Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи нестационарного обтекания решётки лопастей 15
1.1 Уравнения движения идеальной однородной несжимаемой жидкости во вращающейся системе координат 16
1.2 Область и основные уравнения 18
1.3 Условие на лопасти 20
1.4 Условие на периодических границах перед венцом 24
1.5 Условие на пелене 27
1.6 Нагрузка 33
2 Задача стационарного обтекания пространственной решётки 35
2.1 Постановка для потенциала скоростей 35
2.2 Метод решения 37
2.3 Метод решения в ограниченной области 37
2.4 Переход к следующему приближению 44
2.5 Вычислительные аспекты задачи 47
2.6 Результаты вычислительных экспериментов 49
2.7 Сходимость конечно-элементных аппроксимаций для краевой задачи типа Неймана 55
2.7.1 Аппроксимацция 56
2.7.2 Сходимость 59
3 Определение нестационарной составляющей течения 65
3.1 Постановка задачи для комплексной амплитудной функции 65
3.2 Метод решения 68
3.3 Построение системы линейных алгебраических уравнений 68
3.4 Переход к следующему приближению 73
3.5 Результаты вычислительных экспериментов 75
3.6 Комплекс программ 84
Заключение 89
Список литературы
- Область и основные уравнения
- Условие на периодических границах перед венцом
- Метод решения в ограниченной области
- Постановка задачи для комплексной амплитудной функции
Введение к работе
Определение нестационарных аэродинамических характеристик (НАХ) решёток колеблющихся лопастей представляет собой актуальную задачу, решение которой необходимо для расчёта решёток турбомашин на флаттер, а также для расчёта уровня динамических напряжений в лопастях при их обтекании неравномерным потоком, который, в свою очередь, определяет ресурс и надёжность турбомашин.
Изучение аэроупругости турбомашин начались в 50-ых годах XX в. Результаты интенсивных исследований обобщены в монографиях [43], [9], [36], и обзорах [41], [10], [16], в которых имеется обширная библиография. Библиография за большой период опубликована также отдельной книгой [18].
В силу большой сложности соответствующих гидродинамических задач успех исследований аэроупругости лопаток турбомашин в значительной степени определялся развитием аэродинамики решёток в нестационарном потоке. В основу модели было положено предположение о бе-зотрывности обтекания и гипотеза цилиндрических сечений, согласно которой поверхности тока течения через кольцевую решётку являются цилиндрические поверхности, на каждой из которых течение рассматри- вается независимо. Использовалось предположение об установившемся характере колебаний лопастей по гармоническому закону. Амплитуда колебаний принималась малой, что дало возможность линеаризации и постановки задачи о нестационарных возмущениях поля скоростей.
Решётка профилей в потоке несжимаемой жидкости может быть изучена наиболее полно, так как позволяет использовать развитый аппарат решения краевых задач для аналитических функций. В частности, методы решения задач теории крыла [39] , [26] с успехом были применены к задаче обтекания решётки пластин, совершающих синхфазные колебания под малым углом атаки [67], [58], [65], [71], [66], [37].
В 1955 году выходит работа Систо [66], в которой впервые рассмотрены колебания решётки пластин со сдвигом фазы между колебаниями соседних профилей. Примеры расчётов указывали на большое влияние величины сдвига фазы на величину аэродинамического демпфирования колебаний профилей.
Эти работы, в основном, выполнены в рамках линейной теории малых возмущений равномерного потока.
Влияние стационарных параметров потока на нестационарные характеристики было обнаружено Мусатовым [25] при исследовании несинфазных колебаний решётки пластин под углом атаки. Дальнейшее развитие связано с учетом кривизны, телесности профилей, их колебаниям в неравномерном потоке, условиях аэродинамической нагруженности.
Идея построения решения этой задачи заключается в применении конформного отображения основного периода колеблющейся решётки на внутренность круга предложена Г.Ю. Степановым [43]. Предпола-гаетя, что конформное отображение колеблющейся решетки на каноническую область можно считать совпадающим с отображением неподвижной решётки. Взаимное смещение р о филей в такой постановке учитывается. В работе Самойловича [35] в качестве канонической области использована внешность решётки кругов. В полной линеаризованной постановке, т.е. с учетом смещения профилей и наличия криволинейных вихревых следов за ними задача рассмотрена В.Э. Сареном [38].
Стремление построить эффективные алгоритмы расчёта привело к развитию численных методов решения задачи обтекания вибрирующих профилей. Метод интерференции предложен Д.Н. Гореловым для задачи обтекания слабо изогнутых профилей под малым углом атаки [7]. Важные для практики расчётные результаты и их анализ изложены в работе [8], в которой использован метод Хаскинда [55]. Для решётки профилей в сжимаемом потоке ряд результатов получен методом склеивания, развитым В.Б. Курзиным [15].
Широкое применение нашли методы, связанные с численным решением интегральных уравнений, эквивалентных соответствующей задаче обтекания. В случае решёток бесконечно тонких профилей успешно используется метод дискретных вихрей, развитый СМ. Белоцерковским [1]. Идея метода восходит к понятию о несущем вихре. Теоретические вопросы аппроксимации вихревого слоя системой дискретных вихрей рассматриваются, в частности, М.А. Лаврентьевым в [21].
Повторим, что в 50-60-х годах показано, что в результате интерференции нагрузки на колеблющиеся пластины в решётке отличаются от нагрузок на одиночный профиль.
Выявлено влияние нестационарного следа.
Доказана необходимость учёта скоростей стационарного течения.
Таким образом, на геометрически простых решётках были выявлены качественные механические закономерности, имеющие фундаментальный характер. Практические же потребности требуют рассмотрения решёток произвольных профилей, для получения точных числовых значений нестационарных аэродинамических характеристик (НАХ), что стало одним из направлений дальнейших исследований.
Развитие вычислительной техники и сеточных методов решения уравнений математической физики позволили задачу о колебаниях лопастей формулировать как краевую и решать численно в физической области течения.
Используются два подхода: Один связан с интегрированием полной системы уравнений Эйлера или Навье-Стокса. Он даёт возможность моделировать развитие процесса во времени в отсутствии предположения о малости амплитуды колебаний. При этом усложняется постановка граничных условий, затрудняется механическая интерпретация полученных результатов. Велики затраты. Часто каждый расчёт уникален. Тем не менее, побуждаемый запросами практики, данный подход интенсивно развивается [62], [75], [68].
Другой подход основан на модели течения идеальной жидкости или газа. Сохраняются предположения об установившемся характере нестационарного процесса и о малости амплитуд колебаний. В силу этого, условия на подвижном профиле "сносятся" на среднее положение. Постановка задачи для плоских решёток произвольных профилей специально обсуждается в работе Курзина [17].
Первые реализованные постановки с достаточно полным учётом граничных условий изложены в работах [72], [73], [74]. Реализован метод конечных разностей. Трудности: (1) в силу сложности области расчётная сетка теряет в некоторых местах области регулярность, (2) спектральные свойства разностного оператора могут не аппроксимировать спектральные свойства оператора исходной задачи [23], [3]. Этого недостатка лишен метод конечных элементов (МКЭ). Другие плюсы: (1) простота удовлетворения граничных условий (2) разбиение универсальное (3) разреженная структура матрицы системы. Этот подход последовательно реализован в работах [54], [28]. Результаты позволили создать программу инженерных расчётов НАХ - её описание имеется в [4].
Представляет интерес развитие метода на случай пространственного обтекания венца лопастей.
Первый расчёт пространственных НАХ проведен Гореловым Д.Н. для решётки пластин, совершающих малые неравномерные по размаху коле- бания в однородном потоке газа [9]. Применялась техника разложения искомого решения в ряд по функциям Матье. Другой метод предложен Рябченко В.П. в работе [32]. Для пространственного осевого венца, лопасти которого представляют части винтовых поверхностей таких, что невозмущенное течение через венец является однородным, применён метод дискретных вихрей. Метод отличает способ удовлетворения условия непротекания на внешних и внутренних цилиндрических обводах: вихревая система на лопастях и вихревой пелене отражается относительно обводов. Развитие этого подхода изложено в [31]-[34].
Общий случай задачи о малых колебаниях лопастей характеризуется, во-первых, неоднородным распределением стационарных скоростей на поверхности лопасти. Во-вторых, трёхмерный характер течения проявляется в переменной по высоте лопасти амплитуде разрыва потенциала, что приводит к "двунаправленной" вихревой пелене. Можно даже считать, что имеется два семейства свободных вихрей, сходящих с задней кромки и двигающихся согласно полю стационарных скоростей. Оси вихрей первого семейства направлены (приближённо) перпендикулярно осевым обводам, - они отражают изменение циркуляции вокруг лопасти в процессе колебаний. Другое семейство возникает из-за перетекания жидкости вдоль размаха лопасти - оси вихрей располагаются в плоскости пелены перпендикулярно задней кромке.
Следующая особенность - замыкающее задачу условие Жуковского-Кутта на задних кромках лопастей венца. Им определяется амплитуда разрыва потенциала на кромках. В случае плоских решёток в силу линейности оператора задачи решение является суммой двух компонент: непрерывной бесциркуляционной и разрывной. Напрашивается подобный подход для пространственной задачи: (1) найти непрерывную составляющую с условием непротскания на лопасти. (2) найти составляющие с единичным разрывом на каждом уровне разбиения по высоте, (3) взять линейную комбинацию полученных решений с константами, такими, чтобы удовлетворить условие Жуковского-Кутта на всех уровнях. Расчёты показали, что такой подход не срабатывает, так как коэффициенты для комбинации решений нужно икать при помощи решения линейной си-темы, элементы которой есть функции с особенностью в окрестности задней кромки.
Как отмечалось, нестационарные характеристики зависят от основного стационарного потока: во-первых, распределение стационарных скоростей по лопасти входят в граничные условия, во-вторых, нестационарные вихри, сходящие с задних кромок переносятся стационарным течением. Поэтому его определение является частью задачи. Представляет она и самостоятельный интерес.
Работы по методам определения пространственного течения в турбомашинах принято вести от работы [70] - квазитрёхмерная технология, расчеты проводятся последовательно для течений в "тонких" слоях. Осе-симметричное в меридиональном слое, приближённо являющемся средней поверхностью тока. Затем в построенном по осесимметричному течению цилиндрическом "тонком" слое, расчёт в котором позволяет учесть форму профилей и, наконец, расчет в поперечном каналу слое, позволяющий определить вторичные течения. Решение в каждом из трёх слоев уточняет решение в двух других. Применяется в самых различных вариантах и содержательных контекстах, например, [40] - для нескольких ступеней со стыковкой условий (склейкой) на границах ступеней; [14] - осесимметричный в меридиональной плоскости МКЭ; [13] - слой переменной толщины на осесимметрической поверхности. [60], [57] - трансзвуковое течение.
Много работ посвящено определению течения в поперечных каналу плоскостях - так называемые вторичные течения. Этому вопросу неизменно уделяется внимание в экспериментальных и теоретических исследованиях пространственной структуры потока, [6] - монография, [5] -расчёт в направляющем аппарате, [61] - эксперимент.
Возникновение вторичных течений принято рассматривать в первую очередь как результат вязкого взаимодействия жидкости или газа с твёрдыми поверхностями межлопаточного канала - поверхностями лопастей и цилиндрических обводов. Действительно, к примеру, задача о натекании пограничного слоя с внутреннего обвода на угол в месте сопряжения с поверхностью лопасти в окрестности задней кромки [11] может быть рассмотрена только в рамках модели вязкой среды. Но вклад поверхности лопастей в образование вторичных течений можно учесть в рамках модели идеальной жидкости или газа. Действительно, наблюдае- мая картина обтекания лопастных систем со сходом потока с задних кромок, возможная лишь в силу вязких процессов на поверхности лопасти, - в отсутствии вязкости реализуется применением условия Жуковского-Кутта на задней кромке; при этом вокруг лопасти возникает в общем случае переменная по высоте лопасти циркуляция скорости, а с кромки сходят свободные вихри, образующие вихревую пелену. Возникающая картина течения включает и перетекание в поперечных потоку плоскостях.
Таким образом, без учёта влияния свободных вихрей и положения пелены, нельзя получить правильную картину пространственного обтекания. В предположении идеальности жидкости (газа) вихревая пелена стационарного течения есть поверхность контактного разрыва вектора скорости. Если предположить, что вне поверхности пелены вихри отсутствуют и энтропия постоянна, то есть течение потенциально, тогда в силу ненулевой циркуляции скорости вокруг лопасти потенциал терпит разрыв на пелене. Рассмотрим, какие подходы предлагались для учёта течения за решёткой лопастей. Самое раннее - [69] уже упомянутый выше способ: линейная комбинация решений с единичным разрывом потенциала скоростей на уровнях дискретизации по высоте. Имеются попытки применения этого подхода: [56], [64]. Очевидно, что применение его возможно для области с предписанным положением пелены, или же требуется итерационная процедура уточнения, на каждом шаге которого требуется решить / -f 1 задачу (/ - число уровней дискретизации по высоте), что нерационально. Дело осложняется тем, что вихревая пелена неустойчива [2].
Сформулируем цель диссертационной работы: Построить эффективный алгоритм численного решения задачи определения НАХ пространственной вращающейся решётки лопастей произвольной формы, совершающих малые по амплитуде колебания по заданной форме и с заданной частотой, со сдвигом фазы между соседними лопастями, в условиях безотрывного обтекания потоком идеальной жидкости.
На путях достижения цели требуется решить следующиие задачи:
Осуществить постановку краевых задач определения основного течения и возмущённого нестационарного течения в первом (линейном) приближении.
Построить алгоритм численного решения вспомогательной задачи нахождения параметров стационарного обтекания, скорости которого входят в граничные условия для нестационарной составляющей течения.
Построить алгоритм численного решения задачи определения потенциала скоростей возмущённого колебаниями лопастей течения.
В соответствии с целью и задачами диссертации, работа состоит из введения, трёх глав и заключения.
В первой главе изложена общая постановка задачи о нестационарном обтекании решётки колеблющихся лопастей идеальной несжимаемой жидкостью и её сведение к краевой задаче в односвязной области.
Во второй главе рассмотрена задача стационарного обтекания в предположении его беэотрывности. Изложен алгоритм численного решения МКЭ соответствующей краевой задачи. Приведены результаты вычислительных экспериментов. Рассмотрен вопрос сходимости конеч-ноэлементных аппроксимаций для краевой задачи типа Неймана.
В третьей главе рассматривается задача о нахождении нестационарной составляющей течения, обусловленной малыми по амплитуде колебаниями лопастей по гармоническиму закону. Сравнением с ранее полученными результатами демонстрируется пригодность метода. Приведн пример расчта НАХ реального колеса гидротурбины, лопасти которого колеблются по реальнфм формам и частотам в потоке жидкости, соответствующем рабочим условиям. Дано краткое описание комплекса программ.
В заключении подведён основной итог работы, перечисленны конференции, симпозиумы и семинары, на которых были апробированы результаты представленной работы.
Для решения поставленной задачи использовались методы теории краевых задач, вычислительные методы на основе метода конечных элементов (МКЭ).
Автор выражает благодарность научному руководителю - д. ф.-м. н., профессору Курзину Владимиру Борисовичу.
Область и основные уравнения
Рассмотрим нестационарное движение идеальной однородной несжимаемой жидкости. Свойство идеальности сплошной среды постулирует отсутствие внутреннего трения и выражается в диагонально сти тензора напряжений, нормальные компоненты которого равны и их величина называется гидростатическим давлением Р. Однородность среды вкупе с несжимаемостью предполагает постоянство плотности среды р во всей области течения. Обозначим u(t,x(f)) - вектор скорости элементарного объёма жидкости, х = (x,y,z)T - декартова координата. Уравнения сохранения массы и импульса имеют вид divu = О u + IVp = o аг р производная.
Пусть система вращается с угловой скоростью ( вокруг оси х, = ((Д0)т - вектор вращения. Обозначим через w относительную скорость. Абсолютная скорость и есть w + ( х х. Абсолютное ускорение есть сумма относительного, переносного (в данном случае центростремительного) и поворотного кориолисова ускорения. -w + С х (С х х) + 2(С х w) = —VP Уравнение сохранения импульса в форме Громеки-Лэмба 1 (\ 12\ Ш + v 2 " w х rotw + сх (С х х) + 2(С х w) = —vp Заметим, что С х (С х х) = (0, -ЄУ, -?zf = -V g (fr)J) = -V g„?) где r = \Jy2 + z2, щ = (V - окружная скорость вращения системы. Так как rotw = rot(u - х х) = ш — 2 получим ш - завихренность в неподвижной системе координат.
Предположим, что завихренность в абсолютном движении отсутствует, а в относительном движении постоянна и обусловлена переходом в неинерциальную систему координат. Положим w(i,x) = УФ(,х) -С хх
Подставим это выражение в предыдущее тождество и получим аналог интеграла Коши-Лагранжа _+1 ±_ + _ = т (1Л) Уравнение неразрывности примет вид АФ = 0 (1.2) л & д2 д2 А = тг + т 7 + тт - оператор Лапласа. ах иу1 ozl Если течение стационаров, то вдоль линий тока относительного движения сохраняется величина (интеграл Бернулли) \ M + l = const (1.3) 1.2 Область и основные уравнения
Рассмотрим нестационарное течение однородной несжимаемой жидкости через вращающийся осевой венец турбомашины. Перейдём в связанную с венцом декартову систему координат (ж, у, z). Осью венца положим ось х. В этой системе рассмотрим область Q (рис. 1.1), ограниченную спинкой Г і и корытцем Г2 двух соседних лопастей венца турбомашины, сходящими с задних кромок соседних лопастей поверхностями вихревой пелены за венцом j, 2, периодическими границами перед венцом Li, L2, примыкающими к передним кромкам соседних лопастей, а также поверхностями внутреннего (tip) и внешнего (hub) обводов.
Предположим, что течение в неподвижной системе координат является безвихревым. Основное уравнение для потенциала скорости в области Q имеет вид (1.2 ). Давление Р(х,) определяется интегралом Коши-Лагранжа (1.1 ).
Введём основное предположение - о малости по порядку величин нестационарной составляющей скоростей течения по сравнению с основным (стационарным) течением. Тогда в первом приближении можно разложить исходный потенциал на сумму потенциальных функций Ф(х,) = <^(х) + «фс,0 (1.4) давление в сумму P(x,t)=Po{x)+p(x,t) где <ро(х), ро(х) - потенциал и давление стационарного течения. В силу сделанного предположения считаем, что <р«<Ро, V
Нестационарная составляющая потенциала подчиняется уравнению Aip(x,t)=0, xft (1.7) а для составляющей давления из (1.1), (1.6) полагая b(t) = 0 (см. [27]), в первом приближении получим p=-Ka+Vv"w) (1-8) Wo = V(fQ - С X X. 1.3 Условие на лопасти Лопасть движется по закону x{t) = x + e(x,t)v, хєР' (1.9) v - единичная внешняя нормаль к области в точке на лопасти. Предполагается, что \е\ << 1. Те же предположения следует сделать и для производных (х0,).
Пусть поверхность лопасти в окрестности точки х имеет локальные координаты (щу). Если = х, ц = х - единичные ортогональные векторы в касательной плоскости к точке х Є Р, то вместе с и они образуют ортогональную систему х г} = 1/ X V = -Ї? у X 7? = —
Вследствие того, что на движущейся поверхности лопасти требуется выполнить условие непротекания жидкости, необходимо определить эволюцию внешней нормали У {і).
Условие на периодических границах перед венцом
Отсюда следует, что циркуляция скорости Tj-(t) вдоль контура J(s) ненулевая только тогда, когда потенциал Ф терпит разрыв в точке Т. Гг(0 = Ф$ - Ф? Лопасть в общем случае индуцирует циркуляционное движение жидкости вокруг себя в силу своей конструкции. На ней имеется выделенная линия - задняя кромка - предписанная линия схода частиц жидкости, на которой требуют выполнения условия Жуковского-Кутта.В рамках модели идеальной жидкости эту ситуацию можно описать как сумму двух течений: бесциркуляционного протекания жидкости через межлопаточный канал и чисто циркуляционного (с нулевым расходом) течения, генерируемого распределенным по поверхности лопасти слоем присоединенных вихрей, интенсивность и ориентация которых такова, что суммарное течение удовлетворяет условиям на твёрдых границах и условию Жуковского-Кутта. Чтобы не прийти в противоречие с теоремами о вихрях, мы должны ввести в рассмотрение свободные вихри, "уносящие1 генерируемую лопастями завихренность. Рассуждают так: пусть до момента времени t = О жидкость покоилась; с момента начала движения присоединенные вихри индуцируют циркуляцию, а с задних кромок сходят свободные вихри, при этом суммарная завихренность в области, содержащей лопасти и все точки с завихренностью, равна нулю. t Эта область заведомо должна содержать точки /V(x(r),r) dr, в кото ІТ рых в момент времени t находятся жидкие частицы, бывшие в момент времени іт Є [0,] на задней кромке. Здесь V(x(t),t) - вектор скорости частицы жидкости.
В рассматриваемых постановках предполагаем t - оо и, соответственно, бесконечно протяженные поверхности вихревой пелены, образованные несущими завихренность частицами жидкости, сходящими с задних кромок лопастей. Положение поверхностей и интенсивность вихрей заранее не известны. Так как поверхности образованы траекториями частиц, жидкость через них не течет и давление не терпит разрыва при переходе через поверхность. В то же время, вихри, индуцируя скорости по закону Био-Саварра, создают, в общем случае, разрыв скорости в касательной к поверхности пелены плоскости. Таким образом, имеем поверхности контактного разрыва.
Для полноты заметим, что возможны течения с ненулевой циркуляцией и непрерывным течением за венцом. Для этого нужно, чтобы циркуляция скорости по высоте лопасти была постоянна Тт = const. Решением является сумма бесциркуляционного течения и потенциального течения за венцом со скоростью v$ = (ГУ + 0 )/ (aR), тангенциальной относительно оси венца. В этом случае роль "компенсатора" присоединенных вихрей выполняет осевой вихрь за венцом.
Переходя к рассмотрению одной области с соответственными точ ками на задней кромке T\(r]) Гі П С\, 7 (і?) Г2 П С% получим граничные условия. Для стационарной части: дщ (x)-(Cxx)-n = 0 (1.25) дп (Qx) + (CxQx)-n = 0 (1.26) d(pQ дп Нуль в правой части (1.25), (1.26) означает, что жидкость не перетекает через заднюю кромку, то есть это условие является одной из форм условия Жуковского-Кутта для стационарного течения. Для нестационарной части течения р (х, t) eift = if (Qx, t) + CT{v, t) (1.27) g(x, = -g(Qx,t) (1.28) Здесь 7/ - естественная координата вдоль задней кромки. Выполнение условия (1.20) возможно в случае предположения о том, что задние кромки заостренные.
Метод решения в ограниченной области
На каждом шаге итерационного процесса задача решается приближённо методом конечных элементов в ограниченной области ІҐ С О, содержащей мел-лопаточный канал и части Q вверх и вниз по потоку, ограниченными плоскостями GL , G+oo- перпендикулярными оси венца. Условия на этих границах поставим следующие —-(х) = -Ucol, х Є G_co - (х) = и+001, xeG+co Затем У разбивается на элементы - тетраэдры, вершины тетраэдров называются узлами разбиения.
Следуя методу конечных элементов, свяжем с каждым узлом разбиения х/ базисную кусочно-линейную функцию V[(x). На каждом тетраэдре Ц(х) определяется как линейная функция, причём 1, 3 = I Эта функция финитна, носителем ее является объединение тетраэдров с ВерШИНОЙ X/. Потенциал ищем в виде N Ых) = Х «ВД (2-7) где о/ - узловые значения потенциала на разбиенпи Q, , Относительно узловых значений строится система линейных алгебраических уравне нии. В слабой интегральной форме уравнение (2.1) можно записать в виде Av oW VVJ(x)) d(l = J{V PQ{X) n)V/(x) dS (2.8) її дії Подставим (2.7) в (2.8), получим N WV /(VViW W M) dfi = /(V o(x) n)V/(x) dS J-1 ЇУ fl или ада; = k ay = / (V (x) - VVJ(x)) сШ, 6; = /"(V o(x) n)VJ(x) d5 n en С учётом сказанного можно записать: oj9tjT = bi (2.9) 9ЦТ = (V (x) VV,(x)) аГ = (VVi-r VV[\T) Vol, T - вклад в элемент матрицы ац тетраэдра разбиения Т. Вклад тетраэдра в симметричный относительно диагонали элемент матрицы а# по величине совпадает с дцт, что обеспечивает симметричность матрицы. Voir - объём Т.
Для удовлетворения условию периодичности полученная система редуцируется отождествлением соответствующих узлов на периодических границах. При этом в некоторых уравнениях редуцированной системы появляется правая часть, зависящая от С и дискретного представления Co(v).
Пусть h, h - номера соответственных узлов на периодической границе. Для определенности х;г Є Си Х/3 С ь. Имеем два уравнения вида (2.9) (индекс Т в коэффициентах д опущен). / \ Е WIJ + Yl VwQhk Е тэк кеТ = J ((С х х) n)Vh(x) dS (2.10) d& I E WW + X) W #a J((Cxx)-n)Vh(x)dS (2.11) en / Здесь правые части уравнений определены условием (2.6). Покажем, что они равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Во-первых, nx&c2 = -Qn\xSd и = Q (вектор вращения направлен вдоль оси венца); учитывая, что Q - матрица вращения [Q l = QT), получим ((С х х) n)xA = ((С х х) Q lQn)\x = = ((С х Ох) Qn)xeCl = -((С х х) п)хез
Предположение о том, что лопасти имеют заостренные задние кромки обеспечивает выполнение этих тождеств и для узлов на задних кромках. Во-вторых, разбиения поверхностей производятся таким образом, что одно переходит в другое при повороте вокруг оси венца, а значения функций (х), V;2(x) в любом тетраэдре из носителя определяется только взаимным расположением вершин тетраэдра и не зависит от его расположения относительно оси координат. В частности, значение в точке на грани зависит только от взаимного расположения вершин грани. Из сказанного следует,
Из чего следует, что сумма элементов матрицы в строке равна нулю. Матрица вырождена, так как вектор, состоящий из единиц, является собственным вектором, отвечающем нулевому собственному значению. Первый способ сделать систему разрешимой заключается в постановке условия закрепления на части границы ро! = 0, / = 1,..., ЛЬ (2.14)
Так как потенциал определен с точностью до константы, условие (2.14) должно определять некоторую эквипотенциальную поверхность. Градиент потенциала (скорость) направлен по нормали к ней. Например, три узла, не лежащие на одной прямой, с условием Дирихле определят плоскость, нормальную потоку. Представляется естественным задать эту поверхность тем или иным способом в области за венцом, так как приближение поверхностей вихревых пелен JCI, 2 непосредственно связано с распределением (по высоте) углов выхода потока из решётки лопастей. Пусть приближение угла выхода есть /3(Я), определяемого в теории решёток как угол между прямой, соединяющей задние кромки, и вектором скорости в развертке секущего цилиндра радиуса І?, соосного венцу, Геометрически легко выясняется, что сечение эквипотенциальной поверхности разверткой цилиндра располагается под углом к к линии задних кромок. cos к = —. L.fSL 3_V V U+cci taaP{R)J Достаточно расположить согласно приведённой формуле лишь часть граничной поверхности G+0O, а именно, полосу, примыкающую к периодической границе шириной в один элемент разбиения, в узлах разбиения поставить условие Дирихле (2.14). После удаления строк и столбцов, соответствующих / = 1,..., iVo, получим разрешимую систему. Вырожденность матрицы системы без условий закрепления - проявление того, что потенциал скоростей для краевой задачи Неймана определен с точностью до константы. Другой, способ получить решение - найти его в подпространстве, ортогональном собственному вектору системы, который отвечает нулевому собственному числу.
Постановка задачи для комплексной амплитудной функции
Для решения поставленной задачи используется итерационная процедура, на каждом шаге которой задано приближение с(ц). Решение линейной задачи (3.1)-(3.9) ищется в ограниченной области методом конечных элементов. Для этого ограниченная область дискретизируется на конечные элементы - тетраэдры, далее, на основе вариационной постановки задачи строится система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений потенциала, которая, в свою очередь, решается методом последовательной верхней релаксации.
Полученное приближённое решение проверяется на выполнение условия Жуковского-Кутта (ЗЛО), в случае невыполнения условия корректируются узловые значения функции с( ), соответствующие узлам разбиения области, расположенным на задней кромке. Процесс продолжается до выполнения условия (3.10) с заданной точностью.
Построение системы линейных алгебраических уравнений
Численное решение ищем в ограниченной области, содержащей межлопаточный канал и часть исходной области перед решёткой и за ней. Возможность ограничения расчетной области обусловлено тем, что, во-первых, нестационарное возмущение течения, вызванное колебаниями лопастей, экспоненциально затухает с удалением от венца. Это показыва ется представлением решения как ньютоновского потенциала двойного слоя, то есть слоя диполей, расположенных на поверхности лопастей, с последующим рассмотрением решения как суперпозиции течений, вызванных решётками отдельных диполей. В том смысле, что на каждой лопасти выбирается одинаково расположенный относительно её диполь и из них составляется решётка. Экспоненциальное затухание возмущения от решётки диполей показано в [9]. Во-вторых, результатом расчётов являются, как правило, аэродинамические реакции колеблющихся лопастей, для вычисления которых требуется знать скорости и амплитуды (потенциал) в точках вблизи лопасти. Влияние же вихрей пелены падает пропорционально расстоянию по закону Био-Саварра.
Далее, ограниченная расчётная область, для которой сохраним обозначение Q, разбивается на элементы - тетраэдры. Вершины тетраэдров образуют узлы разбиения х/, пронумерованные числами / Є {1,..., N}. Потенциал ищем в виде N РоМ = Х Жх) (злі) 1=1 где рі - значения потенциала в узлах разбиения. Линейные финитные функции Ц(х) определены ранее. Так как для любой дифференцируемой функции д(х) верна формула Гаусса-Остроградского J & {х)д{х) dtt = ПЧщ(х) - п)д(х) dS - f VipQ{x) V /(x) rffl « ваг можно записать f V po(x) VVj(x) dfi = /"(Vv?o(x) n)Vj(x) dS, і = 1,..., ЛГ (3.12) П Ml Подставим (3.11) в (3.12) J \ PsVj(x)YvVl(x)dn = J (x)Vi[x)dSi 1 = 1,..., iV и получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно КОЭффИЦИеНТОВ fj jtt/j = 6/, / = 1,..., N (3.13) aw = /" W,(x) VVJ(x) dU, bt= f (х)У/(х) dS (3.14)
Произведем редукцию системы (3.13), основываясь на граничных условиях. Предположим, что узлы разбиения области занумерованы таким образом, что узлы с номерами / = 1,..., Ло соответствуют узлам, в которых выполнено условие Дирихле и pi = 0; строки с этими номерами сразу исключаются из системы. Пусть узлы с номерами / = iVo + 1,..., N\ расположены на периодических границах L\ U \, соответствующие им узлы с номерами./ = iVi + 1,. ..,N2 расположены naL liC .p — iVi — iVo = N2 — N\ - количество узлов на периодической границе.
Матрица, полученной таким образом редуцированной системы, является эрмитовой. Для этого заметим, что мнимая часть в коэффициенте системы ненулевая когда один из номеров соответствует узлу, расположенному на периодической границе Li U Сі, а другой - непериодическому узлу, такому, что носители соответствующих базисных функций пересекаются. То есть, если в (3.15) ai„pj ф 0 (NQ I — р Ni,j N2), то ац = 0 в силу $иррЦ(х) П suppVj(x) — 0 и коэффициент при tpj равен ai„Pijetfi. Симметричный относительно главной диагонали коэффициент системы в (3.16) равен а /_ре-г/ . Так как ац = а для любых i,j в силу (3.14), соответственные коэффициенты взаимно сопряжены.
От эрмитовой системы перейдем к вещественной. От системы вида Лх = Ь порядка N — N\ к блочной порядка 2(N-Ni) Н -С?\ (хя\ (ъЛ (3.17) G Н J \Х! ) \Ъ! J где х = хд + г х/, b = Ьд + ifa/, Л = Н + iG. Матрица системы (3.17) является симметричной, положительно определенной (при // ф 0) матрицей.
Для выполнения условия Жуковского-Кутта в точке х(//,0) задней кромки требуется, чтобы в окрестности этой точки на лопасти потенциал нестационарного течения вёл себя определеенным образом; если разность значений потенциала [ р]т = уз(х+(ї/, —5s)) — (р(х (т], —5s)), где точки X+(J/, — 5s), X+(T},—SS) расположены на разных сторонах лопасти и лежат на линиях тока стационарного течения, приходящих в точку х(т?,0), имеет вид
