Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ подходов к моделированию стационарных и нестационарных процессов применительно к ЭХО 12
1.1. Анализ подходов к построению интерполяционных и экстраполяционных моделей 12
1.2. Анализ подходов к моделированию ЭХО 23
1.3. Краткий обзор нестационарных задач, решенных ранее и анализ недостатков известных методов 37
Выводы по главе 1. Цели и задачи исследования 46
Глава 2. Разработка численно-аналитических методов и решение задач стационарной ЭХО криволинейным и полукруглым ЭИ 48
2.1. Аналитические решения задач стационарного формообразования ЭИ с выступом различной формы 48
2.2. Разработка численно-аналитического метода и комплексное исследование процесса стационарной электрохимической обработки плоским ЭИ с полукруглым выступом 64
2.3. Разработка численно-аналитического метода и комплексное исследование процесса предельной электрохимической обработки плоским ЭИ с полукруглым выступом 74
2.4. Разработка метода и построение приближенных моделей формообразования 79
Выводы по главе 2 з
Глава 3. Разработка численно-аналитического метода и решение задачи ЭХО нестационарной обработки плоским ЭИ с ограниченной неровностью 86
3.1. Разработка численно-аналитического метода решения нестационарной задачи 86
3.2. Результаты вычислительного эксперимента 97
Выводы по главе 3 109
Глава 4. Разработка численно-аналитического метода, программная реализация и решение задачи ЭХО нестационарной обработки круглым и пластинчатым ЭИ 110
4.1. Разработка численно-аналитического метода и решение задачи нестационарной обработки ЭИ в виде ограниченной фигуры 110
4.2. Результаты вычислительного эксперимента 124
4.3. Описание алгоритмов и комплекса программ численного решения, тестирование и применение фильтрации для обоснования результатов 132
Выводы по главе 4 140
Заключение 141
Литература
- Анализ подходов к моделированию ЭХО
- Разработка численно-аналитического метода и комплексное исследование процесса стационарной электрохимической обработки плоским ЭИ с полукруглым выступом
- Результаты вычислительного эксперимента
- Описание алгоритмов и комплекса программ численного решения, тестирование и применение фильтрации для обоснования результатов
Введение к работе
Актуальность. В настоящее время широкое применение наукоемких технологических процессов требует разработки все более сложных математических моделей, численных методов и проведения комплексных исследований с использованием современных компьютерных технологий. При этом возникают противоречивые требования к проводимым исследованиям. С одной стороны, исследование задач должно проводиться с достаточной полнотой, для качественного описания процесса целесообразно исследование граничных режимов и предельных соотношений геометрических параметров, что связано с большими объемами вычислений и затратами времени на исследования. С другой стороны, возникают затруднения при использовании большого объема данных, полученных в результате этих исследований, для практических целей.
В связи с этим становится актуальной разработка методов построения математических моделей, основанных на анализе и обработке данных, полученных путем численного решения сложных задач. Это, во-первых, облегчает практическое использование результатов, во-вторых, позволяет создать базу для решения более общих задач моделирования. К таким методам построения приближенных моделей относятся, в частности, интерполяция и аппроксимация. Однако эти задачи во многих случаях некорректны, в особенности, когда набор исходных данных является неполным в силу большой сложности их получения в определенных областях. Для получения надежных результатов необходима разработка специальных методов и алгоритмов построения, обоснования и тестирования численных моделей.
Одной из важнейших проблем математического моделирования является совершенствование существующих и разработка новых методов оценки погрешности и обоснования достоверности этих оценок. В данной работе эти цели достигаются с помощью фильтрации численных результатов, полученных при различном числе узловых точек сетки, основанных на подавлении одних компонент погрешности и выявлении других, а также путем использования нескольких способов оценок и их проверки на непротиворечивость.
В частности, к наукоемким относятся процессы размерной электрохимической обработки (ЭХО), которые при допущении о соленоидальности и потенциальности электрического поля сводятся к решению задач Хеле-Шоу, используемых также при исследованиях течений жидкости при преобладании сил вязкости, гидродинамики в пористых средах и др.
Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена как общими проблемами разработки и тестирования математических моделей, так и вопросами использования результатов исследований для практических целей.
Целью исследований является:
Разработка методов построения приближенных моделей стационарных и нестационарных процессов, численно-аналитических методов решения задач Хеле-Шоу, анализ и обоснование результатов вычислительного эксперимента, а также приложение этих методов в области исследования процессов ЭХО.
2 Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать метод построения и оценки погрешности приближенных численных моделей, позволяющий его использование в условиях неполноты исходных данных.
Разработать численно-аналитические методы решения стационарных и нестационарных задач Хеле-Шоу с подвижной заданной границей криволинейной формы и различными условиями движения неизвестной границы.
Разработать комплекс программ и провести комплексное исследование решений указанных задач применительно к ЭХО, обоснование и тестирование алгоритмов и программ, оценку погрешностей результатов. Построить приближенные модели формообразования для возможности практического использования полученных численных результатов.
На защиту выносятся следующие результаты:
Фильтрационно-интерполяционный метод построения и оценки погрешности приближенных численных моделей.
Численно-аналитические методы решения стационарных и нестационарных задач Хеле-Шоу с негладкой заданной границей.
Результаты комплексных исследований решений задач моделирования процессов электрохимического формообразования, включающих предельные режимы, а также комплекс программ, реализующий численные методы. Разработанные приближенные модели стационарных и нестационарных процессов при электрохимическом копировании и резке.
Научная новизна
Новизна разработанного метода построения приближенных численных моделей заключается в появлении возможности вычислять искомые параметры в условиях неполноты исходных данных и контролировать их погрешность двумя способами для проверки непротиворечивости оценок.
Новизна разработанных численно-аналитических методов заключается в представлении решения в виде суммы двух функций, определенных на разных параметрических плоскостях, использовании формулы Келдыша-Седова, что в отличие от известных ранее методов решения задач Хеле-Шоу, позволяет с высокой точностью моделировать предельные режимы формообразования границ при наличии угловых точек.
В результате комплексных исследований задач копирования сегмента круга, прорезания пазов круглым и пластинчатым инструментом, включающих предельные режимы обработки и соотношения геометрических параметров, впервые определены закономерности и зависимости, на базе которых построены приближенные численные модели процессов формообразования.
Достоверность результатов
Достоверность результатов подтверждается применением фильтрации для оценки погрешности численных данных, тестированием алгоритмов и программ путем сравнения оценок результатов, полученных разными способами.
Практическая ценность
Автором получены модели, пригодные для использования при проектировании технологических процессов, разработаны численные методы, алгоритмы и программы решения стационарных и нестационарных задач, что подтверждается актом о внедрении в ООО «ЕСМ».
Результаты исследований внедрены в учебный процесс УГАТУ при реализации учебных планов по дисциплинам «Специальные главы теории функций комплексного переменного», «Экстраполяционные методы оценки погрешности» по направлению 01.03.00 - «Математика. Компьютерные науки».
Работа проводилась по тематике госбюджетной НИР Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», программы Президента «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-65497.2010.9).
Апробация работы
По основным результатам работы были сделаны доклады на Международной научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2008); на Всероссийских зимних школах-семинарах аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2008-2011); на международных семинарах «Компьютерные науки и информационные технологии» CSIT (Анталия, 2008, Крит, 2009); на Всеросс. научн. конф. «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2009-2011); на XIV междунар. науч. конф. «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010); на научно-техн. конф. «Образование и наука - производству» (Набережные Челны, 2010); на 9-й молодежи, научн. школы-конф. «Лобачевские чтения» (Казань, 2010); на междунар. молодежной научн. конф. «XXXVI Гагаринские чтения» (Москва, 2010); на межд. научн.-техн. конф. «Электроэрозионные и электрохимические технологии в производстве наукоемкой продукции» (Москва, 2010); на 4-й Всероссийск. конф. «Задачи со свободными границами» (Бийск, 2011); на X Всеросс. съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н. Новгород, 2011).
Публикации
Основные результаты диссертации отражены в 27 научных трудах, в том числе в 4 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК, 20 - в других изданиях, 3 свидетельствах о регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем работы
Диссертация (157 стр.) состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (126 наимен.), содержит 124 рисунка.
Анализ подходов к моделированию ЭХО
Автором получены модели, пригодные для использования при проектировании технологических процессов, разработаны численные методы, алгоритмы и программы решения стационарных и нестационарных задач, что подтверждается актом о внедрении в ООО «ЕСМ».
Результаты исследований внедрены в учебный процесс УГАТУ при реализации учебных планов по дисциплинам «Специальные главы теории функций комплексного переменного», «Экстраполяционные методы оценки погрешности» по направлению 01.03.00 - «Математика. Компьютерные науки».
Работа проводилась по тематике госбюджетной НИР Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», программы Президента «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-65497.2010.9). Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [58 - 63] и в соавторстве [24, 17, 20, 21, 67, 64, 65, 76, 73, 80, 72, 77, 74, 105, 56, 18,57,75, 19,66].
По основным результатам работы были сделаны доклады на Международной научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2008); на Всероссийских зимних школах-семинарах аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2008-2011); на международных семинарах «Компьютерные науки и информационные технологии» CSIT (Анталия, 2008, Крит, 2009); на Всеросс. научн. Конф. «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2009-2011); на XIV междунар. науч. конф. «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010); на научно-техн. конф. «Образование и наука - производству» (Набережные Челны, 2010); на 9-й молодежи, научн. школы-конф. «Лобачевские чтения» (Казань, 2010); на междунар. молодежной научн. конф. «XXXVI Гагаринские чтения» (Москва, 2010); на межд. научн.-техн. конф. «Электроэрозионные и электрохимические технологии в производстве наукоемкой продукции» (Москва, 2010); на 4-й Всероссийск. конф. «Задачи со свободными границами» (Бийск, 2011); на X Всеросс. съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (ННовгород, 2011). Глава Некоторые вопросы, возникающие при интерполяции функций, заданных только дискретными значениями Вопрос о возможности восстановления значений функции, заданной дискретными узловыми значениями, решается положительно в известной теореме Котельникова. Однако в этой теореме речь идет о функции, обладающей ограниченным спектром, заданной бесконечной последовательностью равноотстоящих узловых значений.
В случае, когда интерполируемая функция является результатом численного решения некоторой задачи, вся информация об искомой функции исчерпывается ее значениями в узловых точках. Задача интерполяции при этом является некорректной, поскольку может существовать сколько угодно функций, графики которых проходят через данные точки. То есть, решение задачи может быть получено только с точностью до произвольной аддитивной составляющей (р(х), имеющей нулевые значения во всех заданных узловых точках.
В оправдание этого можно сказать, что если сетка выбирается произвольно, то существование функции, равной нулю именно в узловых точках этой сетки, маловероятно. Можно также указать разные способы использования нескольких сеток для повышения надежности получаемых результатов. Таким образом, хотя полностью исключить возможность ошибки (указания неправильной оценки погрешности результата), связанной с некорректностью задачи, нельзя, но есть пути уменьшения такой возможности.
Рассмотрим способ оценки погрешности интерполяции, не требующий использования никакой другой информации, кроме значений функции в узловых точках. Для этого на основании (1.1.3) представим математическую модель погрешности интерполяции в следующем виде [26] k\ +n pP{x)-f(x) = c П (x-xf)+A,{x). (1.1.4) Здесь xy - узлы некоторой сетки; j=0,...,Ni, с - величина, предполагаемая независимой от положения узлов; к\ - номер начального узла, используемого интерполяционной формулой; Л](х) - дополнительная часть погрешности, полагаемая малой величиной по сравнению с первым слагаемым.
Таким образом, данный способ оценки погрешности интерполяции сводится к построению интерполяционного многочлена Рп+\(х) и сравнению проверяемого значения Рп (х) с Рп+1 (х) как с более точным.
В [25] приводится обоснование этой оценки на основе метода фильтрации численных данных. В [26, 23] приводятся результаты применения этой оценки для интерполяции функций с равномерными и неравномерными сетками. Показано, что при увеличении степени многочлена п оценка погрешности в общем случае сначала уменьшается, а затем начинает увеличиваться. Таким образом, ограничивается некоторый интервал.
Разработка численно-аналитического метода и комплексное исследование процесса стационарной электрохимической обработки плоским ЭИ с полукруглым выступом
Обработка почти прямоугольным ЭИ (Ат=5) Последняя из приведенных решенных задач позволяет понять ограничения рассмотренного метода численного решения. Если при моделировании обработки трапецевидным ЭИ углы на ЭИ 135 и 225 при аппроксимации сплайном и интегрировании по формуле Шварца не приводили к большой погрешности, то при доведении угла до 90 (наибольшую погрешность вносит именно этот угол, так как функция z(%,x) имела бы при этом особенность (х-Хо) э) погрешность становилась существенной.
Таким образом, недостатки разработанных ранее численных методов связаны с особенностями моделируемых процессов: необходимостью исследования длительных процессов (когда форма расчетной области существенно изменяется) и наличием на заданной границе угловых точек.
Кроме того одной из основных проблем применения результатов вычислительного эксперимента является представление полученных данных в компактном виде, не требующем больших затрат ресурсов для их хранения и выборки.
Разработка методов построения приближенных моделей стационарных и нестационарных процессов, численно-аналитических методов решения задач Хеле-Шоу, анализ и обоснование результатов вычислительного эксперимента, а также приложение этих методов в области исследования процессов ЭХО.
Задачи диссертационного исследования можно сформулировать следующим образом.
1. Разработать методы построения и оценки погрешности приближенных численных моделей, позволяющие их использование в условиях неполноты исходных данных.
2. Разработать численно-аналитические методы решения стационарных и нестационарных задач Хеле-Шоу с подвижной заданной границей криволинейной формы и различными условиями движения неизвестной границы.
3. Разработать комплекс программ и провести комплексное исследование решений указанных задач применительно к ЭХО, обоснование и тестирование алгоритмов и программ, оценку погрешностей результатов. Построить приближенные модели формообразования для возможности практического использования полученных численных результатов. Глава 2 Разработка численно-аналитических методов и решение задач стационарной ЭХО криволинейным и полукруглым ЭИ
Рассмотрим в качестве примера стационарную задачу об обработке криволинейным электрод-инструментом (ЭИ) A FCGB \ который движется вертикально вниз со скоростью Vet (рис. 2.1.1). Обрабатываемая поверхность AMDNB приобретает стационарную форму. Для решения таких задач удобнее применить метод годографа, т.е. рассмотреть область на плоскости годографа напряженности Е = = \E\e 1 , где G - угол между вектором напряженности и осью х.
При этом условие стационарности - это есть уравнение данной окружности, и с учетом точек перегиба, граница, соответствующая обрабатываемой поверхности, отображается на разрез по дуге окружности. На горизонтальных частях угол равен -л/2 - это вертикальные участки на плоскости годографа. Если форму границы FCG на плоскости годографа задать в виде окружности, то форма границ на плоскости Е известна, и согласно теореме Римана, можно, задав соответствие трех точек на границе, найти единственное конформное отображение Е на какую-нибудь параметрическую плоскость, например, на полукольцо С, (рис. 2.1.5).
Форма области на плоскости комплексного потенциала для любой формы выступа на плоском катоде определяется условиями Таким образом, при решении задач методом годографа необходимо найти два конформных отображения Е{С) И W(C). Тогда отображение на физическую плоскость получается интегрированием выражения
Если форма границы FCG на плоскости годографа задана в виде окружности, то получается задача обработки неким криволинейным ЭИ, и эта задача имеет аналитическое решение, которое получено ниже и использовалось в качестве тестового.
Асимптотическая величина зазора S известна. Напряженность на бесконечности слева и справа равна Eo=U/S, где U - разность потенциалов между анодом (обрабатываемой поверхностью) и катодом (ЭИ).
Плоскость параметрического переменного Функция (2.1.6) в общем случае осуществляет отображение полукольца і на полосу с выброшенной лункой овальной формы. Действительно, участки радиусов BG и FA переходят в соответствующие вертикальные лучи на W. На внутренней полуокружности ADB j = qeia
Результаты вычислительного эксперимента
На рис. 2.4.3,6 показаны результаты интерполяции по параметру 1/Ч/г для S0=80. Правее пунктирной прямой расположены заданные точки, левее (кроме нуля) - полученные с помощью интерполяции. На рисунке совмещены графики, полученные по полной базе данных и по разреженной (через одну точку). Разница не превышает 10"3.
На рис. 2.4.4 показаны интерполированные зависимости для г=100 и г=1000 вместе с оценками погрешностей интерполяции, полученной путем сравнения полиномов с возрастающей степенью. На рис. 2АА,а совмещены графики, полученные по полной и разреженной базе, на рис. 2.4.4,6 - для интерполяции при _/о=—10 и оо. Применяя интерполяцию «по наклонной», необходимо учитывать, что интерполируемая функция имеет особенность по переменной У при У —»90. Это ограничивает возможность вариации параметром наклона /0 значениями /0 -10, так как иначе возникает дополнительная погрешность (см. рис. 2.4.4,6).
Тем самым, согласно оценкам, разработанная модель позволяет определить зависимость s(8,r) с погрешностью около 1% для 0 У 85.
Предельное формообразование плоским ЭИ с полукруглым выступом Зависимости зазора от угла в этом случае удобно представить в виде разности /г( г) = g(V) о(г) cosS (рис. 2.4.5). 83 О 20 40 60 80 З Рисунок 2.4.5 — Зависимости /2 ($, г) Как видно из рисунка вид кривых качественно совпадает с тем, что мы имели при расчете стационарного формообразования (рис. 2.4.1). Поскольку при предельном формообразовании разность sT (г) - SQ (Г) приближенно представляется экспоненциальной функцией, в качестве параметра (аргумента) интерполяции следует выбрать е г (рис. 2.4.6). Приведенные кривые показывают, что при разрежении базы данных отличие результатов более значительно, чем на рис. 2.4.3,6, однако проявляется при углах, больших 80.
Отметим, что данная задача являлась тестовой (в отличие от стационарной), в том смысле, что ограничение значений радиуса, использованных для проведения интерполяции, числом 10 не является существенным. Тем самым, полученные приближенные расчеты и оценки могут быть проверены сравнением с результатами прямого численного решения задачи. Из сравнения (рис. 2.4.8) следует, что при г=12 результаты интерполяции и численного решения совпадают с точностью до 10"3, для г=15 до 10"2. При увеличении г значения /г() становятся малыми и входят в диапазон 1%.
Полученные решения позволяют оценить точность копирования формы ЭИ при «граничных» условиях локализации процесса растворения: при постоянном значении выхода по току (/ос=1) и при скачкообразной зависимости выхода по току от плотности тока для случая совпадающих рабочего Е0 и критического Ех значений напряженности (к[ос = со) на всей обрабатываемой поверхности.
Результаты исследований и разработанный способ построения моделей процессов формообразования позволили создать базу данных и программные модули для расчета (с оценкой погрешности) зависимостей зазора от угла наклона участка ЭИ и его кривизны, которые могут быть использованы для практических целей. Глава 3. Разработка численно-аналитического метода и решение задачи ЭХО нестационарной обработки плоским ЭИ с ограниченной неровностью
Рассмотрим нестационарную задачу электрохимического растворения с помощью ЭИ, представляющего собой полукруг с радиусом R. Полукруглый ЭИ заглубляется в заготовку со скоростью Vet под прямым углом к поверхности (рис. 3.1.1). Начальный межэлектродный зазор АА равен SQ .
Задачи удобнее решать в безразмерном виде. Сведение к безразмерным величинам для данной задачи проведем следующим образом. В качестве характерного размера / в (1.2.18) выберем величину стационарного зазора, который устанавливается при обработке полукруглым ЭИ (при обработке поверхности с горизонтальной асимптотой эта величина зазора устанавливается на бесконечности слева и справа).
Выберем в качестве параметрической переменную 5C = o + iv, область изменения которой представляет собой горизонтальную полосу единичной ширины (рис. 3.1.3,а). Конформное отображение параметрической плоскости х на плоскость комплексного потенциала определяется по формуле 0 где za (x, x) - аналитическая в области D% и непрерывная в ее замыкании XL функция, определяющая отличие формы обрабатываемой поверхности от прямолинейной (при Х=ст+г Imza(X;X) = 0); zc(E,,x) - аналитическая в области D? и непрерывная в ее замыкании D? функция, предназначенная для описания неровности на ЭИ (при =ю+Ю lmzc(,,x) = 0). Функция zc( ,x) определена на полосе единичной ширины /) (рис. 3.1.3,6).
Описание алгоритмов и комплекса программ численного решения, тестирование и применение фильтрации для обоснования результатов
На рис. 3.2.24 приведены зависимости глубины выемки р на аноде от времени обработки для L=2 и L=5 при а=1, 2и«. Так же, как и при обработке ЭИ с круглым выступом, максимальная скорость образования выемки наблюдается при а=1, поскольку до достижения максимальной глубины растворения материала анода на периферии не происходит. При этом растворение начинается, по сравнению с обработкой круглым ЭИ, несколько позже (при т«0.3 - 0.4). При а=2 в начале процесса скорость примерно такая же, а затем (при s(t)=So- c a) уменьшается, так как начинается растворение материала на периферии.
В данной главе предложен метод решения нестационарных задач ЭХО плоским ЭИ с ограниченной неровностью. Получены решения задач для ЭИ с выступом и впадиной в виде сегмента круга и выступом в виде прямолинейной пластины. Во всех рассмотренных случаях наблюдается формирование стационарных или предельно-стационарных решений. При этом стационарные решения устанавливаются асимптотически, предельно-стационарные - за конечное время.
Показано, что наиболее медленно устанавливается стационарное решение вблизи угловых точек ЭИ. Также показано, что скорость образования выемки при а=1 максимальна и практически равна скорости движения ЭИ. Разработка численно-аналитического метода и решение задачи нестационарной обработки ЭИ в виде ограниченной фигуры
Рассмотрим нестационарную задачу электрохимического растворения с помощью ЭИ, представляющего собой круг с радиусом R. Круглый ЭИ заглубляется в изначально плоскую заготовку со скоростью Vet под прямым углом к поверхности (рис. 4.1.1). Начальный межэлектродный зазор (расстояние CD) равен SQ .
Представим функцию, конформно отображающую полосу плоскости % на область МЭП физической плоскости в неподвижной (относительно тела заготовки) системе координат в виде суммы
Функция za(x,x) определяется следующим образом. Будем искать решение на границе х=сг в узловых точках ат (т=0,...,п). Искомыми будут значения lmza(am,Xj) = ут. Примем lmza(a„,x) = 0. Значения Imza(a,x) в точках, промежуточных между узловыми, найдем с помощью кубического сплайна (3.1.11), имеющего две непрерывные производные. Поскольку za(x,x) - аналитическая функция, имеющая чисто мнимые значения на прямой 1т%=1/2, аналитически продолжим ее вверх на полосу единичной ширины. В силу принципа симметрии Im za (a + і, х) = Im za (ст + ДО, т).
Функция ZC( ,T) получается аналогичным образом. Будем искать решение на границе с;=со в узловых точках сож (т=0,...,п). Искомыми будут значения Rezc{(dm,Tj)=xm. Примем Rezc(cow,x) = 0. Значения Rezc(co,x) в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна Рс(а), имеющего две непрерывные производные, аналогичного (3.1.11). Рассмотрим аналитическую в полосе \ функцию /(), имеющую чисто действительные значения на прямой Im =l/2, и имеющую известную мнимую часть на прямой Im =0. Аналитически продолжим ее вверх на полосу единичной ширины. В силу принципа симметрии Im/( B + /) = -Im/(co + z 0). Для восстановления функции /() используем формулу Шварца (4.1.13)
Участки границ, на которых функции имеют чисто мнимые и действительные границы (подчеркиванием обозначены заданные значения) Функция G( ) имеет чисто мнимые значения на прямой Im =0 (катод) и на лучах Im,=l/2, Re P и Im=l/2, Re (3 (разрез) и чисто действительные значения на отрезке Im =l/2, -P Re (3 (анод) (см. рис. 4.1.4,6). Тогда функция /(%) имеет чисто действительные значения на прямой Im=l/2 (см. рис. 4.1.4,в), и для ее восстановления может быть использована формула (4.1.18). Тогда функция zc(,t) определяется с помощью формулы Келдыша-Седова Отметим, что слагаемое gi{x)G(), аналогичное слагаемому в (4.1.6), введено так, чтобы функция гй( ,т) не имела особенности в точках и В. Производная —-(со,т) вычисляется следующим образом: с помощью дифференцирования построенного сплайна Рс((й) вычисляются значения производных —-(со,т). По полученным с помощью (4.1.19) значениям ус( л,т) строится сплайн Pvc((a), дифференцированием которого получаются производные —-(ю,т). доз
Нестационарная задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решается численным методом. При этом на каждом временном шаге х = jAx, у = 1,2,... решаются задачи конформного отображения полосы параметрической плоскости х на физическую плоскость z. При этом в полном объеме задача конформного отображения решается только при т=0, так как после каждого шага по времени значения переменных ym(%j) и ym\Cj) являются известными, и остается только подставить их в сплайн (3.1.11) и интегралы Шварца (4.1.13), (4.1.14). После этого необходимо решить краевую задачу, постановка которой дана в главе 1: найти частную производную — \%,tj)=— (х х/.)+г yLbxj) как аналитическую функцию комплексного параметра х, удовлетворяющую краевому условию (1.2.19). Для вычисления производной —-\ХЛ /) применяется способ, аналогичный применяемому для определения конформного отображения zfl(x,x.). Искомыми параметрами на каждом временном шаге т/=/Ат будут значения Im— \(jm,Xj)-qm.
