Введение к работе
Актуальность исследования
Математический анализ и расчет течений вязкой несжимаемой жидкости — один из важнейших разделов гидродинамики. В качестве основной математической модели вязкого потока используются системы уравнений Навье-Стокса и Стокса.
Важный класс задач гидродинамики — это задачи со свободными границами. Эти задачи характеризуются тем, что граница области, в которой ищется решение (или ее часть), неизвестна и ищется в процессе решения. Многие течения жидкости в естественных водоемах, в каналах и в трубопроводах - это течения с частично свободными границами. Пример такого рода задач — задача о течении жидкости в канале с неизвестной границей раздела жидкость - атмосфера. Именно эта задача и составляет предмет настоящей диссертации. При прогнозировании явлений, возникающих на границе между жидкостью и газом или между двумя несмешивающимися жидкостями, при определении формы поверхности жидкости, движущейся по капилляру, возникает необходимость численного моделирования течений со свободными границами. Многие явления, возникающие на границе раздела жидкость - газ, носят нелинейный характер. Важный шаг в математическом моделировании таких явлений - это составление различных линеаризации, математическое исследование соответствующих систем дифференциальных уравнений и численная реализация методов их решения. Наиболее распространенной линейной математической моделью установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости является система уравнений Стокса. Численному исследованию двухмерной краевой задачи с частично свободной границей для системы Стокса и посвящена диссертация.
Задачи о течениях со свободными границами привлекают внимание многих исследователей. Математическое исследование таких задач о течении жидкости со свободными границами было проведено, в частности, О.А. Ладыженской, В.А. Солонниковым и В.В. Пухна-чевым. С 2002 г. институт гидродинамики СО РАН регулярно проводит научные конференции на тему „Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения".
Цели исследования
Целью диссертационной работы является построение математической модели плоского стационарного движения вязкой несжимае-
мой жидкости с частично свободной границей, составление комплекса компьютерных программ для расчета течений со свободной границей, проведение численных экспериментов.
Объект исследования
Объектом исследования является установившееся двухмерное движение вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.
Методы исследования
В работе применяются численные и аналитические методы преобразования и решения краевых задач для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарное двухмерное движение вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.
На защиту выносятся следующие положения:
— метод численного моделирования установившегося плоского те
чения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной грани
цей. Этот метод является численной реализацией метода расщепле
ния (метода вспомогательной задачи);
численная реализация метода Галеркина для решения второй краевой задачи для двухмерной системы Стокса; вывод интегрального тождества для функции тока, определяющей решение второй краевой задачи для системы Стокса;
численное решение методом Галеркина задачи Неймана для уравнения Пуассона; доказательство сходимости галеркинских приближений к обобщенному решению задачи Неймана;
точные решения задачи со свободной границей для двухмерной системы Стокса; проверка работоспособности метода численного моделирования течений со свободной границей на точных решениях.
Научная новизна исследования
Численная реализация метода расщепления (метода вспомогательной задачи), на основе которого ранее была установлена разрешимость стационарной задачи со свободной границей.
Вывод интегрального тождества для функции тока, определяющей решение вспомогательной задачи.
Обоснование и численная реализация метода Галеркина для нахождения функции тока.
Построение точных решений краевой задачи со свободной границей для двухмерной системы Стокса.
Теоретическая значимость исследования
Теоретическая значимость полученных в диссертации результатов заключается в математическом обосновании построения численной модели течения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей. Вывод интегрального тождества, которому удовлетворяет функция тока для системы уравнений Стокса, и построение точных решений задачи со свободной границей являются вкладом в математическую теорию течений вязкой несжимаемой жидкости.
Практическая значимость исследования
Практическая значимость результатов диссертации состоит в создании комплекса компьютерных программ, которые позволяют проводить расчеты течений со свободными границами и ставить численные эксперименты для исследования такого рода течений.
Достоверность и обоснованность
Достоверность полученных в диссертации результатов базируется на использовании строгих аналитических и численных математических методов, апробированных методов математического моделирования, а также на совпадении результатов численных расчетов с построенными точными решениями рассматриваемых в диссертации задач.
Апробация работы
Результаты диссертации были доложены на следующих научных конференциях:
Третья Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых „Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения", г. Бийск, 2008 г.
„Параболические уравнения и уравнения Навье-Стокса", математический центр имени С.Банаха в Бедлево, Польша, 2008 г.
„Первый международный Джолдасбековский симпозиум", г. Алматы, Казахстан, 2011 г.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 6 работ, среди них 3 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
