Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О стабилизации движений стационарной управля емой системы 14
1. Постановка задачи о стабилизации. Управляемость линейной системы в задаче о стабилизации 14
2. Об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы 25
3. О стабилизируемости и управляемости нелинейной управляемой системы 34
Глава II. О стабилизации движений нестационарной управляемой системы 40
1. Постановка задачи. Основные предположения и построения. Теоремы о стабилизации невозмущенного движения 40
2. Об оптимальной стабилизации неустановившегося движения 50
3. Различные задачи о стабилизируемости и управляемостинестационарной системы 55
Глава III. Об управляемости и стабилизируемости в некоторых основных модельных задачах 63
1. Некоторые задачи о стабилизации управляемого движения 63
2. О стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в нелинейной постановке 74
3. Об управлении движением твердого тела с неподвижной точкой 76
Заключение 88
Литература
- Об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы
- О стабилизируемости и управляемости нелинейной управляемой системы
- Об оптимальной стабилизации неустановившегося движения
- О стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в нелинейной постановке
Введение к работе
В соответствии с бурным развитием науки и техники в середине прошлого века внимание многих ученых привлекла теория управляемых систем. Существенное место в этой теории занимают задачи об управляемости и стабилизируемости объектов, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Круг задач о стабилизируемости впервые наиболее полно был определен в работах A.M. Летова [85, 86, 87], поставившего задачу об аналитическом конструировании регуляторов. Эффективным методом исследования таких задач явился метод функций — функций Ляпунова, основанный в трудах великого русского математика A.M. Ляпунова [92], а затем многосторонне развитый в работах Н.Г. Че-таева [127,128], Н.Н. Красовского [73, 76], В.В. Румянцева [ПО, 111] и многих других известных русских ученых [18, 19, 35, 42].
Ограниченность природных и материальных ресурсов вызывала и вызывает большое внимание к исследованию экстремальных задач. Соответственно этому большое место в теории управляемых систем занимает теория оптимальных процессов. В общей теории стабилизации движений важным является не только построение стабилизирующего управляющего воздействия, но и выбор среди класса таких управлений наилучшего в соответствии с минимизацией затрат на управление и с заданным качеством переходного процесса. Наиболее полная постановка таких задач и основные методы ее решения были даны в работах Н.Н. Красовского и его школы в 50-70-е годы XX века [72, 78, 79].
Целью любой системы управления является реализация заданного состояния, движения или процесса объекта управления. Соответственно первоочередной задачей анализа любой соответствую-
щей модели такой системы является задача об управляемости. Если для линейной модели эта проблема является достаточно изученной [22, 51, 126], то для нелинейной системы она недостаточно исследована.
Дальнейшее усложнение моделируемых объектов приводит к необходимости искать новые методы анализа управляемости и стабилизируемое для построенной математической модели его системы управления с учетом нелинейности, нестационарности и много-связности объектов управления. Поэтому разработка таких методов остается актуальной и в настоящее время.
Практически невозможно осветить все направления исследований по стабилизируемости и управляемости объектов, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Ниже приводится небольшой их обзор, в достаточной степени затрагивающий круг решаемых в диссертации задач.
Как указано выше, проблема аналитического конструирования регуляторов, поставленная A.M. Летовым [85, 86, 87], была развита Н.Н. Красовским и его школой в теорию оптимальной стабилизации управляемых движений [77]-[79], тесно смыкающей с теорией устойчивости.
Среди задач о стабилизируемости наиболее полно исследована задача о существовании стабилизирующего управления для систем, моделируемых линейными уравнениями. При этом выяснилась существенная роль условий управляемости линейных систем [59, 138]. Показано, что если существует стабилизирующее воздействие, то задача об оптимальной стабилизации таких систем разрешима. В соответствии с теорией устойчивости по первому приближению развита теория стабилизации по первому приближению установившихся движений, выделены критические случаи стабилизации и указаны
способы построения стабилизирующих воздействий в критических случаях. Эти и иные результаты работ [2, 29, 30], а также других работ подробно освещены в обзоре [78], приведены в [77, 124], включены во многие учебники (например, [1, 16, 43, 44, 108, 125] и другие), широко используются при моделировании и расчетах систем управления [3, 25, 70, 69, 71, 101, 122] и др.
Решение задачи об оптимальной стабилизации движения нелинейной системы имеет определенные сложности, связанные с решением уравнения в частных производных типа Беллмана [22, 23]. Помимо рассмотрения линейного приближения, упомянутого выше, предлагались также другие способы решения такого уравнения: для нелинейных систем при малых возмущениях по степеням этих возмущений [43, 44], квазиоптимальной стабилизации для систем с нелинейностью, зависящей от малого параметра [16, 52].
Широкое применение получил предложенный В.В. Румянцевым полуобратный метод [112], состоящий в определении части подынтегральной функции минимизируемого функционала по известной оптимальной функции Ляпунова, являющейся устойчивой функцией Ляпунова для системы без управления. Этот метод с успехом использован в решении ряда прикладных задач (см. например, [70, 82]).
Как известно, работа В.В. Румянцева [НО] явилась основанием для развития нового направления в теории устойчивости движения - устойчивости относительно части переменных. Многочисленные исследования в силу их прикладной значимости были посвящены задаче о стабилизации и об оптимальной стабилизации движения по части переменных. Подробно об этом изложено в монографиях [27, 115], решение интересных задач можно найти в [24, 27, 100, 115].
Как развитие полуобратного метода в работах [7, 141] дана по-
становка задачи о стабилизации невозмущенного движения с гарантированной оценкой качества управления и ее решения на основе функции Ляпунова.
Большой раздел в теории управляемых систем занимают задачи об управляемости и стабилизируемости движений управляемых механических систем [48]-[49], [75, 91, 112, ИЗ, 120] и другие, исследуемые на основе анализа их линейных моделей. Исследована задача о влиянии гироскопических сил и сил сопротивления на ста-билизируемость положения равновесия механической системы [75], стабилизация при диссипативных силах [29, 30], влияние наложения неголономной связи на стабилизируемость положения равновесия консервативной системы [77]. В работе [113] исследована задача о стабилизации стационарного движения механической системы с циклическими координатами по позиционным координатам и импульсам при помощи управляющих сил, приложенных по циклическим координатам. Ее изучение продолжено в работах [15], [48]-[49], [91, 120]. В них сформулирован ряд эффективных критериев управляемости и стабилизируемости установившихся движений голоном-ных и неголономных механических систем.
Из работ, посвященных задачам управления других классов моделей, выделяются работы, посвященные построению программных движений на заданных многообразиях с условиями их устойчивости и стабилизируемости [98, 99]. В работах [33, 41] выведены условия управляемости и стабилизируемости программных движений механических и электромеханических обратимых систем. В работе [121] получены стабилизирующие управления для программных движений лагранжевых систем. Методы решения этих задач можно отнести к полуобратным, когда модель управления создается на основе известной функции Ляпунова.
Из общих исследований по применению функций Ляпунова в нелинейных системах управления выделим работы [46], [62]-[66], [102, 103]. В работах [46, 64, 65, 66, 102, 103] применялись теоремы типа классических теорем. В работах [62, 63] представлен алгоритм построения сложной функции Ляпунова по склеиваемым областям притяжения.
Среди других направлений в теории управляемых систем, несвязанных с этим методом, отметим исследования модельных задач управления с неполной обратной связью [38, 39, 40].
Развитие метода функций Ляпунова для задач устойчивости естественным образом расширяет границы его применимости для задачи о стабилизируемости и управляемости. В частности, развитие прямого метода Ляпунова исследования асимптотической устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы на основе знако-определенной функции Ляпунова со знакопостоянной производной [4, 5] позволило решить ряд задач об устойчивости и стабилизации нестационарных механических систем [7, 129, 135].
Основным средством исследований, проводимых в диссертации, является применение знакопостоянных функций Ляпунова. Его использование в задачах устойчивости обосновано сравнительно недавно.
В работах [26, 31,119] выведены методы исследования устойчивости невозмущенного движения динамической системы на основе знакопостоянных функций Ляпунова. Эти результаты обобщены для неавтономной системы в работах [50, 67, 68], а в наиболее полной форме — в работах [9, 14].
Исследования по применению знакопостоянных функций Ляпунова в задачах построения оптимальных систем управления до настоящего времени практически не проводились, такие источники в
литературе отсутствуют. Однако, как показано в первом параграфе первой главы диссертации, задача об оптимальной стабилизации в простой модели математического маятника приводится к нахождению неотрицательной оптимальной функции Ляпунова. Целью диссертационной работы является:
Обоснование новых способов решения ряда модельных задач об управляемости и стабилизируемости движений.
Разработка новых общих алгоритмов решения задач об управляемости и стабилизируемости.
В первой главе диссертации обосновываются новые методы решения задач об управлении системы, моделируемой автономными дифференциальными уравнениями.
В первом параграфе вначале приводится постановка задачи об оптимальной стабилизации движения управляемой системы и ее решение на основе знакоопределенной функции Ляпунова в соответствии с широко известной работой Н.Н. Красовского [77]. В ней, в частности, показано, что для линейной управляемой системы х — Ах + Ви управляемость пары матриц (А, В) необходима и достаточна в решении задачи об оптимальной стабилизации ее невозмущенного движения х = 0, в случае когда подынтегральная функция минимизируемого функционала является определенно-положительной по ж и по и. При этом, оптимальная функция Ляпунова является положительно-определенной квадратичной формой.
В 1 указывается, что для неполностью управляемой линейной системы со специальной формой минимизируемого функционала оптимальное стабилизирующее воздействие может существовать, при этом оптимальная функция Ляпунова оказывается лишь постоянно-положительной. Такое свойство демонстрируется на примере стабилизации в простой модели математического маятника. Тем са-
мым, обосновывается необходимость развития методов исследования задач об управлении в направлении применения знакопостоянных функций Ляпунова.
В 2 доказаны теоремы об оптимальной и глобальной оптимальной стабилизации невозмущенного движения нелинейной управляемой системы с постоянно-положительной оптимальной функцией Ляпунова. Дано решение задачи об оптимальной стабилизации неустойчивого положения равновесия маятника в линейной постановке из [77]. Обсуждается вопрос о необходимых и достаточных условиях оптимальной стабилизации при нарушении основных предположений доказанных теорем.
В 3 дается развитие результатов из 2 для решения задач о стабилизируемости и управляемости движения нелинейной управляемой системы. Даны новые решения этих задач, основанные на применении знакопостоянных функций Ляпунова. В качестве иллюстрирующего примера общих теорем решается задача (в различной нелинейной постановке) о глобальной управляемости математическим маятником для нелинейной модели с управляющим моментом, приложенным в точке подвеса.
Полученные в первой главе диссертации результаты развивают некоторые общие способы решения задач о стабилизации и управлении, обоснованные в работах [24, 61], [77]-[79], [90].
Во второй главе диссертации дается решение задачи о стабилизируемости, в том числе оптимальной, и управляемости нестационарной управляемой модели с использованием знакопостоянных функций Ляпунова. Такое решение возможно на основе предельных уравнений и предельных функций Ляпунова, применение которых в теории устойчивости в наиболее полной форме дано в работах [4, 5, 6, 8, 14].
В 1 приводятся необходимые построения в форме определений предельного уравнения, свойства квазиинвариантности положительного предельного множества движения, предельной функции Ляпунова, устойчивости невозмущенного движения относительно заданного множества. Эти построения в соответствии с [8, 14] позволяют вывести форму достаточных условий стабилизируемости невозмущенного движения нестационарной управляемой системы, непосредственным образом развивающую как классические теоремы из [77], так и результаты из [7] с использованием знакоопределенной функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную.
В 2 доказываются теоремы об оптимальной стабилизации, в которых оптимальной функцией Ляпунова служит постоянно-положительная функция Ляпунова. Доказанные теоремы развивают и обобщают ряд известных результатов [7, 83, 77].
В 3 решается задача о стабилизации невозмущенного движения в модели с ограничением на управление. Выводятся достаточные условия управляемости нелинейной нестационарной системы. Эффективность доказанных теорем показана на примере решения задачи об управлении колебаниями математического маятника. Эта задача является распространенной моделью многих управляемых процессов.
В третьей главе диссертации показано применение общих методов исследования из глав I и II в решении некоторых модельных задач об управлении.
В 1 рассматривается задача о стабилизации нелинейной управляемой системы с гарантированной оценкой качества управления. Определение такой стабилизации, введенное в работе [7], является развитием постановки полуобратной модели об оптимальной стабилизации из [112]. Доказывается соответствующая теорема о стабили-
зации невозмущенного движения с гарантированной оценкой качества управления в виде неотрицательной функции. Доказана теорема об оптимальной стабилизации в постановке В.В. Румянцева [112], в том числе, в предположении, что относительно управляющего воздействия введены ограничения на его величину.
В 2 рассматривается задача о стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в предположении, что управляющий момент вырабатывается исполнительным механизмом, являющимся интегрирующим звеном, под действием управления и. Такая задача является классической моделью [77], на основе которой иллюстрируется эффективность выводимых методов стабилизации (см. например, [17, 28, 101]). Дан алгоритм аналитического решения этой задачи в нелинейной постановке при условии минимума функционала, в достаточной степени характеризующего потери системы на стабилизирующее управление.
В 3 показана эффективность разработанных общих методов исследования задач о стабилизации из глав I и II в решении различных задач о стабилизации вращательных движений твердого тела вокруг неподвижной точки. Решены задачи: о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления произвольного нестационарного вращения тела; об оптимальной стабилизации нестационарного вращательного движения тела вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции; о стабилизируемости неустойчивого стационарного движения тела вокруг средней его оси инерции.
В заключении диссертации излагаются ее основные результаты, дается краткий сравнительный анализ с имевшимися ранее результатами по исследуемым задачам, указываются возможные их применения к другим задачам.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка
литературы из 142 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.
Основные результаты диссертационной работы изложены в пяти
статьях [10, 13, 53, 57, 58] и в шести тезисах докладов [11, 12, 21, 54,
55, 56].
В работах [10]-[13], [53]-[55] постановка задачи дана научным руководителем, все результаты получены диссертантом самостоятель-но. Полученные автором результаты применялись также в решении задач о стабилизации движений некоторых механических систем [36, 37].
Отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
на VIII Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Июль 2002, г. Казань. Россия;
на Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных
# систем и процессов". Июнь 2003, УлГУ, г. Ульяновск. Россия;
на Юбилейной конференции "Классические задачи динамики твердого тела посвященной 80-летию со дня рождения Павла Васильевича Харламова. Июль 2004, г. Донецк, Украина.
на VIII Международном семинаре по устойчивости и колебаниям систем управления. Памями Е.С. Пятницкого. Июнь 2004. г. Москва.
на Международной конференции "Моделирование динамических систем и исследование устойчивости". Май 2005. Киев. Украина.
ф - на X-XIV ежегодной научно-практической конференции сту-
дентов и аспирантов Ульяновского государственного университета,
*
2001-2005 гг. УлГУ, г. Ульяновск;
на семинарах кафедры механики и теории управления Ульяновского государственного университета, 2000-2005 гг. УлГУ, г. Ульяновск.
на VI Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". Октябрь 2005г., УлГУ, Ульяновск.
Автор выражает благодарность научному руководителю проф. А.С. Андрееву за постановку задач и внимание к работе, сотрудникам кафедры механики и теории управления Ульяновского государственного университета за полезные обсуждения и замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №02-01-00877, №05-01-00765), программы "Университеты России"(проекты УР.04.01.004 и УР.04.01.053) и программы "Государственная поддержка ведущих научных школ"(проект НШ-6667.2006.1.).
Об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы
Об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы Пусть движение управляемой системы описывается уравнениями 1 = Х(х,и), Х(0,0) = 0, (2.1) где х Є Rn - n-мерный фазовый вектор, и Є Rm - т— мерный вектор управления, X : Rn х Rm -» Rn - непрерывная вектор-функция. Система (2.1) при и = 0 имеет решение x(t, 0) = 0, отвечающее невозмущенному движению системы.
Допустим, что для некоторого класса U управляющих воздей ствий и = и(х), определенных и непрерывных в области Rn, удовлетворяющих условию и(0) — 0, правая часть системы (2.1) I удовлетворяет условиям существования и единственности решений х — x(t,xo), ж(0,XQ) — XQ. # Рассмотрим задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (2.1) в классе управлений U с минимизируемым функционалом оо I(u)= W{x,u)dt, (2.2) о где W : Rn х Rm ч- R+ есть непрерывная функция, W(0,0) = 0. Введем выражение 8V Яр/ х, и] = — Х{х, и) + W{x, и) (2.3) и следующие определения.
Определение 2.1. Невозмущенное движение х — 0 устойчиво относительно множества М, если для любого числа є О существует число S — 5(e) О, такое, что для каждого XQ Є {\\х\\ 6} f)M движение х = х{Ь,хо) удовлетворяет условию ж(, жо) є при всех t 0.
Определение 2.2. Невозмущенное движение х = 0 асимптотически устойчиво относительно множества М, если оно устойчиво и существует число Еі Яі, такое, что для каждого хо {ж 2}П- движение а; — ж(, жо) неограниченно приближается К X = 0 При І -) +СО, Т.Є. ЄСЛИ XQ Є {\\х\\ ІІ2}[)М, тогда lim x(t,xo) = 0. t-+O0 Теорема 2.1. Предположим, что существуют функция V(x) и управляющее воздействие u = uQ{x)) и Є U, такие, что: 1) для всех ЖЄСІ = {:Е ЯІ 0} выполняются соотношения 7(ж) 0, B[V,x,u(x)] = 0; 2) для любого и — и{х) и Є U, в области Go справедливо нера венство Яр/,ж,и(ж)] 0; 3) множество {V{x) 0} П {W\x) = 0} (W(x) = W(x,u(x))) не содержит движений системы при и — и(х); 4) невозмущенное движение х — 0 системы (2.1) при и = и(х) асимптотически устойчиво относительно множества {V(x) = 0}.
Тогда управляющее воздействие и0 (ж) решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (2.1).
Доказательство. Из условий 3) и 4) теоремы следует, что невозмущенное движение х — 0 системы (2.1) при и — и(х) асимптотически устойчиво [24] с некоторой областью притяжения Го. При этом из условия 1) теоремы следует, что для каждого возмущенного движения х = x(t,xo) при и = и(х) с начальной точкой XQ Є ГО имеет место соотношение . ІшиЛш.Ш - I dV№ dt = u=u[t] 1{ии)= Ш(і,хи[і],иЩ(ІЇ dt о о = -(lim V\t]-V(x0)) = V(xQ). -)-+00 Для любого другого управляющего воздействия и — и1{х), и1 Є U, обеспечивающего стабилизацию х — 0 из условия 2) теоремы будем иметь 00 00 1{иг) = / И УИУйЭ - I dV[t] dt V(x0). и=и1Щ J dt о о Тем самым теорема доказана. Полученный результат несложно распространить и для задачи с областью притяжения Rn.
О стабилизируемости и управляемости нелинейной управляемой системы
Рассмотрим управляемую систему, движение которой описывается уравнениями х = Х(х,и), Х(0,0) = 0, (3.1) где х Є Rn с нормой я; = (х\ + ... + xfy1!2 есть фазовый вектор, и Є Rm с нормой и = [и\ + ... + т)1//2 есть управляющее воздействие, X - вектор-функция, определенная и непрерывная по (х,и) Є G х Rm, G = {х Є Rn : ж Я, 0 Я +оо}, и такая, что для некоторого класса U непрерывых управляющих воздействий и : G — Дт, и(0) = 0, решения системы (3.1) х = x(t, XQ) определены и единственны для каждого XQ Є G. Следуя [77], введем следующее определение. Определение 3.1. Система (3.1) называется стабилизируемой в. целом (в области G)) если существует управляющее воздействие и Є U, такое, что невозмущенное движение системы (3.1) х = 0 асимптотически устойчиво, при этом область его притяжения совпадает с областью G. Для и0 Є U введем в рассмотрение систему х = Х(х), Х{х)=Х(х,и(х)). (3.2)
Использование знакопостоянной функции V = V(x), V Є С1, может следующим образом решить задачу о стабилизируемости в целом. Теорема 3.1. Предположим, что для системы (3.1) можно найти управляющее воздействие vr Є U и функцию V{x) 0, У(0) = 0, удовлетворяющие условиям: 1) движения системы (3.1) при и = и(х), т.е. системы (3.2), из любой области GQ = {х : ж HQ Я} (Щ есть любое число, меньшее Я) ограничены некоторой областью Gi = {ж Нг Я}; 2) производная функции V(x) в силу системы (3.2) удовлетво ряет условию ) = УМ) о; і=1 ах 3) множество {У(ж) 0} P {V(X) = 0} не содержит движений системы (3.2); 4) невозмущенное движение х = 0 системы (3.2) асимптотически устойчиво относительно множества № = {V(x) — 0}, при этом область № f]G является заведомо областью притяжения х = 0. Тогда управляющее воздействие и0 (ж) решает задачу о стабилизации невозмущенного движения системы (3.1) х = 0 в целом (в области G). Доказательство. Покажем, что каждое движение системы (3.2) х = x(t,xo), хо Є G, x(t, XQ) -» 0 при it - -boo.
Из условия 1) теоремы имеем, что положительное предельное множество UJ+{XQ) каждого движения х = x(t,xo) содержится в области G\ С G, UJ+(XQ) CG\CG. ИЗ условия 2) теоремы следует, что о;+(жо) С №. Допустим, что x(t,xo) -ft 0 при t -) +оо, так, что существуют последовательность tk — +оо и точка р Є U+(XQ), такие, что lirn x(tk,x0) =р 0. (3.3) к -»оо Из устойчивости ж = 0 следует, что существует ( 0) такое, что для всех t О Ht,x0)\\ 5Q. (3.4) Из свойства ш+(хо) С G\ и о;+(жо) С №, следует, что pe cG N0. Из условия 4) и непрерывной зависимости решений от начальных условий для числа д\ — 8Q/2 0 найдется момент Т = T(5I,KQ) 0, такой, что для всех ж0 KQ И всех t Т будет выполняться неравенство и / \ и "О І№%) Y
Но из допущения (3.3) и его следствия (3.4), из свойства инвариантности LJ+(XQ), находим, что движение х = x(t,p) для всех t О должно удовлетворятьнеравенству ж(,р) 8Q. Что и доказывает теорему.
Как следствие имеем следующий результат об оптимальной стабилизации невозмущенного движения х — 0 системы (3.1) с минимизируемым функционалом (2.2). Теорема 3.2. Предположим, что для системы (3.1) можно найти управляющее воздействие и0 Є U и функцию V — V(x) О, (0) 0) удовлетворяющие условиям теоремы 3.1 и такие, что в дополнение имеем: 5) B[V{x),x,u{x)} = 0 в области G\ 6) для каждого управляющего воздействия и Є U, решающего задачу о стабилизации ж = 0 в целом, выполняется неравенство B[V(x),x,u(x)] 0.
Тогда управляющее воздействие и(х) решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (3.1) в целом, при этом для каждого XQ Є G значение V(XQ) является минимумом функционала (2.2) на движении х = ж(), ж(0) = XQ, отвечающем управлению и(ж), по сравнению с любыми другими движениями х — x(t), ж(0) = жо, с управлениями и Є U, такими, что x{t) - 0 при t —У +оо.
В соответствии с [22, 62, 108] можно ввести следующее определение.
Пусть U - класс непрерывных управляющих воздействий, определенных на промежутке [0,Т] при произвольном Т 0.
Определение 3.2. Система (3.1) называется нуль-управляемой в целом (в области G), если для любой точки XQ Є G и любого Т 0 существует управляющее воздействие и = u{t), при котором движение х — x (t), начинающееся в точке хо Є G, х (0) = XQ Є G, достигает точки х = 0 за конечный промежуток [0,Г], х(Т) = 0.
Задача о нуль-управляемости системы (3.1) может быть сведена к задачам об управляемости ее линейного приближения и стабилизируемое невозмущенного движения х — 0 [90].
Об оптимальной стабилизации неустановившегося движения
Невозмущенное движение х = 0 системы (1.4) равномерно асимптотически устойчиво относительно семейства {(X , W ), V 1 ,0)}, если также числа А 0 и Т = Т{е) 0 в определении 1.4 не зависят от выбора (X ,W ).
В дальнейшем также обозначим через h = h(и) функцию типа Хана [115], т.е. непрерывную, строго монотонно возрастающую функцию R+ - - R+ со значением /г(0) = 0.
Непосредственно из теорем об асимптотической устойчивости на основе знакопостоянных функций Ляпунова из [8] имеем следующие теоремы о стабилизации невозмущенного движения управляемой системы (1.1).
Теорема 1.2. Предположим, что в некоторой окрестности х = 0 для системы (1.1) можно найти функцию V = V(t,x) 0, V(t, 0) = 0, и управляющее воздействие и0 Є U такие, что:
1. производная функции V в силу системы (1.4) V{t,x) -W{t,x) 0;
2. невозмущенное движение х = 0 равномерно асимптотически устойчиво относительно семейства {(X )W ),V l(t,0)};
3. для каждой предельной пары (X ,W ) и каждого CQ 0 множество V 1 , со) П {W (t,x) = 0} содержит только те решения системы, которые одновременно содержатся во множестве v-\t,o)n{w%x) = o}.
Тогда управляющее воздействие и = u(t,x) решает задачу о стабилизации невозмущенного движения х = 0 системы (1.1). Замечание 1.2. Из условий теоремы в общем случае не следует, что вдоль управляемого движения х = x(t;to,xo) системы (1.4) из области притяжения функция V[t] = V(t,x(t;to,xo)) -» 0 при t - +00. Теорема 1.3. Предположим, что при условиях 1) и 2) теоремы 1.2 функция V(t,x) допускает бесконечно малый высший предел, V(t,x) h{\\x\\) V (t, ж) Є R+ x Г, а также:
3) существует хотя бы одна предельная пара (XQ, W0 ), для которой множество {V l(t,c) ; с = CQ = const 0} П {W (t,x) = 0} не содержит решений системы х — X(t,x).
Тогда управляющее воздействие и = u(t,x) решает задачу о стабилизации невозмущенного движения х — 0 системы (1.1), при этом оно является асимптотически устойчивым равномерно по XQ . Теорема 1.4. Предположим, что при условиях 1) и 2) теоремы 1.2 функция V(t, х) допускает бесконечно малый высший предел, V(t,x) h(\\x\\) V(t,ж) Є R+ х Г, а также:
3) для каждой предельной пары (XQ,W0 ) множество {V l(t,c) : с = с0 = const 0} П {W (t,x) = 0} не содержит решений системы X XQ (І, х).
Тогда под действием управляющего воздействия и = u(t,x) невозмущенное движение х — 0 системы (1.1) равномерно асимптотически устойчиво.
Замечание 1.3. Из условий теорем 1.3 и 1.4 следует, что вдоль каждого управляемого движения х — (t;to, XQ) системы (1.4) из области притяжения функция V[t) = V(t, x{b\t XQ)) —У 0 при t - +00.
Несколько сложными выглядят условия 2) и 3) теорем 1.2-1.4. Но как указано в [8], при решении ряда задач они могут являться следствием аналогичных условий для исходной системы (1.4). Определение 1.6. Невозмущенное движение х = 0 системы (1.4) равномерно устойчиво относительно множества {V(x) = 0}, если (Ує 0) (35 = 5{є) 0) {\/xQe{\\x\\ 5}n{V{x) = 0}) (Vt t0) \\x(t]t xo)\\ є.
Невозмущенное движение х = 0 системы (1.4) равномерно асимптотически устойчиво относительно множества {V(x) = 0} если оно равномерно устойчиво, а также (ЗА 0)(\/є 0)(ЗТ = Т(є) 0) (Уж0 Є {И А} П {V{x) = 0}) (Vt0 Є R+) (Vt t0 + Г) ж (;о,жо) є.
Замечание 1.4. Пусть функция У зависит явно только от х) V = V(x). Можно показать, что если невозмущенное движение х = 0 системы (1.4) равномерно асимптотически устойчиво относительно множества {V(х) = 0}, то выполняется условие 2) теорем 1.2-1.4. Из условий теорем 1.3 и 1.4 следует, что вдоль каждого управляемого движения х = ж(;о,о) системы (1.4) V(x(t] t0, XQ)) Ч- 0 при -)-00.
Определение 1.7. Невозмущенное движение х = 0 системы (1.4) равномерно устойчиво относительно множества {V(t,x) — 0}, если (Ve 0) (3ft - 5г{є) 0, 52 = 52(є) 0) (Vt0 Є Я+) (Vzo Є {N У П {У( 0,я) W) (V t0) а:( ; о,жо) є.
Невозмущенное движение х = 0 системы (1.4) равномерно асимптотически устойчиво относительно множества {V(t, х) = 0} если оно равномерно устойчиво, а также (ЗДі, А2 0) (Ve 0) (ЗТ = Т{є) 0) (Vt0 Є R+) {Ух0 Є {ж А2} П {V[t0ix) Ді}) (V to + T) аг( ; о, ж0)- є.
Замечание 1.5. Условие 2) теорем 1.2-1.4 можно заменить условием, чтобы невозмущенное движение х = 0 системы (1.4) было равномерно асимптотически устойчиво относительно множества {V(t,x) = 0}.
О стабилизации неустойчивого положения равновесия математического маятника в нелинейной постановке
Рассмотрим несколько различных задач о стабилизации вращательных движений твердого тела с закрепленной точкой О под действием управляющего момента. Задача 1. О стабилизации нестационарного вращательного движения. Уравнения движения тела могут быть записаны в виде 1ш = А{ш)ш + М, (3.1) где / - тензор инерции тела относительно системы координат Oxyz, неизменно связанной с телом, ш = (р, q, г) - вектор угловой скорости тела в проекциях на оси Oxyz, М - управляющий момент, матрица А{и) есть / 0 -Gz Gy \ А{ш)= Gz 0 -Gx , \ Gy Gx 0 у где G = lev. Допустим, что под действием некоторого момента MQ{) тело совершает нестационарное вращательное движение WQ(), /w0M = A(uoM)wD(t) + M0(t). Рассмотрим задачу о стабилизации движения ш — uio(t), wo (і) ш — const 0, стабилизирующим моментом в следующей постановке.
Положим х = u) — u)o(t), М — Mo(t) + S(t)u, где и = (иі,іі2,щ)-стабилизирующее управляющее воздействие, S(t)- некоторая ограниченная матрица, определяемая струкктурой обратной связи в управлении. Из (3.1) находим, что уравнения возмущенного движения тела будут иметь вид иХ I— = A{co0{t))x + А(х)ш0(і) + А(х)х + S(t)u. (3.2)
Поставим задачу определения управляющего воздействия и, так, чтобы достигалась стабилизация состояния х — 0 с оценкой качества управления +00 J = / (F(t, х) + u R(t)u)dt, (3.3) к где F(t, х) - неотрицательная функция, R{t) - ограниченная положительно определенная матрица. Выражение Беллмана ОТ/ ЛТ/ B[V, t,x,u] = — + —Г\А{и0{ф + A{x)uj0{t) + A{x)x + S(t)u)+ достигает минимума при "0 = -kl5 (S r1) Это управление будет являться оптимальным, если имеет место равенство dV B[V,x,u] = —I-\A{OJO)X + A(X)LOQ + A(x)x)+ + -ш - М=- (3 5)
Примем функцию Ляпунова в виде V x Ix, d-f = x I. 2 ox Тогда оптимальный управляющий момент определится из соотношения (3.4) равенством u {t,x) = -\R-lS x, (3.6) Li а фукцию F(t, х) в подынтегральном выражении найдем из тождества (3.5) в виде F(t, х) = -x SR S x - \х А{х)щ(ї) + \jQ{t)A{x)x) (3.7) 4t Z її где F(t, x) представляет собой некоторую квадратичную форму относительно жі,Ж2,жз- Далее допустим, что надлежащим выбором матрицы S(t) достигается неотрицательность F(t,x), и тем самым представление функционала (3.3) является допустимым. Производная функции V(x) = \х Іх в силу системы (3.2) при и = u(t,x), определяемом равенством (3.6), удовлетворяет соотношению V{t, х) = -\х A(x) (t) + \uj Q{t)A(x)x - \x SR-lS x = = -x B(t)x 0.
Так как все матрицы, зависящие от , и входящие в (3.2), предполагаются ограниченными, уравнения, предельные к (3.2), существуют и имеют аналогичную структуру. Применяя теорему 3 из работы [7], получаем, что если для любой совокупности матриц (u)Q(t),S (t),R (t)), предельной к (u)o(t),S(t),R(t)), множество {B (t)x = 0} не содержит движений соответствующей системы, предельной к (3.2) с (3.7), кроме х — 0, тогда управляющее воздействие (3.6) решает задачу об оптимальной стабилизации движения тела со — wo(t), минимизируя функционал (3.3) с (3.6).
Конкретный пример такого решения будет дан ниже в виде задачи 2. Сохраняя предыдущие предположения, допустим, что на управление и наложено ограничение \\и\\ = [и\ + и\ + uf)^ < 1. Выберем _ J -\R-\t)S\t)x, при \\R-\t)S'(t)x\\ < 2, I -\\RrMs'{t)x\\> при Ил S l -2i Тогда на основании теоремы 2 из [7] имеем следующий результат.
1. Управление (3.8) решает задачу об оптимальной стабилизации состояния х — 0 возмущенной системы (3.2) в подобласти G С ||і?-15"ж|| = ±2 с минимизируемым функционалом (3.3),(3.7).
2. Управление (3.8) решает задачу о стабилизации состояния х = 0 возмущенной системы во всей области ||ж|| < +оо с гарантированной оценкой V = 1/2X'QIXQ качества управления в виде функционала (3.3) с функцией F(t,x), задаваемой соотношением - (І'Х) - \\R-Wx\\ ~ \\R-lSx\\i " 2Ж А(ж)^й + 2W0МЛ(Ж)Ж- Задача 2. О стабилизации нестационарного вращательного движения вокруг оси симметрии. Пусть ОХ, ОУ, 0Z - главные оси инерции твердого тела. При этом ось 0Z - ось симметрии.
