Содержание к диссертации
Введение
1. Проблемы исследования финансовых рынков математическими методами 13
1.1. Современные представления о финансовых рынках 10
1.2. Развитие научной мысли в исследовании финансовых рынков 17
1.3. Анализ адекватности аксиом классической теории эффективного рынка 36
1.4. Истоки междисциплинарной концепции анализа сложных систем 42
1.5. Краткие выводы 48
2. Математические методы исследования сложных систем 49
2.1. Понятие динамической системы 49
2.2. Гиперболические множества и структурная устойчивость 54
2.3. Формирование хаоса в нерегулярных динамических системах 58
2.4. Метрические и динамические инварианты динамических систем 69
2.5. Реконструкция аттрактора динамической системы 84
3. Исследование финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса 91
3.1. Идентификация динамических систем и выбор динамических наблюдаемых 91
3.2. Расчет инвариантов и реконструкция аттракторов исследуемых динамических систем 98
3.3. Прогнозирование динамики систем классическим методом 111
4. Развитие методов прогнозирования динамики финансовых рынков 121
4.1. Анализ характерных реакций исследуемых динамических систем на информационные воздействия 121
4.2. Прогнозирование на эталонных пучках фазовых кривых 128
4.3. Сравнение результатов прогнозирования классическим и предлагаемым методами 131
4.4. Автоматизация и информационное обеспечение операций на финансовых рынках 134
Заключение 148
Библиография
- Развитие научной мысли в исследовании финансовых рынков
- Гиперболические множества и структурная устойчивость
- Расчет инвариантов и реконструкция аттракторов исследуемых динамических систем
- Прогнозирование на эталонных пучках фазовых кривых
Введение к работе
Финансовые рынки являются важнейшим институтом рыночных экономик. Как и на обычных рынках, на них происходит обмен, но в качестве товара выступают не материальные блага, а сопоставленные с ними обязательства и права. Примерами «товаров» на финансовых рынках являются национальные валюты, различные ценные бумаги, долговые обязательства хозяйствующих субъектов, долговые обязательства государств, кредиты банков и т.д. Важность финансовых рынков обусловлена их ролью в деятельности как отдельных хозяйствующих субъектов, так и целых экономик. Если товарные рынки ответственны за операционную деятельность и потребление, то финансовые рынки ответственны за воспроизводство и совершенствование средств, создающих предметы потребления, а также экономический обмен между экономиками с различными валютами. Это определяет достаточно глубокие и разнообразные взаимосвязи финансовых рынков с экономикой в целом, и делает их очень чувствительными к малейшим изменениям, происходящим в ней.
В данной работе предпринимается попытка взглянуть на финансовые рынки с точки зрения достаточно универсальной математической парадигмы -теории детерминированного хаоса, которая показала превосходные результаты, заменив линейный подход в прикладных задачах из разных научных областей.
В рамках данного исследования изучается российский фондовый рынок -РТС и международный межбанковский валютный рынок - FOREX. При определенных условиях финансовые рынки можно рассматривать как локально детерминированные динамические системы, что и позволяет применить методы теории детерминированного хаоса для построения математических моделей, их изучения и прогнозирования динамики.
Актуальность темы диссертационного исследования
Актуальность работы обусловлена необходимостью развития альтернативных теорий финансовых рынков и их приложений к реальной
финансовой аналитике, основанных на более адекватных предположениях по сравнению с классической теорией эффективного рынка и построенных с привлечением математического аппарата, предназначенного для исследования детерминированных систем.
Результаты ряда исследований ставят под сомнение адекватность исходных аксиом теории эффективного рынка и полученных на ее основе результатов. В настоящее время широко распространяется теория динамических систем, посвященная, в частности, системам, демонстрирующим нерегулярную динамику. Эта теория становится в последнее время истинно междисциплинарной, поскольку замена известных линейных стохастических моделей на нелинейные детерминированные модели в различных научных областях вызвала настоящий прорыв в понимании и исследовании изучаемых процессов. Научное направление, связанное с применением методов теории детерминированного хаоса для исследования финансовых рынков, находится на начальном этапе своего развития. В связи с этим, в доступных исследованиях наблюдается механистический «перенос» методов теории на исследования финансовых рынков. Отметим, что без понимания и учета специфики объекта исследования, являющегося социально-экономической системой, это вряд ли является корректным. Поэтому, задачи развития и уточнения моделей финансовых рынков, основанных на теории детерминированного хаоса и учитывающих специфику экономических систем, представляются актуальными и востребованными как в научной теории финансовых рынков, так и в экономической практике.
Заметим также, что существуют два взаимодополняющих прикладных подхода к анализу финансовых рынков. Первый из них - фундаментальный анализ, который частично опирается на теорию эффективного рынка. В рамках этой концепции утверждается, что решающую роль на динамику рынка оказывают фундаментальные факторы макроэкономического масштаба, а также фундаментальные факторы, характеризующие эффективность деятельности отдельного эмитента, если речь идет о рынке акций. Для оценки справедливых
6 уровней цен используются статистики, рассчитанные из предположения нормальности распределения приращений цен. Однако, как уже указывалось, ряд исследований доказывает несостоятельность использования предположения о нормальности наблюдаемых распределений и лишает научное знание устоявшейся адекватной теории финансовых рынков.
Технический анализ является подходом, в основе которого лежат эмпирические аксиомы, выявленные и сформулированные на основе опыта участников торгов. Эта концепция получила широкое распространение благодаря относительной легкости ее использования. Технический анализ постулирует, что любой фактор, способный, так или иначе, повлиять на спрос или предложение, неизменно найдет свое отражение в динамике цены, и поэтому, для прогнозирования цен в будущем необходимо концентрироваться на изучении и выявлении закономерностей движения цен в прошлом. В результате технический анализ трансформировался в совокупность эмпирических правил, формализованных графически или в простейших математических выражениях. На комбинациях этих правил участники рынка пытаются предсказывать движение цен и формируют на основе этого соответствующую торговую стратегию. Как показывает опыт, технический анализ, подобно фундаментальному, в большинстве случаев оказывается мало эффективным.
Как уже указывалось, в последние два-три десятилетия наблюдается бурное развитие теории динамических систем и такого ее раздела как теория детерминированного хаоса, которая находит свое применение практически во всех естественных науках, массовым образом вытесняя линейную стохастическую парадигму и полученные на ее основе модели. После первых попыток применения методов этой теории для анализа финансовых рынков, многим исследователям стало понятно, что в таком подходе имеется значительный потенциал. Показательной иллюстрацией этого факта стало массовое появление физиков - специалистов в области детерминированного хаоса в аналитических отделах крупнейших банков и финансово-
инвестиционных корпораций и компаний. Понятно, что исследования и результаты работ в этом направлении в своем большинстве являются коммерческой тайной и интеллектуальной собственностью крупнейших участников мировых и национальных финансовых рынков. Тем не менее, доступные для научной общественности исследования доказывают актуальность и перспективность дальнейшего развития новой парадигмы анализа финансовых рынков.
Степень разработанности проблемы
Рождением данного научного направления можно считать выход в 1996г. книги Э. Петерса «Хаос и порядок на рынках капитала», которая, по многим оценкам, относится к числу наиболее выдающихся трудов в области финансов за последние десятилетие прошлого века. Развитие данного подхода рассматривается в трудах ряда зарубежных авторов, таких как В.Б. Артур, Л. Кэлвет, Э. Фишер, Р. Конт, Н.Х. Франциз, С.Л. Гайлс, С. Лоуренс, X. Канц, Т. Шрейбер, Т.С. Миллс, Дж. Кин и другие. Кроме того, известны и работы отечественных исследователей А.Ю. Лоскутова, Д.И. Журавлева, О.Л. Котлярова, А.А. Ежова, С.А. Шумского, Л.А. Дмитриевой, Ю.А. Куперина, И.В. Сорока и другие.
Изучение и анализ фундаментальных трудов и периодической литературы позволили определить общую проблему исследований финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса. Основные научные результаты, полученные в данной области, можно объединить в две группы:
Доказательство преимущественной детерминированности динамических систем, соответствующих различным финансовым рынкам, основывающееся на оценке метрических и динамических инвариантов этих систем.
Реконструкция аттракторов изучаемых систем для ряда различных финансовых рынков и попытки прогнозирования рыночной динамики на данных аттракторах как глобальными, так и локальными методами аппроксимации.
Вместе с тем большинство исследователей не пытаются понять сущность изучаемого объекта, не анализируют корректность прямого применения математического аппарата к частично детерминированным системам, подверженным как внешним, так и внутренним случайным воздействиям. В связи с этим остаются неразрешенными вопросы, касающиеся факторов стационарности финансовых рынков во времени, а также учета воздействия на систему случайных импульсов, обусловленных внешним информационным потоком. Все вышеизложенное определило цель, логику и структуру настоящего исследования.
Цель исследования
Целью диссертационного исследования является разработка подхода к исследованию нерегулярной динамики финансовых рынков, основывающегося на предположении о детерминистской природе происходящих процессов, и учитывающего воздействие на систему внешних информационных поводов, а также разработка детерминистских моделей финансовых рынков.
В рамках исследования предполагается разрешить вопрос о корректности применения теории детерминированного хаоса к моделированию финансовых рынков, определить нелинейные инварианты и характеристики изучаемых систем с целью подтверждения преимущественной детерминированности динамических систем, сопоставленных изучаемым финансовым рынкам, а также разработать инструмент краткосрочного прогнозирования динамики финансовых рынков, учитывающий воздействие информационных поводов, имеющих случайный характер.
Данная цель исследования предопределила постановку и последовательное решение следующих взаимосвязанных задач:
- определить возможность применения методов теории детерминированного хаоса для моделирования финансовых рынков как социально-экономических систем;
вычислить метрические и динамические инварианты рассматриваемых динамических систем для подтверждения детерминистской природы процессов, происходящих на финансовых рынках;
по цене контракта или значению некоторого индекса цен, являющихся динамическими наблюдаемыми, осуществить реконструкцию фрагментов аттракторов динамических систем, описывающих финансовые рынки;
классифицировать информационные воздействия на исследуемом временном интервале и осуществить разбиение фазовой траектории на фрагменты, соответствующие типичным реакциям финансовых рынков;
алгоритмизировать метод прогнозирования на эталонных пучках с целью дальнейшего создания прикладных программ, реализующих данный метод;
разработать метод краткосрочного прогнозирования динамики финансовых рынков на эталонных пучках фазовых траекторий.
Объектом исследования являются финансовые рынки: международный межбанковский валютный рынок (FOREX) и рынок акций Российской торговой системы (РТС).
Предметом исследования является моделирование финансовых рынков на основе теории детерминированного хаоса, направленное на минимизацию операционных рисков участников торгов.
Методологической и теоретической основой исследования являются труды зарубежных и отечественных ученых, посвященные применению методов теории детерминированного хаоса для исследования финансовых рынков. Математический аппарат исследования основан на теории динамических систем, дифференциальной геометрии и топологии. В процессе
диссертационного исследования использовались методы анализа и синтеза, гипотетико-дедуктивные и индуктивные методы научного познания.
Тема и содержание диссертации принадлежат к области исследований научной специальности ВАК 08.00.13 - Математические и инструментальные методы в экономике (раздел 1. «Математические методы», подраздел 1.4. «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений», подраздел 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов»).
Информационная база исследования включает данные о значениях технического индекса Российской торговой системы (РТС), и значениях котировок контракта Евро/Доллар США.
Научная новизна диссертационной работы состоит в развитии концепции «Финансовый рынок как нерегулярная динамическая система» на основе углубленного анализа специфики объекта исследования и разработки математических моделей, позволяющих учитывать случайные составляющие детерминированной динамики финансовых рынков.
Научную новизну составляют следующие основные результаты, выносимые на защиту, которые получены лично соискателем:
Впервые введено понятие локальной детерминированности финансового рынка, дающее возможность установить временные границы стационарности исследуемых систем, и определить внешние информационные воздействия как наиболее существенный фактор, разрушающий локальную детерминированность финансовых рынков.
Осуществленна идентификация финансовых рынков как нерегулярных динамических систем, позволяющая использовать математический аппарат теории детерминированного хаоса для моделирования и
11 прогнозирования финансовых рынков, а также предложено авторское описание границ системы и внешних факторов, изменяющих структуру системы или влияющих на динамику фазовой точки.
Дана численная оценка метрических и динамических инвариантов международного валютного и российского фондового рынков, подтверждающая детерминистскую, а не стохастическую природу происходящих на финансовых рынках процессов.
Построены фазовые портреты реакции изучаемых систем на информационные воздействия, что позволило подтвердить возможность определения наиболее благоприятных моментов времени для минимизации убытков либо максимизации операционной прибыли участников рынка.
Разработан метод прогнозирования динамики системы на эталонных фазовых пучках, учитывающий реакцию финансового рынка на случайное информационное воздействие и позволяющий осуществлять краткосрочные прогнозы динамики, основываясь на истории типичных реакций финансового рынка.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в диссертационной работе получила развитие альтернативная концепция теории финансовых рынков, основанная на теории динамических систем, проявившей себя в качестве междисциплинарного подхода к анализу сложных систем.
Практическая значимость исследования заключается в получении результатов, которые могут быть использованы в процессе управления финансовыми активами на организованных рынках, что позволит снизить риски финансовых операций на информационно-насыщенных временных интервалах.
Апробация результатов исследования
Основные положения и результаты исследования докладывались на четвертой и пятой международных научно-прикладных конференциях
«Современные проблемы в теории и практике управления на предприятии» (Варна, 2002, 2004гг.), на заочной электронной конференции «Современные проблемы науки и образования» (Москва, 2004г.).
Предложенные в диссертации алгоритмы и методики используются на ОАО «Чусовской металлургический завод» (г.Чусовой), ООО «Агентство ценных бумаг» (г.Пермь) для аналитической поддержки операций на валютных и фондовых рынках.
Положения диссертационной работы применяются в учебном процессе Пермского государственного технического университета в разработанном курсе «Математические методы анализа финансовых рынков».
Публикации
Основные результаты исследования опубликованы в 6 научных работах, в том числе 5 статьях. Общий объем изданных работ составил 1,61 печ. л.
Развитие научной мысли в исследовании финансовых рынков
Обратимся теперь к истории развития научной мысли в области финансовых рынков. Попытки анализа и прогнозирования колебаний курса финансового инструмента - цены валютного контракта или акции, предпринимались давно. Одной из первых теорий определения валютного курса является теория паритета покупательной способности, разработанная еще в XVI веке, и впоследствии являвшаяся предметом исследования Д.Рикардо [7] и других известных экономистов. В соответствии с этой теорией цена товара в одной стране должна соответствовать цене на такой же товар в другой стране, пересчитанный по текущему курсу. В дальнейшем теорию паритета покупательной способности валют развил шведский ученый Г.Кассель в 20-х годах прошлого столетия, предложив вместо одного товара использовать товарную корзину. Сторонниками данного подхода были известные экономисты И.Фишер [8], Ф.Хайек [9], М.Фридман [10]. Модель оценки стоимости валютного курса на основе товарной корзины имеет следующий вид: п 2 f/, где g- валютный курс, v; - количество z -ro товара, включенное в потребительскую корзину, с,., fi - цена товара на внешнем и внутреннем рынке . К сожалению данная модель абсолютно не адекватна сложившимся реалиям на валютных и товарных рынках, а также не учитывает преимущественную спекулятивность операций.
Основы современной математической теории финансов были заложены Л.Башелье в его работах, написанных в начале XX века. Л.Башелье предполагал, что цены рисковых активов совершают броуновское движение. Цена производных инструментов в модели Башелье вычисляется как математическое ожидание. Базовая «эвристическая» вероятностная мера на пространстве событий в модели Башелье мартингальна, поэтому вычисляемые так цены оказываются безарбитражными. Расхождение движения цен активов в модели Башелье и на реальных рынках привели к уточнению модели. Теория случайного блуждания, опубликованная в 1900 году Башелье, родилась путем наблюдениям за ценами на Парижской бирже и применения к ним методов, созданных для анализа азартных игр. Башелье, основываясь на небольшом количестве эмпирических данных, обнаружил, что регистрируемые с постоянным интервалом времени dt цены Pt таковы, что приращения цен dP, за один интервал наблюдения имеют нулевое среднее значение, а их абсолютные значения \dP,\ являются величинами порядка -Jdl. В связи с этим он предложил рассматривать процесс изменения цен акций как случайный, описываемый моделью вида: P,=P0+±tf, где Р0 - известная цена финансового инструмента в начальный момент времени, %f - независимые идентично распределенные случайные величины, принимающие с вероятностями - значения ± a-Jdt, п = —.
Позже эта модель была развита М.Осборном [11] в его статье о броуновском движении в 1964г. Осборн предложил модель, в которой изменения цен на рынке эквивалентны броуновскому движению частицы в жидкости. Наиболее значимым следствием гипотезы М.Осборна было следующее утверждение: так как ценовые изменения являются случайными блужданиями, то следует ожидать нормального распределения этих изменений с устойчивым средним значением и конечной дисперсией. Это является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей, или закона больших чисел. Эта теорема гласит, что выборка независимых идентично распределенных случайных величин будет нормально распределенной, если эта выборка достаточно велика. То есть при dt- 0, случайный процесс Pt с непрерывным временем имеет вид: Pt = Р0 + aW,, t О.
Здесь Wt - случайный процесс с независимым гауссовскими (то есть имеющими нормальный закон распределения) приращениями dWn называемый стандартным броуновским движением или стандартным винеровским процессом, для которого W0=0, m(dWl)=0, D(dW,) = dt [12].
Данная гипотеза дала повод применять к прогнозированию рынков статистический анализ и породила огромное количество моделей и методов, основанных на данном подходе. В 60-е года прошлого столетия Е.Ф.Фамэ [13] обобщил наблюдения различных исследователей в виде гипотезы эффективного рынка, которая утверждает, что рынок является мартингалом, или «справедливой игрой». Это означает, что информация не может быть использована для получения прибыли на торговой площадке и в цене финансового инструмента заложена вся доступная участникам рынка информация. Математически данная теория может быть формализована следующим образом [14].
Гиперболические множества и структурная устойчивость
Определение 2.2.1. Пусть М - гладкое многообразие, UczM - открытое подмножество, f-.ll- М - С1 -диффеоморфизм на свой образ и Лс[/ -некоторое компактное /-инвариантное подмножество. Множество называется гиперболическим множеством отображения /, если в отрытой окрестности U множества Л существует риманова метрика, называемая метрикой Ляпунова, и такие числа к,/л,Х \ /и, что для любой точки хєЛ последовательность дифференциалов, допускает (Я,/ -разложение.
Приведем аналогичное определение для динамической системы с непрерывным временем.
Определение 2.2.2. Пусть М - гладкое многообразие, (p:RxM- M - гладкий поток иЛсМ - компактное cpt-инвариантное множество, тогда множество Л называется гиперболическим множеством для потока р,, если существует риманова метрика на открытой окрестности и множества Л, и такие числа Я,//,Я 1 ц, что для всех х є Л найдется такое разложение ТХМ = Е Е+Х Е , что — р (х) є Ех \ {О}, dim = 1, D p E = Е и Dtp г_ Я!, Dq 4 \г+ dt\t=o М
Данные, в некотором смысле обобщенные, определения необходимо правильно интерпретировать: если речь идет о гиперболичности аттрактора, тогда Л - подмножество фазового пространства, если же речь идет о гиперболичности динамической системы, тогда Л - это подмножество динамических систем в специально определенном пространстве динамических систем. В случае если Л оказывается гиперболическим, то динамические системы обладают свойством структурной устойчивости. Поскольку вопрос о структурной устойчивости один из основных в теории динамических систем, рассмотрим его более подробно.
Известные определения устойчивости, такие как устойчивость по Ляпунову, устойчивость инвариантного множества по Ляпунову, устойчивость по Пуассону, связаны с поведением траекторий в фазовом пространстве, при этом отображение р было фиксировано, и мы лишь изучали его свойства. Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости по отношению к возмущениям самого отображения ср, которую будем условно называть ср -устойчивостью.
Для исследования -устойчивости необходимо рассматривать пространство динамических систем, определенных на фазовом пространстве X, которое будем обозначать D(x) (например, это может быть подмножество пространства всех непрерывно дифференцируемых функций на X). В D(x) должно быть определено понятие расстояния между динамическими системами. Действие возмущения 8ср сводится к тому, что точка, отвечающая динамической системе ср, сдвигается на небольшое расстояние = V [30].
Устойчивость в таком случае определятся в смысле некоторой эквивалентности всех достаточно близких динамических систем исходной, то есть все системы должны быть разделены на классы эквивалентности. Устойчивость будет достигаться, если такому классу будет соответствовать так называемое «толстое множество». В обычном трехмерном пространстве «толстыми» будут множества с ненулевым объемом - шар, куб и так далее, а «тощими» -множества нулевого объема - точка, отрезок, плоская фигура. Таким образом, проблема ср -устойчивости требует построения дискретной классификации, то есть когда классифицирующий признак меняется дискретно - либо постоянен, либо меняется скачком. При такой классификации все пространство динамических систем D(x) было бы разбито на «толстые» множества-классы, а все «тощие» были бы только их границами раздела, на которых наблюдались бы бифуркации, связанные с переходами динамической системы из одного класса в другой при изменении управляющих параметров. Иными словами, должна быть возможность «подойти» к любой динамической системе сколь угодно близко по цепочке # -устойчивых систем. Иначе говоря, -устойчивые динамические системы должны быть плотны в пространстве D(x).
В настоящее время общепринятым считается использование в качестве классифицирующего признака понятия топологической эквивалентности, а соответствующая ср -устойчивость носит название структурной устойчивости, с ним же связано и общепринятое понятие бифуркации.
Понятие структурной устойчивости впервые было предложено в 1937г. в статье А. А. Андронова и Л. Р. Понтрягина. Оно, в свою очередь, требует определения двух других понятий - «возмущения» и «топологической эквивалентности».
Определение 2.2.3. Пусть дана некоторая функция F(x)eC\ Возмущенной функцией, или возмущением Fx є С1 амплитуды є будем называть любую функцию для которой существует компактное множество К, вне которого F1 = F, а на К для SF = F-FX норма функции и ее производных не превосходят
Определение 2.2.4. Две динамических системы срх и р2 называются топологически эквивалентными, если существует непрерывная, но не обязательно дифференцируемая функция h (гомеоморфизм), отображающая траектории одной динамической системы в траектории другой.
Направление времени должно сохраняться, но в случае потоков масштаб времени может изменяться. То есть для любой точки х и любого t} существует такое t2, что h{cp[x (х)) = q [x (h(x)).
Определение 2.2.5. Динамическая система р (х) называется структурно устойчивой, если существует s 0, такое, что все возмущения р амплитуды меньшей є, топологически эквивалентны.
Возвращаясь к понятию гиперболичности и его определению как непрерывного расщепления касательного пространства на растягивающие и сжимающие подпространства, напомним, что из гиперболичности следует структурная устойчивость динамической системы. Однако исследовать на гиперболичность любую систему, встречающуюся на практике, достаточно сложно. На сегодняшний день имеется считанное число хаотических аттракторов, для которых свойство гиперболичности доказано.
Расчет инвариантов и реконструкция аттракторов исследуемых динамических систем
В качестве -временного ряда динамической наблюдаемой системы, сопоставленной с рынком акций, выступает значение индекса текущих котировок РТСТ, взятое за 1084 торговых часа (первые 6 месяцев 2004г.). Значения индекса фиксировались с периодом, равным одной минуте.
Динамика значений индекса РТСТ за указанный период времени приведена на рис. 3.2.1:
Динамическая наблюдаемая системы, сопоставленная с рынком Евро/Доллар США, также рассматривалась на протяжении 1084 торговых часов (01.01.2004 - 14.02.2004) и фиксировалась с периодом, равным 1 минуте.
Динамика значений цены контракта Евро/Доллар США за указанный период времени приведена на рис. 3.2.2, на котором можно отметить относительную незначительность изменений цены: EUR/USD
Прежде чем приступить к вычислению корреляционной размерности, корреляционной энтропии, наибольшего показателя Ляпунова - важнейших метрических и динамических инвариантов, характеризующих изучаемые системы, заметим, что применение численных методов имеет определенные ограничения, связанные с конечностью любого множества значений динамической наблюдаемой - временного ряда. По определению размерность множества, состоящего из конечного числа точек, равна нулю. Когда мы пытаемся численно определить размерность аттрактора, то экстраполируем результаты, полученные на конечных числах, где статистики, которые мы применяем, нечувствительны к конечности временного ряда, в бесконечные числа, где определена концепция размерности. Как показано в [44], для вычисления размерности спектра показателей Ляпунова и других характеристик аттрактора необходимо, чтобы длина ряда N удовлетворяла соотношению:
Справедливость приведенного степенного закона ограничена значениями є, достаточно малыми по сравнению с размером аттрактора. При увеличении є величина с(є) достигает насыщения, с(є) -1 при є сравнимых с размером аттрактора. С другой стороны, при очень малых значениях є число пар точек хп Xj, расстояние между которыми не превышает є, становится малым из-за конечности числа точек, и статистика становится бедной. Следовательно, на практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений є, который и может быть использован для определения размерности аттрактора.
Если в результате расчета мы получим конечные значения корреляционной размерности, то это будет подтверждением того, что рассматриваемый процесс не является случайным. Для . нормально распределенной случайной величины корреляционная размерность возрастала бы с ростом размерности пространства погружения.
С помощью определенного выше корреляционного интеграла можно также оценить энтропию. В этом случае рассматривают не только его зависимость от є, но и от размерности фазового пространства т. При этом полагают, что с(є,т) sDle "Kl откуда 2V J 2 С(є,т + \) В соответствии с (3.2.7) расчет корреляционной размерности был выполнен для шестнадцати значений размерности погружения т = 1,...,16 на масштабах log2s є[0/-12]. Результаты расчета корреляционной размерности представлены на графиках:
Заметим, что при некоторых размерностях вложения т значения корреляционной размерности D2 не единственные. Это вызвано тем, что расчет производился на разных масштабах log2 є є [О; -12]. Чтобы определить исходное значение А, выбирался такой масштаб є, на котором значения размерностей были относительно одинаковы, и их среднее значение являлось искомой оценкой корреляционной размерности. Однако если таких областей с относительно постоянными значениями D2 оказывалось несколько, то тогда и искомых значений корреляционной размерности было соответствующее количество.
Для первого объекта исследования (РТС) корреляционная размерность составила D2 =2,891, соответственно минимальная размерность погружения при восстановлении фазовых траекторий и аттрактора в соответствии с теоремой Такенса будет равна т = 6. Для аттрактора системы, сопоставленной с рынком EUR/USD, корреляционная размерность составила D2 = 2,787, минимальная размерность пространства погружения при использовании теоремы Такенса т = 6. Поскольку значения корреляционной размерности конечны, то рассматриваемые процессы по своей природе являются преимущественно детерминированными.
Прогнозирование на эталонных пучках фазовых кривых
Предлагается метод прогнозирования на эталонных фазовых пучках, позволяющий ослабить противоречие между определением локальной детерминированности и наличием постоянно меняющегося информационного фона, случайным образом воздействующего на структуру рассматриваемой динамической системы. Главным достоинством этого метода является то, что значительно снижается количество ложных соседей - точек, принадлежащих траекториям, не типичным для пучка, на котором осуществляется прогнозирование. Как уже указывалось, метод прогнозирования на эталонных пучках направлен на определение типичной реакции системы на информационные поводы.
Эталонный пучок фазовых траекторий, соответствующих данному виду информационного повода формируется из сегментов фазовых кривых, классифицированных в соответствии с разделом 4.1. Формирование пучка осуществляется в последней известной точке прогнозируемой фазовой траектории путем линейного переноса сегментов для совмещения их по условным временным нулям и вращения сегментов фазовых кривых с целью совмещения их касательных векторов в точке условного нуля.
Таким образом, мы решаем проблемы, связанные с вышеуказанными ограничениями классических методов локальной аппроксимации. При таком формировании эталонного пучка исследователь задается лишь приемлемым максимальным диаметром окрестности, формируемой сегментами фазовой траектории. В среднем скорость роста этого диаметра будет зависеть от наибольшей экспоненты Ляпунова. Тогда приемлемое время прогноза будет изменяться в зависимости от этих двух параметров.
Приведем блок-схему обобщенного алгоритма прогнозирования на эталонных пучках.
На этапе анализа структурной изменчивости определяется временной период, на котором система удовлетворяет условиям локальной детерминированности, за исключением фактора информационных воздействий. На данном этапе аналитик проверяет, не происходило ли на данном временном интервале существенных изменений в структуре участников и располагаемых ими ресурсов. К таким изменениям также можно отнести изменения в законодательстве, изменения инвестиционных рейтингов, введение новых правил торговли, либерализация рынков ценных бумаг эмитентов и другие изменения, влияющие на структуру определенной нами динамической системы. Если такие изменения происходили, то исследователь должен рассматривать временные ряды наблюдаемой с момента окончания переходных процессов.
Например, повышение инвестиционного рейтинга России является точкой разделения - динамическая система до этого события уже не та, что стала после. Аналогичный пример можно привести для рынка FOREX - уход бессменного главы Федеральной резервной системы США А. Гринспена, является фактором нестационарности и разделяет временной интервал на до и после.
На втором этапе исследователь выбирает и классифицирует информационные поводы в соответствии с особенностями предстоящего прогноза, определяет моменты времени, когда рассматриваемые информационные поводы начали оказывать воздействие на динамику наблюдаемых. На данном этапе необходимо найти связь между значимостью и типом информационного повода и реакцией рынка. Например, если после объявления о хороших экономических показателях зоны Евро, европейская валюта начала активно расти по отношению к доллару, то такой информационный повод можно классифицировать как положительный и существенный, а соответствующую фазовую траекторию включить в эталонный пучок.
Под нарезкой фазовой траектории третьего этапа подразумевается сопоставление информационному поводу сегмента фазовой кривой с условным нулем в момент наступления повода.
Формирование эталонного пучка осуществляется в последней известной точке прогнозируемой фазовой траектории путем линейного переноса сегментов фазовых кривых для совмещения их с условными временными нулями и вращением этих сегментов с целью совмещения их касательных векторов, что позволяет совместить направления фазового потока для этих сегментов. Заметим, что определение касательных векторов или, как их еще называют векторов скорости, вызвано необходимостью топологического совмещения эталонного пучка и текущего фазового потока и связано с вычислением производной вектор-функции, которая, учитывая фрактальный характер процессов, может и не существовать. В связи с этим мы определяем касательный вектор как направляющий вектор гиперпрямой, построенной по первым точкам сегмента фазовой траектории с помощью метода наименьших квадратов. Далее касательные вектора нормируются. Данные операции соответствуют четвертому и пятому этапам алгоритма.
Что касается шестого этапа, то отметим, что в среднем скорость роста диаметра пучка во времени будет экспоненциальной с параметром, равным наибольшей экспоненте Ляпунова, поэтому исследователь задается либо необходимым горизонтом прогнозирования и при этом принимает риски, связанные с экспоненциальной расходимостью фазовых траекторий, либо определяет максимальный диаметр окрестности, в которой может находиться прогнозная точка, но при этом довольствуется короткими горизонтами прогноза.
На седьмом этапе, при поступлении информационного повода осуществляется расчет прогнозной фазовой траектории внутри эталонного пучка в соответствии с соотношением (3.3.1) известным нам методом локальной аппроксимации.
