Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретическое исследование проблемы адекватного отображения в экономико-математических моделях преобразований систем экономических показателей 9
1.1. Сущность проблемы укрупнения показателей 9
1.2. Общие требования к преобразованиям укрупнения показателей 17
13. Модель межотраслевого баланса как инструмент экономического анализа 20
1.4. Многовариантность структур моделей - объективная закономерность теории и практики современных экономических исследований 26
1.5. Агрегирование и некоторые прикладные задачи 31
1.6. Об агрегировании в нелинейных моделях 40
1.7. Некоторые выводы 43
Глава 2. Математическая формализация и решение проблемы линейного агрегирования 45
2.1. Основные обозначения, определения и предположения, относящиеся к задаче укрупнения показателей в линейных моделях 45
2.2. Возможные постановки задач определения оптимального агрегирования 52
2.3. О решении задач равномерной и условной поэлементной оптимизации правил укрупнения 55
2.4. О возможности точного укрупнения и оценке нижней границы погрешности 60
2.5 Агрегирование при учете случайных погрешностей 64
2.6. Решение модельной задачи оптимизации агрегирования.. 65
Глава 3. Применение оценок точности преобразований агрегирования при построении, анализе и прогнозировании развития систем, описываемых схемой моб 70
3.1. Особенности свойств и способов построения оптимальных правил укрупнения для статической модели межотраслевого баланса 7 0
3.2. Оценки точности преобразований агрегирования в задаче выявление существенных хозяйственных связей (анализ матрицы прямых затрат) 74
3.3. Идентификация структурных изменений ...80
3.4. Возможное применение приемов агрегирования в динамической модели МОБ дискретного типа 83
3.5. О выборе правил агрегирования в одной динамической модели МОБ 85
Заключение 90
Основные обозначения 92
Список использованной литературы 93
- Общие требования к преобразованиям укрупнения показателей
- Модель межотраслевого баланса как инструмент экономического анализа
- Возможные постановки задач определения оптимального агрегирования
- Оценки точности преобразований агрегирования в задаче выявление существенных хозяйственных связей (анализ матрицы прямых затрат)
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Многообразие проблем моделирования экономических явлений, процессов и систем объективно предопределено собственно предметной областью исследования, одной из особенностей которой является многоуровневая, неоднородная структура. Изменения в целом в современной системе мирохозяйственных связей, процессы глобализации приводят к существенным преобразованиям в этой структуре, необходимости учета ранее считавшихся малозначительными факторов. Происходящее реформирование российской экономики также порождает интерес к построению моделей разного структурного состава, в частности, в связи со значительным смещением процессов формирования социально-экономической политики из федерального центра на региональный уровень. Динамичность всех этих процессов существенно повышает и требования к качеству прогнозирования развития экономики (мировой, государственной) в целом и ее отдельных подструктур, в том числе — к точности количественных оценок для прогнозируемых величин. Происходящие одновременно качественные изменения, возникновение новых технологий, информатизация, также требуют внесения корректив в «классические» модели экономического развития.
При практическом использовании экономико-математических моделей большое значение имеет точность определения их параметров. Для сколько-нибудь крупных экономических систем возникает проблема связи экономических показателей структурных единиц разных уровней. В математических моделях эти связи отображаются теми или иными преобразованиями укрупнения (агрегирования). Применимость укрупненных показателей в прикладных задачах будет опре-
деляться и непосредственно способом агрегирования. Если на каждом структурном уровне имеются взаимосвязанные показатели, то возникает также проблема отображения этих зависимостей в математических моделях для различных уровней. При этом математические конструкции, моделирующие эти зависимости, как правило, должны обладать одновременно сходными свойствами. В целом все отмеченные выше обстоятельства делают актуальным исследование проблемы адекватного отображения процесса агрегирования в экономико-математических моделях, оценки изменений, возникающих при переходе от одной системы взаимосвязанных показателей к другой. Необходимо разработать методику выбора возможных вариантов преобразования показателей, в том числе в зависимости от характера решаемых прикладных задач.
Решение данной проблемы в целом может быть дано лишь в самом общем виде, прежде всего в связи с разнообразием способов построения агрегированных показателей и зависимостей между показателями одного уровня. В данной работе рассматривается преимущественно случай линейной зависимости между показателями. Известно, что в экономических исследованиях он встречается достаточно часто, практически значим и может быть применен как первое приближение в ряде нелинейных задач.
Среди линейных (по существу) экономико-математических моделей наиболее важной, занимающей особое место является схема межотраслевого баланса (МОБ). Принимая первичность для экономики собственно материального производства, следует признать принципиальную важность моделей МОБ как эффективного инструмента для анализа, прежде всего, материальных связей между структурны-
ми составляющими экономики. Указанные выше проблемы имеют непосредственное отношение к схеме МОБ и от уровня их проработки может существенно зависеть ее практическая применимость.
Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка способов математически корректного и адекватного прикладным задачам отображения в экономико-математических моделях линейных преобразований укрупнения (агрегирования) экономических показателей для случая линейных зависимостей между ними вообще и в схеме МОБ в частности, с учетом специфики последней.
Для достижения данной цели были поставлены, а затем решены следующие задачи:
сформулировать требования к правилам (формулам) агрегирования, допускающие корректную формализацию и определяющие их применимость при решении прикладных задач;
дать оценки влияния преобразований, связанных с агрегированием, на точность выполнения требуемых соотношений между исследуемыми показателями;
сформулировать критерии оптимальности выбор правил агрегирования;
проверить возможность построения правил агрегирования, обладающих необходимыми свойствами (разработать соответствующие алгоритмы);
установить специфические особенности построения моделей, аналогичных МОБ и задач, связанных с анализом этих моделей, требующие учета при выборе правил укрупнения показателей и разработать способы поиска таких правил применительно к МОБ.
Объект исследования: национальная и региональные экономи-
ческие системы.
Предмет исследования: социально-экономические процессы в экономических системах с многоуровневой структурой, допускающие представление экономико-математическими моделями линейного типа.
Теоретической и методологической.основой диссертационного исследования послужили научные труды отечественных и зарубежных ученых по проблемам экономико-математического моделирования, в том числе по проблемам экономического роста и межотраслевого баланса : Р. Харрода, Р. Стоуна, Г. Тейла, Р. Алл єна, В.В. Леонтьева, С.А. Ашманова, СЮ. Глазьева, А.Г, Гранберга, B.C. Немчинова, В.В. Глухова, Д.С. Львова, В.Г. Медницкого, В.А. Колемае-ва, Г.Б. Клейнера и др. Применялись методы математического программирования и линейной алгебры; использовались статистические данные по отраслевым балансам.
Научная новизна. К числу наиболее существенных новых научных результатов, полученных в работе, относятся следующие:
предложены меры оценки влияния преобразований линейного агрегирования на точность выполнения требуемых линейных соотношений между укрупненными показателями, сформулированы соответствующие критерии выбора правил агрегирования, имеющие практически значимый экономический смысл;
разработаны алгоритмы построения оптимальных правил агрегирования для линейных моделей, в том числе учитывающие специфику схемы МОБ;
даны оценки влияния преобразований агрегирования на характеристики объектов, описываемых линейными соотношениями, в частности, на прогнозные значения в динамической модели МОБ.
На защиту выносятся:
сформулированное автором положение о подчиненности выбора правил укрупнения (агрегирования) экономических показателей системе заданных (теоретических) зависимостей между ними и спецификой решаемых прикладных задач;
совокупность критериев оценки точности отображения линейной зависимости между экономическими показателями при линейных преобразованиях агрегирования;
последовательность и этапы определения оптимальных по выбранным критериям правил укрупнения показателей;
-установленные обязательные свойства оптимальных правил укрупнения и численно-аналитический способ их построения, учитывающие принципиальные особенности статических моделей межотраслевого баланса;
- способ оценки значимости отдельных коэффициентов элемен
тов матрицы прямых затрат, оценки структурных сдвигов в схеме МОБ
по изменению точности представления агрегированных балансов.
Практическая значимость.
Результаты исследования могут быть использованы: при разработке структуры вновь создаваемых линейных экономико-математических моделей; при анализе достоверности и определении значимости имеющейся статистической информации; при прогнозировании развития крупных, в т.ч. региональных, экономических систем, особенно в тех случаях, когда анализу доступны только их укрупненные характеристики; в курсах общенаучных и специальных дисциплин экономических специальностей («исследование операций», «математическая экономика»).
Общие требования к преобразованиям укрупнения показателей
Примеры приемов и случаев применения операций укрупнения многочисленны. Хорошо известны такие агрегированные показатели, как индексы; известны нормативы агрегированного вида в банковском деле, а также обобщенные критерии в многокритериальных задачах оптимизации.
Классическое сглаживание временных рядов, вообще построение регрессионных зависимостей, являются в известном смысле операциями укрупнения.
В перечисленных случаях укрупненные показатели являются конечным результатом вычислений: их значения используются как итоговые, например, для взаимного сравнения или «передаются» в другие модели без «напоминания» о том, как они были получены.
Принципиально иначе дело обстоит именно при наличии связей (на микроуровне). Возможно, более точно было бы говорить не об укрупнении показателей, а об укрупнении зависимостей. В диаграмме, которой часто иллюстрируют проблему укрупнения «макропеременные»; А, а — соответственно «микро-» и «макросоотношения»; а,Р — «отображения (правила) агрегирования». При переходе к математической модели предполагается, что указанные стрелками связи выражены функциональными зависимостями (точный смысл обозначений будет своевременно конкретизирован далее). При этом также обычно считают, может быть не всегда выражая это явно, что горизонтальные связи здесь функционально, т.е. однозначно, обратимы; вертикальные — нет, что, собственно, и составляет проблему.
Заметим, что допускается агрегирование и по времени, так что «микро-» и «макропеременные» могут быть временными рядами (значений какого-нибудь фактора).
Вне зависимости от специального экономического смысла присутствующих здесь величин выполнение функционального соотношения рассматривается как важное, желательное свойство задачи (заметим, что в [4] это равенство положено в основу определения производственных функций).
Однако указанное равенство может и не выполняться, особенно, если на отдельные элементы диаграммы наложены ограничения. Простейшие примеры показывают, что такая ситуация типична и, таким образом, выяснение связей между элементами диаграммы становится содержательной задачей.
Действительно, по-видимому только в рассматриваемом в данной работе случае линейности всех элементов можно ожидать точного или хотя бы как правило приближенного свойства перестановочности. Для произвольного вида нелинейностей а(а(...)) и Р(А(...)) - функции разного типа. Отметим отдельно, что кроме линейных, возможно алгебраических, достаточно редко функции от разного числа переменных (а предполагается именно сокращение размерности) обладают практически идентичными свойствами.
В рамках рассматриваемого подхода считаются заданными типы зависимостей а и А, а также типы правил укрупнения, и подбираются их конкретные параметры. Очевидно, сколько-нибудь полезное с прикладной точки зрения исследование требует ограничения в выборе вида функций А и а. Мы считаем, что эти функции — линейные. Линейные соотношения, как известно, в экономических исследованиях встречаются достаточно часто, являются обычными, естественными в повседневной практике. С другой стороны, они могут быть применены как первое приближение при решении нелинейных задач. В этом случае естественно в первую очередь изучить свойства линейных же способов укрупнения.
Относительно несложно в каждом частном случае предложить методику подбора недоопределенных элементов диаграммы так, чтобы при каждом фиксированном Х=Х0 выполнялось
Однако при этом для произвольных значений X различие между а(а(Х)) и Р(А(Х)), как бы оно ни понималось, становится труднее анализировать, так как уже все связи в диаграмме (кроме А), становятся зависящими от X. В простейшем случае линейного «А» нарушается линейность «а» (см., например, агрегирование в межотраслевом балансе в [42]).
Определяющее значение это обстоятельство может получить при решении связанных с X , Y дальнейших задач исследования, например, оптимизации (см. [86] по поводу задач линейного программирования блочного типа). В связи с этим поставим целью отыскания правил укрупнения: либо независимо от значений X и Y, либо с учетом направления дальнейшего использования агрегированных соотношений.
Следует отдельно отметить, что укрупнение переменных в ограничениях вообще требует особого внимания, по понятным причинам: неконтролируемое из-за агрегирования нарушение ограничений может привести не к ошибочному, а принципиально неверному решению. Потенциально возможное их нарушение требует специальных критериев допустимости (типа штрафных функций).
Модель межотраслевого баланса как инструмент экономического анализа
При а = 0 левая часть равна z = (b2/a2) а при а=1 она равна t = (b,/a,) и, в силу постоянства знака производной принимает все промежуточные значения между z и t, причем только один раз. Значение правой части при любом Р также заключено между z и t, поэтому существует, и единственное, значение а, при котором левая часть равна правой. Данное значение а обеспечивает точное совпадение «агрегата» из экстремумов и точки экстремума агрегированной задачи, то есть мы получаем Y = Y . Несложно проверить, что существуют правила агрегирования, лучшие по иным кри -33 териям, например, по величине максимального отклонения р-у от РіУі+Р:У2 в каком то диапазоне, но не удовлетворительные при оптимизации по положению экстремумов.
В этой связи необходимо отметить, что ошибки в определении искомых величин, в данном случае - оптимальных значений объемов выпуска продукции, влекут за собой определенные экономические послед-ствия. Кроме «упущенной выгоды», это могут быть осложнения в складском хозяйстве из-за избыточных запасов сырья или готовой продукции, дополнительные транспортные расходы и другое. Зная оценки величины возможной ошибки, можно, в зависимости от текущей производственной ситуации, регулировать точность отыскания тех или иных показателей, являющихся наиболее экономически значимыми.
Несложно проверить, что существуют правила агрегирования, лучшие по иным критериям, например, по величине максимального отклонения р-у от Pjy,+p2y2 в каком-то диапазоне, но совершенно не удовлетворительные при указанной оптимизации.
Приведенные выше соображения допускают следующее обобщение, в котором оптимизация агрегирования происходит уже на самом раннем этапе.
Известно, что при подборе функции, наилучшим образом аппроксимирующей экспериментальные (отчетные) данные, часто полезным и необходимым этапом является сокращение размерности пространства объясняющих факторов. Связано это, как известно, с тем, что при большом числе факторов, включенных в зависимость и при небольшом числе исходных данных, погрешность аппроксимации допускает лишь весьма грубую оценку, во многих случаях неудовлетворительную. Известны процедуры, позволяющие достичь приемлемого компромисса между «гибкостью» подбираемой функции и величиной статистической погрешности. Иногда удовлетворительные результаты получаются при простом отбрасывании части факторов, т.е. вместо рассматриваются, например, функции где количество отобранных факторов и их конкретные индексы находятся по определенному алгоритму. Здесь и далее х,, х2, ... , хп -независимые (объясняющие) факторы, у - зависимая переменная, вид функций f и F зафиксирован. Также известно (см., например, [81]), что предварительное линейное преобразование пространства факторов может уменьшить их взаимную стохастическую корреляцию и тем самым улучшить качество окончательного результата. Таким образом, подбираются зависимости вида
Простое отбрасывание факторов также можно рассматривать как агрегирование. Этому случаю соответствует равенство нулю всех, кроме одного, коэффициентов ак. в каждой из формул, определяющих z..
Возможные постановки задач определения оптимального агрегирования
Пусть задана матрица А. Рассмотрим удовлетворяющие сделанным выше предположениям соотношения Если вектор X задан, то можно определить если задан вектор Y — соответственно
Равенство уА= уа означает возможность перестановки преобразования А и агрегирования - в приведенной выше диаграмме по направлению из левого верхнего в правый нижний угол, от X к у Оно будет верно при любом заданном X, если
Равенство хА=ха соответствует возможности перестановки агрегирования и А-1. Оно выполняется при любом заданном Y, если
При произвольно заданной матрице А подходящих а, р и а среди допустимых а и Р может и не найтись. Задачу определения оптимальных правил укрупнения в общем виде сформулируем следующим образом. При заданной матрице А подобрать а, Р и а так, что обеспечить наилучшее приближенное в каком-нибудь смысле выполнение соотношений (2.4), (2.5). Уточним сначала возможные критерии оптимального выбора правил агрегирования.
В качестве критериев предлагаются следующие: (здесь и далее — Z — какая-нибудь норма вектора или матрицы Z). Заметим, что оптимальные а, Р и а в этих задачах могут быть, вообще говоря, различными.
Действительно, J3A - act = (Р - ааА_,)А = a(a_,p - аА )-А и, следовательно, 5, = 5П если только А - а Ц = 1. Поскольку матрица а подбирается в процессе решения каждой из задач, выполнение последнего равенства возможно лишь в исключительных случаях (см. также далее формулу (2.10)).
Эти задачи можно назвать «равномерной оптимизацией». Их решение обеспечивает приближенную согласованность коэффициентов зависимостей AX=Y, ах=у и х = ссХ, у = pY. В силу неравенств при малых значениях 5j и 5П будут малыми и величины 5 , 5х, т.е равномерная оптимизация обеспечивает и поэлементную — в смысле соблюдения собственно баланса.
Однако верхние пределы этих, практически важных, оценок зависят от X (соответственно, Y) и поэтому могут быть ощутимо завышены. В реальных экономических задачах, в частности, при краткосрочном прогнозировании или при определении стационарных состояний, можно предположить, что вновь определяемые элементы X, Y и/или пропорции между ними изменяются мало относительно ранее известных (заданных) Х0 YQ. Поэтому, если будет установлено, что точная равномерная аппроксимация невозможна, имеет смысл рассмотреть задачи условной оптимизации на заданном множестве М значений X (или Y), а именно:
В задаче 3 речь идет о малых поэлементных отклонениях. В случае МОБ это соответствует краткосрочному прогнозу, при малых абсолютных изменениях объема валового выпуска в каждой из отраслей или малых абсолютных изменениях конечной продукции.
В задаче 4 рассматривается множество векторов X «приближенно пропорциональных» заданному вектору Х0 (фактически здесь Мх соответствует части единичной сферы в n-мерном пространстве), но, поскольку оценки величин 5 для векторов X и кХ, где к - любое число, к 0, однозначно связаны равенством 5 (кХ) = к-5 (X), мы получаем решение для множества векторов, лежащих в конусе с вершиной в начале координат и с осью Х0, в случае МОБ - для множества векторов валовых выпусков с примерно одинаковыми межотраслевыми пропорциями. (Пояснение: для единичных векторов выражение ХТХ0 - скалярное произведение - равно косинусу угла между ними). Такое сохранение межотраслевых пропорций имеет смысл принимать во внимание при долгосрочном прогнозировании.
В задачах 1, 3 могут быть введены дополнительные ограничения вида X 0 , уА- уа 0 , уА- уа 0. Первое естественно для схемы МОБ, следующие задают направленность минимизируемой погрешности. Аналогичные дополнительные ограничения формулируются для задач 2,4.
Очевидно, все указанные выше задачи могут исследоваться и, возможно, решены численными методами: целевые функции и ограничения в них относятся к относительно простым.
Действительно, после возведения в квадрат все оцениваемые в задачах 1-4 величины являются многочленами по совокупности переменных - элементов матриц а, р, а, а области поиска в задачах 3-4 и множества допустимых значений для элементов матриц а, Р, определяемые ограничениями их нормировкой и, возможно, неотрицательностью — выпуклые. Дополнительные ограничения, упомянутые в конце п.2.2 не нарушают этих свойств.
Представляется целесообразным исследовать возможность аналитического, хотя бы на отдельных этапах, решения. При этом неизбежны некоторые упрощающие предположения, прежде всего относительно нормировок.
Рассмотрим задачу 1. Выберем в качестве Z - корень квадратный из суммы квадратов элементов Z. Алгоритм поиска оптимальных а, Р, а разобьем на два этапа.
Оценки точности преобразований агрегирования в задаче выявление существенных хозяйственных связей (анализ матрицы прямых затрат)
Одним из основных компонентов МОБ являются коэффициенты прямых затрат, которые определяются собственно технологиями и определяются по первичной информации.
Существовавшая ранее, в эпоху плановой экономики, достаточно четкая система подготовки и передачи информации экономическим институтам на всех уровнях управления (государственном, отраслевом, региональном) в значительной степени нарушена. Переход к новым хозяйственным условиям породил совершенно новые отношения участников рынка к экономической информации. Фактически они просто стараются ее скрыть. Получить ранее общедоступную, достаточно полную и достоверную информацию в настоящее время в ряде случаев проблематично, учитывая в том числе и ее стоимость.
Однако потребность в такой информации существует, возможность создания ее адекватной замены является определяющим фактором для жизнеспособности разрабатываемых моделей.
Поэтому актуальными стали исследования по принятию управленческих решений в условиях неполной информации — и, как частный случай, - по оценке влияния неучтенных данных, в рассматриваемом случае - неизвестных элементах матрицы прямых затрат. Достаточно подробно указанные вопросы исследованы в [38].
Значительное место названной проблеме уделено в [66]; здесь также отмечается, что «... статистическая база анализа и прогнозирования до последнего времени остается главным препятствием для построения экономико-математических моделей».
Отметим два обстоятельства. Применяемый в [38] подход для определения элементов матрицы прямых затрат по т.н. критерию малости структурных сдвигов близок к постановке задач 3, За отыскания оптимальных укрупнений. Во-вторых, здесь выделяется как важная проблема уменьшения размерности задачи за счет отбрасывания «несущественных» элементов (в одном из случаев с примерно 480 до примерно 80) - и даже целых отраслей. Возникает вопрос о критериях отбора этих несущественных значений .
Процедура «исключения малозначащих отраслей» из схемы МОБ может быть сведена к одной из задач 1- 4 , поскольку исключение к-той отрасли - это тоже укрупнение, в котором k-тая строка матрицы ос является нулевой. Правда, такое укрупнение не удовлетворяет условию независимости строк. Предлагается следующая процедура выбора подлежащих укрупнению отраслей.
Рассматривая поочередно объединения одной из отраслей с каждой из остальных, можно оценить найти по какому-нибудь из критериев, рассмотренных в главе 2, погрешность, вносимую таким агрегированием. Отрасли могут быть упорядочены по значению максимальной для каждой из них погрешности объединения с другими отраслями или по величине суммарной погрешности. Отрасли с малыми значениями этого максимума могут рассматриваться как малозначащие; если заранее задать предел такой погрешности, то решение становится более определенным.
Указанная процедура с математической точки зрения, и скорее всего по существу, более корректна, чем простое отбрасывание только по экспертным оценкам, поскольку отбрасываемая отрасль реально остается в структуре экономической системы.
С вычислительной точки зрения данная схема вполне реализуема, т.к. число отраслей обычно невелико. Для n = 18 из [38] надо перебрать порядка 150 вариантов, часть которых, включающих «явно существенные отрасли», можно заранее отбросить. Большие значения числа отраслей встречаются в моделях относительно редко. Модель в [66] включает 25 отраслей, модель в [72] - двадцать одну. Можно также упорядочить отрасли заранее по какому-нибудь признаку: например, по максимальной сумме элементов соответствующих строк и столбца в матрице прямых затрат.
Для оценивания значимости отдельных элементов можно применить близкий подход. Действительно, отбрасывание (обнуление) отдельных элементов приводит к искажению соблюдения баланса и, как следствие, влияет на точность какого-нибудь применяемого в этой схеме укрупнения, соответственно, на вид оптимального укрупнения. Если среди некоторого набора «чистых» правил изменение данного элемента матрицы затрат ощутимо влияет на коэффициенты агрегирования, то этот элемент следует признать значимым.
Зафиксируем набор правил для «тестирования», т.е. определим количественный состав объединяемых групп отраслей или даже просто отдельные группы, без определения их весовых коэффициентов, рассчитаем эти коэффициенты при данном значении тестируемого элемента и при его определенном, например относительном, изменении (+ / - ...процентов). Далее элементы можно проранжировать по величине влияния на оптимальные правила, например по количеству правил, коэффициенты в которых изменились значительно в заранее указанном смысле. Если для большинства укрупнений влияние отдельного элемента невелико, его можно признать малозначащим.
Понятно, что решающим являются количество и подбор правил для испытаний, задающее в свою очередь время расчетов. Это количество, рассчитываемое по формулам типа (3.2), конечно быстро, а именно, экспоненциально растет с ростом числа отраслей. Для небольшой размерности (п = 10) время расчетов на ПК оказывается приемлемым. Переход к практически значимым значениям п (до 20) требует внимательной проработки алгоритма быстрого перебора вариантов.
Похожие диссертации на Оценки точности определения макроэкономических показателей и их применения (На примере межотраслевых балансов)
