Введение к работе
Цель работы. Система уравнений
к (1 - aeV>, = vV2i) - (v V)u + J2 /^7 - Vp + J,
<=> (1)
0 = V v, -^r = f + сцш(і af Є R_, і = 1, Л" at
моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина Фойгта порядка К > 0. Функция v — (vi, V2, , vn), t>,- = Vi{x,t), x Є Q (Vt С Жп , n = 2,3, 4, — ограниченная область с границей дії класса С) имеет физический смысл скорости течения, функция р — p(x,t) отвечает давлению жидкости. Параметры и Є R+ и ж 6 R характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Параметры ft Є R+ , ! = 1Д, определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член / = (/і, , /n)i fi = fi{x) отвечает внешнему воздействию на жидкость. Для системы (1) рассмотрим задачу Коти Дирихле
v(x,0) = vu(x), р(х, 0) =Ро(х), щ(х,0) = и%(х), Мх Є П, v(x,t)=0, wi(x,t)=0, 1 = ТП<, V(x,i)eSnxR, и задачу Тейлора
v(x, 0) = v0(x), u>i(x, 0) = Wi0(x) Vx Є П,
«(ж, )= 0, ад(х,і) = 0У(а;,<)єа2Пхіг, (3)
^(г,і), u>i(x^t) удовлетворяют условию периодичности па д]ії x К. Следующая система уравнений
(1 - AV2K = uV2v - (и V)v+J2 A V2«'( - gqd -Vp + f,
i=i
0 = V(V-v), -^-=v-і-am ,a,6R_, ( = 17^,
в, = aeV26 - и V6 + v q моделирует эволюцию скорости v = (vi,... ,г>„), гі, = V{{x,t), градиента давления Vp = (pi,... ,рп), pi = Pi(x,t) и температуры в — 6(x,t) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка к > 0. Параметры
А Є R, v Є R+ и аз Є R+ характеризуют свойства жидкости, д Є R+ - ускорение свободного падения, вектор д = (0,...,0,1) — орт в R. Параметры А Є R+ , I = 1, к и вектор-функция / имеют тот же смысл, что и в системе (1).
Рассмотрим разрешимость первой начально-краевой задачи
v(x,0) = v0(x), wi{x,0) = ii'i0(x), 0(1,0) = 0(2:), Vx є О;
(5)
v(x,t) = 0, w,(x,t) = 0, B(x,t) =0, V(z,i) едП x R+ , Z = 1, fc
для системы (4). Здесь S7 С Rn, n = 2,3,4 — ограниченная область с границей ЭП класса С.
Аналогично ставятся начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, обобщающих системы (1) и (4).
Все рассматриваемые модели сводятся к разрешимости задачи Копій
«(0) = и0 (6)
для полулинейного уїхівнепия Соболевского типа
Lu = Mu + F(u). (7)
Здесь U и F — банаховы пространства, оператор L Є C(U\ Т), то есть линеен и непрерывен (ker L ^ {0}), оператор М : dom М —* Т , М є Cl(U\ F) линеен, замкнут и плотно определен в U, а оператор .F : domF —* .F- нелинейный.
Целью работы является качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка на основе теории разрешимости задачи (6), (7) и описание их фазовых пространств, а также проведение вычислительного эксперимента.
Актуальность темы. Известно, что, когда, оператор L необратим (в частности, когда ker L ^ {0}), задача (6), (7) разрешима не для любого начального значения щ U. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных зЕіачений «о є U, при которых задача (6). (7) однозначно разрешима. Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изучение представляет несомненный интерес.
Поиск множества допустимых начальных данных щ Є U привел Г.Л.Свиридюка к созданию метода фазового пространства. В данной работе продолжены исследования, начатые в работах Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукаче-вой, в ней впервые изучены автономные модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.
Заметим, что к задаче Коши (G) для уравнения (7) сводятся не только указанные выше задачи, но и многие другие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к абстрактной задаче (С), (7). Следовательно, исследование моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка является актуальной задачей.
Методы исследования. Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов, теории дифференцируемых банаховых многообразий. Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного уравнения (7) к уравнению и = В(и), заданному не на всем Ы, а па некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в W, являющимся фазовым пространством этого уравнения. Кроме того, в основе вычислительных экспериментов лежит метод Галеркина.
Научная новизна. В диссертации изучены модели несжимаемых вязко-упругих жидкостей ненулевого порядка в автономном случае. Получено описание фазовых пространств следующих задач:
задачи Копта-Дирихле для системы, моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, и для соответствующей обобщенной системы;
задачи Тейлора для системы, моделирующей динамику несжимаемой вяз-
коупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка;
- первой начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой пязкоупругой жидкости Кельвина—Фойпа ненулевого порядка, и для соответствующей обобщенной системы.
Разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей плоскопараллельную термоконвекцию несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка, разработана и реализована программа для персональных компьютеров нахождения численного решения этой задачи.
Все указанные задачи в данной постановке рассматриваются впервые, и результаты, полученные для них, являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести то, что впервые описаны фазовые пространства задачи Конги-Дирихле и первой начально-краевой задачи для моделей динамики несжимаемых вязкоупругнх жидкостей ненулевого порядка и соответствующих моделей термоконвекции, а также для задачи Тейлора модели динамики ненулевого порядка. Полученные результаты содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, имеющих прикладной характер. Эти результаты могут учитываться при построении численных алгоритмов решения задач.
Предложенный программный продукт может быть использован для нахождения численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.
Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на VI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 199G), на конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия"(Челябинск, 1997), на третьем Си-
бирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), на XII межвузовской научной конференции "Математические методы в технике и технологиях "(Великий Новгород, 1999), па международной научно-методической конференции "Современные интеллектуальные тсхііологии"(Великий Новгород, 2000). па международной научной конференции "Дифферециальпые и интегральные уравнения. Математические модели "(Челябинск, 2002), на международных научно-методических конференциях "Математика в вузе"( Петрозаводск, 2003, 2010, 2011), на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике(Киеловодск, 2010), на международной конференции "Физика и технические приложения волновых систем"(Челябинск, 2010), на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике(Казань, 2011). Также результаты докладывались и обсуждались на семинаре профессора Е.Ю. Панова в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого(Великий Новгород).
Работа поддержана программой "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)", проект № 2.1.1/2301.
Публикации. Все результаты диссертации своевременно опубликованы [1]-[18], причем работы [1]- [4| опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка обозначений и соглашений, заключении и списка литературы, который содержит 130 наименований работ российских и зарубежных авторов. Общий объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста.
