Исследование и сравнение методов Рунге-Кутта высокого порядка Ассюй Куасси Ришар

Содержание к диссертации

1. Введение 5

1. Уравнения Бутчера 5

2. Общая формулировка методов Рунге-Кутта 6

3. Обозначения 9

2. Каркас 14

4. Каркас метода 14

5. Каркас методов порядка б 16

6. Решение каркасной системы 20

7. Решение в случае Ьг = 0 21

8. Решение в случае ъ / 0 22

2.6- Выражение са и Ьъ через свободные переменные 23

2.7. Решение в полном виде 25

3. Методы численного нахождения методов Рунге-Кутта 30

9. Введение 30

10. Используемые переменные и матрицы 31

11. Применение упрощающих предположений для сокращения системы уравнений . 34

12. Описание программы 36

13. Вектора и матрицы, unit ЬіпеагЗ 36

14. Нахождение уравнений Бутчера, unit FUNCTJRJC ... 37

15. Реализация метода Ньютона, unit Newton 38

16. Осноаная программа, program rk 39

4. Методика проверки точности и сравнения методов 41

17. Тестовая задача 41

18. Алгоритм проверки 42

19. Описание программы RK-USE 46

5. Сравнение различных методов Рунге-Кутта 4S

20. Методы порядка 4 48

21. Методы 5-го порядка 54

22. Методы 6-го порядка , 57

23. Методы 7-го порядка 71

А ОГЛАВЛЕНИЕ

5.5. Методы 8-го дорядка 83

6. Заключение 87

6.1. Заключение 8?

7. Список литературы 88

_{Глава 1.}

Введение к работе

1.1. Уравнения Бутчера

1.1.1.Метод Эйлере. Простейший метод решения начальной задачи

У* = /0м0» УЫ)=Уо

был описан Эйлером (1768) в его "Интегральном исчислении" и является, фактически, методом Рунге-Кутта порядка 1. Глобальная погрешность метода имеет вид с Л, где с - постоянная, зависящая от задачи, иЛ-длина шага. Если желательно, скажем, получить 6 точных десятичных знаков, то требуется, следовательно, порядка миллиона шагов.

Если в исходном дифференциальном уравнении функция f(x, у) не зависит от у, то решение дифференциального уравнения сводится к нахождению определенного интеграла и метод Эйлера переходит в простейший метод нахождения определенных интегралов - метод прямоугольников. Для нахождения определенных интегралов уже давно были известны гораздо более точные методы. Естественно, возникало желание найти аналогичные методы и для решения дифференциальных уравнений.

1.1.2.Такую попытку произвел Рунге (1895). Для перехода от метода прямоугольников к первой квадратурной формуле Гаусса он рассуждал следующим образом. Первый шаг длины h должен иметь вид

у(х₀ + h)&y₀ + hf(x₀ + h/2, у(х₀ + Л/2)).

Но какое значение взять для у(хо + Л/2)? За неимением лучшего естественно использовать один малый шаг метод Эйлера длины h/2. Расчетные формулы выглядят так:

ki = /Оо,ЗАэ),

J/i = Уо + hk₂

Может показаться странным, что для вычисления ft₂ мы предлагаем сделать шаг методам Эйлера, о неэффективности которого говорилось выше.

Похожие диссертации на Исследование и сравнение методов Рунге-Кутта высокого порядка

Метод численного исследования обтекания пространственных конфигураций путём решения уравнений Навье-Стокса на основе схем высокого порядка точностиВолков, Андрей Викторович

Алгоритмы явного метода с переменным порядком точности для моделирования жестких линейных динамических системФедорова Зинаида Афанасьевна

Методы численного интегрирования повышенного порядка точности в задачах теплопроводности и термоупругостиПостоялкина Елена Анатольевна

Численное моделирование движения небесных тел на основе методов Адамса с высоким порядком аппроксимацииАбрамов Владимир Владимирович

Пакет программ моделирования уравнений Батчера для поиска методов Рунге-Кутта высокого порядкаХаммуд Гияс Мухаммед

Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времениИващенко Дмитрий Сергеевич

Методы оптимального синтеза измерительно-вычислительных преобразователей на основе датчиков первого и второго порядковНовицкий Денис Михайлович

Теория и вычислительные методы для проблемы частичного назначения спектра и собственных векторов в динамических системах, определяемых матричными уравнениями второго порядка или уравнениями в частных производных Саркисян Даниил Рафаэлевич

Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сеткахЛяпунов Сергей Владимирович

Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядкаМатвеева, Ольга Павловна