Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор методов моделирования тепловых режимов в технологических процессах 13
ГЛАВА 2 челночный способ наплавки как объект моделирования 31
2.1. Процесс наплавки и способы его осуществления 31
2.2. Условия качественной наплавки челночным способом 33
2.3. Геометрия и параметры процесса наплавки 37
2.4. Анализ физических процессов при наплавке 40
2.5. Выводы по главе 47
ГЛАВА 3. Математические модели челночной наплавки ... 48
3.1. Общие физические уравнения 48
3.2. Тепловая задача для пластины в подвижной системе координат 51
3.3. Приближение термически тонкой пластины 54
3.4. Метод Фурье или разделения переменных 55
3.5. Трехмерный линейный случай 61
3.6. Краевые условия для тепловой задачи в конечной области 66
3.7. Выводы по главе 70
ГЛАВА 4. Численно-аналитические модели термически тонкой пластины 72
4.1. Разностные схемы для линейной тепловой задачи 72
4.2. Каноническая форма сеточного уравнения. Принцип максимума 79
4.3. Исследование устойчивости разностной схемы 84
4.4. Оптимизация параметров разностной схемы 91
4.5. Выводы по главе , 101
ГЛАВА 5. Моделирование комбинированным методом температурных режимов в пластине конечной толщины 103
5.1. Методика расчета температурных полей 103
5.2. Задача об оптимизации геометрических параметров копира 111
5.3. Настройка моделей по экспериментальным данным 115
5.4. Результаты расчетов режимов наплавки 119
5.5. Выводы по главе 126
Основные результаты работы и выводы 128
Список условных обозначений 131
Список литературы
- Условия качественной наплавки челночным способом
- Приближение термически тонкой пластины
- Исследование устойчивости разностной схемы
- Настройка моделей по экспериментальным данным
Введение к работе
Актуальность темы. Восстановление деталей с помощью наплавки и автоматизация этого процесса вызваны постоянно возрастающими требованиями к энерго- и ресурсосбережениям, что является важной государственной задачей. В процессе восстановительной наплавки на поверхность детали наносится расплавленный металл, который близок по составу и свойствам к основному материалу. Наибольшее распространение имеют дуговые способы наплавки, например, для восстановления деталей железнодорожной техники они используются примерно в 75-80 % случаев. При этом электрическая дуга между электродом и поверхностью обеспечивает нагрев детали, а расплавленный электродный металл служит материалом для наплавки. Для расширения возможности автоматизации процесса наплавки предложена принципиально новая технологическая схема челночной наплавки [1, 2], которая позволяет получать наплавляемый слой лучшего качества за существенно меньшее время, но требующая соблюдения определенных температурных режимов. Учитывая это, актуальной становится задача разработки численно-аналитических моделей, позволяющих осуществлять прогноз температурных полей.
Характерные особенности новой технологии заключаются в следующем: наплавка осуществляется не отдельными валиками, а вдоль периодической траектории сложной формы; процесс осуществляется непрерывно так, что не требуется ручной установки автомата на начало следующего прохода; при челночной наплавке движение электрода происходит с постоянной скоростью по заранее изготовленному копиру, что обеспечивает равномерность наплавляемого слоя (ранее в технологии использовалась наплавка колеблющимся электродом); при челночном способе наплавки под флюсом возможно образование сплошной ванны расплавленного шлака между соседними валиками. Это происходит, если при наплавке следующего валика температура между ним и предыдущим не опускается ниже определенного уровня; снятие шлаковой корки производится после окончания наплавки серии отдельных валиков, поскольку шлаковая ванна, в отличие от застывшей корки, не мешает горению сварочной дуги; при оптимальных условиях обеспечивается устойчивое горение электрической дуги и улучшается растекание металла. В целом это приводит к образованию более ровного наплавляемого слоя, что уменьшает припуск на дальнейшую обработку поверхности.
До появления такой технологии применение автоматической наплавки под флюсом сталкивалось с большими трудностями, так как за время настройки станка на начало следующего прохода шлак успевал застыть, и образовавшуюся корку надо было каждый раз удалять. Следует отметить, что поскольку при этом применяется принципиально новая технология, то и задача моделирования тепловых процессов, которая достаточно полно учитывала бы особенности данной технологии, ранее не рассматривалась. Таким образом, возникает потребность в развитии теоретических моделей челночной наплавки и методов расчета полей температуры с учетом особенностей новой технологии. В первую очередь, это связано со сложным характером траектории движения источника и геометрическими параметрами распределенности его действия, в том числе по толщине пластины.
Вплоть до настоящего времени в сварочном производстве для описания полей температуры был широко распространен подход, основанный на использовании аналитических формул Н.Н. Рыкалина. Однако эти формулы предназначены для случаев неподвижного или движущегося прямолинейно с постоянной скоростью теплового источника и их непосредственное применение для рассматриваемого в диссертации сложного технологического процесса невозможно. Использование других известных в литературе аналитических разработок для моделирования челночной наплавки также требует либо существенного упрощения постановки тепловой задачи, что искажает физическую картину процесса, либо приводит к очень громоздким выражениям, которые практически нереально использовать.
По этим причинам для решения задачи определения термического режима челночной наплавки целесообразно использовать численное моделирование. Кроме того, отдельным актуальным вопросом является разработка алгоритма для последовательного проведения много вариантных расчетов с целью решения задачи по определению оптимальных параметров режима наплавки. Результаты такого моделирования важны в технологии для прогнозирования параметров копира и режимов автомата, при которых наплавка получается качественной, причем крайне важно, чтобы совокупный алгоритм получения таких прогнозов работал достаточно быстро, позволяя оперативно в течение рабочего дня выдавать рекомендации по осуществлению практических работ. Для достижения этой цели, с одной стороны, нужно так упростить постановку задачи, чтобы это не повлияло на необходимую для технологии точность результатов. С другой стороны, актуальным вопросом является выбор адекватных численных методов, обеспечивающих решение задачи за минимальное количество вычислительных операций.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с направлением научно - исследовательских работ кафедры прикладной математики ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» по теме «Теоретические основы моделирования процессов в интеллектуальных электромеханических и электроэнергетических системах», ГР №01200010025, а также в рамках научного направления «Математические основы и применение компьютерных моделей электромагнитных полей и процессов». Внедрение результатов работы осуществлялось в соответствии с планом технико-экономического Совета Северо-Кавказской железной дороги по реализации «Комплексной программы организации ремонта и эксплуатации грузового подвижного состава на период 2001-2010 годы», утвержденном на его заседании № 10 от 20.07.01.
Цель и задачи работы. Диссертационное исследование направлено на совершенствование способов энерго- и ресурсосбережения в сварочном производстве посредством повышения эффективности технологического процесса автоматизированной челночной наплавки, что достигается путем создания моделей и алгоритмов, позволяющих усовершенствовать методику прогнозирования качества наплавки и осуществлять оптимизацию параметров режимов ее проведения. Фактически данная работа направлена на создание интеллектуального сопровождения нового технологического процесса, которое реализовано в виде комплекса программ.
Для достижения этих целей необходимо решить следующие основные задачи: разработать физико-математическую модель тепловых процессов, адекватно отражающую специфику челночной наплавки на пластину, а также достаточно точно учитывающую влияние основных факторов на ее конечный результат; разработать численно-аналитический метод, сводящий расчет трехмерных тепловых полей в пластине конечной толщины к быстро сходящемуся ряду из решений двумерных задач; построить устойчивую разностную схему как дискретный аналог двумерной тепловой модели и провести тестовые расчеты для настройки внутренних параметров компьютерного алгоритма с целью сокращения количества операций; реализовать алгоритм расчета решения трехмерной тепловой задачи и настроить не полностью определенные входные технологические параметры по экспериментальным данным; сформулировать критерий качественной наплавки и включить его в алгоритм определения оптимальных параметров теплового режима; продемонстрировать возможности алгоритма в реально встречающихся на практике случаях.
Методы исследований. Анализ тепловых процессов при челночной наплавке проводится методом численного эксперимента. При этом модели такого процесса строятся с помощью методов математической физики. Для построения, исследования устойчивости и численного решения сеточных уравнений, которые являются дискретными аналогами исходной задачи, используются методы математической теории разностных схем. Кроме того, для решения имеющихся нелинейных уравнений используются численные методы. Комплекс программ для проведения расчетов на компьютере был разработан на основе языка «Фортран-85».
Обоснованность и достоверность результатов исследований обусловлена: строгим математическим обоснованием всех этапов моделирования; устойчивостью применяемых для вычислений разностных схем; сходимостью алгоритма расчета полей температуры при увеличении сосредоточенности подвижного источника к результатам, получаемым по соответствующим этому предельному случаю аналитическим формулам Н.Н.Рыкалина; совпадением с точностью до 5 % экспериментально найденных оптимальных размахов колебаний электрода при челночной наплавке в нескольких случаях с прогнозируемыми значениями, полученным на основе моделирования; соответствием всех получаемых результатов физическому смыслу. Научная новизна результатов исследований характеризуется следующими признаками:
1. Сформулированный критерий проведения автоматизированной наплавки челночным способом под флюсом гарантирует устойчивое горение сварочной дуги, отсутствие отклонения последней от центра траектории перемещения электрода, что обеспечивает нанесение ровного слоя металла.
2. Предложенные физико-математические модели для расчета двумерных и трехмерных полей температуры при челночной наплавке, в отличие от известных, учитывают реальные особенности траектории движения электрода и объемный характер действия источника нагрева. При этом рассмотрение проводится в подвижной системе координат, в которой траектория движения электрода становится циклически замкнутой, что является обобщением по сравнению с традиционной постановкой задачи в неподвижных координатах.
3. Разработан новый комбинированный численно-аналитический метод расчета трехмерных полей температуры при сварочных процессах, отличающийся от известных тем, что используется аналитическое разложение решения в ряд по одной из пространственных координат, позволяя свести решение трехмерной задачи к набору двумерных.
Предложен дискретный аналог для двумерного варианта физико-математической модели челночной наплавки на пластину и разработан алгоритм его реализации. Впервые получен критерий устойчивости применяемой разностной схемы в аналитическом виде и проведена оптимизация ее внутренних параметров, что обеспечило высокую эффективность работы компьютерной программы за счет сокращения количества вычислительных операций примерно на два порядка.
Предложена методика настройки не измеряемых точно параметров моделей по набору экспериментальных данных. От обычного подхода явного задания параметров она отличается тем, что свободные параметры определяются на основе серии экспериментов путем их подбора с целью наилучшего совпадения результатов.
Впервые установлены важные для технологии взаимосвязи между оптимальной амплитудой перемещения электрода по траектории и критической температурой, входящей в критерий качественной наплавки, а также этой амплитудой, толщиной пластины и мощностью источника.
7. Результаты исследований оформлены в виде программного продукта, который отличается тем, что построен на основе теоретического анализа модели челночной наплавки.
Практическая ценность работы. Разработанный программный комплекс может быть использован в сварочном производстве для расчета полей температуры в таких технологических процессах, как сварка, наплавка и термообработка при произвольной траектории перемещения источника нагрева по поверхности пластины. В настоящий момент этот комплекс программ наиболее адаптирован к технологии челночной наплавки. Для этого случая реализована возможность последовательного проведения многовариантных расчетов с целью оптимизации параметров режимов наплавки. Это позволяет: резко сократить время на настройку станка и обеспечить его непрерывную работу; получать более прочный и ровный наплавленный слой, что уменьшает потери металла при последующей механической обработке.
Результаты моделирования были использованы для выработки рекомендаций по применению технологии челночной наплавки для восстановления поверхностей деталей железнодорожного транспорта, таких как колпак скользуна, фрикционный клин, фрикционная планка, замок автосцепки, замкодержатель автосцепки и ряд других деталей. Результаты этой работы внедрены во многих вагонных депо Северо-Кавказского отделения Российских железных дорог, в частности, на станциях Каменоломни, Батайск, Лихая, Морозовск, Кавказская, Армавир, Краснодар, Прохладная.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Математическая модель новой технологии челночной наплавки, в которой тепловая задача рассматривается в подвижной системе координат.
Модельное описание распределения нагрева, как в плоскости пластины, так и по ее толщине. Критерий качественной наплавки.
Комбинированный численно-аналитический метод решения трехмерной краевой задачи, базирующийся на разложении температуры в ряд по координате, перпендикулярной плоскости пластины. Вывод уравнений для коэффициентов этого разложения, которые по математической структуре совпадают с тепловой задачей для термически тонкой пластины.
Разностная схема для решения тепловой задачи в тонкой пластины и анализ условий ее устойчивости, а также оптимизации внутренних параметров этой дискретной задачи.
Совокупный алгоритм определения распределения температуры в пластине конечной толщины при челночной наплавке. Настройка модели по эксперименту и результаты расчета в практических случаях.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на: международной научно-технической конференции «Сварка на рубеже веков», Москва, 2003 г.; научно-технической конференции «Эффективные материалы, технологии и оборудование для сварки, плазмы, нанесения покрытий, металлообработки и порошковой металлургии», Ростов-на-Дону, 2004г.; научно-практическом семинаре «Информационные технологии в интеграции науки, образования, производства», Ростов-на-Дону, 2004г.; международной конференции «Математические методы в технике и технологиях МММТ-18», Казань, 2005г. Результаты работы докладывались и получили положительную оценку на кафедрах: «Технология металлов» РГУПС; «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ); «Математика и информатика» РИФ РГТЭУ.
Публикации. По результатам работы опубликовано 9 научных работ; из них 5 статей, 3 тезиса докладов и зарегистрированная компьютерная программа, причем 2 статьи опубликованы в российских реферируемых журналах, одна в ведущем зарубежном журнале.
Структура диссертации и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения с основными выводами, списка литературы из 127 наименований и приложения. Ее содержание изложено на 165 страницах, проиллюстрировано 3 таблицами и 24 рисунками.
Условия качественной наплавки челночным способом
Наплавка металла [11,16,22-24,26-28] широко применяется в технике. Цель наплавки - восстановление первоначальной формы изношенной детали или нанесение дополнительного слоя для изменения свойств ее поверхности (твердость, износостойкость, антикорозионность). При этом наибольшее распространение имеют дуговые способы наплавки. Например, для восстановления деталей железнодорожной техники они используются примерно в 75-80 % случаев [1, 5]. Электрическая дуга между электродом и поверхностью обеспечивает нагрев детали, а расплавленный электродный металл служит материалом для наплавки.
При наплавке электрод перемещается относительно детали, в результате чего на ее поверхности формируется полоса металла. Такая полоса в технологии называется валиком, типичный вид поперечного сечения которого показан на рис. 2.1. При этом на нем через SH и обозначены площади поперечного сечения наплавленного и проплавленного металла соответственно.
Обычно приходится делать несколько проходов с тем, чтобы полностью покрыть дополнительным слоем металла нужную поверхность. Для того чтобы сплавить два соседних валика между собой, следующий валик наносится с определенным наложением по отношению к предыдущему. Размер этого наложения е„ в технологии обычно составляет от 1/3 до 1/2 ширины е8 одиночного валика. Типичная ситуация наложения валиков показана на рис. 2. Для одиночного валика типичное отношение его ширины к высоте равно пяти (ejge=5). В технических приложениях [35] обычно считается, что SH=0.8-ee-ge. (2.1)
При этом сечение непосредственно самого валика по форме очень близко к половине эллипса. Фактически коэффициент 0.8 в формуле (2.1) можно рассматривать как округленное значение числа it/4. При наплавке валиков с перекрытием средняя толщина наплавленного слоя металла / равна U=S,/h. (2.2)
Она получается больше, чем высота отдельного валика (/, ge), если для величины шага наплавки выполнено условие h 0.8 ев.
Часто требуется иметь более гладкую поверхность детали, чем та, которая образуется непосредственно после наплавки. Для этого после застывания металла осуществляется его механическая обработка режущим или абразивным инструментом, так что часть металла снимается. При наличии соответствующего станка нанесение параллельных валиков можно осуществлять автоматическим способом. Однако при многопроходной наплавке имеется технологическое неудобство, связанное с необходимостью перенастраивать станок на следующий проход. Это особенно заметно при малой длине валиков из-за относительно большого вспомогательного времени для установки автомата в начало каждого прохода, которое часто приходится производить вручную. Отметим, что такая ситуация является типичной при восстановлении деталей подвижного состава железных дорог, для которых характерны сравнительно небольшие площади восстанавливаемых поверхностей и малая протяженность наплавляемых валиков.
При наплавке дуговым способом могут использоваться как источники постоянного, так и переменного тока [35,48, 27]. Однако чаще наплавка осуществляется источником постоянного тока при обратной полярности включения, когда положительный полюс источника находился на электроде, отрицательный на пластине. Именно этот случай и рассматривается в работе. Как известно 48,27], в отличие от дуги прямой полярности он характеризуется тем, что на пластину поступает больше энергии.
Подробности технологии наплавки рассмотрены в работах [1-3, 12, 14-16,19,32-34,6,24,27,28,31].
Приближение термически тонкой пластины
В начале главы приводится физико-математическая формулировка тепловой задачи в двух эквивалентных постановках: в традиционном виде через температуру, и во втором, для энергосодержания единицы объема среды. Отметим, что второй вариант тепловой задачи более удобен для рассмотрения нелинейных эффектов. Все это является отправным моментом для дальнейшего рассмотрения.
Задача о термическом режиме пластины при челночной наплавке в общем 3-х мерном случае формулируется в подвижной системе координат. По сравнению с традиционным рассмотрением в неподвижных координатах, такая постановка задачи является более общей. Это обусловлено тем, что при задании нулевого значения скорости движения системы координат, входящей в уравнение, получается задача в неподвижных координатах. Далее считается, что система координат перемещается вдоль оси со средней скоростью зигзагообразного движения источника. При этом точно задается сложная траектория движения электрода при челночной наплавке, которая в подвижной системе координат оказывается циклически замкнутой. Кроме того, адекватно реальным условиям задается распределение нагрева электрической дугой, как в плоскости пластины, так и по глубине наплавляемого слоя металла.
Проведена редукция указанной выше 3-х мерной тепловой задачи к 2-х мерному уравнению для среднего по толщине пластины энергосодержания. Для этого было использовано только одно дополнительное предположение о том, что энергосодержание металла около поверхностей пластины примерно равно его средней по толщине величине. Полученное нелинейное уравнение соответствует термически тонкой пластине и является основным приближением для упрощенного анализа тепловых режимов различных технологических процессов.
Линейная задача теплопроводности в трехмерном случае с помощью разложения решения в сходящийся ряд может быть заменена счетным множеством двумерных задач. По математической структуре они совпадают с тепловой задачей для термически тонкой пластины. Более того, первый член ряда в предельном случае малой теплоотдачи с поверхностей точно совпадает с решением для тонкой пластины. С точки зрения методологии предложенный способ учета трехмерных эффектов можно рассматривать как внесение поправок к основному приближению.
Для численного решения уравнений тепловой задачи о наплавке на пластину (бесконечно) больших в плоскости (х,у) размеров надо фиктивно ограничить пространственную область. В случае, аналогичном термически тонкой пластине, это может быть плоская прямоугольная область с минимально допустимыми размерами с точки зрения искажения решения. В качестве дополнительного условия на границе используется однородное условие 3-го рода, фактический смысл которого состоит в задании показателя спада решения в направлении внешней нормали. Для минимального искажения решения выберем этот показатель из физических соображений в соответствии с аналитической формулой Н.Н.Рыкалина для подвижного линейного источника нагрева.
В третьей главе дана формулировка тепловой задача для наплавки на тонкую пластину в подвижной системе координат. В общем случае она сформулирована для распределения в ограниченной области средней по толщине объемной плотности тепловой энергии металла. Однако при изучении только линейного случая нет смысла далее сохранять общность рассмотрения. В связи с этим имеет основание привести постановку тепловой задачи с учетом возможных упрощений в терминах температуры. Для этого в (3.26) сделаем замену переменных W = срТ. Тогда, вынося постоянные множители из-под операторов дифференцирования, получаем следующее уравнение. ср Ы х дх = UX-PT + Pjg{r)il, (4.1) где Д=5/5х2 +Э/0У2 - двумерный оператор Лапласа. Линейное уравнение (4.1) является уравнением параболического типа, известным в математической физике. Его решение будем искать в конечной прямоугольной области Q: -а х b ,\y\ d. (4.2)
По смыслу задачи, размеры а, Ъ, d 0 следует задавать так, чтобы, по крайней мере, в любой момент времени t эта область полностью содержала пятно интенсивного действия источника нагрева. На границе Г конечной области Q задается дополнительное краевое условие, аналогичное (3.71) ґдТ + у(х,у)Т дп = 0 . (4.3) г Здесь ffT/дп -производная в направлении внешней нормали к границе Г.
Теория построения разностных схем, в том числе для уравнения теплопроводности, изложена в [86-95]. Для построения дискретного аналога этой задачи в области Q введем равномерную сетку а?& с пространственным шагом S, координаты узлов которой обозначим {х-,,у . ХІ+1-ХІ = yj+i-yj = S. (4.4) Одинаковый шаг пространственной сетки в обоих направлениях х и у выбран потому, что они равноправны, например, с точки зрения распределения нагрева источника в плоскости пластины. Таким образом, не имеет смысла рассматривать разный шаг по этим пространственным координатам. Дня удобства совместим узел с индексами i=j=0 с началом координат (хо Уо=0). Отметим, что поскольку задание параметров a, b и d имеет достаточно большой произвол и, прежде всего, ограничено физическими соображениями относительно их минимальных значений, то границы изменения индексов в неравенствах сделаем целыми числами. Обозначим их через Na, Ny и Nd соответственно, так что Na&a/S, Иь Ь/5, Nd d/S. Тогда индексы і ,j меняются в следующих пределах -Na i Nb , (4.5) -Nd j Nd. (4.6) Кроме того, выделим множество моментов времени tm, отличающихся друг от друга на постоянную величину т. Это множество образует сетку от по временной переменной t tm=mr, m=0,l,2.... (4.7) На дискретном множестве значений переменных соусов ={іт Х\ У)} будем рассматривать сеточные функции и. Цель состоит в том, чтобы сформулировать такую систему разностных уравнений для значений сеточной функции и?1,-, чтобы ее решение давало оценку в узлах сетки для температуры T(tm,Xi,yj}. При этом необходимо, чтобы в пределе при уменьшении шагов сетки Зи т решение разностной схемы переходило в решение непрерывной задачи Urn u?j=T(tm,Xi,yj). (4.8) С точки зрения терминологии (4.8) есть условие сходимости, для чего, как известно [86], достаточно обеспечить аппроксимацию и устойчивость разностной схемы. Будем использовать разностную схему, уравнение и граничное условие которой в символическом виде можно выразить следующим образом: и = [DAM + VXVX - В]и + f/(cp) , (4.9) [{Vl!u}f!J+r(xi,yJ)u J]_ = 0 . (4.10) В выражения (4.9), (4.10) входит сеточная функция источника/и несколько разностных операторов, действующих на функцию и. Ниже даются их определения. а) Разностный оператор и аппроксимирует непрерывную производную по времени dT/dt с точностью О(т) in /,,иг+1 л,пг \ і„ /л ііч uiJ =(ui,J uUj lT (4,11) б) Оператор Ар является разностным аналогом оператора Лапласа Д.
Аппроксимация оператора Лапласа осуществляется на полном 9-точечном шаблоне на основе линейной комбинации операторов Д+ и Ах, которые соответствуют схемам «прямого» и «косого» креста. На рис. 4.1 представлены шаблоны для аналогов оператора Лапласа на основе разностных алгоритмов «прямого» (слева) и «косого» (справа) креста. Точками обозначены соответствующие узлы сетки.
Исследование устойчивости разностной схемы
Для сходимости решения дискретной задачи в смысле определения (4.8) кроме аппроксимации непрерывного уравнения требуется обеспечить устойчивость разностной схемы. Дело в том, что вычисления на компьютере производятся с некоторой погрешностью, которая при многократном пересчете поля температуры с одного временного слоя на следующий слой может накапливаться. Формально устойчивость определяется в [86] как непрерывная равномерная (по параметрам сетки 8 и т) зависимость решения от начальных условий и правой части. Однако с практической точки зрения устойчивость гарантирует отсутствие неограниченного возрастания ошибки расчета решения при увеличении числа узлов сетки (с уменьшением 5 и т). В данном параграфе будут получены условия устойчивости разностной схемы, построенной в 4.1.
Для разностной схемы (4.9), (4.10) определение равномерной сходимости по начальным данным и правой части (эквивалентное устойчивости) означает, что для решения этой задачи u{tm, xif yj) имеется оценка: u = Q отлх:м + С2У (4.48) где С] и Сг - некоторые постоянные, которые не зависят от величин 5 и %\ а и есть сеточная функция в начальный момент времени, т.е. и = ti(t - 0txnyj)t (xbyj) Є (Off . При этом норма сеточных функций определяется следующим образом: н= max \и\ . (4.49) О)5У.С0т I
Построение оценки (4.48) важно не только для доказательства устойчивости разностной схемы, но может быть также использовано для оценки диапазона изменения решения. Это будет сделано в конце данного параграфа.
Для исследования условий устойчивости предложенной разностной схемы используем принцип максимума, основные положения которого изложены в 4.2. Как указано в конце этого параграфа, выполнение условий применимости упомянутого принципа обеспечивает для решения разностного уравнения существование мажорантной оценки типа (4.48). Фактически выполнение этих условий является достаточным требованием для обеспечения устойчивости разностной схемы. Мы рассматриваем сеточное уравнение в прямоугольной области, в которой шаблоны, относящиеся к любым двум соседним точкам, перекрываются. Это значит, что выполняются условия (4.35) связанности сетки. Остальные условия применения принципа максимума сформулированы для каждой точки сетки и их следует анализировать отдельно.
Для анализа условий устойчивости необходимо представить в каноническом виде все разностные уравнения, относящиеся к каждому узлу. Однако именно такой вид они имеют для уравнений (4.18-4.20) с первым типом шаблона, состоящем из 2 точек, (4.21-4.22) со вторым типом из 3 точек и (4.28) с третьим типом шаблона из 10 точек. Смысл остальных двух условий на коэффициенты канонической формы записи уравнений всех трех типов одинаковый и состоит в следующем:
1). Все коэффициенты перед значениями сеточной функции в уравнениях (как в левой, так и в правой части) являются неотрицательными, что соответствует условию (4.33).
2). Сумма всех коэффициентов перед значениями сеточной функции в правой части уравнения не должна быть больше коэффициента в левой части, что соответствует условию (4.34).
Далее последовательно проверим их для каждого из трех типов шаблонов. При этом будем учитывать, что все константы (как физические, так и параметры сетки 6 и т) в разностных уравнениях являются положительными величинами.
Рассмотрим уравнения (4.18-4.20) для определения значения сеточной функции в узлах на границе плоской прямоугольной области (кроме угловых). Всем этим узлам соответствует шаблон первого типа. Для каждой такой точки Р дополняющий шаблон Ш {Р) состоит только из одной точки Q (UI (P) Q). Для примера на правой границе прямоугольной области координаты точек Р и соответствующих им Q задаются следующим образом P=(tm,xmyj), Q=(tm,xm-!,yj) ( Nd j Nd). (4.50) Аналогично на левой, верхней и нижней стороне прямоугольной области координаты точек Р и Q определяются выражениями (4.51), (4.52), (4.53) соответственно
Настройка моделей по экспериментальным данным
В предыдущем параграфе дана методика расчета полей температуры в толстой пластине. Однако перед получением практических результатов для различных режимов наплавки модель должна быть настроена по экспериментальным данным. Одной из причин этого является то, что значения некоторых ее параметров заранее точно не известны (таких как к.п.д. т], диаметр пятна нагрева dn). Это связано с тем, что они зависят от конкретных условий и непосредственно не измеряются. Для таких параметров можно лишь указать разумный диапазон изменения значений. В этой ситуации целесообразно подбирать их на основе сравнения хотя бы с одним экспериментом.
Экспериментально установлено, что с технологической точки зрения режим восстановления пластины до первоначальной толщины /=1 см с помощью наплавки по шаблону с шагом Л=1.2см и амплитудой А=\\ см близок оптимальному. Это значит, что выполнен критерий качественной наплавки (2.3), так что температура в точке 1 (рис. 2.5) близка к критическому значению. Примем ее величину равной температуре плавления применяемого флюса Гк=1100С. (5.14)
Второе положение, которое будет использовано, связано с тем, что при наплавке не наблюдаются температуры, превышающие значение 3000С. Отметим, что примерно такую температуру Ттах имеет расплавленный металл электрода [27], поступающий из дуги на пластину. Таким образом, при настройке модели будем требовать, чтобы всегда выполнялось Т Ттах=Ж0С. (5.15)
Изложенные выше положения были использованы для подбора параметров в модели толстой пластины. В результате получилось к.п.д. / =0.7 и диаметр пятна нагрева Й?Л=3 см. Отметим, что именно этот вариант был использован для демонстрации методики решения задачи в параграфе 5.1. С другой стороны, до разработки и реализации трехмерного алгоритма в практических расчетах [3] использовалась модель тонкой пластины, на основе которой были получены соответствующие экспериментам результаты. Это стало возможным после соответствующей настройки параметров упрощенной модели. Однако в упрощенной модели нет параметра, который характеризует реальное распределение нагрева по толщине пластины. В связи с этим при настройке приходится считать толщину пластины варьируемым параметром в диапазоне до наплавки и после (в нашем случае такой диапазон составляет от 0.6 до 1 см). Если для модели тонкой пластины взять /=0.7 см а диаметр пятна нагрева dn =2.5 см, то результаты не будут противоречить экспериментальным данным. Изотермы температуры для настроенных таким образом моделей тонкой и толстой пла стины показаны нарис. 5.5 и рис. 5.6 соответственно. Естественно, что полного совпадения результатов не наблюдается. S — ш Использование модели пластины конечной толщины имеет ряд преимуществ, которые связаны с детализацией распределения температуры по объему пластины. Действительно, по сравнению с моделью тонкой пластины, температура меняется с изменением координаты z, что более адекватно действительности. Иллюстрацию этого дает рис. 5.7, на котором показаны изотермы на нижней поверхности пластины и в двух сечениях по толщине, плоскости которых перпендикулярны друг другу. Сравнение рис, 5.6 с рис. 5.7а) показывают, что поля температуры на верхней и нижней поверхностях пластины сильно отличаются друг от друга. В частности, максимальная температура на верхней поверхности превосходит 2500 С, в то время как на нижней поверхности она существенно ниже. При этом формы изотерм в сечениях по толщине выглядят вполне реалистично.
