Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Физические основы процесса торможения автомобиля и проблема его модельного представления 14
1.1 Анализ особенностей торможения автомобиля как физического процесса 14
1.1.1 Силовые воздействия на колесо при торможении автомобиля 14
1.1.2 Потери механической энергии при торможении автомобиля 16
1.1.3 Тормозная система автомобиля 18
1.1.4 Характеристики колеса, влияющие на процесс торможения автомобиля 20
1.1.5 Характеристики дороги, влияющие на процесс торможения автомобиля 24
1.1.6 Этапы процесса торможения 25
1.2 Методы изучения физического процесса 26
1.2.1 Характеристика способов изучения физического процесса 26
1.2.2 Особенности вычислительного эксперимента и этапы его реализации 29
1.3 Методы счёта математической модели и факторы, влияющие на их выбор 32
1.3.1 Методы счёта 32
1.3.2 Производительность персонального компьютера (ПК) 33
1.3.3 Программное обеспечение ПК и язык программирования 34
1.3.4 Вычислительный алгоритм и его влияние на скорость счёта 35
1.4 Особенности математического моделирования процесса торможения автомобиля 37
1.4.1 Взаимодействие подсистем, определяющих процесс торможения автомобиля 37
1.4.2 Модульное представление подсистемы «Автомобиль» 39
1.4.3 Математические модели автомобиля в режиме торможения 40
1.5 Цель работы и задачи исследования 42
Глава 2. Формирование математической модели процесса торможения автомобильного колеса 43
2.1 Модули процесса торможения автомобиля и их математическое описание 43
2.1.1 Математическая модель автомобильного колеса 43
2.1.2 Математическая модель дороги 54
2.1.3 Математическая модель тормозной системы 58
2.2 Общее уравнение движения колеса в режиме торможения по горизонтальной поверхности и его возможные решения 64
2.2.1 Уравнение движения колеса в режиме торможения 65
2.2.2 Движение блокированного колеса 61
2.2.3 Качение колеса по абсолютно гладкой поверхности 67
2.2.4 Качение колеса без проскальзывания 61
2.2.5 Движение колеса с проскальзыванием 68
2.3 Устойчивость решений общего уравнения движения колеса в тормозящем режиме 70
2.4 Сравнительный анализ некоторых языков программирования высокого уровня на примере решения общего уравнения движения колеса в тормозящем режиме 77
2.5 Выводы 78
Глава 3. Математическая модель процесса торможения автомобильного колеса и её численное решение при различных начальных условиях 80
3.1 Эффективность численных методов при решении математической модели торможения автомобильного колеса 80
3.1.1 Вычислительный алгоритм математической модели торможения автомобильного колеса 80
3.1.2 Эффективность численных методов решения математической модели
3.2 Экстренное торможение автомобильного колеса на однородном дорожном покрытии 87
3.2.1 Результаты вычислительного эксперимента при торможении колеса без регулятора тормозных сил 87
3.2.2 Результаты вычислительного эксперимента при торможении колеса с регулятором тормозной силы без обратной связи 88
3.2.3 Результаты вычислительного эксперимента при торможении колеса с регулятором тормозной силы с обратной связи (АБС) 89
3.3 Экстренное торможение автомобильного колеса с АБС на дорожном покрытии типа «Переходное» 91
3.3.1 Торможение автомобильного колеса на покрытии «сухой -обледенелый асфальтобетоны» 91
3.3.2 Торможение автомобильного колеса на покрытии «мокрый - сухой асфальтобетоны» 93
3.3.3 Торможение автомобильного колеса на покрытии «обледенелый -мокрый асфальтобетоны» 95
3.4 Экстренное торможение автомобильного колеса на покрытии с переменными фрикционными свойствами типа «Зебра» 97
3.4.1 Торможение автомобильного колеса на покрытии с чередующимися фрикционными свойствами «сухой - мокрый асфальтобетоны» 97
3.4.2 Торможение автомобильного колеса на покрытии с чередующимися случайным образом фрикционными свойствами 98
3.5 Выводы 101
Глава 4. Оптимизация математической модели процесса торможения автомобильного колеса с целью её численного решения в режиме реального времени 103
4.1 Оптимизация вычислительного алгоритма по времени счёта математической модели торможения колеса 104
4.2 Оптимизация функции связи ф() по времени счёта математической модели торможения колеса 114
4.3 Влияние вида математического описания тормозной системы колеса на решение уравнений модели процесса торможения 120
4.4 Прогнозирование погрешности численного решения математической модели в режиме реального времени 123
4.5 Выводы 128
Глава 5. Математические модели процесса торможения автомобильного колеса, имеющие приближённое аналитическое решение 129
5.1 Математическая модель служебного торможения автомобильного колеса и её аналитическое решение 129
5.2 Аналитическое решение математической модели экстренного торможения колеса методом последовательных приближений 132
5.3 Аналитическое решение математической модели экстренного торможения колеса с функцией связи 0(5") линейного вида 138
5.4 Математическая модель торможения колеса с функцией связи ф(7) 144
5.5 Выводы 150
Заключение 151
Список литературы 153
Приложение
- Силовые воздействия на колесо при торможении автомобиля
- Производительность персонального компьютера (ПК)
- Математическая модель автомобильного колеса
- Вычислительный алгоритм математической модели торможения автомобильного колеса
Введение к работе
Актуальность темы. Активная безопасность колёсного транспортного средства в период торможения достигается с помощью автоматизированных систем управления параметрами его движения. Для выработки алгоритмов функционирования таких систем управления требуются математические , модели, способные моделировать процесс торможения в масштабе реального времени. Используемые в настоящее время модели либо не обладают этим свойством, так как время их решения сравнимо или больше длительности описываемого ими процесса, либо упрощены. В связи с этим, необходим поиск путей совершенствования моделей. В настоящей работе такая попытка сделана за счёт функционально-смыслового деления модели процесса торможения на ряд модулей, например, модуль «колесо», модуль «дорога» и так далее. Кроме того, при повышении адекватности физико-математического описания процесса торможения натурному эксперименту и оптимизации по времени алгоритма счёта уравнений модели процесса появляется возможность моделирования в масштабе реального времени. Не менее важно при этом исследовать теоретически и с помощью вычислительного эксперимента оценить влияние каждого модуля процесса торможения на скорость и погрешность решения уравнений модели, а также влияние характеристик модулей на адаптивность автомобиля к условиям эксплуатации.
Целью диссертационного исследования является повышение быстродействия микропроцессоров блоков управления антиблокировочных систем (АБС) автомобиля, а также управляющих ЭВМ в составе комплексных моделирующих установок при лабораторных испытаниях АБС. Объектом исследования является процесс затормаживания колеса автомобиля, оснащённого АБС.
Научная новизна исследования заключается в разработке метода повышения быстродействия микропроцессоров блоков управления антиблокировочных тормозных систем автомобиля (АБС), а также управляющих ЭВМ в составе комплексных моделирующих установок при лабораторных испытаниях АБС. В основе метода лежат, во-первых, оптимизация вычислительных процессов исследуемой математической модели и, во-вторых, полученные математические описания модулей «автомобильное колесо», «тормозная система», «дорога» позволяют прогнозировать развитие процесса торможения автомобиля.
Кроме того, получены математические модели процесса служебного и экстренного торможения автомобиля, имеющие приближённое
аналитическое решение без потери адекватности реальному процессу. Определены границы применимости моделей.
Получена формула для определения критического шага интегрирования, начиная с которого наблюдается численная неустойчивость в решении уравнений модели процесса. Предложен экспресс-метод оценки накопленной погрешности на каждом шаге численного решения математической модели.
На защиту выносятся математическая модель механической системы «автомобильное колесо - тормозная система - дорога» в качестве модульной математической модели процесса торможения автомобиля, в том числе с . АБС. Модель имеет численное и приближённое аналитическое решение в масштабе реального времени, с погрешностью счёта уравнений не более погрешности исходных данных. Модель позволяет решать проблемы комплексного проектного выбора параметров модулей по совокупности таких эксплуатационных свойств, как устойчивость затормаживания колеса и минимизация тормозного пути автомобиля в различных условиях эксплуатации.
Достоверность результатов исследования определялась следующим:
полученное общее уравнение движения колеса в режиме торможения
описывает все фазы процесса торможения;
результаты проведённых вычислительных экспериментов не противоречат физике рассматриваемого явления и законам сохранения в механике;
численные и аналитические решения уравнений модели хорошо
согласуются между собой и находятся в удовлетворительном согласии с
опытными данными;
в пределе, при деформации колеса стремящейся к нулю,
математический вид уравнения движения совпадает с уравнениями,
полученными другими авторами на основании законов динамики твёрдого
тела.
Практическая значимость заключается в создании вычислительных программ, позволяющих, во-первых, реализовать с помощью микропроцессоров блоков управления АБС управление процессом торможения колеса автомобиля по поверхностям любого типа в режиме реального времени, во-вторых, обеспечить качественную работу управляющей ЭВМ в составе комплексной моделирующей установки при лабораторных испытаниях АБС и, в-третьих, определить оптимальные характеристики тормозной и антиблокировочной систем, при которых
обеспечивается максимальная эффективность торможения для любого
. данного типа поверхности дороги.
Внедрение результатов. Результаты работы используются как в учебном процессе ВолГУ при подготовке специалистов по специальности 23.01.02 и ВолгГТУ при подготовке специалистов по специальности 19.06.01.65, так и в научных исследованиях динамичных процессов колесных машин, осуществляемых рабочей группой ВолгГТУ под руководством профессора Ревина А.А.
Апробация работы в виде докладов по материалам, изложенным в диссертации, проводилась: на VIII-ом Симпозиуме «Проблема шин и резинокордовых композитов// Дорога, шина, автомобиль» (Москва, октябрь 1998г.); на международной конференции «Прогресс транспортных средств и
. систем» (Волгоград, октябрь 1999г.); на VII-ой Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (Дубна, январь 2000г.); на VIII-ой Международной конференции «Образование. Экология. Экономика. Информатика» (Астрахань, сентябрь 2003г.); на Vll-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, май 2006г.); на VIII-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, октябрь 2007г.); на V-ой Всероссийской научно-технической конференции «Политранспортные системы» (Красноярск, ноябрь 2007г.); на ежегодных научных конференциях ВолГУ и ВолгГТУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ*, в том числе 2 публикации в изданиях, включённых в перечень ВАК РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объём работы 4Ш страницу в том числе 106 рисунков, 25 таблиц. Список литературы составляет 140 наименований, в том числе 13 - переведённые с иностранного языка, 7 - на иностранном языке.
Силовые воздействия на колесо при торможении автомобиля
К первым научно-исследовательским работам в России по теории торможения колесного транспорта следует отнести работы Чудакова Е.А. [128], Жуковского Н.Е. [38], Бухарина Н.А. [19], Певзнера ЯМ. [104], Яковлева Н.А. [132] и других, выполненные в первой половине двадцатого столетия. В этих работах определены процессы, возникающие при торможении автомобиля и влияющие на эффективность торможения. Рассмотрим эти процессы подробнее.
При качении колеса в ведомом режиме на него действует момент сопротивления качению М опр, обусловленный, во-первых, присасыванием шины к поверхности качения, во-вторых, внутренним трением в шине (неупругие деформации) и, в-третьих, силой вязкого трения воздуха о поверхность вращающегося колеса. Вследствие действия момента Мксопр, возникает угловое ускорение противоположное по направлению угловой скорости вращения колеса относительно его оси. На колесо так же действует сила сопротивления качению F" , обусловленная совокупностью тангенциальных сил со стороны дороги в пятне контакта колеса. При этом скорость точек поверхности колеса в пятне контакта равна нулю в системе отсчёта, связанной с дорогой. Вследствие действия Глаиа 1. силы F np, возникает линейное ускорение оси колеса, противоположное по направлению поступательной скорости оси колеса относительно дороги. В тоже время момент силы сопротивления качению создаёт угловое ускорение, совпадающее по направлению с угловой скоростью вращения колеса относительно его оси (положительное угловое ускорение).
Вращающиеся части автомобиля, обеспечивающие передачу крутящих моментов на колёса (трансмиссия), обладают значительным суммарным моментом инерции и поэтому создают на колесе тормозящий момент М1ряис. Направление действия момента Мтранс противоположно вращению колеса при разгоне автомобиля (отрицательное угловое ускорение) и совпадает с направлением вращения колеса при торможении автомобиля (положительное угловое ускорение).
Если при торможении автомобиля двигатель соединён с колёсами, то он является тормозом-замедлителем. При этом используется трение в двигателе (главным образом трение возвратно-поступательно движущихся частей) и сопротивление, когда двигатель при прекращении или существенном уменьшении подачи топлива работает как компрессор. Тормозной момент двигателя Мдв создаёт отрицательное угловое ускорение колеса. При включении тормозного механизма колеса на тормозном барабане создается тормозной момент Мтор, вследствие чего возникает отрицательное угловое ускорение колеса, приводящее, в свою очередь, к появлению разности между линейной скоростью вращения точек поверхности колеса относительно его оси и поступательной скорости оси колеса относительно дороги. Это обуславливает проскальзывание элементов шины колеса по поверхности качения и между колесом и дорогой возникает сила сцепления Fcll Момент этой силы относительно оси колеса создает положительное угловое ускорение на колесе. На эффективность торможения автомобиля также влияет сила сопротивления воздуха / сопр обусловленная: давлением встречных частиц воздуха на переднюю часть автомобиля; І лава I. образованием сзади и снизу движущегося автомобиля областей разряжения; силой вязкого трения воздуха о поверхность движущегося автомобиля. По Чудакову Е.А. и другим авторам только вышеприведенные факторы влияют на процесс торможения автомобиля, если последний движется по горизонтальной дороге с выключенным сцеплением (по инерции). В этом случае отрицательное ускорение создаваемое полной тормозной силой, приводит к уменьшению поступательной скорости автомобиля. При торможении уменьшается (или полностью рассеивается) механическая энергия машины, накопленная в процессе предыдущего движения, и достигается соответствующая скорость или горизонтальный уровень, причем скорость определяет кинетическую энергию машины, а горизонтальный уровень — потенциальную. Преобразование накопленной механической энергии в работу сил трения или каких-то других сил сопротивлений осуществляется в тормозных механизмах, расположенных непосредственно на колесах, на валах трансмиссии, двигателя или в других местах, связанных с валом двигателя или трансмиссии, так же при взаимодействии автомобиля с внешней средой (с поверхностью дороги, воздухом). Кроме того, при качении колеса по дорожной поверхности в эластичном ободе колеса происходят упругие и неупругие деформации. Эти деформации приводят к нагреву колеса. Вследствие контакта колеса с внешней средой (дорога, воздух и т.д.) тепловая энергия в колесе диссипирует [40, 42, 43, 63, 127].
Производительность персонального компьютера (ПК)
Поскольку основная роль в обработке информации компьютером играет микропроцессор (МП), он оказывает наибольшее влияние на производительность ПК [10, 17]. При этом МП характеризуется: тактовой частотой - в первом приближении, число элементарных действий выполняемых за одну секунду. Работа МП синхронизируется импульсами тактовой частоты от задающего генератора. Чем выше тактовая частота (при прочих равных условиях), тем выше его быстродействие; разрядностью - максимальное количество разрядов двоичного кода, которые могут обрабатываться и передаваться одновременно. При этом различают разрядность внутренних регистров МП, разрядность шины данных и разрядность шины адреса. Чем больше разрядность шины данных, тем больше скорость передачи информации между МП и другими устройствами; архитектурой - организация МП с точки зрения пользователя (описание пользовательских возможностей программирования, системы команд, способов адресации, организации памяти, средств ввода-вывода и типов обрабатываемых данных).
Под программным обеспечением (ПО) понимают совокупность программ, воспринимаемых ЭВМ и достаточных для решения на ней определённой задачи. По функциональному признаку ПО делится на системное и прикладное. Системное программное обеспечение используется для разработки и выполнения программных продуктов. Прикладное программное обеспечение предназначено для решения определённой целевой задачи или класса задач.
Частью программного обеспечения являются языки программирования — искусственные языки, используемые для составления программ. Как правило, вычислительная машина воспринимает и выполняет программы, написанные на языке машинных кодов (язык низкого уровня). Программирование вычислительного алгоритма осуществляется па языке высокого уровня (алгоритмический язык), основная задача которого облегчить написание программы и сделать связь пользователя с ЭВМ более доступной. Перевод с алгоритмического языка на язык машинных кодов обеспечивается программами-трансляторами, входящих в ПО. Трансляторы делятся на две группы: компиляторы и интерпретаторы.
Компиляторы сначала переводят всю программу, написанную на алгоритмическом языке, в машинные коды, и после этого очень быстро выполняют её. Быстрота исполнения - основное достоинство компиляторов. Недостатком является невозможность видеть промежуточные результаты выполнения алгоритма. К компиляторам относятся такие высокоуровневые языки как Pascal, Fortran, С и другие.
Интерпретаторы покомандно переводят алгоритм с языка программирования на язык машинных кодов и тут же исполняют переведённую команду. При необходимости (допущенная ошибка или другая причина) программа-интерпретатор прекращает работу и просит исправить неверную конструкцию. Достоинство интерпретаторов — в возможности видеть промежуточные результаты выполнения алгоритма и по ходу дела вносить в исполняемый алгоритм изменения. Недостаток - гораздо более медленная работа по сравнению с компиляторами. К интерпретаторам относятся в основном высокоуровневые языки семейства Basic.
На основании выбранного метода счёта создаётся вычислительный алгоритм, с помощью которого осуществляется вычислительный процесс решения поставленной задачи. Вычислительный процесс должен быть устойчивым, экономичным (число операций минимально) и реальным для используемого ЭВМ. Алгоритм - это набор команд для выполнения определённой задачи. Реализацию задачи можно осуществить с помощью алгоритмов различной сложности. Сложность алгоритма определяется затратами машинного времени (скорость счёта) и объёмом используемой оперативной памяти. Оба показателя взаимосвязаны между собой (скорость счёта можно повысить, увеличив объём используемой памяти и наоборот), поэтому говорят об объёмно-временной сложности алгоритма. Реальный алгоритм - это всегда компромисс между двумя этими показателями.
В рамках требований к моделированию процесса торможения автомобиля в режиме реального времени скорость выполнения алгоритма увеличивается за счёт изменения его сложности при не превышении объёма, выделенной для решения задачи оперативной памяти. Если при исполнении программы объём требуемой памяти превысит имеющийся, то часть её записывается на диск (создаётся файл подкачки).
Математическая модель автомобильного колеса
Концептуальная модель колеса, участвующего в торможении автомобиля состоит из следующих атрибутов: геометрические характеристики колеса в процессе торможения; нормальная нагрузка Pz на ось колеса; момент инерции колеса / относительно его оси; давление воздуха рп. в баллоне колеса; упругие свойства шины. Любое уравнение, объединяющее вышеназванные параметры колеса, может являться его математической моделью [117]. К таковому относится, например, уравнение, описывающее коэффициент сопротивления качению колеса fK.
Моделирование колеса в процессе качения проводилась разными авторами. Так Бидерман В.Л. и др. предложили модель шины, объясняющую формирование радиуса качения RK колеса с учётом механических свойств шины [120]. Купреянов А.А. разработал динамическую модель колеса, в которой получил уравнение продольного смещения элементов шины в пятне контакта с поверхностью дороги [120]. Петрушев В.А. предложил эмпирическую формулу для определения коэффициента сопротивления качению в ведомом режиме, а так же зависимость нормальной деформации шины h от вертикальной нагрузки Pz и давления pw воздуха в баллоне колеса [106]. Зимилев Г.В., исследуя силовые и скоростные характеристики колеса, определил зависимость коэффициента сопротивления качению от его динамического радиуса Яд [40]. Смирнов Г.А., исследуя физические процессы, происходящие в эластичном колесе, разработал динамическую модель ведомого колеса и определил зависимость коэффициента сопротивления качению от геометрических характеристик колеса и пятна контакта и от величины вертикальной нагрузки Рг на колесо [120]. Левин М.А. и Фуфаев Н.А. при описании динамической модели деформируемого колеса использовали теорию крипа - псевдоскольжение точек поверхности колеса в пятне контакта [85]. Полученные вышеперечисленными авторами математические модели содержат неопределяемые, по той или иной причине, величины. В то же время, модели раскрывают на качественном уровне внутренние связи и явления, физические процессы, происходящие в колесе при его торможении, и показывают тенденцию зависимости коэффициента сопротивления качению от характеристик колеса. Выведем расчётную формулу коэффициента сопротивления качению /к, с учётом вышеперечисленных работ.
При свободном качении эластичного колеса по дороге с покрытием на него действует момент сопротивления качению Мксопр,, обусловленный, во-первых, продольной и нормальной деформацией в шине, во-вторых, присасыванием шины к опорной поверхности вследствие выдавливания воздуха в замкнутых контурах протектора в пятне контакта 0\Ог и, в-третьих, аэродинамическим сопротивлением. Исследования характера деформации шины колеса, находящегося в режиме качения по твёрдой поверхности, показывают, что результирующая нормальная реакция Nz на опорную поверхность колеса со стороны дороги смещена по ходу движения колеса относительно направления нормальной нагрузки Pz на некоторое расстояние (рис. 2.2 и 2.3) [85, 95, 105, 120, 127]. Величина смещения , называемая плечом сопротивления качению, зависит от геометрических, кинематических, динамических и упругих характеристик колеса [1]. Результатом такого смещения и является момент сопротивления качению: Мксоп = N, %. Под действием этого момента колесо приобретает отрицательное силы угловое ускорение.
При качении колеса без проскальзывания в пятне контакта между колесом и поверхностью дороги действует сила сопротивления качению обусловленная совокупностью тангенциальных сил со стороны дороги в пятне контакта колеса и направленных против движения его оси. В результате, сила сопротивления качению создаёт положительный момент относительно оси колеса и, одновременно, создаёт отрицательное продольное ускорение V оси колеса относительно дороги. По определению, FcKon =fk-P_, где коэффициент пропорциональности /к называется коэффициентом сопротивления качению колеса [1, 2]. Если на колесо действует тормозной момент Мтор со стороны тормозного механизма колеса (рис. 2.3), то колесо дополнительно приобретает отрицательное угловое ускорение со относительно своей оси. Пусть при этом величина Мтор растёт со временем таким образом, что колесо продолжает двигаться без проскальзывания. Такое торможение называется служебным.
При качении колеса без проскальзывания линейное перемещение / оси колеса относительно дороги пропорционально угловому перемещению се колеса относительно его оси: /=і?к а. (см. рис. 2.1), где коэффициент пропорциональности Rk назовём радиусом качения колеса в отсутствии проскальзывания.
Вычислительный алгоритм математической модели торможения автомобильного колеса
Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (2.36) может осуществляться только при шаге не выше 10"3 секунды. В противном случае наблюдается неустойчивость в решении уравнений, приводящая к результату, не соответствующему физическому явлению (см. рис. 2.21). Возможные причины этому две: а) неустойчивость как свойство дифференциального уравнения; б) неустойчивость как свойство используемой методики численного решения. Выясним причину этой неустойчивости.
Вследствие ограниченности современных ЭВМ по быстродействию и объёму оперативной памяти математическое описание реального процесса требует учёта наиболее существенных факторов, влияющих на него, отбрасывая остальные. Если при этом сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение уравнения, то сделанные нами упрощения неверны и используемое уравнение даже приближённо не может описывать изучаемый процесс. И наоборот, если достаточно малое изменение начальных значений вызывает сколь угодно малое изменение решения уравнения, то оно адекватно описывает процесс. В этом случае говорят, что решение устойчиво в смысле Ляпунова [13]. С математической точки зрения устойчивость в смысле Ляпунова соответствует свойству непрерывной зависимости решений уравнения от начальных значений.
Проведённое в разделе 2.2 аналитическое исследование уравнения (2.27) показывает, что решения его при различных начальных значениях принадлежат конечному промежутку времени t0 t Т, поэтому ответ на вопрос об их устойчивости даёт теорема о непрерывной зависимости решений от параметра и начальных значений [131]. Определим область единственности решения задачи Глава 2.
Коэффициенты в указанных выше формулах удовлетворяют следующим условиям: 0 f0 1, 0 (а, Ъ, с) 1, причем (а, Ь) » с. Если тормозной момент описать функцией МТОР M0tn, то вектор параметров р имеет вид: р—(а, Ь, с,/о, I, R, М0і п). Множество возможных значений р обозначим через G. Таким образом, функции Q\ и Q2 имеют ограниченные производные по переменным со и V на промежутке (0, ta) при любом р из G. Следовательно, условия теоремы единственности задачи Коши и теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров выполнены при каждом фиксированном р из G и заданных со0, V0. Это означает, что решения уравнения (2.27) изменяются сколь угодно мало при малых изменениях начальных данных и параметров, то есть любое его решение в области определения является устойчивым в смысле Ляпунова.
Дополнительные исследования, проведённые с изменением начальных условий торможения колеса, использованием различных методик численного решения дифференциальных уравнений показывают, что наблюдаемая неустойчивость в модели (2.36) связана с методикой численного решения её дифференциальных уравнений, в частности, с выбором шага интегрирования .
Изменение коэффициента продольного сцепления ф(ґ) колеса с дорогой. Тип поверхности дороги «мокрый асфальтобетон». А)Шаг интегрирования: / =0,00550.;. время протекания процесса 0,6174 с; Б) /lf=0,0063c; Время протекания процесса 0,65 с.
Действительно, для модели (2.36) при шаге интегрирования At больше некоторого At с, колебание значений V и со, вследствие погрешносіи численного счёта, на 0,2%-0,3% приводит сильным колебаниям значений cf)(S(G);V)), не отвечающих физике явления (сравните рис. 2.23 а, б. в). Шаг интегрирования Atc, начиная с которого наблюдается неустойчивость в решении уравнений, назовём критическим шагом интегрирования. Дальнейшее увеличение шага интегрирования приводит, вследствие возрастания погрешности численного счёта, к превышению значений со-і?к над V, что делает соответствующее значение S отрицательным, близким по значению корням квадратного трёхчлена в знаменатели уравнения ф(5) и, как следствие, к многократному возрастанию значения ф. Шаг интегрирования AtnpcA, начиная с которого значения ф превышают предельно допустимую для данного ЭВМ величину, в результате чего наступает авост в работе ЭВМ, назовём предельным шагом интегрирования.
Тип дорожного покрытия Лс S, s2 Atс,численныйэксперимент Atc,теоретическое(ф. (2.42)) taped)численныйэксперимент сухой асфальтобетон 15,1 -1,711 -0,079 9,2-10"3 с. 9,0-10"3 с. 1,5-Ю 2 с. мокрый асфальтобетон 25,0 -1,458 -0,0025 5,5- 10"3 с. 5,5-10 3 с. 8,0-10"3 с. обледенелый асфальтобетон 3,1 -0,606 -0,093 4,5-10"2 с. 4,39-10"2 с. Не существует Как видно из таблицы 2.4, теоретически рассчитанное значение Atc не превышает соответствующих значений полученных численно и, следовательно, формулу (2.42) можно использовать для определения максимального шага устойчивого интегрирования моделей (2.36). Коэффициент пропорциональности в (2.42) зависит от метода численного интегрирования, то есть от порядка разложения в ряд решения дифференциальных уравнений (см. табл. 3.1...3.4). С увеличением порядка разложения значение коэффициента уменьшается. Глава 2.
Хорошим приближением процесса торможения автомобиля является модель, состоящая из трёх модулей: колесо, тормозная система, дорога. Для создания математической модели эластичного колеса определены и найдены формулы вычисления геометрических характеристик колеса: динамический радиус (2.4), радиус качения (2.5), размеры пятна контакта колеса с поверхностью дороги (2.6)...(2.8), плечо сопротивления качению (2.9), относительная величина нормальной деформации колеса (2.13). Функция (2.10) является математической моделью эластичного колеса, движущегося в режиме торможения. Совокупность функций (2.14) и (2.15) является математической моделью дороги, при торможении автомобиля. Функции (2.18)....(2.22) являются математическими моделями различных типов тормозной системы колеса.
