Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретические основы организации и регулирования рынка труда 10
1.1 Основные категории и особенности рынка труда 10
1.2 Региональный рынок труда: его характеристика, задачи моделирования и прогнозирования (на примере Карачаево-Черкесской республики) 24
1.3 Основные направления применения экономико-математического моделирования в анализе трудовых показателей 38
1.4 Выводы по главе 56
2 Методика построения модели самоорганизации рынка труда 58
2.1 Методика вычисления вероятностей движения рабочей силы по отраслям экономики 58
2.2 Реализация модели самоорганизации рынка труда многоотраслевой экономики 60
2.3 Анализ устойчивости регионального рынка труда 65
2.4 Выводы по главе 94
3 Прогнозирование и управление устойчивостью регионального рынка труда 96
3.1 Временные ряды показателей устойчивости регионального рынка труда 96
3.2 Прогнозирование показателей устойчивости рынка труда 98
3.3 Формализованные подходы к управлению устойчивостью регионального рынка труда 117
3.4 Выводы по главе 130
Заключение 131
Список литературы 133
Приложения 142
- Основные категории и особенности рынка труда
- Основные направления применения экономико-математического моделирования в анализе трудовых показателей
- Анализ устойчивости регионального рынка труда
- Формализованные подходы к управлению устойчивостью регионального рынка труда
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Рынок труда представляет собой динамическую систему социально-трудовых отношений, связанных с реализацией способностей к труду трудоспособного населения на основе рыночных принципов и закономерностей воспроизводства рабочей силы. Развитие рыночных отношений как в экономике в целом, так и в сфере занятости, индивидуализация процессов жизнедеятельности человека подвергли значительному изменению систему функционирования балансов трудовых ресурсов.
Становление рынка труда в России имеет неустойчивый характер в силу следующих причин. Во-первых, рынок труда является не сбалансированным, т.е. при достаточно большом числе вакантных рабочих мест имеется значительное число безработных, чья профессиональная или квалификационная подготовка не соответствует требованиям работодателей. Во-вторых, отсутствует реальный рынок доступного жилья, который мог бы сдерживать территориальное перераспределение трудовых ресурсов. В-третьих, экономика России все еще продолжает быть высокомонополизированной.
Моделированию состояния рынка труда и анализу его устойчивости посвящено ограниченное количество публикаций отечественных и зарубежных авторов. Среди известных математических подходов к моделированию рынка труда можно выделить модель А.Н. Васильева самоорганизации рынка труда для одной отрасли, которая развита Е.А. Семенчиным и И.В. Зайцевой для многоотраслевой экономики. Указанная модель имеет теоретический характер, в ней не указываются методики для практической реализации. Кроме того, в работах указанных выше авторов рассматриваются вопросы исследования статической устойчивости модели, в то время как в научно-практическом плане представляет интерес исследования и прогнозирования параметрической устойчивости или устойчивости функционирования рынка труда. В условиях нестабильной обстановки на рынке труда прогнозирование устойчивости его функционирования позволит научно обосновать возможные состояния рассматриваемой экономической подсистемы, указать альтернативные пути ее развития. Указанные неисследованные моменты определили актуальность темы настоящей диссертационной работы.
Степень разработанности проблемы. Проблемы формирующегося в России рынка труда нашли свое отражение в работах Адамчук В.В., Белокрыловой О.С., Волгина Н.А., Казначеевой Н.Л., Колоснициной М.Г., Ниворожкиной Л.И., Разумовой Т.О., Ромашова О.В., Рощина С.Ю., Рофе А.И., Сорокиной М.Е., Четверниной Т., Шухмина А.Г. и др.
Результаты исследований человеческого капитала в развитых странах нашли свое отражение в работах таких авторов, как К. Брэнэс, З. Грилихес, Х.В. Хонес, Р.С. Смит, Р.Дж.Эренберг и других. Основоположником подобных исследований является лауреат Нобелевской премии Г. Беккер, который ввел в оборот термин «человеческий капитал». Эконометрические основы исследований в данной области развиты в трудах Нобелевских лауреатов Д. Макфадена, Я. Минцера, Дж. Тобина, Дж. Хекмана, а также Р. Гронау, С. Лонга, Т. Мроуза и др.
Вопросы устойчивости рынка труда рассмотрены в трудах А.Н. Васильева, Е.А. Семенчина, И.В. Зайцевой. В этих работах представлена модель самоорганизации рынка труда, которая имеет синергетические аспекты.
Соответствие темы диссертации требованиям паспорта специальностей ВАК (по экономическим наукам). Диссертация соответствует специальности 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики по формуле специальности по п. 1.9. Разработка и развитие математических методов и моделей анализа и прогнозирования развития социально-экономических процессов общественной жизни: демографических процессов, рынка труда и занятости населения, качества жизни населения и др.
Объектом исследования является рынок труда Карачаево-Черкесской республики.
Предметом исследования выступают временные ряды увольнения и передвижения рабочей силы по отраслям экономики Карачаево-Черкесской республики.
Рабочая гипотеза диссертационного исследования основывается на системе научных взглядов автора, согласно которой устойчивость регионального рынка труда с присущими ему внутренними противоречиями, тенденциями и закономерностями не может быть оценена и спрогнозирована существующими моделями анализа движения рабочей силы по отраслям экономики. Поэтому необходима разработка и внедрение практических методик, включающих построение практической модели самоорганизации рынка труда, адаптацию существующих методов исследования статической и параметрической устойчивости, прогнозирование и управление показателями устойчивости.
Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертационной работы является разработка экономико-математических методов анализа и прогнозирования устойчивости процессов на региональном рынке труда.
Достижение поставленной цели определило необходимость решения следующего комплекса взаимосвязанных задач:
– разработать методики построения практической модели самоорганизации рынка труда для многоотраслевой экономики;
– адаптировать методы исследования устойчивости процессов, происходящих на региональном рынке труда, для обнаружения статических и динамических свойств;
– реализовать прогнозирование показателей устойчивости для его управления на региональном рынке труда;
– реализовать управление степенью устойчивости регионального рынка труда.
Теоретико-методологическая основа исследования. Теоретическую базу реализации поставленных задач составили научные труды современных российских и зарубежных ученых в области экономики труда, самоорганизации рынка труда, его устойчивости, статистического анализа временных рядов, экономико-математических методов и моделирования, прогнозирования экономических временных рядов, а также известные теоретические и методологические вопросы отражения процессов перераспределения трудовых ресурсов.
Инструментально-методический аппарат. При разработке проблемы
использовались методы теории систем и системного анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, математической статистики, фрактального анализа, клеточных автоматов, нечетких систем и прикладного нелинейного программирования.
Информационно-эмпирическая и нормативно-правовая база исследования формировалась на основе материалов территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Карачаево-Черкесской республике по вопросам труда и занятости в регионе, Министерство труда и социального развития КЧР, а также собственных расчетов автора.
Научная новизна результатов исследования состоит в системном подходе к исследованию вопросов построения практической модели самоорганизации рынка труда, а также вопросов прогнозирования устойчивости процессов на региональном рынке труда.
К числу положений, содержащих приращение научного знания, относятся следующие:
– предложена методика формирования модели самоорганизации рынка труда, основанная на вычислении вероятностей увольнения и передвижения рабочей силы по отраслям экономики и не имеющая аналогов в научной литературе;
– определены новые направления анализа устойчивости рынка труда, базирующиеся на методах нелинейной динамики: фрактального анализа для обнаружения наличия долговременной памяти во временных рядах показателей устойчивости;
– предложен метод прогнозирования устойчивости регионального рынка труда на основе динамических рядов показателей устойчивости, состоящий в адекватном представлении временных рядов показателей устойчивости лингвистическими и реализации клеточно-автоматной прогнозной модели;
– реализован вариант управления степенью устойчивости регионального рынка труда на основе методов избирательного управления теории систем, заключающийся в формировании сигнала управления вероятностями трудоустройства для обеспечения необходимого приращения степени устойчивости.
Теоретическая и практическая значимость работы. Основные теоретические, методические и алгоритмические подходы, впервые нашли применение для исследования процессов на рынке труда, прогнозирования их устойчивости в целях эффективного управления. Практическое значение работы определяется тем, что результаты исследования рынка, выработанные методические и практические рекомендации могут быть использованы при планировании (в том числе и индикативном) и прогнозировании развития рынка труда и занятости населения, а также при разработке мероприятий по повышению его устойчивости.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях: XII Международной конференции «Современные проблемы информатизации» (Воронеж, 2006); Международной конференции «Прикладные исследования и разработка по приоритетным направлениям науки и техники» (Москва, 2009); Международной научно-практической конференции «Инновационная экономика и промышленная политика региона (ЭКОПРОМ-2009) (Санкт-Петербург, 2009); Международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика» (Архангельск, 2010).
Отдельные положения диссертационного исследования используются Министерством экономического развития СК, а также в учебном процессе Ставропольского государственного университета при проведении занятий по курсу «Теория систем и системный анализ».
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ общим объемом 3,8 п.л.
Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников, приложений. Исследование выполнено на 159 страницах основного текста, содержит 14 рисунков, 32 таблицы. Список использованных источников содержит 128 наименований.
Структура диссертации:
Введение
1. Теоретические основы организации и регулирования рынка труда
1.1. Основные категории и особенности рынка труда
1.2. Региональный рынок труда: его характеристика, задачи моделирования и прогнозирования (на примере Карачаево-Черкесской республики)
1.3. Основные направления применения экономико-математического моделирования в анализе трудовых показателей
2. Методика построения модели самоорганизации рынка труда
2.1. Методика вычисления вероятностей движения рабочей силы по отраслям экономики
2.2 Реализация модели самоорганизации рынка труда многоотраслевой экономики
2.3 Анализ устойчивости модели перераспределения рабочей силы для регионального рынка труда
3 Прогнозирование и управление устойчивостью регионального рынка труда
3.1. Временные ряды показателей устойчивости регионального рынка труда
3.2 Прогнозирование показателей устойчивости рынка труда
3.3. Формализованные подходы к управлению устойчивостью регионального рынка труда
Заключение
Основные категории и особенности рынка труда
В условиях перехода к рыночной экономике во всей системе производственных отношений, включающей и трудовые, произошла радикальная трансформация. Основой рыночной экономики является формирование взаимосвязей между существующими рынками потребительских товаров, капитала, труда и др. Каждый из этих рынков, в свою очередь, выполняет особую, специфическую и свойственную только ей функцию [1-3].
Существуют определения рынка труда в широком понимании и узком. В широком понимании рынок труда — это система трудовых, социально-экономических и правовых отношений, согласующая интересы-работодателей и наемных работников в целях обеспечения нормального воспроизводства рабочей силы и эффективного использования труда занятых работников. В узком понимании рынок труда рассматривается как система отношений между работодателями и наемными работниками по поводу удовлетворения спроса первых на труд и потребностей вторых по найму [1].
Основными элементами рынка труда являются совокупное предложение труда, совокупный спрос на труд, стоимость и цена рабочей силы, конкуренция и резервирование рабочей силы. При этом емкость совокупного рынка труда есть объединение совокупного спроса и совокупного предложения образуют емкость совокупного рынка труда, а удовлетворенный спрос на труд есть их пересечение. На рисунке 1.1 представлена структура совокупного рынка труда.
В книге А. Смита «Богатство наций» впервые были освещены и проанализированы проблемы экономики труда. Основным выводом Смита стало заключение о неразрывной связи экономического развития нации и процесса разделения труда. Свой анализ он начал проводить на уровне предприятия, где процесс разделения труда подразумевал углубление специализации работников при одновременном упрощении их трудовых функций. Очевидно, что создание четко функционирующей системы организации работников, требует и организации контроля. На рисунке 1.2 приведена классическая модель спроса и предложения [6 - 8] на рынке труда, которая строится на следующих принципах. Работникам, предлагающим на рынке свой труд L для получения дохода (заработной платы), важна не номинальная выраженная в денежной форме зарплата (W), а реальная — , представляющая собой количество товаров и услуг, которые он может приобрести на нее. Участок АВ кривой SS предложения на рисунке 1.2 отражает ситуацию роста реальной является точкой перегиба, после чего происходит убывание предложения труда при росте заработной платы (участок ВС кривой предложения труда SIS ). Точкой частичного равновесия на рынке труда является точка Е. Заштрихованный прямоугольник представляет собой величину реальной зарплаты JV/P = w/P-L в области частичного равновесия.
На смену этого классического представления о занятости и безработице пришли кейнсианское и монетаристское. Эти представления позже были сформированы в теории. Появлению этих теорий способствовала несостоятельность классической теории в условиях экономического кризиса в развитых странах (конец 20-х - начало 30-х годов). Особенностью этого периода стала значительная и длительная безработица. На рисунке 1.3 приведена кейнсианская модель безработицы и инфляции, из которого видно, что высокий темп инфляции присущ низкой безработице и высокой занятости. Можно говорить о том, что инфляция является платой за низкую безработицу и высокую занятость. Кривая GG представляет собой кривую государственного предпочтения, которая задает целевую функцию функции экономической политики. Точка Е является точкой касания краткосрочной кривой Филипса и кривой государственного предпочтения GG. В ней являются оптимальными значения темпа инфляции РЕ и безработицы Ui:. Тогда задача государства состоит переводе экономики в положение, характеризуемое точкой Е.
Кейнсианская теория отвечает на вопросы зависимости инфляции и безработицы в краткосрочном времени. В оппозицию ей возникла монетаристская теория, которая рассматривает вопросы долгосрочного соотношении между инфляцией и безработицей. На рисунке 1.4 приведена монетаристская модель безработицы и инфляции.
В таблице 1.1 приведены основные положения трех теорий занятости и безработица: іслассической, кейнсианской и монетаристской.
Экономистов всегда привлекала проблема управления людским капиталом. Важнейшее влияние на формирование людского капитала (рабочей силы, трудовые ресурсы) оказывают миграционные процессы трудоспособного населения. В России массовая трудовая миграция в XX веке спровоцирована экономической реформой системы хозяйствования (ухудшение уровня жизни) и демократизацией процессов территориального перемещения людей по стране. Региональные различия уровня жизни, занятости и др. являются причинами, стимулирующими трудоспособного населения к перемене места жительства.
Миграционные процессы, называемые также- мобильностью рабочей силы, могут быть как межфирменными (территориальными), так и внутрифирменными (внутри одного предприятия). Эти виды мобильности находятся в различных соотношения не только в различных странах, но и в отдельных регионах одной страны. В зависимости от вида мобильности рабочей силы различаются внешний и внутренний рынки труда.
Внешний рынок труда ориентирован на территориальное движение рабочей силы, т.е. на заполнение рабочих мест путем перемещения работников между регионами,(отраслями экономики). На таком рынке.труда рабочая сила комплектуется- со стороны из подготовленных работников нужной профессии и квалификации. Основные черты внешнего рынка труда присущи модели рынка труда США и других англоязычных стран [9, 10].
Внутренний рынок труда ориентирован на внутри региональное (внутриотраслевое) движение работников. На таком рынке труда подготовка кадров и управление ими происходит внутри региона (отрасли) в соответствии со структурой рабочих мест и перспективой его развития. Подготовка и управление кадрами подразумевает формирование профессионально-квалификационной структуры, перемещение работников по горизонтали (по рабочим местам конкретного структурного подразделения) и по вертикали (по иерархической карьерной лестнице) Такой вид рынка труда [9, 10] наиболее характерен для японской модели рынка труда (к ней близка модель французского рынка труда). Данный вид рынка, во-первых, позволяет обеспечить процесс передачи специфических знаний и опыта от старых к новым работникам, во-вторых, позволяет предотвращать утечку накопившихся знаний и опыта за пределы. При этом внутренние рынки труда отдельных отраслей1 экономики образуют обособленные подсистемы внешнего рынка труда, являясь частью регионального (территориального) и национального рынка труда.
Основные направления применения экономико-математического моделирования в анализе трудовых показателей
. Региональный рынок труда является сложной социально-экономической системой; элементами которой являются: демографические процессы, процессы территориального распределения и межтерриториальной миграции, уровеньч благосостояния населения, оплаты труда, занятость и структурная: безработица [1, 26, 27]. Все эти элементы являются взаимосвязанными , и- естественным образом зависят от процессов материального/производства.
.Рассмотрим; существующий- к настоящему математический инструментарий для моделирования трудовых процессов и показателей. !
Основным; методом исследования трудовых показателей является метод математического моделирования. При построении математической модели рынка труда необходимо учитывать такие важнейшие системные свойства рынка труда, как: эмерджентность (свойство целостности), массовость, динамичность процессов, случайность и неопределенность в развитии явлений, невозможность изолировать явления и процессы от окружающей среды, активная реакция на появляющиеся новые факторы.
Этапами математического моделирования являются: анализ свойствен закономерностей рассматриваемых процессов или систем, прогнозирование их показателей; анализ устойчивости функционирования системы; выработка методических рекомендаций для принятия решений на всех уровнях управления.
Математический подход к моделированию трудовых показателей получил свое широкое распространение в 60-годах прошлого столетия с возникновением необходимости оптимизации функционирования народного хозяйства. Практическую направленность получили математические модели производительности труда, заработной платы и др. С помощью математического моделирования имеется возможность изучить сущность социально-экономических явлений1 и процессов для построения общей закономерности поведения рассматриваемой сложной системы. Ниже приведен краткий обзор существующих экономико-математических методов и моделей, используемых для моделирования трудовых показателей.
Методы статистического анализа, и. прогнозирования, используемые для установления качественных и количественных взаимосвязей между теми или иными"экономическими, показателями. Такие взаимосвязи не всегда не являются, строгими функциональными зависимостями, чаще являются стохастичными по своей природе, позволяя устанавливать лишь вероятностные отношения между изучаемыми явлениями.
Пусть функционирование некоторого реального объекта описывается следующими параметрами: дг1 ,...,х " - входные параметры; у ,...,у — выходные параметры; є ,...,є - элементы случайности, отражающие влияние на выходные параметры неучтенных факторов и случайные ошибки в измерении анализируемых данных. Постановка задачи статистического анализа состоит в следующем [28 30]: по результатам проведенных п измерений fa,,--- x\ y,,--.,y,)), i = \,n исследуемых параметров построить функцию f{x{l\...,x{m)) = (f{l)(x{ ))...)x{m)),... fis)(x{ ),...,x{m))), позволяющую наилучшим образом восстанавливать значения результирующих параметров У \У --- У ) по заданным значениям входных параметров х = [х ,...,х т ).
Стохастические модели на основе Марковских процессов. Наиболее распространенным методом моделирования межотраслевой миграции трудовых ресурсов являются Марковские процессы, которые относятся к наиболее распространенным динамическим моделям и являются частным примером случайного процесса [17, 31, 32].
Случайный процесс является Марковским, если для произвольного момента времени tx t2 ... tn случайная величина X(tk) имеет условное распределение вероятностей, зависящее только от значения случайной величины Xit ) в момент t = tk_x, т.е. F( (O=V (O= I.-». ( Наибольшее распространение в практических приложениях получили дискретные Марковские процессы с непрерывным временем. Например, анализ межотраслевого движения рабочей силы на региональном рынке труда базируется на таких процессах.
Математическое описание Марковского процесса состоит в приведении соотношений, состоящих из вероятностей pt {t) = P{Xt) = St нахождения рассматриваемой системы 5 в определенный момент времени t в некотором состоянии St, а также из вероятностей pIJ(t,At) = P{x(t) = Sl,X(t + At) = Sj) перехода системы S из состояния S, в состояние S за период времени от t до t + At. Следует отметить два важных условия функционирования системы S:
1) в любой момент времени t система S может находиться только в одном из возможных состояний Sj, выполняя тождество Piv)-1;
2) за единицу времени / система S может осуществить не более одного перехода, т.е. система из состояния «S. за период времени от t до t + At перейдет в любое другое из своих возможных состояний или останется в состоянии S,.
Интенсивность Лу (t) перехода системы S из состояния St в состояние S в период времени t задается выражением
Из (1.1) можно определить вероятность перехода системы из состояния S, в состояние Sji / #у(г,Аг)=Л (r)Af+ о(Аг).
Тогда интенсивность не изменения состояния определяется равенством
Марковский дискретный процесс с непрерывным временем можно задать матрицей интенсивностей
Задача нахождения вероятностей состояний pt{t), і = \,п для любого момента времени / состоит в следующем. Отметим, что рп (t, At) = 1 - Y, Pij (t, A/) = 1 2 \Ы + o(At) = 1 + ЛиАі + o(At). По формуле полной вероятности для момента времени t + At при достаточно малом приращении At вероятность пребывания системы в состоянии S( определяется Л.(/ + ДҐ) = 2 Л0А(0 +А(0 + (Д0- (1.4)
Равенство (1.4) при At — О имеет вид предела: dt Т Система линейных дифференциальных уравнений (1.5) называется системой линейных уравнений Колмогорова-Чепмена. Начальными условиями этой системы являются вероятности
Решение системы уравнений (1.5) представляет оптимальное распределение трудовых ресурсов по отраслям экономики.
Оптимизационные управляющие системы. Целью оптимизационных задач в экономике является отыскание наилучшего (оптимального) по некоторому критерию варианта использования имеющихся ресурсов [33-35]. Оптимальное распределение трудовых ресурсов подразумевает такое распределение, при котором экономический эффект будет наибольшим. Критерием выбора оптимального варианта может быть как сам экономический эффект, так и отклонение такого распределения от заданной отраслевой структуры.
Анализ устойчивости регионального рынка труда
Рассмотрим известные результаты по исследованию устойчивости в теории переходных процессов. Устойчивость систем линейных уравнений является свойством возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия [69-72]. На рисунке 2.4 приведены типичные кривые переходных процессов для неустойчивой системы (рис. 2.4, а) и устойчивой системы (рис. 2.4, б).
Считается, что линейные системы уравнений всегда являются либо устойчивыми, либо неустойчивыми. Для нелинейных систем уравнений этот вопрос устойчивости является гораздо сложнее, т.е. она может быть в «малом», в «большом» и в «целом» (при любых начальных условиях или. абсолютная устойчивость). Для неустойчивых систем алгебраических достаточно любого воздействия, чтобы в ней начался расходящийся процесс - апериодический (кривая 1 на рис. 2.4, а) или колебательный (кривая 2 нарис. 2.4, а). В устойчивых системах любой переходной процесс, вызванный некоторым воздействием, затухает и, система, вновь приходит в установившееся» состояние. Таким образом, устойчивую систему уравнений можно определить как систему, переходные процессы в которой являются затухающими и ее выходная величина остается ограниченной при действии на систему ограниченных по величине воздействий [64].
Впервые свойства устойчивости были исследованы русским ученым А.М:Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об- устойчивости движения». Он ввел понятия возмущенного и невозмущенного движений, асимптотически устойчивого движения: Теоремы А. М. Ляпунова позволяют судить об устойчивости нелинейных реальных систем уравнений по их линеаризованным уравнениям (уравнениям первого приближения).
Система уравнений будет устойчива, если переходные процессы y„(t), вызванные любыми возмущениями, будут затухающими, т.е. если с течением времени уп (У) будет стремиться к нулю.
Переходной процесс в системе линейных уравнений состоит из колебательных и апериодических составляющих: колебательная составляющая соответствует паре комплексно-сопряженных корней, а апериодическая - действительному корню. Общим условием затухания всех составляющих и всего переходного процесса в системе линейных уравнений является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы. Корень с положительной действительной частью» всегда дает расходящуюся, составляющую переходного процесса; пара сопряженных чисто мнимых корней ±jfi, дает незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. Система линейных уравнений при этом находится на границе устойчивости.
В работе «Общая задача устойчивости движения» A.M. Ляпуновым в 1982 году сформулированы-и доказаны следующие теоремы:
Теорема 2.1. Если корни дифференциального уравнения линейной системы содержат только отрицательные вещественные части, то эта система является устойчивой (невозмущенное движение асимптотически устойчиво).
Теорема 2.2. Если корни или хотя бы. один корень дифференциального уравнения линейной системы содержат положительную вещественную часть, то линейная система является неустойчивой.
Теорема 2.3. Если корни дифференциального уравнения линейной системы или хотя бы один из них будут равны нулю или чисто мнимы, то свойстве устойчивости линейной системы будет неопределенным (критическим). Система находится на границе устойчивости.
Существующие методы обнаружения устойчивости (критерии устойчивости) можно разделить на 3 класса: 1) алгебраические критерии, 2) частотные (графоаналитические), 3) локализованные.
Алгебраические критерии устойчивости. Существует ряд критериев устойчивости в аналитической форме: Рауса, Гурвица, Льенара-Шипара, Шур-Кона, Джури-Бланшара. По существу их различает лишь форма, поэтому, например, первые два часто называют критерием Рауса-Гурвица. Алгебраические критерии не требуют выполнения вычислительной процедуры определения корней; условия устойчивости сводятся к выполнению ряда алгебраических неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы.
Критерий Рауса-Гурвица в алгоритмической форме был предложен английским математиком Раусом, а затем, в определительной форме, математиком Гурвицем. Критерии Рауса и Гурвица связаны между собой простыми соотношениями.
Таблица Рауса состоит из с - коэффициентов, связанных с коэффициентами а0...ап полинома D(p), где / - номер столбца, j — номер строки (их число равной п +1):
Этот определитель является определителем Гурвица, он имеет п строк и п столбцов.
Критерий устойчивости Гурвица. Для устойчивости замкнутой системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы (условие устойчивости) определитель Гурвица и все его диагональные минорьк были положительны при а0 О.
Недостатки критериев устойчивости Рауса-Гурвица:
1. Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса-Гурвица , усложняются с ростом порядка системы.
2. Для системы достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснить влияние на устойчивость системы значений отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэффициентов уравнения системы.
Поэтому критерий Рауса-Гурвица применяют только для систем относительно невысокого порядка и прежде всего для анализа устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при известных значениях всех ее параметров.
Критерий Льенара-Шипара. При п 5 удобнее применять одну из модификаций критерия Гурвица, называемую критерием устойчивости Льенара-Шипара, который более прост и требует раскрытия меньшего числа определителей, чем критерий Гурвица. Число условий устойчивости при его применении снижается примерно вдвое. Здесь система линейных уравнений устойчива, если при а, О только Ак О или Ал+1 0, где к =1,3,5,7,...
Формализованные подходы к управлению устойчивостью регионального рынка труда
Рассмотрим наиболее распространенные методы управления устойчивостью переходных процессов.
Прямое управление характеристическими корнями. Этот метод базируется на получении линейного прогноза изменения вещественных частей корней характеристического уравнения от варьируемых параметров (3.35). После этого полученные изменения вещественных частей целенаправленно смещают на комплексной плоскости набора корней системы. Этот процесс является итеративным. При этом вектор приращения параметров AW=(Aw],Aw2,...iAws) Ha определенной итерации определяется из решения уравнений (3.35) Аа = (Аа1,Аа2,...,Аат) при условии постоянства прямоугольной матрицы чувствительностей D размерностью mxs. Матрица чувствительности состоит из элементов daJdWj. Количество варьируемых параметров обозначим через \,2,...,s, а количество представляющих для смещения на комплексной плоскости корней обозначим через 1,2,...,/и. Тогда линейный прогноз новых значений вещественных частей корней с обраіньїм знаком можно найти по формуле где а1 являются вещественными частями собственных значений в начальной для данной итерации точке, взятым с обратным знаком.
Новые значения параметров управления формируют матрицу системы W. Затем снова вычисляется матрица чувствительностей D и выполняется следующая итерация. Таким образом, итерационно обеспечивается желаемое смещение интересующих нас с точки зрения статической устойчивости характеристических корней на комплексной плоскости.
При решении уравнений прогноза (3.35) возможны различные ситуации, когда размерности векторов AW и А а не совпадают (s т, s т) и матрица D является прямоугольной. Далее в вычислительном отношении можно действовать так же, как при получении и решении системы нормальных уравнений в методе наименьших квадратов. Однако, в части анализа такой задачи наиболее мощным вычислительным средством является сингулярное разложение (SVD), которое на сегодняшний день имеет довольно давнюю историю, т.к. впервые его алгоритм описан в [95]. Детально алгоритм SVD представлен в монографии [75].
Основанное на элементарных, устойчивых ортогональных преобразованиях, и потому по вычислительной эффективности равное QR-алгоритму, сингулярное разложение позволяет вычислить решение системы (3.35) AW, обладающее минимальной нормой и обеспечивающее вектору невязки г = DAW - Аа наименьшую, а в некоторых случаях нулевую, длину: (г, г) — min. Традиционное требование определения решения с минимальной нормой является весьма важным, так как чем меньше длина AW, тем более точной является модель линейного приближения (3.35). Кроме того, возможно дальнейшее уменьшение нормы AW по сравнению с оптимальным значением ценой некоторого возрастания длины вектора невязки. Остановимся на решении такой задачи более подробно, следуя логике изложения вопроса в [75, 95, 96].
Пусть даны вещественная матрица D размерности тх s ранга р и вещественный вектор d. Требуется определить вещественный вектор z, минимизирующий длину невязки г = D z - d. Имеет место шесть различных случаев:
Однозначно решается задача наименьших квадратов и для случая 3, где помимо уравнений группы А появляются составляющие г., относящиеся к уравнениям группы В, что, в отличие от рассмотренной ситуации, приводит в общем случае к ненулевому вектору невязки.
Случаи 2, 4, 6 предполагают наличие г во второй группе уравнений, что определяет ненулевое значение длины вектора невязки и неоднозначность решения задачи. Последнее определяется тем, что гу для уравнений второй группы могут выбираться произвольно и, в частности, быть нулевыми для получения из всех возможных решения с минимальной нормой. При этом соответствующие величины г не изменяются. В случаях 5 и б неоднозначность возникает дополнительно вследствие того, что величины z при т j s вообще не влияют на длину вектора невязки и также, как в предыдущем случае, могут выбираться нулевыми. Чем меньше значения сингулярных чисел, тем больше значения компонент z в соответствии с (3.39). В конце концов, величины a j могут стать соизмеримыми со статистической ошибкой в исходных данных. Тогда вследствие деления па малые эти величины составляющие решения z и zy могут быть сильно зашумлеиы.
Смысл дальнейших преобразований заключается в декомпозиции задачи, позволяющей исключить составляющие решения, отвечающие малым (jj. Ключ к правильному использованию сингулярного разложения - это введение границы т, отражающей точность исходных данных и используемой плавающей арифметики [75]. Сопоставительный анализ значения т с величинами crt позволяет обнулить определяемые с большой ошибкой компоненты вектора z , т.е. провести регуляризацию задачи вида: если a j т, то Zj =dj I а ; если СУ т, то z =0, у = 1,2,..., s; устранив возникающую неоднозначность. Тогда осуществляется упомянутая декомпозиция задачи, и поиск решения в соответствии с (3.39) проводится в подпространстве, отвечающем только тем сингулярным числам, для которых выполняется неравенство jt т.
Очевидно, что в большинстве случаев в практике экономических исследований значение г известно приблизительно. Поэтому программные реализации предлагаемых процедур должны содержать вариант выбора решения системы по такой группе сингулярных чисел, которая представляет собой некоторый компромисс между ненадежностью определения вектора z и возрастающими невязками г.
Здесь следует ясно понимать, что меньшая норма вектора z несомненно предпочтительнее, так как позволяет оставаться в рамках модели линейного приближения, когда исходная задача о наименьших квадратах нелинейна, как это имеет место в рассматриваемой проблеме.
После вычисления сингулярных чисел матрицы D и обнуления части их значений в соответствии с критерием cTj т решение системы (3.35) для го параметра имеет вид
