Содержание к диссертации
Введение
1. Основные парадигмы количественного анализа финансового рынка 8
1.1. Развитие и центральные положения гипотезы эффективного рынка 8
1.2. Развитие методов количественного анализа финансовых рынков в рамках гипотезы эффективного рынка 18
1.3. Эмпирическая проверка и критика гипотезы эффективного рынка 26
1.4. Нелинейная парадигма. Применение фрактального анализа и теории хаоса к описанию финансовых рынков 36
2. Количественная оценка риска инвестиционных потерь. показатель Value-at-Risk 45
2.1. Показатель Value-at-Risk: определение, методы расчета, практическое применение 45
2.2. Моделирование условной дисперсии как способ учета изменяющейся волатильности 59
2.3. Тестирование оценок Value-at-Risk 80
3. Прикладные аспекты оценки VaR портфеля финансовых активов 90
3.1. Особенности статистической проверки методологии оценки рисков 90
3.2. Сравнительный анализ подходов к моделированию VaR 104
Заключение 122
Список использованных источников 125
Приложение
- Развитие методов количественного анализа финансовых рынков в рамках гипотезы эффективного рынка
- Нелинейная парадигма. Применение фрактального анализа и теории хаоса к описанию финансовых рынков
- Моделирование условной дисперсии как способ учета изменяющейся волатильности
- Сравнительный анализ подходов к моделированию VaR
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Сегодня всё большую популярность приобретают инвестиции в инструменты, обращающиеся на финансовом рынке. Инвестиционная деятельность предполагает решение различных задач, связанных, в том числе, с портфельным инвестированием. К таким задачам прежде всего относится идентификация параметров финансовых активов, формирование портфеля ценных бумаг, оценка уровня инвестиционного риска, определение наиболее благоприятного периода инвестирования.
Одной из актуальных проблем для финансовых менеджеров является проблема определения параметров портфелей финансовых активов с целью страхования рисков и ведения отчетности в требуемой регулирующими организациями форме. Основным показателем, используемом в задачах количественного анализа возможных потерь и выбора способов их страхования, является показатель «Value-at-Risk» (VaR). Однако на сегодняшний день отсутствует единая точка зрения на методику расчета данного показателя. С этим, в частности, связана популярность темы оценки VaR в научных кругах, и этим объясняется недостаток теоретико-методологаческой литературы, а также той литературы, в которой был бы изложен сравнительный анализ результатов применения различных методик оценки показателя VaR. Поэтому, исследования, ориентированные на совершенствование существующих методик, сегодня являются крайне востребованными.
Степень разработанности проблемы. Комплексный подход к проблеме оценки риска портфеля как финансового инструмента впервые был разработан Г. Марковичем в 1952 году, а затем развит в работах У. Шарпа, Дж. То-бина, Ю. Фама, К Френча, Дж. Моссина и др.
Прогнозирование доходности и риска финансовых активов (к которым относятся как простые финансовые активы акции, облигации, опционы, так и составные — индексы и портфели) является самостоятельной областью изучения в финансовой математике. Значительный вклад в исследование этой области внесли Б. Мандельброт, Ю. Фама, Р. Энгл, Д. Нельсон, Э. Петере, Т. Боллерслев и многие другие.
Отечественная наука начала заниматься проблемами моделирования процессов на финансовых рынках сравнительно недавно. Этим обусловлено небольшое количество фундаментальных исследований и ориентация ученых на анализ применимости уже разработанных методов к российскому финансовому рынку. Тем не менее можно отметить многих российских ученых, занимающихся проблемами прогнозирования и моделирования поведения активов на финансовом рынке - среди них С.А. Анатольев, А.В. Воронцовский, А.П. Горяев, В.В. Давние, Л.В. Канторович, И.С. Меньшиков, Г.И. Симонова, В.Н. Тутубалин, Ю.Н. Тюрин, Д.А. Шелагин, Л.П. Яновский и другие.
В основе разрабатываемой в диссертации методики количественной оценки VaR лежит понимание портфеля как единого актива. Методика предусматривает проведение прогнозных расчетов условной дисперсии временных рядов доходности портфеля. Такая методика ранее не предлагалась.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является развитие методов количественной оценки возможных потерь при инвестировании в портфели ценных бумаг.
Для реализации цели диссертационного исследования поставлены следующие задачи:
- провести критический анализ современных подходов к оценке риска портфельного инвестирования;
- построить эконометрические модели условной дисперсии временных рядов, характеризующих доходность портфелей финансовых активов;
- создать методику количественной оценки VaR на основе прогнозных величин доходности портфелей финансовых активов; - показать преимущества предлагаемой методики оценки показателя VaR перед традиционными (дельта-нормальным и историческим) методами;
- разработать процедуру тестирования для сравнительного анализа методов количественной оценки показателя VaR;
- осуществить верификацию предлагаемых моделей и методик с использованием портфелей со случайно определенной структурой.
Область исследования. Диссертационная работа выполнена в рамках п. 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики ...» паспорта специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики».
Предмет и объект исследования. Предметом исследования являются модели и методики количественной оценки риска потерь при инвестировании в портфели ценных бумаг. Объектом исследования и апробации являются гипотетические портфели ценных бумаг российского фондового рынка и индексы российских торговых площадок.
Теоретико-методологической основой исследования послужили концептуальные положения, выводы и рекомендации, представленные и обоснованные в фундаментальных и прикладных научных исследованиях отечественных и зарубежных ученых в области оценки персистентности временных рядов данных, моделирования и прогнозирования условной дисперсии, количественной оценке потерь по методологии VaR.
Инструментарно-методический аппарат. При разработке математического аппарата в рамках предлагаемого подхода к оценке VaR были использованы: системный подход к процессу моделирования сложных экономических систем, методы экономического, эконометрического и фрактального анализа, теории вероятности. Расчеты проводились с использованием пакетов Microsoft Excel, Econometric Views, Statistica. Научная новизна состоит в разработке подхода к определению величины показателя Value-at-Risk портфеля на основе прогнозных оценок условной дисперсии интегрированной доходности.
Научную новизну содержат следующие результаты диссертационного исследования:
- метод оценки риска портфеля, в котором в отличие от известных подходов, не используется ковариационная матрица. Это упрощает расчеты и позволяет избежать ситуаций, в которых не удается получить корректную оценку ковариационной матрицы;
- модель условно изменяющейся вариации для анализа волатильности портфеля финансовых активов. С помощью данной модели получаются достаточно надежные прогнозные оценки риска портфеля на стадии его формирования;
- методика определения величины показателя Value-at-Risk на основе прогнозных оценок условной дисперсии. Полученные с помощью методики оценки риска являются более точным отражением уровня неопределенности на упреждающих отрезках времени, чем те, которые основаны на исторических данных;
- процедура тестирования модели VaR, предусматривающая сравнительный анализ прогнозных и статистически определенных оценок на поступреждающих отрезках временного рядах. Такая процедура обеспечивает экстраполяционную надежность результатов моделирования;
- метод тестирования методики определения показателя VaR на основе рандомизированного формирования портфеля финансовых активов. Портфели со случайно выбранными весами будут гарантировать независимость выводов по результатам моделирования VaR от конкретных алгоритмов оптимизации структуры этих портфелей. Практическая значимость исследования состоит в том, что результаты, доведенные в диссертации до уровня методик, могут быть использованы подразделениями банков, работающими на рынке ценных бумаг, ПИФами и другими институциональными инвесторами с целью количественной оценки возможных потерь средств, инвестированных в портфели ценных бумаг.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете, международных научно-практических конференциях: «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2004, 2005, 2007, 2008), «Моделирование и прогнозирование в управлении: методы и технологии (Орел, 2007), международной научно-практической конференции «Совершенствование финансово-кредитных отношений» (Воронеж, 2007).
Методика оценки VaR рекомендована к внедрению руководством Воронежского филиала банка ОАО АКБ «Связь-Банк», что подтверждено актом внедрения.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 печатных работах общим объемом 2,1 п.л., в том числе 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, заключения и приложений. Основной текст работы изложен на 139 страницах.
Развитие методов количественного анализа финансовых рынков в рамках гипотезы эффективного рынка
Исторически первой работой, выполненной на научном уровне, в которой проводилась попытка применения количественных методов в исследовании финансовых рынков, стала уже упоминавшаяся в первом параграфе работа Л. Башелье «Теория спекуляции». В своей диссертации он впервые применял методы, разработанные для анализа результатов азартных игр, к анализу ценообразования акций, облигаций и опционов. Работа Л. Башелье была пионерской в том смысле, что он первым выдвинул предположение о том, что цены финансовых активов на финансовом рынке являются независимыми случайными величинами, сформированными процессом случайного блуждания. Однако это предположение было не доказано из-за нехватки эмпирических данных и, неразвитости теоретической базы и трудностей в проведении практических расчетов с большими массивами данных.
Следующим этапом в формализации использования гипотезы случайного блуждания в качестве процесса подобного процессу формирования цены на акции является работа американского физика и экономиста М. Осборна [исследования Осборна подробно описаны в 99, 100]. В своей работе 1964 года он теоретически с помощью ряда предположений и логических следствий доказывает положение о том, что, т.к. цены следуют закону случайного блуждания, то изменения цен (т.е. доходности) акций, рассмотренные за достаточно большой промежуток времени, согласно центральной предельной теореме, будут идентично распределены по нормальному закону распределения и иметь устойчивое среднее и конечную дисперсию. Работа Осборна?. имело большое значение в развитии количественных методов исследования финансовых рынков, т.к. на теоретическом уровне давала обоснование при-, менению вероятностного подхода к описанию изменения цен на финансовые активы.
В 1965 году с выходом диссертации Ю. Фама [23] окончательно сформировались теоретическое обоснование гипотезы эффективного рынка и принципы, которые были положены в основу количественного анализа рынков. Фама утверждал, что рынок является «справедливой игрой» или мартингалом, что означает, что анализ информации не может дать какого-либо преимущества для инвестора в его стремлении «обыграть» рынок. Мартингал представляет собой случайный процесс, условное математическое ожидание значения в момент t которого, с учетом всей информации о мартингале на момент t -1, равно значению в момент времени t -1, т.е. Е{Х, \ Хх ,...,ХМ) = X,.
Концепция мартингала в математику была введена П. Леви. Одной из задач его исследования была попытка показать невозможность существования успешных стратегий в азартных играх. Простейшей азартной игрой было подбрасывание монеты. Выигрышная стратегия в данном случае формулировалась следующим образом. Если игрок проигрывал партию (т.е. выпадала другая сторона монеты), то ему следовало увеличить проигранную ставку вдвое. Таким образом, первый же выигрыш покроет все проигрыши прошлых игр и принесет прибыль в размере первоначальной ставки. Поскольку в пределе вероятность выпадения нужной стороны монеты равна единице, то стратегия, с помощью которой можно было бы обыграть мартингал, заключалась в гире неограниченное число раз. Естественно, что на практике эта стратегия приводила игрока к банкротству, поскольку бесконечное наращивание ставок невозможно. Этим и доказывалась невозможность «обыграть» рынок, представляющий собой мартингал.
Эта идея впоследствии была расширена в модели САРМ (Capital Asset Pricing Model). Независимо друг от друга Шарп, Линтнер, Моссин и Трейнор [40, 80, 118] предложили равновесную модель ценообразования на финансовом рынке, согласно которой.«ожидаемая доходность ценной бумаги является линейной функцией чувствительности бумаги к изменению доходности рыночного портфеля» [118].
САРМ основана на ряде предположений, позволяющих рассматривать предельный случай, когда все инвесторы на рынке обладают одинаковой информацией и одинаково оценивают параметры всех ценных бумаг и их перспективы, т.е. они одинаково анализируют и интерпретируют всю новую информацию, поступающую на рынок в каждый момент времени. Все инвесторы так же считаются рациональными в терминах Марковича и Осборна. Кроме того, на финансовом рынке нет барьеров, препятствующих инвестированию в любой финансовый актив. Эти предположения позволяют перейти к рассмотрению зависимости между риском и доходностью ценной бумаги на рынке.
В модели несколько по-иному определяется эффективное множество портфелей инвесторов. Авторы вводят в рассмотрение возможности безрискового кредитования и заимствования. В этом случае из всего эффективного множества портфелей, составленных только из рисковых активов, все инвесторы выбирают один, соответствующий точке касания эффективного множества по Марковичу и рыночной линии, представляющей собой графическое представление возможности безрисковых вложений или заимствования. Любая точка на рыночной линии будет соответствовать линейной комбинации рискового и безрискового инвестирования. В условиях равновесия на рыке портфель рисковых активов будет определяться как «портфель, состоящий из всех ценных бумаг, в котором доля каждой ценной бумаги соответствует ее относительной рыночной стоимости... Относительная рыночная стоимость ценной бумаги равна ее совокупной рыночной стоимости, деленной на сумму совокупных рыночных стоимостей всех ценных бумаг» [118]. Естественно, что величина изменения стоимости рыночного портфеля, связанного с изменением стоимости одной из ценных бумаг, зависит от величины изменения стоимости этой бумаги и от ковариации доходностей бумаги и рыночного портфеля. Из этого в том числе следует, что ценные бумаги, риск инвестирования в которые велик (т.е. они имеют большую по сравнению с другими дисперсию) должны иметь большую доходность.
Нелинейная парадигма. Применение фрактального анализа и теории хаоса к описанию финансовых рынков
Наконец, широкое применение получили развивающиеся информационно-вычислительные технологии. Повсеместно в деятельность исследователей и участников финансового рынка внедрялись компьютеры, позволявшие производить манипуляции с большим количеством данных за короткие промежутки времени. Это позволило сместить акцент исследования на разработку новых, более сложных методов, меньшее внимание уделяя возможности вычислительным аспектам.
Естественно, что гипотеза эффективных рынков была неспособна объяснить динамику финансовых рынков в новых условиях. Требовалось некоторое время, чтобы приспособить математические модели, разработанные в рамках гипотезы, к новой действительности. Неадекватность старых методов породила новую волну в развитии теоретических основ прикладных методов, используемых в количественном анализе финансовых рынков.
Важнейшим аспектом в разработке новых стратегий «игры на рынке» стала иная постановка задачи для количественного аналитика. Если в рамках классического анализа рынка (т.е. для всех методов, основой которых была гипотеза эффективного рынка) перед инвестором ставилась задача «выиграть», то теперь все чаще целью стратегии стало «не проиграть много». Задача защиты инвесторов от катастрофических убытков требовала использования новых видов финансовых активов — производных инструментов: опционов, фьючерсов и т.п.
Одновременно с этим в математике развивается теория нелинейных динамических систем, или так называемого детерминированного хаоса. Описание таких сложных систем было связано с фрактальной геометрией. Родоначальником этой области математики считается французский математик Бе-нуа Мандельброт (род. 1924). Первые результаты его исследований были опубликованы уже в середине 20 века [напр., 31]. В 1982 году выходит монография Мандельброта, посвященная фрактальной геометрии под названием «Фрактальная геометрия природы» [подробнее об этой книге см. 99, 100]. В книге подробно изложены понятие и теория фрактала и области применения фрактальной геометрии в исследованиях природных и социальных явлений.
Естественно, что идея «нелинейным активам - нелинейные модели» привлекла внимание инвесторов и, начиная с 80-х годов и по настоящее время, не теряет популярности как в кругах практиков, так и теоретиков исследования финансовых рынков. Далее рассмотрим, в чем е сущность этой теории и чем она может быть полезна в анализе финансовых рынков вообще и применительно к данному исследованию в частности.
Во-первых, многими теоретиками, как уже упоминалось выше, критиковалось положение гипотезы эффективного рынка о том, что все инвесторы имеют однородную информацию и, соответственно, однородные ожидания относительно цен финансовых активов в будущем. Если бы ожидания всех4 инвесторов были бы однородными, то торговли на рынке просто не было бы, т.к. одна сторона по сделке заведомо вела бы себя нерационально. Более то-и го, все инвесторы дифференцированы по инвестиционным горизонтам. Это свойство обеспечивает ликвидность рынка.
Во-вторых, цены на рынке в каждый момент времени определяются соотношением интересов инвесторов с разными инвестиционными горизонтами, и корректируются в зависимости от информации, которая существенна для конкретного инвестиционного горизонта. Тем самым, дифференцируется еще и информация, поступающая на рынок. Эти положения формируют основу альтернативы гипотезы эффективного рынка. Это направление в исследовании финансовых рынков получило название фрактальной гипотезы. Важнейшей заслугой гипотезы фрактального рынка является способность объяснить периоды стабильности и нестабильности на финансовых рынках в терминах поведения инвестора.
Дело в том, что гипотеза эффективного рынка упускала один важный момент в динамике торговли на рынке. Сторонники гипотезы эффективного рынка рассматривали объем торгов как внутреннюю характеристику рынка, при этом не разделяя в общем объеме объем спроса и предложения. Таким образом, считалось, что на рынке всегда достаточно ликвидности, т.е. цена сделки всегда будет справедливой и всегда найдется контрагент для сделки. Понятно, что источником ликвидности служит различное влияние одной и той же информации на инвестиционные решения участников рынка с разными инвестиционными горизонтами.
Фрактальной гипотезу называют потому, что она широко использует основное свойство фрактала — самоподобие — для описания временных рядов финансовых показателей. Чтобы инвесторы вступали в торговлю на рынке, разные инвестиционные горизонты должны иметь общий с учетом масштаба каждого горизонта уровень риска. Именно этот общий уровень призван объяснить самоподобную (т.е. фрактальную) структуру финансовых рынков.
Одним из центральных понятий в теории фрактального анализа финан- " совых рынков является фрактальная размерность временных рядов доходно-стей по финансовым активам. Фрактальная размерность является мерой того, s каким образом тот или иной предмет заполняет пространство, в котором он находится [99]. Кроме того, она характеризует структуру предмета при изме-, нении его масштаба. Применительно к временному ряду фрактальная размерность показывает, насколько изрезанным является временной ряд, т.е. насколько он заполняет двумерное пространство (координатную плоскость) и его масштабируемость по времени. Фрактальная размерность любой линии двумерного пространства будет находиться в пределах от 1 до 2 [более подробно об этом рассказано в 87]. Понятно, что фрактальная размерность прямой (т.е. графика полностью детерминированного процесса) будет составлять 1, т.е. совпадать с евклидовой размерностью. Точно так же если линия заполнит всю координатную плоскость то ее размерности будут совпадать и будут равны 2. Фрактальная размерность временного ряда, образованного случайным блужданием (белым шумом), будет равна 1,5. Естественно, что любой временной ряд с фрактальной размерностью, отличной от 1,5 будет отличаться от случайного блуждания по своим статистическим характеристикам. При значениях фрактальной размерности в интервале от 1,5 до 2 временной ряд будет более зазубрен, чем случайное блуждание, т.е. будет чаще изменять направление движения. При приближении фрактальной размерности временного ряда к единице его график будет более гладким, а сам процесс в большей степени детерминированным.
Теория фрактального финансового рынка является молодой и основной упор на данном этапе ее развития делается не на конкретные прогностические модели, а на анализ временных рядов, их фрактальной структуры, на «распознавание» фрактальных и случайных рядов, а также непериодических циклов. С одной стороны, это, несомненно, новое направление в финансовой математике. Однако, с другой стороны, и это особенно ощутимо на практике, те инструменты, которые предлагают сторонники фрактального анализа, дают не много действительно полезной инвестору информации. Например, ее- ли с помощью анализа Фурье и разложения временных рядов инструментами вейвлет-анализа можно выделить периодические циклы и в дальнейшем пользоваться этой информацией при принятии инвестиционного решения [более подробно см, напр., в 37, 75, 113, 119], то ценность знания о сущест- , вовании во временном ряду непериодических циклов на самом деле кажется весьма и весьма спорной. Действительно, если предположить, что инвестору известно, что рынок развивается циклично и он может определить, на какой стадии цикла находится рынок в данный момент, то эта важная на первый взгляд, информация, на самом деле не дает инвестору никаких указаний на оптимальный порядок действий на рынке. Инвестору требуется еще и знание о характеристиках цикла. То, что рынок находится на подъеме, еще не значит, что в следующий момент он не перейдет к спаду. Только если инвестор знает приблизительную длину цикла, он может сориентироваться в будущей экономической ситуации и учесть эту информацию в принятии своего решения относительно вложений капитала.
Моделирование условной дисперсии как способ учета изменяющейся волатильности
Для моделирования волатильности временного ряда доходности исследуемого портфеля финансовых активов необходимо выбрать определенное семейство моделей, теоретические свойства которых должны будут хорошо подходить для описания процесса изменения доходности. Естественно было бы начать с анализа наиболее широко используемых в эконометрике моделей ARIMA (авторегрессии-скользящего среднего).
Здесь через а, и /?, обозначены коэффициенты модели, последовательность є, представляет собой набор некоррелированных случайных величин. На нее обычно налагаются следующие ограничения: є, должны быть некоррелированны во времени, т.е. соответствовать определению белого шума; " временной ряд є, должен иметь нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию. Эти ограничения вписываются в математическое определе- v ния процесса формирования дохода по финансовым активам, применяемым для обоснования всех количественных методов в рамках гипотезы эффектив- { ного рынка. Если вместо некоррелированности предполагается независимость всех є,, то такой процесс называется строгим белым шумом. Таким образом формулируется ARMA(p,q) модель. Модель ARMA(o,q) называется моделью скользящего среднего порядка q и обозначается MA(q); модель ARMA(p,0) - авторегрессионная модель порядка р, обычно обозначается AR(p) [подробнее см., напр., 37, 52, 72, 121].
ARMA модели широко применялись и применяются в анализе временных рядов финансовых данных. Стационарный AR(1) процесс использовал Саммерс в работе 1986 года [подробнее об исследовании Саммерса см. 9] для моделирования волатильности месячных доходностей по индексу Standart&Poor s. Френч, Стамбаух и Шверт использовали модель ARIMA(0,1,3) для моделирования логарифма волатильности месячных доходностей индекса Standart&Poor s и ряда других; в их работе 1987 года [там же, 42] сообщается о достаточно хорошей аппроксимации реальных данных процессами ARMA.
В литературе обсуждается достаточно большое количество преимуществ и недостатков применения этого класса моделей к анализу временных рядов финансовых данных. В основном подчеркиваются три следующих преимущества ARMA моделей перед другими методиками анализа временной структуры волатильности на финансовых рынках. Во-первых, базой для ARMA моделей служит хорошо разработанная Гауссова теория. В том числе, особенно следует отметить, что здесь есть не только четко теоретически обоснованные методы оценивания параметров, но также методы проверки различных статистических гипотез относительно модели в целом и каждого из ее параметров. Однако большинство из них требуют достаточно жесткого I и редко выполнимого на практике предположения о нормальном распределении процесса є,. Во-вторых, моделирование временных рядов с использованием этого класса моделей достаточно просто в вычислительном плане. Кроме того на сегодняшний день существует достаточно большое количество, статистических пакетов, где реализованы алгоритмы оценивания и проверки адекватности ARIMA моделей. В-третьих, эти модели достаточно хорошо зарекомендовали себя в качестве надежного инструмента моделирования, анализа и прогнозирования временных рядов данных, относящихся к различным процессам не только экономики, но также механики, физики и т.д.
Самым главным недостатком моделей ARMA является предположение о постоянстве дисперсии моделируемого временного ряда. Большинство временных рядов финансовых данных характеризуются изменением волатильности (дисперсии) во времени, и эта их важнейшая особенность не может быть описана с применением ARMA модели. Симметричное совместное распределение стационарного Гауссова ARMA процесса не подходит для описания данных с ассиметричными распределениями. Из-за предположения о нормальном распределении ряда в, уместным использование ARMA моделей можно считать только в тех случаях, когда временной ряд характеризуется крайне маленькой вероятностью неравномерного по времени появления всплесков с большой амплитудой. Следовательно, использование исключительно ARMA моделей не дало бы возможности серьезно «улучшить» количественную оценку VaR по сравнению с методом исторического моделирования. С помощью одной лишь ARMA модели удалось бы решить только часть задачи, поставленной при определении требований к новому методу оценки VaR, а именно появилась бы возможность моделировать ожидаемое значение доходности вместо использования среднего, основанного на исторических данных.
Хотя этот подход уже учитывает изменения, он имеет несколько весомых недостатков. Во-первых, как уже было отмечено, аналитический метод расчета VaR для перехода к дисперсии портфеля от дисперсий частных активов использует ковариационную матрицу, что представляется не совсем верным с точки зрения экономической теории. Во-вторых, использование скользящей средней с использованием весов хотя и дает теоретическую возможность учитывать большее влияние последних изменений, однако процедура выбора самих весов остается непонятной. Кроме того, есть еще несколько особенностей вариации доходности финансовых данных, не учитываемых в аналитическом методе, но критических для точности количественной оценки показателя Value-at-Risk. Далее кратко проанализируем основные из этих особенностей.
Структура финансовых временных рядов характеризуется несколькими отличительными особенностями, которые необходимо учитывать для адекватного выбора и спецификации модели, а так же для оценки ее параметров и прогнозирования. В современной литературе исследователями наиболее часто отмечаются следующие такие особенности:
Кластеризация волатшъности. Наличие временных интервалов, характеризующихся относительно большими или, наоборот, небольшими изменениями во временных рядах цен, стало одним из первых отличительньтх особенностей волатильности цен финансовых активов, зафиксированных в научной литературе по этой теме. Ю. Фама в своей работе [23] одним из первых отметил, что большие по абсолютному значению изменения в цене актива имеют тенденцию следовать за большими, а меньшие — за меньшими. Значимость этого факта состоит в том, что сегодняшние возмущения волатильности будут влиять на ожидаемую волатильность будущих периодов. На рисунке 2.1 представлен временной ряд дневных доходностей Индекса РТС за 13 лет с 1995 по 2007 годы. График дневных доходностей подтверждает присутствие эффекта кластеризации волатильности на российском финансовом рынке.
Сравнительный анализ подходов к моделированию VaR
В заключении третьего параграфа второй главы описана последовательность реализации предлагаемой методики количественной оценки показателя VaR в задачах портфельного инвестирования на практике. Напомним, что процедура оценки четырхэтапная.
На первом этапе выбирается временной горизонт, на котором будут производится расчеты. Как уже было сказано, в диссертационном исследовании выбран временной горизонт из 345 наблюдений 11 января 2007 года по 1 июня 2008 года. При этом на втором этапе потребовалось преобразовать ряды цен акций и значений индексов в ряды логарифмической доходности, что сократило временные ряды на 1 наблюдение. Для проведения тестов, имитирующих принятие инвестиционного решения в условиях неопределенности были отброшены 10 последних значений каждого ряда. Таким образом, в нашем распоряжении для моделирования оказались временные ряды, состоя- щие из 334 наблюдений. Теоретически, ограничений по выбору длины временного ряда нет. Однако, при выборе временных рядов в исследовании определяющими оказались два обстоятельства:
1. Для оценки VaR аналитическими методами рекомендуется выбирать интервалы не короче одного года, для оценки методом исторического моделирования нормативный интервал составляет 1 год.
2. Для построения GARCH моделей обычно советуют выбирать достаточно длинные временные ряды, при этом точное определение термина «достаточно» не приводится. Вместе с тем, вероятно, тенденции развития финансового рынка могут меняться со временем, поэтому очень длинный ряд для моделирования выбирать так же не стоит.
Вместе с тем было принято решение строить модели для каждого из трех выбранных законов распределения для того, чтобы определить наиболее подходящий для каждого ряда закон. Как уже было показано ранее, эта информация является критической при оценке VaR портфеля. Однако и в данном случае однозначный выбор сделать было нельзя - все распределения имели более толстые хвосты, чем теоретические, и значения функции правдоподобия для каждого ряда отличались незначительно - не более 0,1. По-, этому было принято решение использовать нормальное распределение ввиду его лучшей по сравнению с другими изученности и простоты вычислений.
Стандартные ошибки коэффициента у для каждой модели говорят о его значимости, следовательно условная дисперсия каждого временного ряда характеризуется асимметричностью влияния новостей. Этот эффект, как уже отмечалось, крайне важен для более точной оценки показателя VaR портфеля финансовых активов. Коэффициент в первом столбе - средняя дневная доходность на портфель (индекс). Хотя в среднем рынок рос, о чем свидетельствует средняя доходность индекса RTSI, разнонаправленное движение до7, ходности портфелей говорит о нестабильности финансового рынка России, что подтвердилось и при анализе описательной статистики.
Для более наглядного представления эффекта асимметрии воспользуемся кривой влияния новостей, предложенной Энглом в 1993 году. Построим кривую влияния новостей для портфеля под номером 12, т.к. у него этот эффект наиболее выражен, а, следовательно, будет более отчетливо представлен на графике.
Смысл кривой влияния новостей заключается в построении графика за st висимости условной дисперсии а, от соотношения zt =—- [19]. На рисунке Тестирование моделей семейства ARCH/GARCH проводится с помощью ARCH-LM теста для каждой модели. Смысл этого теста состоит в том, чтобы протестировать квадраты нормированных остатков модели на автокорреляцию. Если автокорреляция будет незначимой, значит ARCH эффект в ряду элиминирован с помощью построенной модели. Другими словами, построенная модель полностью учитывает все специфические эффекты, т.е. модель выбрана «удачно».
Обязательным параметром теста является параметр лага для автокорреляционной функции. Тест реализован в некоторых эконометрических пакетах, однако все равно представляет некоторые вычислительные трудности при большом лаге. В представленном диссертационном исследовании был выбран лаг в 21 день. Напомним, что данные представлены с дневным интервалом. Поэтому, если в ряде присутствует автокорреляция, вызванная внешними экономическим факторами, она должна проявляться с недельной периодичностью или месячной периодичностью. В месяце в среднем 21 рабочий (торговый) день. Именно с этим и связан выбор длины лага для теста.
После того, как проведено моделирование и получен временной ряд оценок условной дисперсии для всех временных рядов, перейдем к четвертое му этапу оценки показателя Value-at-Risk исследуемых портфелей.
Четвертый этап заключается в следующем. Сначала выбирается уровень доверительной вероятности для расчетов. Он может определятся по нормативным документам или согласно целям инвестора.
Моделирование условной дисперсии временного ряда доходностей портфеля предоставляет еще одно преимущество по сравнению с другими методами оценки. Дело в том, что в процессе построения модели математическое ожидание и дисперсия следующего периода оцениваются одновременно, т.е. исследователь получает сразу все необходимые данные для получения количественной оценки Value-at-Risk.
Для расчета VaR по предлагаемой методике стоимость исследуемых портфелей не имеет значения. Поэтому для расчета VaR в диссертационном исследовании была выбрана символическая стоимость всех портфелей в $1 000 000.
В таблице 3.7 приведены результаты моделирования показателя Value-at-Risk для всех исследуемых портфелей. Во втором столбце представлено количество превышений реальной доходности над оценкой Value-at-Risk. Пользуясь классификацией BIS, описанной во второй главе, для всех индексов и всех, кроме одного, портфелей метод попадает в зеленую зону. Для портфеля 12 методика попадает в желтую зону. Однако, пороговый уровень для зеленой зоны - 17(334 0.05 «17), для портфеля 12 зафиксировано 18 превышений.
Вместе с тем у моделей авторегрессионной условной гетероскедастич-ности есть один очень серьезный недостаток. Она не прогнозирует направление движения цены. Таким образом, может быть сформирован только «коридор» движения доходности, например, как на графиках рисунка 3.5. Возможно, что именно проблема прогнозирования знака изменения цен стала основной причиной изменения парадигмы игры на бирже. Ведь акцент на измерение возможных потерь был сделан
