Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Модели риска в страховании и методы повышения платежеспособности страховых компаний 8
1.1 Риски в страховании 8
1.2 Методы оценки платежеспособности 16
1.3 Модели для оценки платежеспособности и подходы к ее повышению .29
Глава 2 Исследование влияния характеристик процесса риска и активов на вероятность неразорения 38
2.1 Исследование зависимости вероятности неразорения от начального капитала 38
2.2 Исследование влияния характеристик активов на платежеспособность страховой компании 51
2.3 Анализ влияния начального капитала на стратегию инвестирования в рисковые или безрисковые активы 57
Глава 3 Формирование стратегии инвестирования и перестрахования 66
3.1 Анализ влияния диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы на платежеспособность 66
3.2 Формирование стратегии инвестирования 75
3.3 Влияние перестрахования на платежеспособность 82
Заключение 96
Список использованных источников 98
Приложения 106
- Модели для оценки платежеспособности и подходы к ее повышению
- Исследование влияния характеристик активов на платежеспособность страховой компании
- Анализ влияния начального капитала на стратегию инвестирования в рисковые или безрисковые активы
- Анализ влияния диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы на платежеспособность
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Усиливающаяся конкуренция, о которой свидетельствует снижение доли ведущих страховых компаний в совокупном объеме собранных премий (по данным Рейтингового Агентства «Эксперт РА»[1]), и увеличение рисков, обусловленное мировым финансовым кризисом, порождают высокие требования к объективной оценке не только платежеспособности страховых компаний, под которой будем понимать положительность процесса риска, но и инструментов, влияющих на нее. Одним из инструментов влияния на платежеспособность является собственный капитал страховой компании, увеличение которого возможно за счет инвестирования. Влиянию собственного капитала на такую характеристику платежеспособности, как вероятность неразорения посвящены работы зарубежных и отечественных авторов Ф. Лундберга [2,3], Г. Гранделла[4,5], Ф. де В иль дер а [6,7], Т. Андерсона[8], X. Крамера [9,10], Г.Ш. Цициашвили [11]. К. Сегердал [12], Дж.Паульсен [13,14] и X. Гжессинг[15] исследовали зависимость платежеспособности от начального капитала страховой компании с учетом инвестирования свободных средств в безрисковые активы. В работах С. Броуна [16], А.В. Мельникова[17,18] и С. Асмуссена [19,20] проведен анализ влияния начального капитала на вероятность неразорения страховой компаний с учетом инвестирования свободных средств в рисковые активы.
Другой возможностью повысить вероятность неразорения является перестрахование. В работах X. Шмидли[21,22] и К.Хиппа [23] получена оценка зависимости вероятности неразорения страховой компании от начального капитала с учетом перестрахования и инвестирования в рисковые активы, но при жестких допущениях о характере распределения размеров выплат и больших значениях начального капитала.
Таким образом, можно констатировать, что в работах отечественных и зарубежных авторов не уделяется внимания вопросам моделирования зависимостей вероятности неразорения страховых компаний от таких характеристик процесса риска и активов, как относительная рисковая надбавка, доходность рисковых и безрисковых активов, волатильность цен рискового актива, доля инвестирования в рисковые (безрисковые) активы, объем собственного удержания при перестраховании и др. Научно-практическая значимость и недостаточная разработанность указанных вопросов оценки платежеспособности страховых организаций обусловили выбор темы и структуру исследования.
Цель исследования заключается в совершенствовании методов оценки вероятности неразорения в условиях инвестирования и перестрахования при решении задачи повышения платежеспособности страховой компании.
Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:
анализ существующих методов и моделей оценки платежеспособности страховых компаний;
- моделирование взаимосвязей между вероятностью неразорения и характеристиками процесса рисков, активов, объемом инвестирования и перестрахования;
- разработка методики формирования стратегий инвестирования
- в безрисковые активы;
- в рисковые активы;
- в рисковые и безрисковые активы;
- разработка методики формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования.
Объект исследования — вероятность неразорения, как характеристика платежеспособности страховой компании.
Предмет исследования — методы и модели оценки вероятности неразорения страховой компании. Область исследования - 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.
Теоретическая и методологическая база исследования В качестве теоретической основы диссертационной работы использовались труды отечественных и зарубежных авторов по страхованию и актуарной математике, теории вероятностей, случайным процессам, математической статистике, численному анализу. Численное моделирование реализовано с помощью среды разработки программ Delphi 7.0.
В качестве информационной базы исследования использованы данные страховой компании РЕСО-Гарантия.
Научная новизна заключается в моделировании зависимостей вероятности неразорения от характеристик процесса риска, рискового и безрискового активов, позволяющих формировать стратегии инвестирования и перестрахования для повышения платежеспособности страховой компании.
Наиболее существенные научные результаты:
предложена и реализована процедура математического моделирования взаимосвязей между вероятностью неразорения и относительной рисковой надбавкой, относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом, вероятностью неразорения и доходностью рискового и безрискового активов, вероятностью неразорения и волатильностью цен рискового актива и др., позволяющих количественно оценить влияние характеристик процесса риска и активов на характеристики платежеспособности страховой компании;
- разработана методика формирования стратегий инвестирования в рисковые и/или безрисковые активы на основе построенных моделей, характеризующих взаимосвязи между вероятностью неразорения и объемом инвестирования; объемом инвестирования и начальным капиталом, применение которых позволяет повышать платежеспособность страховой компании;
- предложена методика формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования на основе построенных моделей, описывающих зависимости между характеристиками платежеспособности и объемом собственного удержания, реализация которых позволяет повышать вероятность неразорения страховой компании.
Практическая значимость Результаты исследования приняты к внедрению в страховой компании РЕСО-Гарантия (Оренбургский филиал), используются при рассмотрении вопросов, связанных с обеспечением высокого уровня неразорения. Теоретические и практические результаты, полученные в ходе исследования, используются в курсе учебной дисциплины «Страхование и актуарные расчеты».
Апробация работы Основные теоретические и практические положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:
- Всероссийская научно-практическая конференция «Взаимодействие реального и финансового сектора в трансформационной экономике» (г. Оренбург, ГОУ ОГУ, 2008 г.);
- Всероссийская научно-практическая конференция «Финансовая и актуарная математика» (г. Нефтекамск, НФБашГУ, 2009 г.);
- Всероссийская научно-практическая конференция "Многопрофильный университет как региональный центр образования и науки" (г. Оренбург, ГОУ ОГУ, 2009 г.).
Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано 8 работ, общим объемом 2.43 п.л.(1.565 п.л. автора), в том числе 2 статьи - в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных высшей аттестационной комиссией.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. В приложениях приведены информационно-справочные материалы, иллюстрирующие и дополняющие основное содержание исследования. Диссертационная работа изложена на 212 страницах машинописного текста, содержит 84 таблицы и 56 рисунков. Список литературы включает 93 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Приложения представлены на 107 страницах.
Основное содержание работы
В первой главе «Модели риска в страховании и методы повышения платежеспособности страховых компаний» раскрыта экономическая сущность страхования, как одного из методов управления риском, описаны модели и методы оценки вероятности неразорения, рассмотрены подходы к повышению платежеспособности страховой компании.
Во второй главе «Исследование влияния характеристик процесса риска и активов на вероятность неразорения» построены зависимости вероятности неразорения страховой компании от начального капитала в пуассоновской модели коллективного риска с учетом инвестирования или в рисковые, или в безрисковые активы. Предложена и реализована процедура моделирования взаимосвязей между вероятностью неразорения и относительной рисковой надбавкой, относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом, вероятностью неразорения и доходностью рискового и безрискового активов, вероятностью неразорения и волатильностью цен рискового актива. Разработана методика формирования стратегии инвестирования в рисковые или безрисковые активы.
В третьей главе «Формирование стратегий инвестирования и перестрахования» построена зависимость вероятности неразорения от начального капитала в условиях инвестирования в рисковые и безрисковые активы. Проведено моделирование взаимосвязей между вероятностью неразорения и объемом инвестирования в рисковые и безрисковые активы; объемом инвестирования и начальным капиталом страховой компании. Предложена методика формирования стратегий перестрахования в различных условиях инвестирования.
Модели для оценки платежеспособности и подходы к ее повышению
Существуют три основных способа воздействия на риск - снижение, сохранение и передача. Под снижением риска понимается уменьшение либо размера возможного ущерба, либо вероятности наступления неблагоприятных событий. К группе сохранения можно отнести самострахование, т.е. создание специальных резервных фондов (фонды самострахования или фонд риска) из которых будет производиться компенсация убытков при наступлении неблагоприятных ситуаций. Передача риска означает передачу ответственности за риск третьим лицам, при этом уровень риска сохраняется. К этой группе можно отнести страхование, которое подразумевает передачу риска страховой компании за определенную плату, а также различного рода поручительства, финансовые гарантии и т.д.
Определим страхование как- «совокупность общественных отношений, связанных с образованием страхового фонда за счет взносов, вносимых участниками его создания, с централизацией его в организациях, осуществляющих проведение страховых операции и с использованием на покрытие ущерба или осуществление других выплат лицам, в отношении которых проводится страхование, в случае наступления заранее оговоренных случайных событий» [31]. Договор страхования называется полисом. Если полис был предоставлен к оплате, то говорят, что страховщик получил иск; если страховая ситуация не возникла, то страхователь теряет премию [18]. Страховая компания имеет в соответствии с договором страхования многочисленные обязанности и права. Обязанности страховщика делятся на обязанности по несению риска и по выплате страхового возмещения (страховой суммы).
Для реализации своей основной функции — осуществления выплат при наступлении страховых случаев — страховая компания должна располагать специальными денежными ресурсами, которые определяют ее капитал. Капитал (резерв) страховой организации складывается из двух основных частей — собственного капитала и привлеченного, причем привлеченная часть капитала в значительной степени преобладает над собственной. Это обусловлено отраслевой спецификой страхования. Деятельность страховой компании основана на создании денежных фондов, источником которых являются средства страхователей, поступившие в форме страховых взносов (премий). Они не принадлежат страховщику. Эти средства лишь временно, на период действия договоров страхования находятся в распоряжении страховой компании, после чего используются на выплату страховой суммы или преобразовываются в доходную базу (при условии безубыточного прохождения договора), либо возвращаются страхователям в части, предусмотренной условиями договора (бонус). Таким образом, капитал страховой компании Y, в момент времени t равен S(t) - сумма выплат, произведенных страховой компанией, к моменту времени /; n(t) - премии, собранные к моменту времени t. Процесс (1.1) называют так же процессом риска страховой компании.
Формирование и использование капитала - одна из основных сторон деятельности страховых организаций, направленная на обеспечение платежеспособности. Дополнительным источником прибыли страховщика, кроме прибыли от проведения страховых операций является инвестиционный доход. Прибыльная инвестиционная деятельность позволяет страховщику снижать тариф, в чём заинтересованы как страховщики, так и страхователи. От эффективности и надёжности размещения временно свободных средств зависит не только доход страховщика, но и его платежеспособность. Так, до 2005 г. средняя рентабельность инвестиций страховых компаний отставала от темпов инфляции и наблюдалось увеличение числа неплатежеспособных страховщиков. В 2006 году, по состоянию на 1 января 2007 года, у 14% от общего числа зарегистрированных страховщиков была отозвана лицензия [32]. Включение России в мировые интеграционные процессы заставляют страховые компании приближаться к условиям мировых стандартов, а увеличение финансовых рисков, в условиях кризиса, и усиливающаяся конкуренция, о чем свидетельствуют данные агентства «Эксперт РА»[1], порождают высокие требования к объективной оценке платежеспособности страховых компаний.
Для исследования платежеспособности страховых компаний используется ряд показателей. Часть этих показателей носит нормативный характер и устанавливается и контролируется государственными органами, другие являются рекомендательными. В России применяются следующие показатели: минимальный уровень уставного капитала; нормативная маржа платежеспособности; величина необходимых страховых резервов; нормативы для инвестиционной деятельности и т.п. Все эти показатели отражают только отдельные стороны деятельности страховых компаний и не являются количественными характеристиками платежеспособности компании. В работах [33 - 43 и др.] в качестве меры платежеспособности страховой компании используется вероятность неразорения p(ii) = P\Yl 0}, или, вероятность разорения y/(u) = l-P{Yt 0}, как характеристика противоположного события, которые являются мерой риска функционирования страховой компании, характеризующей свойства платежеспособности компании в целом или отдельных портфелей договоров. Понятие "разорение" означает превышении выплат ,над поступлениями и резервами. Однако дефицит последнего не означает банкротство страховой компании, так как компания может воспользоваться другими источниками погашения дефицита, например, займом. В теории риска, разорение (падение активов до нуля [44]) следует понимать как некоторый индикатор, сигнализирующий о финансовом неблагополучии. Иногда под разорением понимают снижение капитала до некоторого положительного минимума -минимальный нормативный уровень (если капитал окажется меньше нормативного уровня, деятельность страховщика приостанавливается регулирующими органами). Такой подход характерен для стран ЕС [45]. То есть, вероятность разорения (или вероятность неразорения) является детерминированной характеристикой платежеспособности.
Нас будет интересовать зависимость вероятности разорения от начального капитала, относительной рисковой надбавки и т.п.. Расчет вероятности разорения предполагает построение моделей индивидуального или коллективного риска для компании в целом или для отдельных портфелей договоров. Для индивидуальной модели риска характерно то, что все застрахованные объекты обладают одинаковыми характеристиками, такими, как вероятность возникновения страхового случая, распределение возможного страхового убытка, сроки и условия страхования. Страховая компания возмещает ущерб только из средств, полученных в качестве страховых премий. В модели индивидуального риска предполагается, что убытки по каждой рисковой единице независимы и одинаково распределены. Такое предположение можно сделать в случае, когда страховые убытки по каждому объекту страхования обусловлены различными, не связанными между собой причинами. Это естественное требование в страховании жизни, однако, для других видов страхования оно не характерно. Информативность такой модели низкая, так как не принимаются в расчет факторы, которые могут влиять одновременно на многие риски в группе. Кроме того, модель индивидуального риска является статической моделью страхового риска, где риск моделируется всего одной случайной величиной, а именно — суммарным страховым убытком по группе рисков, а статические модели дают ограниченное представление о риске [46]. Модификация модели индивидуального риска рекомендуется Росстрахнадзором при расчете тарифных ставок по рисковым видам страхования, в связи с тем, что она является единственным инструментом анализа, если статистические данные представлены в агрегированной форме. Наиболее полно отражает реальные явления в страховании модель коллективного риска. С ее помощью можно добиться большей динамики при управлении риском компании.
Исследование влияния характеристик активов на платежеспособность страховой компании
В нашем примере, страховой компании, инвестирующей все свободные средства в безрисковый актив с доходностью 0.13, при Я =3.82 исков/день, 0 = 60% и = 65% для достижения вероятности неразорения 0.95 необходимо иметь начальный капитал 320 тыс. руб. и отдать на перестрахование 20% рисков. Подобные расчеты могут быть проведены для других параметров модели.
Зависимости между вероятностью неразорения страховой компании и объемом собственного удержания, расчитанные аналогично, в случае инвестирования 50% свободных средств в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью цен 0.25 и 50% свободных средств в безрисковые активы с доходностью 0.13, представлены в таблице И. 14 приложения И (семейство решений задачи (3.15) в таблицах Ж.30-Ж.32 приложения Ж, интерполяционные сплайны в таблице К.20 приложения К). Графики зависимостей, построенные для различных значений относительной рисковой надбавки перестраховщика а) = 65%; б) = 75%; в) , = 85% представлены на рисунке 3.15, а РМНК аппроксимации приведены ниже:
Для заданных характеристик процесса риска, страховой компании с начальным капиталом 350 тыс. руб. и стратегии инвестирования в рисковый (// = 0.4, ст = 0.25) и безрисковый (г = 0.13) активы (0.5, 0.5) соответственно, для достижения вероятности неразорения 0.95 необходимо перестраховать 7.5% рисков, если относительная рисковая надбавка цедента 60%, а относительная рисковая надбавка перестраховщика 85%), или 5% рисков если относительная рисковая надбавка перестраховщика 65%. Зависимости между начальным капиталом страховой компании и объемом собственного удержания, рассчитаны аналогично для р = 0.95, в случае инвестирования 50%) свободных средств в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью цен 0.25 и 50% свободных средств в безрисковые активы с доходностью 0.13. Графики расчетных значений (таблица И. 15) и интерполяционных сплайнов, для заданных параметров процесса риска {/3 = 0.5, г = 0.13, а = 0.5, // = 0.4, сг = 0.25, Я = 3.82исков/день, 0 = 60%, и =350тыс.руб), (приложение К, таблица К.21) приведены на рисунке 3.16. собственного удержания, р = 0.5, г = 0.13, a = 0.5 , /л = 0.4, a = 0.25, А = 3.82 исков/день, в = 60%, р = 0.95, для а) = 65%; б) = 75%; в) = 85%. Подобные зависимости позволят страховой компании сформировать стратегию перестрахования с учетом характеристик активов. Например, для обеспечения вероятности неразорения 0.95 страховой компании с начальным капиталом 320 тыс. руб. необходимо инвестировать 50% свободных средств в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью цен 0.25, 50% свободных средств - в безрисковые активы с доходностью 0.13 и отдать на перестрахование 15% рисков, если относительная рисковая надбавка перестраховщика 0.65. Таким образом, мы количественно оценили влияние на вероятность неразорения характеристик активов, объема инвестирования в рисковые и безрисковые активы, что позволит формировать стратегию инвестирования в рисковые и безрисковые активы в зависимости от размера начального капитала. Кроме того, предложена и продемонстрирована на примере КАСКО методика формирования стратегии перестрахования в различных условиях инвестирования. Все расчеты, представленные в работе, получены численно, с помощью автоматизированного программного комплекса «Анализ платежеспособности страховой компании» (Приложение Л). Заключение Проведенный анализ моделей и методов оценки платежеспособности страховой компании позволил сделать вывод о неисследованности количественной оценки влияния на вероятность неразорения таких характеристик, как относительная рисковая надбавка, доходность рискового и безрискового активов, волатильность цен рискового актива, доля инвестирования в рисковые и безрисковые активы, объем собственного удержания при перестраховании. В работе предложена и реализована процедура моделирования взаимосвязей между характеристиками платежеспособности страховой компании и характеристиками процесса риска, активов, объема инвестирования и перестрахования позволяющих: - количественно оценить размеры относительной рисковой надбавки, обеспечивающей заданную вероятность неразорения при фиксированном начальном капитале в различных условиях инвестирования; - количественно оценить размеры относительной рисковой надбавки в зависимости от размера начального капитала, гарантирующей фиксированный уровень вероятности неразорения в различных условиях инвестирования; - количественно оценить влияние доходности безрискового актива, доходности рискового актива, волатильности цен рискового актива на вероятность неразорения страховой компании. Разработана и реализована методика формирования стратегий инвестирования в рисковые активы; в безрисковые активы; в рисковые и безрисковые активы обеспечивающие требуемый уровень вероятности неразорения в зависимости от соотношения между характеристиками активов и характеристиками процесса риска.
Анализ влияния начального капитала на стратегию инвестирования в рисковые или безрисковые активы
Существуют три основных способа воздействия на риск - снижение, сохранение и передача. Под снижением риска понимается уменьшение либо размера возможного ущерба, либо вероятности наступления неблагоприятных событий. К группе сохранения можно отнести самострахование, т.е. создание специальных резервных фондов (фонды самострахования или фонд риска) из которых будет производиться компенсация убытков при наступлении неблагоприятных ситуаций. Передача риска означает передачу ответственности за риск третьим лицам, при этом уровень риска сохраняется. К этой группе можно отнести страхование, которое подразумевает передачу риска страховой компании за определенную плату, а также различного рода поручительства, финансовые гарантии и т.д.
Определим страхование как- «совокупность общественных отношений, связанных с образованием страхового фонда за счет взносов, вносимых участниками его создания, с централизацией его в организациях, осуществляющих проведение страховых операции и с использованием на покрытие ущерба или осуществление других выплат лицам, в отношении которых проводится страхование, в случае наступления заранее оговоренных случайных событий» [31]. Договор страхования называется полисом. Если полис был предоставлен к оплате, то говорят, что страховщик получил иск; если страховая ситуация не возникла, то страхователь теряет премию [18]. Страховая компания имеет в соответствии с договором страхования многочисленные обязанности и права. Обязанности страховщика делятся на обязанности по несению риска и по выплате страхового возмещения (страховой суммы).
Для реализации своей основной функции — осуществления выплат при наступлении страховых случаев — страховая компания должна располагать специальными денежными ресурсами, которые определяют ее капитал. Капитал (резерв) страховой организации складывается из двух основных частей — собственного капитала и привлеченного, причем привлеченная часть капитала в значительной степени преобладает над собственной. Это обусловлено отраслевой спецификой страхования. Деятельность страховой компании основана на создании денежных фондов, источником которых являются средства страхователей, поступившие в форме страховых взносов (премий). Они не принадлежат страховщику. Эти средства лишь временно, на период действия договоров страхования находятся в распоряжении страховой компании, после чего используются на выплату страховой суммы или преобразовываются в доходную базу (при условии безубыточного прохождения договора), либо возвращаются страхователям в части, предусмотренной условиями договора (бонус). Таким образом, капитал страховой компании Y, в момент времени t равен
Таким образом, исследования платежеспособности страховых компаний, учитывающие инвестирование в рисковые и безрисковые активы, характеризуются как допущениями о характере распределения размеров выплат, так и неисследованностью влияния на платежеспособность таких характеристик активов, как доходность рискового и безрискового актива и волатильность цен рискового актива.
Если инвестиционная деятельность и финансовые возможности страховщика не позволяют достигнуть желаемого уровня платежеспособности страховые компании прибегают к перераспределению риска. Перестрахование является важным звеном в обеспечении платежеспособности страховщика. Необходимость перестрахования обусловлена тем, что: 1) мелкие страховые компании имеют недостаточно собственных средств для обеспечения высокого уровня неразорения; 2) страховые компании не всегда имеют возможность создавать идеально сбалансированный портфель, из-за небольшого количества объектов страхования или наличия в портфеле крупных рисков; 3) даже при тщательном выборе рисков, принимаемых на страхование, страховщик не может создать портфель полностью независимых друг от друга объектов страхования, так как страхование компенсирует убытки, возникающие вследствие различного рода опасностей, которым застрахованные объекты могут подвергаться одновременно при наступлении катастроф; 4) развитие экономики и научно-технический прогресс ведут к высокой концентрации материальных ценностей и, как следствие, к росту страховых сумм по большому количеству объектов страхования (растет стоимость перевозимых грузов, увеличивается стоимость самолетов, судов и т.п.). Страховые компании не могут принять на страхование подобные крупные риски, не имея перестраховочного обеспечения. В некоторых случаях страховые стоимости настолько велики (или опасны), что резервов отдельных страховых компаний недостаточно для обеспечения страхования в полном объеме. Договор перестрахования - договор, в соответствии с которым одна сторона (цедент) передает в полном объеме или частично страховой риск (группу рисков) другой стороне - перестраховщику. Страховщика, передающего риск, называют цедентом. Перестраховщик принимает обязательство возместить цеденту соответствующую часть страхового возмещения. Перестрахование обеспечивает вторичное перераспределение риска, тем самым способствует количественному и качественному выравниванию страхового портфеля, что, в свою очередь, позволяет принимать на страхование уникальные и дорогостоящие риски. Рассмотрим частный случай перестрахования - пропорциональное, при котором выплаты перестраховщика зависят от страховых выплат по каждому иску, т.е. Один из способов определения оптимальных, с точки зрения страховщика, объемов перестрахования опирается на принятие решения на основе компромисса между ожидаемым доходом и безопасностью. Перестраховщик, при принятии риска, взимает с цедента премию. Скорость поступления премий перестраховщика связана с относительной рисковой надбавкой соотношением: где — относительная рисковая надбавка перестраховщика. Тогда, скорость поступления премий, полученных цедентом после перестрахования можно записать следующим образом: В работах [51, 52], предлагается в качестве показателя надежности страховой компании использовать коэффициент Лундберга. Если перестраховочные премии выплачиваются непрерывно, с интенсивностью с"ер, тогда коэффициент Лундберга Rh для прямого страховщика, заключившего договор пропорционального перестрахования, является наименьшим положительным корнем уравнения На основе уравнения (1.39) предлагается строить зависимость коэффициента Лундберга, отражающего уровень надежности страховой компании, от объема риска, передаваемого на перестрахование. Предпочтение отдается такому объему риска, который обеспечит страховой компании максимальное значение Rh и наибольший доход для цедента. В работах X. Шмидли [22] и Ц.Хиппа[23] оценка вероятности разорения с учетом инвестирования и перестрахования ищется как решение приведенной ниже задачи Коши: На основе (1.41) можно определить стратегию поведения страховой компании, обеспечивающую оптимальное сочетание дохода и вероятности разорения. Как и в случае применения формулы (1.10) для оценки вероятности разорения, описанные методы могут быть применены только в том случае, когда распределение размеров выплат является распределением с легким хвостом. Модели (1.39), (1.41) дают точные решения только в случаях с распределениями размеров выплат близкими к экспоненциальному.
Анализ влияния диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы на платежеспособность
Графики зависимости вероятности неразорения от начального капитала для случаев: а) без инвестирования; б) с инвестированием в безрисковые активы г-0.13; в) с инвестированием в рисковые активы /л = 0.4, а- 0.25, при и е [360,520]тыс. руб.,
Я - 3.82исков/день, с = 196.5 тыс. руб./день, И = 0.1 тыс. руб. Таким образом, мы получили возможность формировать стратегию инвестирования, в зависимости от размеров начального капитала, при фиксированных параметрах процесса риска, обеспечивающую более высокий уровень вероятности неразорения. Так, например, инвестирование в рисковые активы (// = 0.4; а = 0.25) позволяет достичь вероятности неразорения 0.95 при значении начального капитала 386.4 тыс. руб., при инвестировании в безрисковые активы (г = 0.13 ) вероятность неразорения 0.95 достигается при значении начального капитала 391.8 тыс. руб., а при отсутствии инвестирования требуется 447.3 тыс. руб. В приведенном случае при значениях начального капитала менее 444 тыс. руб. более высокую вероятность неразорения обеспечивают рисковые активы, при значениях начального капитала более 444 тыс. руб.- безрисковые.
Помимо задачи оценки зависимости вероятности неразорения от начального капитала при фиксированных значениях параметров модели коллективного риска, представляет интерес оценка зависимости относительной рисковой надбавки, обеспечивающей заданный уровень вероятности неразорения от размера начального капитала. Учитывая соотношение
Задача (2.6) решена численно для различных значений в (Приложение Ж, Таблица Ж.2 - Ж.4), а из численного решения уравнений (р{и 19) = р , где ср - заданный уровень вероятности неразорения, получили значения начального капитала и, которые представлены в приложении И (таблица ИЛ) для ср =0.95. Зависимости, представленные на рисунке 2.4, аппроксимировали сплайнами 3-го порядка (Приложение К, таблица К.1). Мы, для наглядности, аппроксимировали их обобщенными многочленами по системе функций (н/ЮО)1" ,/ = 0,1..5 с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов. В иллюстрируемом случае (Я = 3.82исков/день, Ф = 0.95 ) приближения имеют вид: Рисунок 2.4 - Зависимости между относительной рисковой надбавкой и начальным капиталом для случаев: а) без инвестирования, б) с инвестированием в безрисковые активы с доходностью 0.13, в) с инвестированием в рисковые активы /л = 0Л,а = 0.25, при Я = 3.82 исков/день, (р = 0.95 Подобные зависимости позволяют определять значение относительной рисковой надбавки, которая обеспечит заданный уровень вероятности неразорения, в зависимости от размера начального капитала. Так, например: страховой компании с начальным капиталом 400 тыс. руб. для обеспечения вероятности неразорения 0.95 требуется установить относительную рисковую надбавку в размере 71% при отсутствии инвестирования. Инвестирование в безрисковые активы с доходностью 0.13 позволяет снизить рисковую надбавку до 57.5%, при той же вероятности неразорения. Инвестирование в рисковые активы с доходностью 0.4 и волатильностью 0.25 позволяет снизить относительную рисковую надбавку до 55.5%. Предположим, что страховая компания имеет начальный капитал и и желает повысить вероятность неразорения за счет относительной рисковой надбавки. Для различных значений в, используя семейство решений задачи (2.6), нашли р(и /в) (Приложение Ж, таблица Ж.2 - Ж.4) и построили зависимость вероятности неразорения от относительной рисковой надбавки при фиксированном значении начального капитала. Зависимости вероятности неразорения от относительной рисковой надбавки при фиксированном размере начального капитала и =350 тыс. руб. в различных условиях инвестирования представлены в таблице И.2 (приложение И; в форме сплайнов 3-го порядка в приложении К, таблица К.2). Аппроксимации зависимостей вероятности неразорения от относительной рисковой надбавки, построенные для заданных параметров процесса риска (Я =3.82исков/день, м = 350 тыс. руб.) рекуррентным методом наименьших квадратов, представлены ниже (2.8), а соответствующие графики на рисунке 2.5.
