Введение к работе
Актуальность темы.
Возникновение математической теории устойчивости движения обязано ениальному русскому математику и механику Александру Михайловичу Л я-іунову. Ее основы были разработаны менее 100 лет назад, когда было опубл и-:овано знаменитое сочинение А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости івижения». Идеи Ляпунова были развиты и углублены в работах Н.Г.Четаева, }.М.Матросова, В.И.Зубова и др. В настоящее время теория устойчивости по Іяпунову является общепризнанной и находит широкое применение в задачах іеханики.
Наряду с этим за последние 40 лет интенсивное развитие получила задача іб устойчивости движения по части переменных. Такая задача естественным ібразом возникает прежде всего в прикладных проблемах, когда, исходя из ребований нормального функционирования объекта, достаточно обеспечить го устойчивость лишь по части переменных. Перечислим некоторые из этих [роблем: устойчивость по отношению к углу нутации вращающегося снаряда, ідноосная стабилизация спутника, устойчивость голономных систем с цикл и-[ескими координатами и, в частности, систем с вращающимися массами (рот о-іами, твердых тел с упругими частями и полостями, содержащими жидкость), іеголономньїх систем. Постановка задачи об устойчивости движения относ и-ельно части переменных также принадлежит А.М.Ляпунову. В настоящее вре-ія теория устойчивости движения по части переменных развивается такими чеными как Румянцев В.В., Озиранер А.С. и др.
В механических системах, движение которых могут быть описаны ура в-іениями Лагранжа и Гамильтона, наиболее часто в качестве функции Ляпунова ыбирается полная энергия системы или первый интеграл системы. Однако, юстроенная таким образом функция Ляпунова, не всегда удовлетворяет уел о-;иям теорем прямого метода Ляпунова. Вопрос построения вспомогательных зункций является весьма трудной проблемой.
Возникает идея использовать для изучения движения механических си с-ем, устойчивости их положения равновесия другие методы. В частности, м е-од классификации совокупности Н дифференциальных уравнений по качест-іенньш и асимптотическим свойствам. Как и в любой классификации, понятие ітношения эквивалентности дифференциальных уравнений играет важную юль. Оно порождает важное понятие инварианта как отображения рассматр и-іаемой совокупности Н дифференциальных уравнений в другую совокупность 4 математических объектов, постоянного на классах эквивалентности. Если о т-гашение эквивалентности связано с асимптотическими свойствами решений, то іно часто называется асимптотической эквивалентностью.
Допустим, на множестве 2 введено отношение эквивалентности, тогда іюбая теорема об эквивалентности уравнений индуцируется группой или пол у-руппой с единицей (G, S). Исследуемому уравнению в соответствующем кла с-се эквивалентности ищется уравнение, асимптотическое поведение решений
которого хорошо изучено. Отсюда получаются асимптотические формулы для решений рассматриваемого уравнения.
Асимптотическое интегрирование возмущенных дифференциальных уравнений на основе различных классификаций имеет свою историю, восходящую к классикам А.М.Ляпунову, А.Пуанкаре, И.Г.Петровскому и другим, а в настоящее время этот метод эффективно разрабатывается Е.В.Воскресенским и его учениками.
Цель работы.
1. Получение новых теорем об асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.
-
Получение теорем об асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением по части компонент.
-
Применение полученных теорем в задачах небесной механики с целью изучения движения планет и спутников при стремлении времени к бесконечности.
-
Получение теорем об устойчивости положения равновесия относительно обобщенных скоростей механических систем с линейным первым приближением.
-
Получение теорем об устойчивости положения равновесия относительно обобщенных скоростей механических систем с нелинейным первым приближением.
-
Применение полученных теорем к задаче обращения теоремы Лагран-жа-Дирихле.
-
Получение теорем об устойчивости положения равновесия механических систем путем одновременного использования функций Ляпунова и асимптотических методов.
-
Получение теорем об управляемости механических систем с нелинейным первым приближением по некоторым компонентам за конечное время.
Общая методика исследования основана на применении теорем об асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений, принципе Шаудера-Тихонова, асимптотических методах сравнения.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.
-
Получены достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.
-
Получены достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением по части компонент.
-
На примере возмущенной задачи двух тел показано применение полученных теорем об асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.
-
Получены достаточные условия устойчивости относительно обобще н-:ых скоростей положения равновесия механических систем с линейным пе р-ым приближением.
-
Получены достаточные условия устойчивости относительно обобще н-:ых скоростей положения равновесия механических систем с нелинейным іервьш приближением.
6. Предложен метод решения задачи обращения теоремы Лагранжа-
(ирихле.
-
Получены теоремы об устойчивости положения равновесия механич е-ких систем путем одновременного использования функций Ляпунова и аси м-тотических методов.
-
Получены достаточные условия управляемости по обобщенным скор о-тям механических систем с нелинейным первым приближением за конечное ремя.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический и пр и-ладной характер, полученные результаты применяются в конкретных областях іеханики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались а научном семинаре Средневолжского математического общества под руков о-ством профессора Е.В.Воскресенского (Саранск 1995, 1996, 1997, 1998 гг.), на )гаревских чтениях (Мордовский госуниверситет, Саранск 1995, 1996, 1997 г.), на конференции молодых ученых (Саранск 1996, 1997, 1998 гг.), на Me ж-ународных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» Саранск 1994, 1996,1998 гг.), на VII Четаевской конференции «Аналитическая іеханика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997 г.).
Публикации. Основные результаты работы отражены в двенадцати пу б-икациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех пав, разбитых на параграфы, списка обозначений и библиографического сп и-ка. Общий объем диссертации 110 страниц. Библиографический список с о-ержит 93 наименования.
Похожие диссертации на Асимптотические свойства решений и управляемость механических систем
