оператор L Є {U\ F), то есть линеен и непрерывен, оператор М: domM —» Т линеен, замкнут и плотно определен в U , т.е. Мб Cl(U; J7), а оператор F : domF —» Т , вообще говоря, нелинейный и в дальнейшем будет уточнен; вектор-функция / : IR — Т.
Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Коши
u(0) = ыо (0.1)
для полулинейного неавтономного уравнения Соболевского типа
Lu = Mu + F(u) + f{t). (0.2)
В качестве конкретных интерпретаций указанной абстрактной задачи рассмотрены, например, задача Коши — Дирихле для системы уравнений
f (1 - эеУ>, = uV2v - (v V)w - Vp + f,
| 0 = V v, \ )
моделирующая динамику несжимаемой вязкоупругои жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка, и задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругои жидкости, которая описывается первой начально-краевой задачей для системы дифференциальных уравнений
(1 - AV2)v( = vV2v - (v V)v - p - gfO + f],
0 = V(V-v), (0.4)
St = asV2# - v V9 + v . 7 + f.
В работе проведено качественное исследование и других более сложных нелинейных математических моделей несжимаемых вязко-упругих жидкостей (ненулевого порядка), а также моделей, являющихся их линеаризациями.
Хорошо известно, что, когда оператор L необратим (в частно
сти, когда ker L ф {0}), задача (0.1), (0.2) разрешима не для любого
начального значения иа Є U. Поэтому актуальным является поиск
таких допустимых начальных значений и0 Є Ы, при которых зада
ча (0.1), (0.2) однозначно разрешима. Такой случай возникает во
всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изуче
ние представляет несомненный интеРЄ(ї-~7ос~імшГп
библиотека
Cfltrei
о»
Задача (0.1), (0.2) в автономном случае (f(t) = 0) изучалась ранее Г.А.Свиридюком. Поиск множества допустимых начальных данных щ Є W привел его к созданию метода фазового пространства. Основы этого метода были заложены в его кандидатской диссертации, затем развиты в докторской диссертации. Автор данной работы тоже внес некоторый вклад в развитие этого метода [14].
Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного (f(t) = 0) уравнения (0.2) к уравнению и = В(и), заданному не па всем U, а. на. некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в К, являющимся фазовым пространством этого уравнения в смысле Д.В.Аносова. Пользуясь этим методом, удалось показать, что в ряде интересных с точки зрения приложений случаях фазовым пространством автономных уравнений вида (0.2) служит банахово многообразие С -диффеоморфное образу разрешающей группы (полугруппы) уравнения
Ьй = Ми. (0.5)
В случае линейного уравнения (0.5) фазовое пространство просто совпадает с образом.
При исследовании разрешимости задачи Коши для уравнения Соболевского типа были введены в рассмотрение относительно спектрально ограниченные операторыж соответствующие им группы разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.5), а также относительно р -секториалъные операторы и соответствующие им разрешающие полугруппы операторов уравнения (0.5).
В настоящее время теория относительно а -ограниченных (относительно р-секториальпых) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Некоторые направления развития этой теории намечены в кандидатских диссертациях Т.А.Бокаревой, Л.Л.Дудко, А.А.Ефремова, А.В.Келлер, Г.А.Кузнецова, М.М.Якупова. В работах Г.А.Свиридюка и В.Е.Федорова исследована задача Коши для линейного уравнения Соболевского типа в случае (Ь,р) -радиального оператора М.
Отметим принципиальное отличие данного полугруппового подхода от метода слабых решений (Н.А.Сидоров, О.А.Романова, М. В. Фалалеев), методарегуляризации (А. И. Кожанов), жметода дифференциальных включений (R.E.Showalter, Т.W.Ting).
Заметим, что к задаче Коши (0.1) для уравнения (0.2) сводятся не только указанные выше задачи для систем (0.3), (0,4), но и многие другие начально-краевые задачи! для уравнений и систем урав-
нений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. К таким моделям можно отнести уравнение Баренблат-та — Желтова — Кочиной, описывающее фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде; уравнение Буссинеска — Лява, моделирующее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерции; уравнение, моделирующее эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости; уравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки, и др.
В указанных математических моделях довольно часто встречается и неавтономный случай, то есть когда в уравнении (0.2) f(t) ф 0. В частности, /(f) может отвечать какому-либо внешнему воздействию, и это воздействие является функцией от времени.
Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к неавтономной абстрактной задаче (0.1), (0.2). Но непосредственное распространение метода фазового пространства на случай неавтономных уравнений сопряжено с некоторыми трудностями, и основной трудностью здесь является разработка понятия конфигурационного пространства, обобщающего понятие фазового пространства в автономном случае. Следовательно, исследование неавтономных уравнений Соболевского типа, моделирующих несжимаемые вязкоупругие жидкости, и разработка нового метода их исследования — метода конфигурационного пространства — является актуальнойзадачей.
Цель работы. Целью диссертации является построение теории разрешимости задачи Коши (0.1) для неавтономных полулинейных, уравнений Соболевского типа (0.2.), и исследование на ее основе динамических и эволюционных моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей, а также разработка метода конфигурационного пространства, позволяющего получить описание множества допустимых начальных значений указанной абстрактной задачи и ее конкретных моделей.
Методы исследования. Основным методом исследования служит метод конфигурационного пространства, являющийся обобщением метода фазового пространства, который был использован для изучения автономных уравнений. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических (полу)групп, теории дифференцируемых банаховых многообразий. Основным инструмен-
том исследования служит понятие относительно р-секториального оператора и вырожденных полугрупп операторов. То есть при исследовании математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей используется полугрупповой, подход, предложенный проф. Г.А.Свиридюком и развитый его учениками.
Заметим, что случай р = 0 рассматривался в докторской диссертации Г.А.Свиридюка.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Изучены линеаризованные модели несжимаемых вязкоупругих
жидкостей различных порядков. Получено описание фазовых про
странств этих задач.
-
Исследована разрешимость задачи (0.1), (0.2) при условиях, при которых оператор М является а -ограниченным относительно бирасщепляющего оператора L и соответствующие динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.
-
Исследована разрешимость указанной задачи в предположении, что оператор М сильно (L,p) -секториален и и соответствующие эволюционные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.
-
Описаны нормальные формы и конфигурационные пространства полулинейного неавтономного уравнения (0.2) в случаях п.п. 2 и 3. Приведены полные описания конфигурационньх пространств указанных математических моделей.
5. Описан класс функций, в котором задача (0.1), (0.2) имеет
единственное решение. Доказаны теоремы, дающие достаточные (не
обходимые) условия существования единственного решения задачи
(0.1), (0.2), являющегося квазистационарной полутраекторией.
Отметим, что все указанные задачи в данной постановке рассматриваются впервые; и результаты, полученные для них, являются новыми. Исследования базируются на строгих математических доказательствах, причем в соответствующих частных случаях получаются известные результаты.
Абстрактные результаты второй и третьей глав существенно дополняют и развивают представленную теорию, а также обобщают соответствующие результаты, полученные ранее для линейного абстрактного уравнения воронежскими и челябинскими математиками. Эти исследования позволили изучить некоторый класс математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей и получить для них теоремы существования единственного решения.
Необходимость качественного исследования диктуется требованиями численного анализа. Невозможна разработка какого-либо алгоритма решения без точного указания множества, в котором находится решение задачи как траектория. Численный анализ конкретных моделей динамики вязкоупругих сред возможен только после решения принципиальных вопросов качественного анализа. Поэтому, несмотря на то, что диссертация содержит теоретические результаты, ее практическая ценность заключается в пропедевтике будущих возможных ошибок при построении численных алгоритмов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара им. Г.И.Петровского и Московского математического общества (МГУ, 1995, 1998 гг.) [33, 48], на Воронежской зимней математической школе в 1995 г. [44], на международной конференции по математической физике (Кисегач, Челябинск, 1995 г.), на международной конференции и Чебышевских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996 г.) [35], на международной математической конференции "Topological, variational&singularities methods in nonlinear analysis" (Гданьск, 1997 г.), на конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия" (Челябинск, 1997 г.) [52], на третьем и четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998, 2000 гг.) [34, 38], на девятом международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Пловдив, 1998 г.) [41], па международных конференциях в Новосибирске [29], Челябинске [30] и Великом Новгороде [49, 54].
А также были представлены на Ш международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Гамбург, 1995 г.) [43], на международной конференции по нелинейным дифференциальным уравнениям (Киев, 1995 г.) [31], па математических школах [26, 28, 36, 47], на шестой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996 г.) [46], на Всероссийской конференции, посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 1998 г.) [51], на международных сиппозиумах по нелинейной теории и ее приложениям (NOLTA93, NOLTA95, NOLTA96), на международной конференции в Петрозаводске [50, 53] и семинаре [27].
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под рук. проф. Г.А.Свиридюка (Челябинский государственный университет), на семинаре под рук. проф. Ю.А.Дубинского (Московский энергетический институт), на семинаре под рук. проф. А.И.Прилепко (Московский государственный университет), на се-
минаре под рук. проф. А.П.Солдатова в Новгородском государственном университете (неоднократно); а также на семинарах "Математическое моделирование механики сплошных сред" (рук. член-корр. РАН В.Н.Монахов, член-корр. РАН П.И.Плотников) ИГиЛ, "Неклассические уравнения математической физики" (рук. проф.
____. .) ИМ СО РАН, "Качественная теория дифференциаль-
IB.H.Uparcmt
ных уравнений" (рук. проф. М'.и.^рлрнякП ИМ СО РАН, на объединенном семинаре кафедры теории функций Новосибирского государственного университета (рук. академик РАН М.М.Лаврентьев).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [54]. В совместных публикациях с научным консультантом Г.А.Свиридюку принадлежат постановки задач и некоторые идеи доказательств. А в совместных работах с учениками (О.П.Матвеева, М.Н.Даугавет и др. ) постановки задач принадлежат автору настоящей работы.
Работа поддержана Международным научным фондом Дж.Сороса (грант ISF(1993), гранты ISSEP d95-1320, d97-756, d99-1024) и Российским фондом фундаментальных исследований (грант РФФИ 1998 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка обозначений и соглашений, заключения и списка литературы, который содержит 286 наименований. Общий объем диссертации составляет 249 страниц машинописного текста.
Аналитические группы разрешающих операторов с ядрами
Пусть Ы и Т — банаховы пространства, оператор L Є C{U\T), а оператор М Є Cl(U\T). Пусть pL(M) ф 0, тогда уравнение соболевского типа (0.5) можно редуцировать к паре эквивалент ных ему уравнений , . RLa(M)u = (aL - М) гМщ (1.2.1) LLa(M)f = M(aL - М)-1/, (1-2.2) где а Є pL(M). С учетом того, что операторы (aL — М) М — (aL M) laL I и M(aL-M) x = аЦаЬ - М) г - I непрерывны, а уравнения (1.2.1) и (1.2.2) заданы на пространствах Ы и Т соответственно, их можно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения Av = Bv, (1.2.3) где операторы Ау В (V), а V — некоторое банахово пространство. Решением уравнения (1.2.3) называется вектор-функция v Є C(]R; V), удовлетворяющая этому уравнению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.1. Отображение V Є С(Ш;С(У)) называется группой разрешающих операторов (короче, разрешающей группой) уравнения (1.2.3), если (i) Vs Є М VteJR УВУ = Vs+f; (ii) при любом v0 Є У вектор-функция v(t) = VіvQ есть решение уравнения (1.2.3).
Следуя традиции, отождествим группу с ее графиком {Vі : і Є Ж}. Группу {Vі : t Є IR} назовем аналитической, если она имеет аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость с сохранением свойств (і) и (п) из определения 1.2.1. ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть оператор М (L7cr) -ограничен. Тогда существуют аналитические разрешающие группы уравнений (1.2.1) и (1.2.2).
Доказательство. Пусть контур Г С С такой же, как в (1.1.8). Рассмотрим интеграл типа Данфорда-Тейлора ІҐ =—z fЕЦМ)е а ІЄН. (1-2.4)
Как нетрудно видеть, отображение U Є C(IR; С(Ы)) очевидным образом продолжается во всю комплексную плоскость С Пусть контур" Г С С такой же, как при доказательстве леммы 1.1.2. Тогда в силу аналитичности подынтегральной оператор-функции (теорема 1.1.1) и теоремы Копій [/ іл}(ЛГ)еЧ se Отсюда W=(rM J JR (M)R (M)eXs tdpdX = Г г { 1 У f eXs+ dX = — г Г г / \2itiJ \j X = і f R (M)e s+t)dfi = t/s+f г в силу теоремы Фубини, теоремы о вычетах и тождества (1.1.4). Далее, пусть щ є U. Тогда КІ{М) -игщ = -5-т [ (aL-M)-l{nLRLJM))uQeiltd = { xL-M) 1M\ at Z7fi J Г в силу (1.1.2 ) и теоремы Коши. (Пусть контур Г С С такой же, как в (1.2.4). Тогда аналогично нетрудно убедиться, что отображение F = - [ь%(МуЧц, t Є IR (1.2.5) 27ГЇ J г будет аналитической разрешающей группой уравнения (1.2.2)). ЗАМЕЧАНИЕ 1.2.1. Проекторы Р и Q из (1.1.8) являются, очевидно, единицами разрешающих групп {Uf : і Є IR} и {Fl : t Є IR} соответственно. Поэтому U = UlP = -Ї-7 [ (fib! - MxY LiPe&dp = ехр( 5)Р, 2тгг J г где оператор 5-== L 1M1 Є CiJA1) в силу теоремы 1.1.2. Аналогично, J = F Q = exp(iT)Q, где Г Л 1 Є (.771). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.2. Множество kerV = {veV: V v = 0 Зі Є IR} называется ядром, а множество imV = {veV: v Vv} — образом аналитической группы {Vі : t 6 3R}. Очевидно, kerV = kerV , ітУ = ішУ W Є И, поэтому определение 1.2.2 корректно. Ввиду замечания 1.2.1 справедливо СЛЕДСТВИЕ 1.2.1. В условиях теоремы 1.2.1 kerU = U\ imCT = U\ ker J" = Я0, imJ1 = Я. Обратимся вновь к уравнению (1.2.3). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.3. Множество В С V называется $базо-бяд rap о стран ством уравнения (1.2.3), если (і) любое решение v = v(t) уравнения (1.2.3) лежит в В, т.е. Vt Ш. v(t) Є В; (іі) при любом VQ Є В существует единственное решение V Є C IRjV) задачи Коши v(0) = vQ для уравнения (1.2.3).
Аналитические полугруппы разрешающих операторов с ядрами
Аналогично п., 1.2 введем в рассмотрение пару эквивалентных уравнению Соболевского типа (0.5) уравнений RLa(M)u = {aL - M) LMu, LLa(M)f = M(aL - M) 1f, (1.5.1) (1.5.2) где а р (М). Оба эти уравнения будем рассматривать как конкретные интерпретации уравнения Av = Bv, (1.5.3) где операторы А,Б C(V), а V — некоторое банахово пространство. Решением уравнения (1.5.3) будем теперь называть вектор-функцию v Є C(IR+; V), удовлетворяющую этому уравнению. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5.1. Отображение V Є Сто(Е ц.;(У)) называется полугруппой -разрешающих операторов (короче, разрешающей полугруппой) уравнения (1.5.3.), если (i) Vs Є R+ V є Ж+ V V = Vs+t; (ii) при любом VQ V вектор-функция v(tf) = V fo есть решение уравнения (1.5.3). Как и в п. 1.2, отождествим полугруппу с ее графиком {Vі : і Є IR+} - Полугруппу {Vі : і 1R+} назовем аналитической, если она имеет аналитическое продолжение в некоторый сектор , содержащий луч IR+; и равномерно ограниченной, если V U(v) const \ft Є IR+.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.5.1. Отметим, что наличие единицы у разрешающей полугруппы уравнения (1.5.3) не постулируется, в отличие от традиционного определения полугруппы [45, 49, 214]
ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть оператор M(Lfp) -секториален. Тогда существует аналитическая и равномерно ограниченная разрешающая полугруппа уравнения (1.5.1)( уравнения (1.5.2)).
Доказательство. Пусть контур Г С S$(M) такой , что jarg —+ в при \fi\ — +cOj \ь Є Г. Рассмотрим несобственный интеграл типаДанф орд а-Тейлор а ZlTl J ІЕШ+. (1.5.4)
Отметим абсолютную сходимость интеграла (1.5.4) при любом t Є IR+, а также возможность аналитического продолжения 7Г этого интеграла в сектор {г Є С : [argrj $ , т ф 0} , что легко вывести из неравенства cos (arg// + arg т) 0.
Проверка требований (і) и (іі) определения (1.5.1) проводится аналогично доказательству теоремы 1.2.1 и поэтому опускается. Установим равномерную ограниченность полугруппы {IIі : t Є IR+}. Фиксируем t Є Л+, тогда =0 Vі = U s = (2тпГ(р+1) J J ... JnLM{M) expf N p- d d . Го Гі Здесь s — p + 1 , контур Г„ = Г, а контур Г„_і ограничива ет область, содержащую контур Г?, q = 1, 2, ..., р, причем argp? — В при \pq\ — +оо, //j Є Г„ дг = 0, 2, —, р. (Например, Гд_і может быть получен из контура Tq, q = 1, 2, ..., _р "сдвигом вправо на вектор (а,0), aelR "). Отсюда в силу (,р)-секториальности оператора М имеем е? 1 п/ р Wq — а рч \\Ц \\с(Ю const Но fiq — a №ч\ =ес I ev4 Vn я\ \dv, -83 причем, очевидно, контур Г можно выбрать независящим от s, q = 0, 1, ..., р. Отсюда получаем оценку tf IU(w) eafconst V і Є IR+. Из этой оценки непосредственно вытекает равномерная ограниченность полугруппы {Vі : t Є 1R+} (Пусть контур Г С SQ{M) такой же как в (1.5.4).) Тогда аналогично нетрудно убедиться, что отображение F = - [ Ьь(М) Чц, і Є JR+ (1.5.5) 2тгг J г будет аналитической и равномерно ограниченной разрешающей полугруппой уравнения (1.5.2)). ЗАМЕЧАНИЕ 1.5.2. Если оператор М (,о-)-ограничен, причем со —несущественная особая точка L-резольвенты оператора Л/, то полугруппы (1.5.4) и (1.5.5) продолжимы до групп (1.2.4) и (1.2.5) соответственно. ЗАМЕЧАНИЕ 1.5.3. Пусть оператор М (Z-, 0 )-секториален, причем существует оператор Ь г С,{Т\Ы). Тогда операторы S = Ь ХМ : domM -+U и Т = ML 1 : L[domM] - Т сектори-альны, причем Vі — exp(tS) и F = exp(iT) при любом t 3R
Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости нулевого порядка
Пусть U и Т — банаховы пространства, операторы L є С{и\Т) и М Є С1(Ы\Т). Пусть интервал / = (a,6) содержит точку 0 и вектор-функция /є С{Іа\Р). і Рассмотрим задачу Коши u(0) = w0 (2.1.1) для операторного уравнения Соболевского типа Lit = Mu + f, (2.1.2) где операторы L и М определены выше.
Пусть оператор М (Z, а) -ограничен. В силу теоремы 1.1.2 задача (2.1.1), (2.1.2) редуцируется к эквивалентной системе Я + Мр"1/0, u(0) = «S и1 = Su1 + Lf1/1 , (0) = «J, где Л = M LQ , 5 = L 1M1, u W , fk Є fk, к = 0,1. По построению 5 Є L(Ul). Тогда вторая задача (2.1.3) имеет единственное решение и1 Є C{Ia\U1)) представимо є в виде і причем exp(tS) = U{ — полугруппа, являющаяся сужением полугруппы IIі на Ых, a exp((i — s)S) Uj s. Для рассмотрения первой задачи (2.1.3) предположим, что со — устранимая особая точка либо полюс порядка р Є IN .L-резольвенты оператора М. Тогда последовательно дифференцируя р раз первое уравнение (2.1.3) по и умножая слева на оператор R получим uM = -E c w, «є/;. (2.1.4) =0 Отсюда видно, что первая задача (2.1.3) неразрешима, если „S -X M0- (O). 9=0 С другой стороны, если (2.1.4) выполняется, то первая задача имеет единственное решение и0 є C(JQ;W0) .
Опишем множество допустимых начальных значений задачи (2.1.3), т.е. таких, при которых задача (2.1.3) однозначно разрешима. Из (2.1.4) в силу теоремы 1.1,2 это множество имеет вид Mf {ue dom Mi (I- Q){Mu + Y R4-Jr()) = } g=o dtq где R = L0M l(I — Q) Q определен формулой (1.1.8). Тогда (2.1.4) можно записать в виде 0 = « + я М0- (0) или o = M0U + i? (O). ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть оператор М (L7 а) -ограничен, со — устранимая особая точка либо полюс порядка р Є IN L -резольвенты оператора М. Тогда при любом f Є С {ІІ\Т) и при любом щ M.f существует единственное решение и Є C(J ;Z/) задачи (2.1.1), (2.1.2) имеющее вид: ( ) = - Я Мо"1 - Q) (t) + U{u\ + J" Uf L Qfis) ds. u[t)= — — - / Система уравнений (1 - zV2)vt = vV2v - (v V)u - (v - V)« - Vj? + /, 0 = V-u моделирует в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости [104, 105]. Здесь v = (vi,... ,vn)t Vk Vk(xti), к l,n соответствует вектору скорости жидкости; функция р = р(х,) отвечает давлению жидкости; вектор-функция / = (/i,.-.,/n) fk = fk(%) характеризует объемные силы; а вектор-функция v = (vu... ,vn), щ = щ{х) соответствует стационарному решению исходной системы. (Поскольку таких стационарных решений может быть несколько [108], то мы не должны ограничиваться рассмотрением только одного — нулевого стационарного решения). Параметр v Є IR+ характеризует вязкие, а параметр ае IR — упругие свойства жидкости. Обоснование системы (2.2.1) есть в [149].
Пусть П С 3Rn, п = 2,3,4 — ограниченная область с границей дО, класса С. Рассмотрим задачу Коши - Дирихле для системы (2.2.1) v y v ; (2.2.2) y(x,0) = vo{x)7 V;c П. Нашей целью является изучение разрешимости задачи (2.2.1), (2.2.2). Эту задачу мы исследуем в "рамках теории линейных уравнений Соболевского типа, изложенной выше.
Перед тем как приступить к исследованию задачи (2.2.1), (2.2.2) сделаем два замечания. Сначала заметим, что уравнение несжимаемости 0 = V v можно заменить уравнением О = V(V v). (2.2.3)
Мы получили систему уравнений эквивалентную исходной, т.к. по формуле Гаусса - Остроградского / Yj VkCos( n ,Xk) dS І V v dV. 8Q Q Учитывая,что V v = Const(t) (это вытекает из (2.2.3)) и -и(х,і) = 0,V(a;,i) Є dQ, х IR, получим Consi(t) = 0. Далее, положим Vp — р , т.к. во многих гидродинамических задачах знание градиента давления предпочтительнее, чем знание давления [80].
Неавтономная система термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка
В силу замечания 1.6.6 все прикладные задачи, рассмотренные в п. 2.6 — п. 2.9 , могут считаться конкретными интерпретациями изложенной в п. 3.1 формальной схемы. Но для того, чтобы иметь более содержательный пример, мы рассмотрим систему уравнений (1 - AV2)vt = z/V2v - (v V)v - p - gj8 + f\ J 0 = V(V-v), (3.2.1) которая моделирует эволюцию ско рости v = (vi, V2, ..., vn)t V{ — Viixyi), градиента давления P = {Pu P2, Pn), jpi =P 0M) и температуры В = 8(xtt) простейшей неньютоновской жидкости — несжимаемой вязкоупру -183 гой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка. Параметры А Є 1R, v Є Н+ и as Є IR-- характеризуют упругость, вязкость и теплопроводность жидкости соответственно; д Є IR+ — ускорение свободного падения; вектор у = (О, ..., 0, 1) — орт в Ж," ; свободные члены f1 = (fl, ..., ft), ft = ft{x,і), ft = ft(x,t) отвечают внешнему воздействию на жидкость.
В данном параграфе исследуется разрешимость первой начально-краевой задачи v(s, 0) = v0(x), в(х, 0) = B0(x)t Ух Є П; (3.2.2) v(s, t) = 0, 6(x, t) = 0, V(z31) dQ x IR+. для системы (3.2.1). Здесь Гі С IRrt n = 2,3,4 — ограниченная область с границей dCt класса С00.
Впервые задачу (3.2.1), (3.2.2) поставил А.П.Осколков [109]. Им же была исследована разрешимость задачи (3.2.1), (3.2.2) в случае А-1 —Ai ( Хг — наименьшее собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа в области Гї)[101]. Первая начально-краевая задача для системы (3.2.1) и ее модификации для плоско-параллельного течения рассматривалась ранее в [165, 168] соответственно. Однако в этих работах (и цитированных ранее) указанная задача изучалась в предположении, что свободный член ft не зависит от времени, а ft = 0 и при других (менее общих в [165, 16S] ) предположениях на соответствующие дифференциальные операторы.
Нас будет интересовать локальная однозначная разрешимость задачи (3.2.1), (3.2.2). Эту задачу удобно рассматривать в рамках теории уравнений Соболевского типа, разработанной нами в п. 3.1. -184 Для того, чтобы редуцировать задачу (3.2.1), (3.2.2) к задаче (3.1.1), (3.1.2) введем, следуя п. 3.1, пространства Н , Н ., Н и Н . Здесь Н и Н — подпростанства соленоидальных о функций в пространствах (W22 ( ))" П (W ity)" и 0 2 Ф))" соответственно, а Н и Н„ —их ортогональные (в смысле (L2(Q))n) дополнения. Через Е обозначим ортопроектор на Н ., причем о его сужение на пространство (Т-Т (Г2))"п (И С ))" будем обозначать тем же символом. Положим П = І" — Е.
Формулой А V2En : HjSHj —s- Н Н,г, где Еп — единичная матрица порядка п, зададим линейный непрерывный оператор с дискретным конечнократным спектром т(А) С IR, сгущающимся лишь на —со. Формулой В : v —+ V(V v) зададим линейный непрерывный сюръективный оператор В : Н фН . — Нх с ядром кег В — Н .
Пользуясь естественным изоморфизмом прямой суммы и декартова произведения банаховых пространств, введем в рассмотрение пространства Ы\ = Н х Н х Ир и Т\ — Н х Н х Нр, где Нр = Ня. Построим операторы РТІА VTLA -І \ О ВО) / Е(7 - ХА) Е(7 - ХА) О \ ( vZA vY A О \ Bi = Аг = П(/-АЛ) ЩІ-ХА) О \ О О О J
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2.1. Обозначим через Av сужение оператора ЕА на Н. По теореме Солонникова-Воровича-Юдовича спектр а(Аа) вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается лишь па —со.
ТЕОРЕМА 3.2.1. (і) Операторы АиВг Є С(Ыи Т{), и, если А-1 &(А)} то оператор Аг — бирасщепляющий, кег Аг =.{0} х - 185 {0} x Hp, im ! = Н х Н,, х {0}. (ii) Если А-1 "( ) U &{Ао)- чт о оператор В\ (Л1;сг)-ограничен, причем порядок несущественной особой точки в бесконечности равен единице.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2.2. Доказательство теоремы 3.2.1 можно извлечь из п. 2.6. Впервые понятие (Л, о) -ограниченного оператора В введено в [163]. Под порядком несущественной особой точки в бесконечности понимается степень нильпотентности оператора R [186]. Здесь же приведены достаточные условия относительной спектральной ограниченности оператора, легко проверяемые в приложениях. Случай относительно векториального оператора рассматривался в [164, 168, 188].
Далее положим U i = Т% — hii L) и формулой . = ssV2 : с!от?2 — ТІ определим линейный замкнутый и плотно опреде-ленный оператор В2, сіотБ2 = W(n) Л ТУ О )- Если оператор А2 положить равным /, то в силу секториальности оператора В2 [212, гл. 1] справедлива
