Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Страхование и актуарные расчеты 12
1.1. Экономическая сущность страхования. основные понятия страхования и принципы страховой деятельности 12
1.2. Классификация страхования. виды страхования 17
1.3. Понятие риска. управление рисками в страховании. принципы расчета страховой премии 20
1.4. Математические методы расчета рискового страхования 30
Глава 2. Моделирование оптимального соотношения страхования и самострахования в краткосрочном и долгосрочном периоде 47
2.1. Формулировка задачи динамического стохастического программирования, описывающей взаимодействие страхования и самострахования 47
2.2. Неприятие риска, нейтральность к риску и расположенность к риску 55
2.3. Замкнутое решение при степенных функциях полезности 62
2.4. Оптимальная траектория благосостояния, потребления и страхового покрытия на бесконечном временном горизонте 69
Глава 3. Оптимальная форма страхового контракта при страховании нескольких рисков 88
3.1. Моделирование оптимальных страховых контрактов при фиксированной страховой премии 88
3.2. Сравнение страховых полисов с отдельными и агрегированными франшизами при фиксированной страховой премии 99
3.3. Влияние формы страхового контракта на спрос на страхование 103
Заключение 116
Литература 120
- Понятие риска. управление рисками в страховании. принципы расчета страховой премии
- Неприятие риска, нейтральность к риску и расположенность к риску
- Оптимальная траектория благосостояния, потребления и страхового покрытия на бесконечном временном горизонте
- Сравнение страховых полисов с отдельными и агрегированными франшизами при фиксированной страховой премии
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В условиях рыночной экономики страхование относится к числу наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей сферы услуг. Это обусловлено многообразием видов риска, с которыми сталкиваются предприятия и индивидуумы. Наиболее сложные и опасные по своим последствиям риски, не поддающиеся нейтрализации за счет внутренних механизмов, подлежат страхованию. Специфическим товаром страхового рынка является страховая защита - услуга, предоставляемая страховыми компаниями в отраслях имущественного, личного страхования и страхования ответственности. Цена страховой услуги, как и всякая рыночная цена, колеблется под влиянием спроса и предложения. Нижняя граница цены страхования определяется равенствами между поступлениями платежей от страхователей (страховыми премиями) и выплатами страховых возмещений по договорам плюс издержки страховой компании. При таком уровне цены страхования страховая компания не получает никакой прибыли по страховым операциям. Верхняя граница цена страховой услуги определяется размерами спроса на нее, подверженностью страхователей конкретным видам риска и величиной банковского процента по депозитам. Поскольку страховые премии должны покрывать управленческие расходы и приносить некоторую прибыль, страховые компании обычно взимают их в размере, немного превышающем размер ожидаемых убытков. Если страховых компаний достаточно, чтобы страховой рынок стал конкурентным, эти премии будут близки к актуарно справедливому уровню (страхование называется актуарно справедливым, если страховая премия равна ожидаемой страховой выплате).
Определение оптимальной стратегии страхователя (т.е. оптимального соотношения между использованием внутренних механизмов нейтрализации риска и страхования) в краткосрочном и долгосрочном периодах весьма важно для страховых компаний и страхователей при выборе различных схем контрактов
рискового страхования. Большое практическое значение имеет также определение условий конкурентоспособности страховщика, выяснение оптимальной формы страхового контракта при страховании одного или нескольких рисков, исследование влияния формы страхового контракта на спрос на страхование, определение оптимальной величины франшизы. Этим и определяется актуальность исследования.
Степень изученности проблемы. Организационно-экономические вопросы, возникающие в процессе функционирования рынка страховых услуг, активно исследуются в трудах отечественных ученых А.А. Александрова, Ш.Р. Агеева, Н.М. Васильева, К.Г. Воблого, А.А. Гвозденко, С.Л. Ефимова, Ю.М. Журавлева, Э.Т. Кагаловской, Т.В. Никитиной, В.А. Сухова, Т.А. Федоровой, А.К. Шихова, а также зарубежных ученых А. Андерсена, Е. Вагнера, Р. Коха, Г. Лукарша, Д. Маглера, Т. Ричтера, Д. Фарни, Е. Хелтена, Д. Хэмптона, Р. Шмец-ке, А. Шульца.
Методы актуарных расчетов (демографическая статистика и оценка ожидаемой величины страховых выплат для основных типов страхования жизни, различные способы уплаты страховых взносов, расчет страховых нетто- и брут-то-резервов) активно развивались в течение 20 века. Детальному изложению методов актуарных расчетов посвящены монографии X. Гербера, А.И. Калих-мана, И. Карри, Ю.Ф. Касимова, А.А.Кудрявцева, В.Б. Кутукова, Ф. Нейла, В.И.Рябикина, Г.И. Фалина, Э. Хелферта, Е.М. Четыркина, Э. Штрауба.
В основе страхования лежит понятие риска как случайного события, приводящего к ущербу. Для оценки риска необходимо знать среднюю величину ущерба и вероятность его наступления. Вопросы управления рисками, включающего идентификацию, измерение и контроль риска, рассматриваются в работах В.В. Аленичева, И.Т. Балабанова, Ю. Белова, В.А. Кардаша, X. Марнина, Т.В. Никитиной, К. Рэдхэда, В.Х.Сижажева, К. Стокера, Д. Хуммеля, С. Хьюза.
Оптимальная форма страхового контракта в статических условиях исследовалась в работах А. Равива, Ф. Рэмси, X. Шлезингера, К. Эрроу. Фундаментальную роль в исследовании оптимальной структуры страхового контракта сыграла теорема Эрроу, в которой установлено, что при страховой премии, зависящей только от актуарной стоимости страхового полиса, отвергающий риск страхователь предпочитает полис с прямой франшизой любой другой форме страхового полиса. А. Равив распространил этот результат на страхование нескольких рисков одновременно, рассмотрев Парето-оптимальные страховые контракты и показав, что оптимальной формой страхового контракта с несколькими рисками является контракт с совокупной франшизой. Однако реальные рынки страхования, как правило, страхуют каждый риск в отдельности, применяя отдельные франшизы. Поэтому теорема Эрроу - Равива имеет весьма ограниченное применение и требует распространения на реальные ситуации. Кроме того, оптимальную величину фактора нагрузки упомянутая теорема не устанавливает.
Кроме того, недостаточно разработаны вопросы оптимального соотношения страхования и самострахования (в зависимости от частоты страховых случаев, франшизы, нормы прибыли банковского депозита, фактора нагрузки и отношения страхователя к риску) и динамики спроса на страхование, что определило тему и постановку задач диссертационного исследования.
Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования заключается в разработке оптимальных форм страховых контрактов рискового страхования и в определении оптимального соотношения страхования и самострахования в краткосрочном и долгосрочном периодах.
Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач: - постановка задачи динамического стохастического программирования, описывающей взаимодействие страхования и самострахования с учетом накопления, потребления и экзогенного риска;
- вывод системы уравнений, определяющих оптимальную стратегию страхователя; определение на их основе оптимальных уровней потребления и страхования при различных функциях полезности страхователя в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия риска страхователя и интенсивности страховых случаев;
определение областей параметров задачи, в которых самострахование предпочтительнее страхования; изучение влияния цены страхования на спрос на страхование в долгосрочном и краткосрочного периодах;
выяснение влияния наложения обязательного страхования на оптимальную норму потребления страхователя;
выяснение структуры оптимального страхового контракта при страховании нескольких рисков; анализ различий страховых полисов с агрегированными и совокупными франшизами.
Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются финансово-экономические отношения, складывающиеся на страховом рынке. Объектом исследования являются страховые компании (страховщики) оказывающие услуги добровольного и обязательного страхования, и домашние хозяйства, фирмы и предприятия (страхователи).
Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам страхования, теории риска, экономики благосостояния, теории стохастической оптимизации. Информационно-документальной базой исследования являются законодательные и нормативные акты, данные Госкомстата РФ, а также собственные расчеты автора.
Представленное диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.4 "Разработка и исследование моделей и математических методов анализа
микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и предложения, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решении" и п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.
Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода использовались различные методы и приемы экономических исследований: монографический, сравнительный, математического программирования, графический, оптимизации, расчетно-конструктивный.
Научная новизна работы заключается в комплексном подходе к анализу оптимальной стратегии страхователя при выборе контрактов рискового страхования. Конкретное приращение научного знания характеризуется следующими положениями:
сформулирована задача динамического стохастического программирования, описывающая взаимодействие страхования и самострахования с учетом накопления, потребления и экзогенного риска. Риск ущерба описывается случайным процессом Пуассона. На основе предложенной модели получена система уравнений, определяющая оптимальную стратегию страхователя;
показано, что в отличие от статического опроса на страхование в динамических условиях страхование не может быть товаром Гиффена: увеличение мгновенной цены страхования (страховой премии) сокращает мгновенный спрос на страхование;
определены оптимальные уровни потребления и страхования (т.е. величины франшизы) в зависимости от величины фактора нагрузки, ко-
эффициента относительного неприятия риска страхователя, интенсивности страховых случаев и фактора временного предпочтения страхователя;
получено аналитическое выражение для эволюции оптимального благосостояния страхователя во времени как функции числа страховых случаев, франшизы, нормы прибыли безрискового депозита, фактора временного предпочтения страхователя, фактора нагрузки и коэффициента относительного неприятия риска страхователя;
получен критерий сходимости оптимальной траектории благосостояния страхователя к состоянию полного страхования. Определены области параметров задачи, в которых накопление капитала (самострахование) предпочтительнее страхования, а такие области, в которых страхование является временной переходной стратегией. Показано, что непрерывное увеличение цены страхования сокращает спрос на страхование в долгосрочном периоде, однако неоднозначно влияет на спрос на страхование в краткосрочном периоде: спрос на страхование определяется соотношением эффекта замещения (положительного) и эффекта благосостояния (отрицательного).
установлено граничное значение фактора нагрузки (условие конкурентоспособности страховщика), ниже которого в долгосрочном периоде страхователь покупает полное страхование, а выше которого спрос на страхование вообще отсутствует;
выяснено влияние наложения обязательного страхования на оптимальную норму потребления страхователя. Показано, что при изоэла-стичных функциях полезности обязательное страхование сокращает оптимальную норму потребления, если коэффициент относительного неприятия риска страхователя меньше единицы, и увеличивает оптимальную норму потребления, если этот коэффициент меньше едини-
«
цы. При логарифмической функции полезности наложение полного обязательного страхования не влияет на потребление;
выяснена структура оптимального страхового контракта при страховании нескольких рисков: установлено, что оптимальный страховой контракт для одного риска в присутствии других независимых рисков предполагает наличие страховой франшизы. Показано, что страховые полисы с раздельными франшизами обеспечивают страхователю меньшие страховые выплаты при высоких совокупных уровнях нескольких источников убытка и большие страховые выплаты при незначительных убытках;
выяснено влияние формы франшизы на спрос на страхование. Показано, что при малом значении фактора нагрузки, что соответствует почти полному страхованию рисков, оптимальная величина страховой премии выше для страхового контракта с отдельными франшизами, чем с совокупной франшизой. При больших значениях фактора нагрузки, соответствующих отсутствию спроса на страховые контракты с отдельными франшизами, существует положительный спрос на страховые контракты с совокупной франшизой. Если при большом значении фактора нагрузки спрос на страхование с агрегированной франшизой отсутствует, то отсутствует и спрос на страховые контракты с отдельными франшизами.
Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы могут быть использованы страховыми компаниями и страхователями при выборе контрактов рискового страхования. Определенные в работе оптимальные уровни потребления и страхования в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия риска страхователя, интенсивности страховых случаев и фактора временного предпочтения страхователя являются основой определения
оптимального соотношения страхования и самострахования. Результаты исследования спроса на страхование в зависимости от величины формы фактора нагрузки, а также сравнительный анализ страховых контрактов с агрегированными и раздельными франшизами определяют условия конкурентоспособности страховой компании. Результаты исследования использованы в учебном процессе при разработке программ и учебных курсов по страхованию и актуарным расчетам и экономико-математическому моделированию.
Апробация результатов исследования. Результаты и выводы диссертационного исследования докладывались автором на IV и V Всероссийских симпозиумах "Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск 2000,2002 гг.), региональных научных семинарах "Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки" (г. Волгоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2000-2003 гг.).
Публикации. Основные положения диссертационного исследования отражены в 4 публикациях автора объемом 2,2 п. л.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 129 страницах машинописного текста, содержит I таблицу и 11 рисунков.
Понятие риска. управление рисками в страховании. принципы расчета страховой премии
В основе страхования лежит понятие риска как случайного события, приводящего к ущербу. В развитии этого понятия выделяются три ступени. Риск определяется в самом общем виде как вероятностное распределение результатов хозяйственной деятельности субъекта. Неоднозначность этих результатов следует из неопределенности факторов внешней среды и неполноты информации, которая свойственна процессу принятия решений.
Неопределенность воздействия внешней среды выражается в том, что предполагаемые результаты от совершения каких-либо действий оказываются часто недостижимыми из-за влияния случайных факторов. Действие этих факторов может исходить от естественной среды (стихийные бедствия), технической среды (отказ технических средств), хозяйственной среды (действия конкурентов и потребителей), общественной среды (изменение законодательства). Поскольку влияние внешней среды нельзя полностью предусмотреть, то можно считать перечисленные факторы в определенной мере случайными.
Лицо, принимающее решение, чаще всего не имеет полной информации о процессе и тех факторах, которые могут оказать воздействие на ожидаемые результаты. Как правило, оба эти фактора неопределенности результатов совмещаются: эффект действия не полностью определен и информация о взаимосвязи между действием и результатом недостаточна. В итоге возникает такая ситуация, при которой любое принимаемое решение или действие ведет не к какому-либо одному определенному результату, а к некоторому вероятностному распределению ожидаемых результатов. В этой множественности результатов и заключается риск для лиц, принимающих решение.
Распределение вероятностей характеризуется некоторыми показателями, представляющими несомненный интерес для действующих лиц. Это ожидаемое значение результата и разброс значений. Ожидаемое значение - это средневзвешенная всех результатов, где весами служат их вероятности. Разброс измеряется показателями дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициентами вариации.
Вторая ступень определения риска связана с введением понятия плановых ожиданий субъекта, принимающего решение. Риск определяется как отклонение фактических результатов от их плановых ожиданий. Это представление о риске лучше всего демонстрируется поведением хозяйствующего субъекта. Его положение зависит не от одного решения, а от многих решений, принимаемых в процессе деятельности. Фактически достигаемые результаты отклоняются от ожидаемых в ту или иную сторону, и эти отклонения являются выражением риска. С этой точки зрения риск определяется как возможность расхождения между запланированным и фактическим результатом. Если исходить из того, что хозяйствующий субъект воспринимает как риск только возможность негативных результатов, то для практического исследования рисков целесообразно именно такое, суженое представление о риске: риск как распределение вероятностей неблагоприятных результатов.
Вероятностные распределения ущербов часто называют чистыми рисками. В этой связи различают чистые риски и риски спекулятивные. Чистые риски связаны со случайными событиями, влекущими за собой только убытки или ситуацию, при которой положение остается неизменным, не улучшается. Это риски дорожно-транспортных происшествий, кражи, пожары и т.п. Спекулятивные риски предполагают возможность получения как негативных, так и положительных результатов. Разделение рисков на чистые и спекулятивные важно потому, что чистые риски страхуются, а спекулятивные, как правило, не страхуются, так как слишком зависят от субъективных поведенческих факторов.
Оценка рисков - важный вопрос для их страхования. Для оценки рисков необходимо знать среднюю величину ущерба и вероятность его наступления или частоту ущерба. 1. Вероятность ущерба Я .
Оценивается чаще всего на основе статистических данных о числе случаев ущерба на совокупность объектов, подверженных данному риску. 2. Ожидаемое значение ущерба Е(Х).
Если Х/и Х2 - два возможных значения величины убытков, имеющие соответственно вероятности м и 7 2 , то математическое ожидание величины ущерба будет 3. Разброс возможных значений ущерба оценивается дисперсией
Соотношение между частотой и величиной ущерба может быть различным для разных рисков. Наиболее часто встречаются два типа их сочетания. Первый тип - большинство рисковых ситуаций характеризуется высокой частотой и небольшими: размерами ущербов. Это риски потерь и уничтожения имущества, производственного травматизма и т.д. Второй тип: сочетание низкой частоты и значительной величины ущерба. Примером могут служить авиационные и морские катастрофы. Их вероятность незначительна, но если эти события происходят, то приводят к очень большим потерям.
Естественно желание человека оградить себя от риска или уменьшить вероятность ущерба. Для этого требуется детальное изучение рисков и их классификация. В качестве критериев классификации могут служить: классы объектов, которым угрожают риски; причины возникновения рисков; возможность влияния на риски.
Схема классификации рисков и ущербов показана на Рис. 3. По возможности воздействия на риск можно выделить: экзогенные (внешние риски), лежащие вне области решений хозяйствующего субъекта, который может лишь бороться с их последствиями, пытаясь уменьшить возникшие ущербы;
Неприятие риска, нейтральность к риску и расположенность к риску
Отношение людей к риску различается. Некоторые люди не приемлют риск, другие относятся к нему нейтрально, а некоторые любят риск. Человек, который, не расположен к риску (отвергает риск), при одном и том же ожидаемом значении дохода предпочитает определенный установленный доход доходу, связанному с риском. Такие люди отличаются уменьшающейся предельной полезностью дохода. Неприятие риска в основном характерно для людей. Таким образом, для нерасположенного к риску индивидуума полезность определенного дохода выше, чем ожидаемая полезность неопределенного дохода, связанного с риском:
Человеку, нейтрально относящемуся к риску, безразличен выбор между определенным и неопределенным доходом при одинаковом ожидаемом значении. Предельная полезность дохода для равнодушного к риску человека остается постоянной. Для такого человека
Наконец, человек, который любит риск, предпочитает неопределенный доход определенному, даже если ожидаемое значение неопределенного дохода меньше, чем у определенного. Такие люди отличаются возрастающей предельной полезностью дохода. В этом случае ожидаемая полезность определенного дохода будет выше, чем полезность, связанная с определенным доходом
Типовые функции «рисковой» полезности показаны на рис. 5. Неприятию риска соответствует вогнутая функция полезности, нейтральному отношению к риску - линейная по доходу функция полезности, а расположенности к риску - выпуклая функция полезности. Первые производные всех трех типовых функций полезности положительны. Вторая производная от функции полезности, соответствующей неприятию риска, отрицательна, нейтральное отношению к риску - равна нулю, а расположенности к риску - положительна.
Интенсивность отношения к риску характеризуется коэффициентом абсолютной нерасположенности к риску (ARA), введенным Эрроу и Праттом [79]:
Введенный Эрроу и Праттом коэффициент для измерения абсолютной нерасположенности к риску позволяет исследовать функции рисковой полезности на предмет учета в них правдоподобного отношения к риску. Нужно только определить, является ли первая производная коэффициента ARA(W0) по Wo положительной, отрицательной или нулевой.
Отрицательный знак показывает, что абсолютная нерасположенность к риску тем меньше, чем богаче лицо, принимающие решение (убывающая абсолютная нерасположенность к риску). Заметим, что квадратичные функции полезности являются не очень правдоподобными, так как они предполагают возрастающую абсолютную нерасположенность к риску. Несколько более правдоподобными являются экспоненциальные функции полезности, так как они приводят к постоянной абсолютной нерасположенности к риску.
Кроме коэффициента абсолютной нерасположенности к риску, используется также коэффициент относительной нерасположенности к риску, определяемый следующим образом:
Приведем основные типовые функции полезности, получаемые на основе функции HARA (гиперболической функции абсолютного неприятия риска) Эта функция определена в области В зависимости от выбора параметра у можно получить следующие особые типы функций полезности. 1. Линейная функция полезности. При у=1 , имеет место нейтральное отношение к риску (линейная функция полезности). Чтобы это показать, преобразуем функцию HARA следующим образом: 3. Экспоненциальная функция полезности. Чтобы получить экспоненциальную функцию полезности, положим у -» со и b = 1. Чтобы показать, что эти допущения действительно приводят к экспоненциальной функции полезности, перепишем функцию HARA в виде:
В изоэластичном случае мгновенные потребление и ставка удержания пропорциональны «исправленному благосостоянию» Y(t), которое является суммой текущего благосостояния W(t) и (t) , a (t) представляет собой дисконтированную величину будущих некапитализируемых доходов за вычетом будущих полных страховых премий. Такое определение предполагает, что полное страхование оптимально, если текущее благосостояние снижается до - (t). Если W= - (t) в момент /, индивидуум обладает достаточным мгновенным капиталом (заработком), чтобы платить за полное страхование непрерывно до момента Т. Поскольку предельная полезность благосостояния индивидуума стремится к бесконечности, когда W стремится к - (t) приоритетной задачей для него является избегание любого риска, способного привести к снижению его уровня благосостояния. Это может быть достигнуто путем полного страхования экзогенного риска и сокращения потребления до нуля. Это крайняя стратегия, в которой потребитель не имеет никакой другой альтернативы, кроме страхования риска полностью. Нетрудно проверить, что если "исправленное благосостояние" становится равным нулю в момент времени /, то «исправленное благосостояние» будет иметь нулевой оптимум вплоть до момента времени Т, поскольку имеет место равенство: так как C(W,t)=D(W,t)=0 при W=- (t). В этой ситуации большее потребление сегодня означает с вероятностью, равной единице, что потребление станет отрицательным в некоторый момент времени в будущем, если это избыточное потребление финансируется за счет сокращения резервов капитала или расходов на страхование. Здесь и далее предполагаем, что WQ превосходит - (t0). В противном случае, как следует из проведенного выше обсуждения, функция стоимости I(W, t) будет тривиальной.
Заметим, что норма удержания в расчете на рубль "исправленного благосостояния" d(t) является функцией мгновенной цены страхования и мгновенного распределении тяжести страховых случаев. Изменения в будущей цене страхования или в будущем распределении тяжести страховых случаев не оказывают влияния на мгновенный спрос на страхование в расчете на рубль "исправленного благосостояния". Спрос на страхование также не зависит от времени, остающегося до наступления Т. В известном смысле такая "близорукая" стратегия оптимальна. Заметим также, что на норму удержания d(t) не оказывают влияние изменения дисконтного фактора или процентной ставки.
Оптимальная траектория благосостояния, потребления и страхового покрытия на бесконечном временном горизонте
Рассмотрим ситуацию, когда временной горизонт бесконечен, т.е. Г—«о. Параметры в, г и w примем постоянными, а распределение тяжести убытков в случае инцидента вырожденным: x(t) = 1 с вероятностью, равной единице. Сделанное предположение о независимости параметров в, г и w от времени позволяет провести долгосрочный асимптотический анализ задачи, а предположение о распределении тяжести убытков сделано для получения наглядных хорошо интерпретируемых результатов. Распределение тяжести убытков нормировано на единицу, так что d можно интерпретировать либо как норму удержания, либо как прямую франшизу страхового договора. Полный поток страховой премии P(t) принимает вид (1 + в)к.
Оптимальная стратегия Сделанные допущения предполагают, что функции I, С, и D зависят только от благосостояния W. Поэтому эти функции зависят от времени только неявно, поскольку благосостояние W зависит от времени. Это означает, что функции (i), j(t) ,c(t) и d(t) не зависят от времени. После очевидных преобразований получаем для них следующие выражения:
Это та же стратегия потребления, что и в стандартной задаче Рэмси без неопределенности [122] . Поэтому можно заключить, что закон потребления не испытывает воздействия неопределенности при логарифмической функции полезности.
Зависимость d(6) иллюстрируется на рис.6 при различной нерасположенности к риску страхователя.
Представляет интерес исследование оптимального поведения в случае инцидента с чистой потерей D. В такой ситуации возможны две стратегии. Первая стратегия состоит в том, что индивидуум может сократить потребление на величину AC=D в течение некоторого периода времени для компенсации убытка. Убыток от инцидента тем самым полностью превращается в убыток краткосрочного потребления и не имеет последствий в долгосрочном периоде. В качестве альтернативной стратегии индивидуум может выбрать амортизацию последствий от инцидента путем небольшого долгосрочного сокращения потребления. Вторая стратегия оптимальна. Действительно, для логарифмической функции полезности, например, можно получить:
Если инцидент происходит, потребление уменьшается на величину, которая является малой частью S чистого убытка. Потребитель предпочитает сократить свои финансовые резервы в случае инцидента, нежели резко уменьшить текущее потребление для компенсации убытка. Существование финансовых резервов подразумевает, что убыток, связанный с инцидентом, гораздо менее чувствителен, чем в статических моделях, когда потребитель должен адаптировать текущее потребление к текущим потерям. Это позволяет увеличивать франшизу. Поскольку / представляет собой линейное преобразование санкции полезности и, оптимальная норма удержания на рубль "исправленного благосостояния" в динамической модели совпадает с оптимальной нормой удержания на рубль потребления в статической модели.
Траектория благосостояния Решим стохастическое дифференциальное уравнение (14) вдоль опти-мальной траектории. Подставляя в это уравнение Y{t) = W(t) + W0, получаем "Исправленное благосостояние" плавно меняется с постоянной скоростью до тех пор, пока инциденты отсутствуют. Если инцидент происходит (dq = 1) , "исправленное благосостояние" уменьшается за счет члена -D/Y dq, пропорционального благосостоянию. "Исправленное благосостояние" мгновенно уменьшается на величину d=D/Y, так что
Из последнего равенства следует, что Поскольку Это уравнение определяет благосостояние в момент / как функцию уже случившегося числа инцидентов. Заметим, что решение (29) теряет смысл при условии WQ -W0. Действительно, этот случай приводит к отрицательным значениям Y вдоль всей траектории (26), генерируя тем самым отрицательное потребление и франшизу. Эти значения не имеют смысла, поскольку изоэластич-ная функция полезности определена на R+ . Условие (28) также предполагает,
А что если W0 превосходит- WQl тогда запас капитала W будет оставаться большим, чем эта нижняя граница, вдоль всей оптимальной траектории. Когда запас капитала приближается к этой нижней границе, потребитель становится бесконечно не принимающим риск и сокращает величину франшизы, чтобы избежать нулевого потребления.
В отсутствие убытков скорость прироста запаса капитала равна же в отсутствие инцидента. Это оптимально благодаря большому коэффициенту дисконта 8. Заметим, что л9 представляет собой чистую ожидаемую прибыль от увеличения франшизы на один рубль. Действительно, увеличение франшизы на один рубль уменьшает страховую премию на тогда как оно (увеличение франшизы на один рубль) уменьшает ожидаемое возмещение ущерба, выплачиваемое в случае инцидента на величину %. Другими словами, величина л0 представляет собой ожидаемый доход от «инвестирования во франшизу». Это позволяет заключить, что капитал накапливается в отсутствие убытков тогда и только тогда, когда величина дисконтного фактора меньше суммы свободной от риска процентной ставки и ожидаемого дохода от увеличения франшизы.
Тем не менее, ожидаемое "исправленное благосостояние" может убывать вдоль оптимальной траектории даже при условии если индивидуум периодически несет убытки. Если накопление капитала в отсутствие убытков недостаточно велико, чтобы компенсировать ожидаемые убытки, скорость прироста ожидаемого "исправленного благосостояния" будет отрицательной. Чтобы вычислить эту скорость прироста, заметим, что если q(t) представляет собой процесс Пуассона с параметром л, то для любого скаляра к имеет место равенство
Сравнение страховых полисов с отдельными и агрегированными франшизами при фиксированной страховой премии
В целях иллюстрации предположим, что отдельные франшизы, приме няемые для отдельных источников убытков (dj и di) совокупной страховой франшизе (d), т.е. d— d/ =di. Безусловного приведет к изменению актуарной, стоимости, страхового полиса. Из рис. 8 нетрудно видеть, что в этом случае реализация инцидентов Р приведет к нулевой страховой выплате, поскольку значения случайной величины X/ и х2 каждое в отдельности меньше d. Реализация инцидентов у приведет к получению положительной страховой выплаты только по убытку xl, что приводит к итоговой потере для потребителя, обозначенной точкой у на Рис. 8. Аналогично, реализация двух инцидентов, соответствующая точке а на плоскости (JC/ , х?) , приводит к получению положительной страховой выплаты только по убытку, влекомому инцидентом х2, а результи рующая потеря для страхуемого лица изображается точкой а . Для реализации инцидентов, в которых убытки X] и Х2 каждый в отдельности превышают величину страховой франшизы d , например, изображаемых точкой ц на плоскости (xi , х2), страховые выплаты по каждому из инцидентов будут положительны, а итоговая потеря для потребителя составит 2d, что соответствует точке ц на плоскости. Отсюда можно сделать вывод, что распределение результирующих убытков определяется отождествлением прямой на плоскости (xj, xj с точкой (d,X2) и отождествлением прямой с точкой (х/ ,d). Заметим, что такое отождествление отображает инциденты, в которых убытки JC/ и х2 каждый в отдельности превосходит величину страховой франшизы d (например, точка rf) с одной и той же точкой ц ".
Имея такой инструментарий, мы можем сравнивать оптимумы первого порядка, обозначенные I (xi,X2) , с оптимумами второго порядка, которые будем обозначать
Сформулируем следующее Предложение. не могут выполнятся одновременно, поскольку в противном случае актуарная стоимость полиса будет ниже для / , чем для / . Без потери общности примем, что dj d. Определим Ъ = d - dt Далее пункты № 1,2,3 Предложения 2 непосредственно следуют из Рис. 10.
Предложение 2 показывает, что для фиксированной страховой премии индивидуум иногда получает большую страховую выплату при независимом страховании отдельными контрактами, чем соответствующая оптимуму первого порядка, а иногда меньшую. Поэтому очевидно, что даже хотя вопрос о выборе оптимальной страховой премии не затрагивался, Предложение 2 показывает, что полисы с отдельными страховыми франшизами, имеющие оптимумы второго порядка, принципиально отличаются от оптимума первого порядка.
Из Предложения 2 также следует, что если оба убытка достаточно велики, то полная страховая выплата с отдельными страховыми франшизами будет меньше, чем страховая выплата, соответствующая оптимуму первого порядка. Следующие следствия непосредственно вытекают из Предложения 2.
Поэтому, всякий раз, когда страховая выплата для оптимума второго порядка превосходит страховую выплату, соответствующую оптимуму первого порядка, один из двух страховых полисов ничего не платит. Если рассмотреть достаточно часто встречающийся случай, когда каждый из убытков представляет собой убыток типа "все или ничего", так что областью возможных значений случайных величин X] и Хг являются только две точки (для каждой из случайных величин), одна из которых нуль, то можно сформулировать следующее Следствие.
Таким образом, оптимум второго порядка соответствует получению более низкой страховой выплаты, чем страховая выплата, соответствующая оптимуму первого порядка, в случае, если случаются оба инцидента. Если случается только один инцидент, страховая выплата, соответствующая оптимуму второго порядка, выше страховой выплаты, соответствующей оптимуму первого порядка.
В этом разделе выясним, увеличивает или уменьшает совокупная франшиза спрос на страхование. Из раздела 3.1 следует, что оптимальная форма страхового контракта предполагает совокупной франшизы, что приводит к следующей оптимальной страховой выплате:
Однако в реальной практике страхования совокупные франшизы применяются достаточно редко, т.е. реальные страховые контракты не являются оптимальными первого порядка.
С точки зрения потребителя существуют две возможные стратегии реагирования на такую неэффективную структуру страховых контрактов: увеличение или уменьшение спроса на страхование. Априори не ясно, как поведет себя спрос на страхование в условиях, когда страховщики предлагают страховые полисы с раздельными франшизами.
Рассмотрим общепринятые в страховании линейные функции, определяющие пошлину где с - фактор нагрузки. Если страховщик предлагает страховые контракты, имеющие оптимум первого порядка, задача для потребителя записывается в следующем виде
