Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели нестационарных течения сжимаемой жидкости в пневмогидравлических системах 12
1.1. Роль возмущений давления в аварийности пневмогидравлических систем 12
1.2. Особенности моделирования торможения сжимаемой жидкости 16
1.3. Математические модели однонаправленного неустановившегося течения невязкой сжимаемой жидкости 22
1.3.1. Линейные модели 22
1.3.2. Нелинейные модели одномерного неустановившегося течения невязкой сжимаемой жидкости 24
1.3.3. Применение группового анализа при моделировании течений невязкой сжимаемой жидкости 31
1.4. Возможные краевые условия 33
1.5. Экспериментальные исследования гидравлических ударов 38
1.6. Цели и задачи исследования 42
Глава 2. Математическое моделирование торможения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе на базе аналитических решений 44
2.1. Уравнения однонаправленного движения сжимаемой жид кости в трубопроводе с учётом массовых сил 44
2.1.1. Течение при торможении сжимаемой жидкости в трубопроводе 44
2.1.2. Преобразование и свойства используемой системы уравнений 45
2.2. Краевые условия 47
2.3. Аналитические решения уравнений однонаправленного движения невязкой сжимаемой жидкости 49
2.3.1. Аналитические решения, описывающие первичную волну давления 49
2.3.2. Определение констант в частных решениях уравнения для первичной волны давления 55
2.3.3. Обобщённые решения уравнения для первичной волны давления 57
2.4. Граничное условие в концевом сечении трубопровода 60
2.5. Результаты расчётов для модели бесконечно протяжённого трубопровода 64
2.5.1. Результаты расчётов торможения газообразной сжимаемой жидкости 64
2.5.2. Результаты расчётов торможения капельной сжимаемой жидкости в бесконечном трубопроводе 70
2.6. Выводы по второй главе 77
Глава 3. Математическое моделирование торможения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе с использованием численных методов 78
3.1. Моделирование распространения первичной волны давления в трубопроводе конечно-разностными методами 78
3.2. Моделирование нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости с учётом отражённых волн сеточно-характеристическим методом 85
3.3. Тестирование численных методов при помощи точных решений системы Эйлера 90
3.3.1. Тестирование явных конечно-разностных схем 90
3.3.2. Тестирование неявных конечно-разностных схем 93
3.4. Результаты расчётов процесса торможения невязкой сжимаемой жидкости в системе «источник жидкости — трубо провод — клапан» 99
3.5. Временные характеристики перекрытия трубопровода, удовлетворяющие ограничениям на время перекрытия и приращение давления 103
3.6. Выводы по третьей главе 114
Глава 4. Экспериментальное исследование переходного процесса при торможении потока в системе «ёмкость—трубопровод-клапан» 115
4.1. Цель экспериментов. Состав и описание материальной части 115
4.2. Варианты установок для испытаний клапанов 117
4.3. Системы управления стендом и регистрации параметров 121
4.4. Результаты экспериментов 122
4.5. Сравнение результатов моделирования и экспериментов . 125
4.6. Выводы по четвёртой главе 131
Основные выводы и результаты исследования 132
Список литературы 134
Приложение
- Особенности моделирования торможения сжимаемой жидкости
- Аналитические решения уравнений однонаправленного движения невязкой сжимаемой жидкости
- Моделирование нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости с учётом отражённых волн сеточно-характеристическим методом
- Системы управления стендом и регистрации параметров
Введение к работе
Практика эксплуатации пневмогидравлических систем (ПГС) показывает, что гидравлические удары, возникающие при закрытии исполнительных устройств, выключении нагнетательных установок, являются причиной возникновения динамических нагрузок в системе, которые могут привести к авариям с тяжёлыми последствиями. Возможная разгерметизация особенно вредна для ПГС с токсичными, взрывоопасными жидкостями и газами, например, для химических производств и холодильных систем. Обеспечение запаса прочности ПГС введением в её состав средств гашения гидравлического удара увеличивает стоимость ПГС и ухудшает её массо-габаритные характеристики. При разработке ПГС и исследовании режимов их работы требуется как можно точнее оценивать величину давления в жидкости, расход жидкости и временную характеристику изменения эффективного проходного сечения про-дуктопровода.
Модели гидроудара разрабатывались Н.Е. Жуковским, М.А. Мостковым, И.А. Чарным, Н.А. Картвелишвили, Н.Н. Кочиной, М.Т. Гладышевым, Л. Аллиеви, Л. Бержероном, А. Бергантом и другими, но каждая из них содержит ряд допущений. Линейная теория представляет разработанный аппарат для решения уравнений модели [71], но не учитывает конвективные члены уравнений неразрывности и движения. При отказе от общности краевых условий ряду авторов удалось решить задачу в нелинейной постановке [30, 69, 104]. Ими получены автомодельные решения уравнений неразрывности и Эйлера, применимые лишь для конкретных краевых условий. Несмотря на значительные достижения в изучении гидроудара, последние продолжают периодически повторяться с тяжёлыми последствиями. За последнее время крупнейшей оказалась авария на Саяно-Шушенской ГЭС 17 августа 2009 г. Статистика свидетельствует: в коммунальном хозяйстве 83 % аварий (разрывов трубопроводов или арматуры) происходят из-за гидроударов, и лишь 17 % - от всех прочих причин [26]. По данным ВНПО «Радуга» [95], в год на водопроводных сетях происходит около 75 тысяч прорывов и иных аварий, что сопровождается потерями тепла и воды в объёме до 10-20 %. Обнаружение разрыва и восстановление трубопровода, находящегося под землёй, занимает в среднем 5-7 суток. Износ действующих в Росси систем водоснабжения превышает 40 % и нарастает с каждым годом. На нефтеперерабатывающих предприятиях наиболее подвержены гидроударам установки налива жидких продуктов, точность дозирования которых существенно зависит от времени закрытия запорного клапана. Из-за влияния волновых процессов эксплуатационные издержки на одной установке производительностью 8 л/с достигают стоимости 10—12 тонн нефтепродуктов в год. В США гидроудары в конденсационных трубопроводах АЭС постоянно привлекают внимание Комиссии по ядерному регулированию (NRC) [2, 122].
Помимо изменения давления, в ряде практических задач важна динамика расхода рабочего тела ПГС. Например, особенности нестационарных режимов делают актуальным моделирование переходных процессов в потоке жидкости при регулировании её подачи в скользящем режиме, требующем переключать исполнительное устройство (ИУ) со значительной скоростью и частотой - до 10-^-20 Гц. В оборудовании периодической полимеризации, эффективно защищенном от гидроударов, актуальна проблема определения объёма накопленных токсичных жидких продуктов в трубопроводах после срабатывания запорной арматуры.
Характер изменения параметров среды также несёт информацию о функционировании ПГС. В частности, Т.Ч. Колбая с соавторами [90] предложены экспресс-методы диагностики ИУ, основанные на измерении перепада давления на нём, и позволяющие избегать значительных материальных затрат на прямое определение положения запорного элемента и скорости потока посредством использования математических моделей отдельных участков ПГС.
Привлекательным способом нахождения компромисса между минимизацией приращения давления и быстродействием системы представляется выбор временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода, но он требует уточнения её роли в неустановившихся процессах в потоке сжимаемой жидкости. В этой связи инструментом проектирования и диагностики ПГС становится математическое моделирование, а уточнение математических моделей нестационарных процессов в них представляется актуальным.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ ГОУ ВПО ВГТА по теме «Разработка и совершенствование математических моделей, алгоритмов регулирования, средств и систем автоматического управления технологическими процессами» (№ г.р. 01.960.007315).
Цель работы - разработка математической модели торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе и её исследование при различном характере перекрытия проходного сечения трубопровода для прогнозирования изменения давления и скорости в потоке.
В соответствии с поставленной целью пришлось решать следующие задачи исследования: разработка математической модели торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе с учётом различного характера перекрытия его проходного сечения во времени; поиск новых точных решений системы нелинейных уравнений нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе; выбор рационального метода численного решения задачи торможения однонаправленного потока по результатам тестирования с помощью точных решений; разработка алгоритма и программы численного получения временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода при заданных ограничениях на время, скорость перекрытия и максимальное приращение давления в трубопроводе; — нахождение временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода, обеспечивающей минимальное время закрытия сечения при ограничении на приращение давления.
Объектом исследования являются нестационарные течения сжимаемой жидкости в пневмогидравлических системах. Предметом исследования является изменение параметров течения невязкой сжимаемой жидкости (НСЖ) в ПГС при её торможении, а также взаимосвязь параметров течения НСЖ с временными характеристиками перекрытия эффективного проходного сечения трубопровода.
Методы исследования. В работе использованы методы гидродинамики, теории дифференциальных уравнений в частных производных и вычислительной математики, математического моделирования с использованием инструментальных средств интегрированных программных систем, методы измерения давления.
Научная новизна.
Математическая модель торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе с учётом конвективных членов уравнений, наклона трубопровода и различных временных характеристик перекрытия его проходного сечения.
Новые семейства точных решений системы нелинейных уравнений в частных производных, описывающих однонаправленное нестационарное течение невязкой сжимаемой жидкости.
Зависимость приращения давления во времени при гидроударе, учитывающая характер перекрытия проходного сечения трубопровода и указывающая в случае предельного гидроудара большие приращения давления, чем известные.
Алгоритм и программа нахождения временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода при заданных ограничениях на время, скорость перекрытия и на максимальное приращение давления в трубопроводе.
Теоретическая и практическая значимость. Предложенная математическая модель позволяет более точно описывать процесс торможения сжимаемой жидкости в трубопроводе во время перекрытия его проходного сечения по сравнению с известными, учитывая конвективные члены уравнений гидродинамики и временную характеристику перекрытия трубопровода. Модель позволяет оценивать предельные значения приращения давления и их связь с временными характеристиками перекрытия трубопровода.
Результаты могут быть использованы при моделировании переходных процессов в различных ПГС, содержащих трубопровод с исполнительным устройством (ИУ) клапанного типа на торце, с целью уточнения методик расчёта давления и скорости в нестационарном потоке сжимаемой жидкости; с целью выбора рациональных временных характеристик перекрытия трубопровода, способствующих снижению максимального давления при гидроударе; для возможной оценки требуемого запаса прочности элементов конструкции ПГС.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах в Воронежской государственной технологической академии (2006 - 2008 гг.), воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XX» [45] (г. Воронеж, 2009 г.), Российской научно-технической конференции «Компьютерные технологии автоматизированного проектирования систем машиностроения и аэрокосмической техники» [62] (г. Воронеж, 2008 г.), VII международной научной конференции «Авиация и космонавтика - 2008» [61] (г. Москва, 2008 г.), международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20» [11] (г. Ярославль, 2007 г.) и «ММТТ-21» [42] (г. Саратов, 2008 г.), II и III международных научных конференциях «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 и 2009 гг.).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, в том числе четыре статьи в издании, рекомендованном ВАК РФ [10,43,46,47].
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, выводов, списка литературы и приложений. Материал диссертации изложен на 148 страницах основного текста и 14 страницах приложения, содержит 51 рисунок и 5 таблиц. Библиография включает 138 наименований, в том числе 19 на иностранных языках.
Во введении обосновываются актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, излагается краткое содержание по главам.
В первой главе проводится анализ работ различных авторов, рассматривающих математическое моделирование нестационарного движения сжимаемой жидкости в трубопроводах. Отмечены возможные области и условия применения различных математических моделей, а также способы решения поставленных задач. Обсуждаются возможные краевые условия, принимаемые при разработке математических моделей торможения сжимаемой жидкости. На основе проведённого анализа научной и технической литературы подтверждена актуальность темы исследования.
Во второй главе представлены материалы аналитического исследования математической модели торможения потока невязкой сжимаемой жидкости (НСЖ) на базе нелинейной системы уравнений неразрывности и Эйлера. Используется её модификация для однонаправленного течения НСЖ в цилиндрическом трубопроводе с абсолютно жёсткими непроницаемыми стенками, расположенном под углом к горизонту.
Найдены новые частные решения системы нелинейных уравнений нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости. С использованием найденных решений предложена математическая модель торможения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе. Работоспособность модели подтверждена расчётами для различных временных характеристик перекрытия проходного сечения трубопровода.
В третьей главе предложена математическая модель торможения невязкой сжимаемой жидкости в системе «источник жидкости — трубопровод -клапан», отличающаяся возможностью учёта временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода. В соответствии с полученными зависимостями разработана программа, рассчитывающая давление и скорость сжимаемой жидкости во времени и по длине ПГС. По результатам тестирования численных схем с помощью частного решения задачи гидроудара рекомендованы сеточно-характеристической метод и метод Адамса на центральном шаблоне. Проанализированы зависимости максимального приращения давления при гидроударе от отношения «время перекрытия сечения трубопровода - время пробега волны давления по трубопроводу», разработан алгоритм численного метода построения временных характеристик при заданных ограничениях на время, скорость перекрытия и на приращение давления. Для рассмотренного варианта ПГС рекомендованы конкретные временные характеристики.
В четвёртой главе для проверки адекватности разработанной модели использованы экспериментальные кривые давления у клапана, полученные на стенде ОАО «КБ Химавтоматики» при исследовании торможения потока воздуха в системе «ёмкость-трубопровод-клапан». Представлены состав и описание материальной части, состав и характеристики системы управления стендом и регистрации параметров, а также результаты экспериментального исследования переходных процессов в системе «ёмкость-трубопровод-клапан». Сравнение результатов численного моделирования и экспериментальных данных показало их достаточно близкое совпадение.
В приложениях приведены список использованных обозначений и результаты тестирования численных методов решения системы уравнений предложенной модели с помощью точных решений.
Особенности моделирования торможения сжимаемой жидкости
Математическое моделирование гидродинамических процессов осуществляется на основе уравнений в частных производных гиперболического типа. Общая теория решения таких задач развита и доведена до практического применения при решении одномерных задач численными методами [11, 12, 22, 32, 70, 91, 99, 101, 112, 134]. Широко распространёнными и обоснованными являются численные методы характеристик и конечно-разностные методы, исследуемые как в нашей стране [6, 7, 9, 10, 15, 20, 24, 29, 34, 77], так и за рубежом [124, 125, 127, 132, 136].
Обычно математическая модель течения сжимаемой жидкости включает уравнение неразрывности, уравнение движения и уравнение состояния. Широко известна и примечательна схема иерархии моделей динамики сжимаемой жидкости [102, с. 134], наглядно показывающая круг глобальных задач и проблем, связанных с исследованием динамики сжимаемых лсидкостей (как капельных, так и газообразных), которые интенсивно решаются многочисленными научными коллективами и отдельными авторами.
Уравнение неразрывности для выделенного объёма без внутренних источников и стоков в векторном виде записывается одинаково, вне зависимости от реологических свойств сжимаемой жидкости [74, с.59]:
Уравнение движения для ньютоновской вязкой сжимаемой жидкости есть уравнение Навье — Стокса [74, с.742] где // — динамический коэффициент сдвиговой вязкости, р — давление в жидкости; F - вектор массовой силы, S — тензор скоростей деформации вектор НОГО ПОЛЯ V С Элементами S,,- =— L + __i ских работах [81] утверждается, что уравнения гидродинамики в их традиционном виде должны иметь чрезвычайно широкую область применимости: в интервале частот от нуля до 10 с они должны описывать любые макроскопические процессы переноса, протекающие в жидкостях и газах.
Уравнения Навье - Стокса и баланса энергии весьма сложны не только для численного решения, но и для дальнейших преобразований и корректной постановки граничных условий [31, с.ЗЗ]. Поэтому в ряде работ [31, 50, 72, 75, 116, 121, 124] предложены более простые формы уравнений, выведенные с учётом различных допущений. Подчёркивается, что основной прогресс в математическом моделировании гидромеханических процессов был достигнут при исследовании относительно простых частных задач, для которых моделировалось влияние какого-либо фактора в отдельности.
Следует отметить, что уравнения Навье-Стокса - не единственно известная форма описания течений сжимаемой жидкости. На более высоком уровне методологии стоят кинетическое уравнение Больцмана, его модификации Барнетта - Грэда и Чепмена - Энскога. В [1] высказано концептуальное предположение, что трудности исследования системы Навье — Стокса связаны не с недостатком возможностей математического исследования, а имеют более глубокую причину, связанную с самим выводом этих уравнений посредством упрощающих допущений. В настоящее время научным коллективом под руководством акад. Б.Н. Четверушкина ведётся работа по исследованию численного инструментария решения кинетических уравнений — кинетически согласованных разностных схем [1, 117, 118]. Физической основой данного подхода является представление одночастичной функции распределения энергии как слабо меняющейся на расстоянии длины свободного пробега молекулы. Подчёркивается, что данный подход особенно эффективен при моделировании течений разреженных газов, потому что для них применимость газодинамических уравнений становится проблематичной [117].
Обзоры различных моделей движения сжимаемой жидкости в пневмо-гидравлических системах приведены в [31, 124], за основу взята система уравнений неразрывности и Навье — Стокса. С целью анализа относительного вклада отдельных членов и возможности упрощения уравнений (1.1)-(1.2) их, как правило, преобразовывают к безразмерной форме, переходя к относительным переменным. По результатам такого перехода в [31] сделан вывод о возможности пренебрежения вязкостью для относительно коротких каналов; в то же время для длинных каналов отношение длины к радиусу L/R » 1 в (1.2) градиент давления значительно превышает все остальные.
Аналитические решения уравнений однонаправленного движения невязкой сжимаемой жидкости
Несмотря на широкое распространение численных методов решения краевых задач, их аналитические решения, даже полученные для отдельных классов краевых условий, позволяют исследовать качественные свойства данной задачи, дают возможность тестирования численных методов [94]. Рассмотрим аналитические решения уравнения в частных производных (2.11). Подчёркивая их физический смысл и следуя [40], отметим, что они описывают первичные волны давления (ПВД). Уравнение (2.11) при В — 0 является известным квазилинейным уравнением Хопфа. В [93, 111] имеется богатый материал по исследованию его качественных свойств — эволюции профиля решения, образования и поведения сильного разрыва, описывающего ударную волну. В [51] для него также приведено решение задачи Коши в параметрическом виде, содержащее одну произвольную функцию. Вместе с тем ощущается недостаточное внимание к его частным решениям. Они представлены лишь решением «центрированная волна» (1.16) и решением для равноускоренного выдвижения поршня, которые применены для описания волн разрежения за выдвигаемым поршнем. За рамками предыдущих исследований оказались как задачи о неустановившихся движениях НСЖ с более сложными граничными условиями, так и решения, описывающие волны сжатия в областях их гладкости. Решения, предлагаемые в качестве начальных условий. Стационарные решения (2.11.) описывают установившиеся, не зависящие от времени течения и могут выступать начальными условиям в краевых задачах.
Они легко находятся из уравнения: Видно, что стационарные решения для горизонтального трубопровода (В = 0) тривиально обращаются в М = const, Ф = const. Подчеркнём, что при В = 0 М= const - единственно возможное стационарное решение (2.11). Для наклонного же трубопровода М зависит от z. Не является стационарным решением, но обращается в М = М00 при В 0 однородное по z решение (2.11) Согласно (2.12) и (2.13) стационарному решению M{z) при В Ф 0 соответствуют нестационарные выражения р и Р, что объясняется сжатием НСЖ за счёт веса вышележащих слоев. Влияние В на течение НСЖ мало в силу регулярности Мирно В и малости величины В. Так, для воздуха при R = 0,02 м и а = 330 м/с согласно (2.2) В 10 6, для воды - В 10""7. Рассмотрим решения уравнения (2.11) в виде бегущей волны от аргумента = = -Ят, инвариантное относительно оператора Х}+ЯХ2. Они также отличны от констант лишь при 5 0 и находятся из обыкновенного дифференциального уравнения имеющее общее решение, близкое к (2.20), где Я = const, ко = ±1, Т = т - г0. Традиционным способом разрешения уравнений в частных производных первого порядка является выражение их решения из интегралов характеристик исследуемого уравнения [71]. Уравнение (2.11), как известно, в области непрерывности решения имеет прямолинейные характеристики, по которым переносятся постоянные при В = 0 значения М. Для нахождения харак теристик (2.11) выводится их уравнение в симметрической форме [71]: записать, например, в параметрической форме где ц - параметр. Формулы (2.23), определяющие характеристики (2.11), при r0 =0, М0 =Mz0{zQ) позволяют выразить решение начальной задачи Коши с условием M(z,0)=M=0(z) в параметрическом виде (z0 — параметр): где ЩО.) — произвольная дифференцируемая по 2 функция. Выражения (2.26) определяют общее решение уравнения (2.11), но допускают разрешение относительно Млишь для отдельных функций ЩО). Можно показать, что решения (2.24) и (2.26) эквивалентны, а при В = О им также эквивалентно решение (2.25). Эквивалентность (2.24) и (2.26) видна, если положить в (2.26) т = О. Из сравнения с (2.24) следует w(z,o)= tr](z,6)=M,0(z)±b; где H l - функция, обратная Н. Параметры в решениях (2.24) и (2.25) при Z? = О связаны соотношениями гй=-гй\мйт(т0)±Ь\ M0T(TQ)=M=0(Z0), что по [93, с.220] соответствует проецированию граничного условия по характеристикам с оси т на ось z. Решения, описывающие первичную волну давления. Анализ уравнения (2.11) показал, что ему удовлетворяют, например, следующие семейства частных решений, полученные с помощью (2.26) подстановкой конкретных функций ЩО.). Наиболее простое решение, при В = 0 являющееся центрированной волной, получается для линейной функции H(Cl) = zQ0l: Здесь и далее используются обозначения Z, = z - z0 - Вт212;Т = т - т0. Центрированные волны, как известно [87], инвариантны относительно группы 5 При H(Q) = Z0 -r0Q + ,Q2 решение определяется как вещественный корень квадратного уравнения &,Q2 +TQ-Z, =0 [44]: kt = const ;к0 = +1. Решение (2.28) содержит уже три произвольные постоянные, что позволяет описать более широкий класс краевых условий, чем (2.27). При H{fi) = zQ- r0Q + — решение также определяется как веществен пый корень квадратного уравнения ТО,2 - (к2Т + Z,)Q + кх + k2Z] = 0 при условии г г0 [44]: Наконец, при использовании #(Q) = zQ - r0Q + к0 fk + 2k2Q. + k2D.2 из квад-ратного уравнения \Г2 -к3р2 -2(к2 + ZlT)o,-k] +Z2 = 0 при г Ф Г0 + . / получается частное решение, содержащее пять произвольных постоянных [46] Решения (2.28)-(2.30) содержат от трёх до пяти произвольных постоянных, и удовлетворяют краевым условиям различного характера. Достоинством аппроксимации краевых условий с помощью (2.28)-(2.30) является приближение участков, содержащих экстремумы М.
Вместе с тем при аппроксимации конкретного условия одним решением возникают ограничения. В частности, расчёты показали, что каждое из решений (2.27)-(2.30) удовлетворяет участкам М0г(г), не имеющим перегибов и асимптот. Удовлетворить краевым условиям с перегибами позволяют решения, определяемые как действительные корни кубических уравнений относительно М. Наиболее простое из них соответствует H(Q)= Ar,Q3 +k2Q.2 -r0Q + z0 и содержит четыре произвольные постоянные. Для определения М согласно (2.26) следует уравнение [45] Его корни определяются согласно известной формуле Кар дано: где / — мнимая единица. Как известно, переход двух корней кубического уравнения вида (2.31а) в комплексную область происходит при D5 = 0. Пытаясь удовлетворить ещё более широким классам краевых условий, с помощью (2.26) были получены решения в форме вещественных корней кубических уравнений, содержащие по шесть произвольных постоянных. В то же время они оказались чрезвычайно чувствительны к вариациям kh не имея больших преимуществ перед (2.31), что ограничило их использование.
Моделирование нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости с учётом отражённых волн сеточно-характеристическим методом
Разработана математическая модель нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе неограниченной протяжённости с жёсткими непроницаемыми стенками. Её особенностью является одновременный учёт гравитационных массовых сил, нелинейных конвективных членов исходных уравнений, временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода.
2. Найдены новые точные решения системы нелинейных уравнений однонаправленного нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости, содержащие до пяти произвольных постоянных. Их варьированием можно удовлетворить широким классам граничных условий при наличии гладкости искомого решения.
3. Для решений, описывающих первичную волну давления, получены выражения, позволяющие связать по три константы с характерными точками граничного условия.
4. Предложена методика моделирования нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе неограниченной протяжённости с использованием найденных аналитических решений нелинейных уравнений при наличии гладкости искомого решения.
5. Расчётное изменение давления по предложенной модели зависит от конкретной временной характеристики перекрытия трубопровода, а максимально возможное значение давления перед клапаном — от начальной скорости и свойств жидкости. Эти значения превышают результаты, полученные по линейной модели предшественников (относительное расхождение до 12 %); различие зависит от начальной скорости сжимаемой жидкости. Поскольку получить аналитические решения задачи торможения НСЖ для всех возможных граничных условий в явном виде невозможно, неизбежно использование численных методов. За последние сто лет разработано множество методов для численного решения газодинамических задач [101, 112, 134]. Устойчивость, сходимость и аппроксимация данных методов легко исследуются для линейных уравнений в частных производных, в то время как для нелинейных появляются принципиальные трудности в применении известных методов исследования устойчивости (спектрального признака, принципа максимума). Устойчивость конечно-разностной схемы для нелинейных уравнений не является необходимым условием сходимости и свойства аппроксимации. Сказанное требует тестирования применяемых численных методов для каждой конкретной нелинейной задачи с помощью известных точных решений. Для однонаправленного течения НСЖ долгое время такими тестовыми решениями были центрированные волны (1.16), не допускающие разнообразия граничных условий. Поэтому большее распространение в каче стве тестового получило уравнение Ьюргерса — + м— = ju—=-, учитываю щее вязкость в одномерной постановке, но известной подстановкой Коула — Хопфа [98] сводимое к линейному уравнению теплопроводности. Обзор тестирования численных методов с помощью решений уравнения Бюргерса можно найти в [25, 35]. В [53] предложена другая тестовая задача — линейное уравнение переноса с переменными коэффициентами, зависящими от t и х.
Исходя из сказанного, представляется актуальным тестирование численных методов решения задачи торможения потока НСЖ (2.11), (2.58)-(2.60) с помощью полученных частных решений (2.28)-(2.34), содержащих до пяти произвольных постоянных. На языке C++ была составлена программа для тестирования следующих явных конечно-разностных схем, внешний вид её форм приведён в приложении Б. Результаты тестирования приведены в приложении В и графически представлены на рис. 3.1 — 3.2. Схемы «правый нижний уголок» и «правый верхний уголок»:
Здесь и далее обозначим QtJ = Mtj - b; Дг, Az - шаги по временному и пространственному направлениям; /, j — индексы по т и z соответственно. Как известно [32], в линейном случае ПЛу = const первая схема условно устойчива при Q 0 и QAr/Дг 1, вторая безусловно устойчива при Q 0.
Схема «левый нижний уголок» и схема 2-го порядка аппроксимации по z на центральном шаблоне:
Известно, что в линейном случае схема (3.2) условно устойчива при Q 0, QAT/AZ 1; (3.3) неустойчива по спектральному признаку, но условно устойчива по более общему условию фон Неймана при (Q/Az)2Ar со0 = const [101, с.185].
Явная схема 2-го порядка аппроксимации по т и z на симметричном прямоугольном шаблоне [32, 82]:
Системы управления стендом и регистрации параметров
Согласно рис. 3.1, наименьшую погрешность при возрастании числа шагов по времени NT при Дг = 1(Г2 демонстрируют метод на центральном шаблоне по z (3.3) и другие методы, основанные на нём — Адамса 2-го и 3-го порядков (3.9) и Лакса - Вендрофа (3.8). Согласно рис. 3.2, методы Адамса 2-го и 3-го порядков наименее чувствительны к изменению шага Аг и практически совпадают по точности; незначительные преимущества метода 3-го порядка проявляются при максимально допускаемых Ат. Метод Лакса - Вендрофа к увеличению Ат мало чувствителен, но уступает по точности методам Адамса. Погрешности методов Адамса и Лакса — Вендрофа, основанных на аппроксимациях дМId: типа «правый уголок» и «левый уголок», практически совпадают с «чистыми» версиями данных шаблонов (3.1)-(3.2).
Простой метод на центральном шаблоне (3.3) показывает высокую точность лишь при Az/Ar 200. При возрастании Ат появляются осцилляции, при Azj/Ar 20 метод теряет устойчивость. Следовательно, для тестируемого решения значения константы со0 «Ю-2.
Схема на прямоугольном шаблоне (3.4) не уступает в точности методам на центральном шаблоне. Он относительно стабилен при изменении Ат, но всё же более чувствителен к изменению Ат, чем методы Адамса.
Схема 4-го порядка (3.5) при небольших NT уступает в точности методам на центральном шаблоне, её преимущества в точности проявляются с возрастанием NT. Её недостатком является потеря устойчивости при возрастании Ат, подобно (3.3).
Схемы типа «правый уголок» (3.1) имеют уже значительную погрешность, при больших NT превышающую погрешность описанных ранее схем на порядок и более. Разница в точности между «верхним» и «нижним» шаблонами незначительна и не в пользу «верхнего». При возрастании Ат они ощутимо теряют точность, оставаясь устойчивыми.
Схемы «левый нижний уголок» (3.2) демонстрирует наименьшую точность; при увеличении NT не выполняется свойство аппроксимации — результаты расчётов сходятся к М00, но не к решению.
Схема Мак-Кормака М (3.6) показывает результаты, по точности очень близкие к методам Адамса на центральном шаблоне, но имеют несколько большую чувствительность к изменению Аг. Схемы М+ и Mj уступают ей в точности, схемы MZ и Ml близки по точности к шаблонам «правый уголок», схемы МХ,М2,М \ быстро теряют устойчивость.
Схемы Лакса без искусственной вязкости (3.7) оказались непригодны для данной задачи в силу низкой точности аппроксимации производной во времени по трём точкам при Az = -2.
Рис. 3.3. Зависимость отклонения С численного решения от точного от величины шага Az при при г = 200. Кривая 1 - схемы на центральном шаблоне, кривая 2 — схемы типа «правый уголок».
Тест по норме С при варьировании Az не выявил ничего нового (рис. 3.3): для всех схем отклонение от точного решения монотонно растёт вместе с Az.
Исследования показывают, что на точность численного метода существенное влияние оказывают выбор метода решения и соотношение шагов конечно-разностной сетки. Метод Адамса 2-го порядка показал высокую точность, наименьшую чувствительность к изменению Ат, разумный компромисс между точностью и сложностью реализации, и может быть рекомендован для численного решения уравнения (2.11). При этом погрешность любого численного метода ощутимо растёт с требуемым числом шагов по времени NT, и для гладких решений уступают по точности предложенному выше методу, основанному на использовании семейства частных решений (2.11). Преимущества аналитических решений при моделировании распростра нения ПВД велики, но при решении задачи взаимодействия прямых и отра жённых волн численные методы пока незаменимы. Данная задача описыва ется не уравнением (2.11), а системой (2.8). Как показали расчёты, немногие схемы из числа показавших хорошие результаты при решении (2.11), обеспе чивают устойчивость решения системы (2.8). Исходя из сказанного, возника ет потребность в поиске новых численных методов решения систем, подоб ных (2.8), обеспечивающих приемлемую точность и устойчивость. Используя гиперболический тип (2.8), обратимся к сеточно-характеристическим чис ленным методам [77]. Так как по результатам расчётов аппроксимация харак теристических направлений (2.7) Аг/Аг = М,7 ±Ь, принятая в [77], не обеспе чивает устойчивости, разработаем модификацию сеточпо характеристического метода, способную обеспечить требуемую устойчи вость [10].
Рассмотрим торможение потока НСЖ закрытием исполнительного устройства, состыкованного с трубопроводом в сечении z — 0. В сечении zT (zr 0) трубопровод состыкован с источником движения НСЖ. В данной работе он моделируется источником постоянного давления, который при кратковременных процессах может обозначать вентилятор, динамический компрессор либо насос. При увеличении продолжительности процесса будет необходимо учитывать их напорные характеристики. Остаются справедливыми допущения, принятые в начале главы 2: рассматривается невязкая сжимаемая жидкость, изменение её параметров описывается системой (2.1), трубопровод постоянного сечения с абсолютно жесткими стенками, исполнительное устройство клапанного типа имеет небольшую полость.
