Содержание к диссертации
Введение
1. Теоретические аспекты фрактального анализа финансовых временных рядов 13
1.1 Гипотеза фрактального рынка 13
1.2 Фракталы и их размерность 14
1.3 Винеровский процесс и фрактальное броуновское движение 18
1.4 Связь показателя Херста Н с персистентностью / антиперсистентностью финансовых временных рядов 19
1.5 Фрактальное броуновское движение и проблема арбитража 22
1.6 Литературный обзор по теме диссертационной работы 23
1.7 Критический анализ FMH 36
1.8 Научная проблема и замысел ее решения 40
2. Прикладные модели анализа динамики ценообразования рисковых активов в предположениях гипотезы фрактального рынка 42
2.1 Фрактальная модель ценообразования рыночных активов 42
2.2 Обоснование выбора объекта анализа 43
2.3 Описание примененного преобразования данных 44
2.4 Описание и обоснование примененных методов оценки показателя Херста Н 45
2.5 Выявление непериодических циклов в динамике ценообразования фондовых индексов 51
2.6 Оценка корреляционной размерности логарифмических доходностей индексов 53
2.7 Дискретная аппроксимация модели с ФБД 55
2.8 Приближенная оценка стоимости опционов 58
2.9 Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий) 60
2.10 Хеджирование опционной позиции в модели с ФБД 65
3. Применение фрактальных моделей к фондовым рынкам 66
3.1 Фрактальные характеристики фондовых индексов 66
3.2 Оценка стоимости опционов на российском фондовом рынке при помощи модели с ФБД 121
3.3 Вычисление границ стоимости опционов для различных значений показателя Херста Я 139
Заключение 144
Литература 145
Приложение 156
- Связь показателя Херста Н с персистентностью / антиперсистентностью финансовых временных рядов
- Описание и обоснование примененных методов оценки показателя Херста Н
- Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий)
- Оценка стоимости опционов на российском фондовом рынке при помощи модели с ФБД
Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена выявлению и исследованию фрактальных свойств динамики цен на фондовых рынках.
Актуальность проводимого исследования
Начиная с середины XX века нелинейные методы начинают все более широко применяться при анализе динамики ценообразования фондовых рынков.
С научной точки зрения гипотеза фрактального рынка является парадигмой, описывающей взаимодействие участников рынка и ценообразование активов как результат этого взаимодействия. Предпосылки гипотезы фрактального рынка (разнообразие инвестиционных горизонтов участников как основной фактор устойчивости рынка, коррелированность доходностей рисковых активов на непересекающихся временных промежутках, трактовка обвалов и скачков как реакции на снижение рыночной ликвидности) являются существенно более приближенными к реальному положению дел, чем традиционные положения гипотезы эффективного рынка (рациональность участников рынка, мгновенная реакция цен на поступившую информацию, трактовка обвалов и скачков как перехода к новому равновесному состоянию).
С практической точки зрения исследование фрактальных свойств ценообразования активов позволяет получать более точную оценку рыночных рисков. Благодаря этому могут быть получены рекомендации, необходимые для работы как частных, так и институциональных инвесторов. В рамках гипотезы фрактального рынка динамика доходностей рисковых активов описывается процессом фрактального броуновского движения (далее - ФБД).
В то же время существуют объективные препятствия к практическому применению теоретических методов оценки стоимости рисковых активов в рамках гипотезы фрактального рынка. Во-первых, фрактальный рынок допускает арбитраж, что лишает возможности использовать аппарат риск-
нейтральных вероятностных мер для оценки цен производных финансовых инструментов. Во-вторых, вычисление значений фрактальных характеристик, выступающих в роли параметров моделей с ФБД, зачастую затруднено из-за наличия авторегрессионных зависимостей между элементами исследуемого временного ряда, влияния тренда или присутствия «выбросов» среди элементов ряда.
Актуальность исследования обусловлена высокой практической значимостью и недостаточной проработкой проблемы безарбитражной оценки справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке. Указанная проблема особенно актуальна в условиях российского фондового рынка, характеризующегося повышенной волатильностью, что влечет потребность участников рынка в эффективном инструменте адекватной оценки рыночных рисков.
Степень разработанности проблемы
Моделирование динамики ценообразования рискового актива опирается на аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов, который восходит в первую очередь к достижениям выдающегося ученого А.Н. Колмогорова, а также П.Л. Чебышева, А.А. Маркова (старшего), A.M. Ляпунова, А.Я. Хинчина, С.Н. Бернштейна, Б.В. Гнеденко, Ю.В. Прохорова, Ю.А. Розанова, И.В. Гирсанова и др.
В области стохастической финансовой математики центральное место занимают фундаментальные труды А.Н. Ширяева, а также работы Г. Фёлмера, А. Шида, Т. Андерсена, Т. Боллерслева, В.И. Аркина, И.В. Евстигнеева, Э.Л. Пресмана, А. Д. Сластникова, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, А.В. Мельникова, К. Болл, О. Барндорф-Нильсена, Т. Бьорка, У. Брока, Д. Хсие, К. Чоу, М. Докоронья, Ф. Делбаена, У. Шахермайера, Д. Даффи, М. Эмери, Дж. Харрисона, Т. Хо, С. Ли, О. Васичека и др.
Применение теории случайных процессов для аппроксимации динамики цен на фондовых рынках началось с работ Л. Башелье. В дальнейшем его результаты были дополнены и развиты в прикладных работах Г. Марковича, Р. Мертона, П. Самуэльсона, У. Шарпа, а также теоретических трудах М. Осборна, Э. Фама и др.
Аппарат оценки стоимости производных финансовых инструментов развит такими учеными, как Блэк, М. Шоулз, Дж. Кокс, Р. Росс, М. Рубинштейн, Дж. Халл, С. Рачев, Дж. Константинидис, С. Перракис.
Использование фрактальной геометрии в анализе фондовых рынков обязано своим рождением Б. Мандельброту, применившим результаты Г. Херста в финансовой сфере, а также Э. Петерсу, чьи работы активно использовались автором при написании диссертации. Помимо этих авторов, в области фрактального анализа финансовых временных рядов автор опирался на результаты М.М. Дубовикова, Н.В. Старченко, СЕ. Теплова, Л.В. Клочихина, Д.А. Филатова, В.Н. Якимкина, В.Н. Костюка, Дж. Браун, Р. Клегга и ряда других ученых, проводивших фрактальный анализ национальных фондовых рынков своих стран: А. Ло, Т. Миллс, Т. Люкс, В. Чоу, М. Пэн, Р. Сакано, И. Лобато, Н. Савин, У. Уиллинджер, М. Такку, В. Теверовский, С. Чен, Г. Нэт, Дж. Кавальканте, А. Ассаф, Е. Панас, Ю. Тольви, С. Садик, П. Сильвапулль, Д. Кажуэйро, Б. Табак, Г. О, К. Ум, С. Ким.
Аппарат эконофизики и нелинейной динамики развит в работах В.И. Арнольда, П. Берже, И. Помо, К. Видаля, Г. Шустера, А.Ю. Лоскутова, А.С. Михайлова, М.Ю. Романовского, Ю.М. Романовского, Р. Мантеня, X. Стенли, Д. Сорнетта и др.
Свойства фрактального броуновского движения исследованы в работах Т. Соттинена, Э. Валкейла, П. Гуасони, Б. Оксендаля, Й. Ху, Р. Эллиотта, Дж. Ван дер Хойка, П. Чередито, Л. Роджерса, Ю. Мишуры, Ш. Ростека и др.
Однако на сегодняшний день подходы к практическому применению гипотезы фрактального рынка являются недостаточно проработанными.
Научное сообщество знает, как выявить и вычислить фрактальные характеристики рыночных инструментов, но только приближается к получению точных оценок справедливых цен этих инструментов. Сложности обусловлены как минимум двумя причинами:
арбитраж во фрактальных моделях ценообразования рисковых активов;
трудности экономической интерпретации ряда математических результатов (таких, например, как исключение арбитража путем модификации интеграла в представлении ФБД).
Естественно, что две перечисленные проблемы автоматически порождают третью - многие из разработанных теоретических подходов к анализу фрактального рынка пока что так и остаются теорией, не нашедшей достаточного применения в практической инвестиционной деятельности. Однако быстрое развитие рынка России в сочетании с посткризисным переосмыслением отношения к риску во всем финансовом мире требует скорейшего внедрения более совершенных методов анализа рыночной конъюнктуры.
Необходимость совершенствования подходов к использованию гипотезы фрактального рынка при оценке справедливой стоимости рисковых активов на фондовых рынках обуславливает актуальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.
Цель и задачи исследования
Цель исследования - решение научной проблемы совершенствования подходов к вычислению безарбитражных оценок справедливых цен рисковых активов на фрактальном рынке.
В диссертационной работе решаются следующие задачи: 1) оценка значений фрактальных характеристик фондовых индексов (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения и др.); 2) выявление
циклов в динамике цен на рынках; 3) на основе (1) и (2) моделирование
динамики ценообразования рисковых активов на основе фрактального
броуновского движения; 4) оценка справедливой стоимости производных
инструментов на фрактальном рынке с пропорциональными
транзакционными издержками; 5) сравнение результатов расчетов с помощью моделей из (3)-(4)с актуальными данными по торгам и их тестирование в динамике.
Объект исследования - фондовые рынки (на примере рынков России и США). Предмет исследования - фрактальные свойства фондовых рынков (фрактальная размерность и показатель Херста фондовых индексов, циклы в динамике ценообразования на рынках, персистентность/антиперсистентность, корреляционная размерность, размерность вложения) и их влияние на оценку справедливой стоимости торгующихся рисковых активов.
Методологические и теоретические основы исследования Теоретическая и методологическая основа исследования -теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в таких областях науки, как теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, стохастическая финансовая математика, фрактальная геометрия, нелинейная динамика. Важнейшую роль при написании работы сыграли работы (преимущественно зарубежные) в области исследования свойств фрактального броуновского движения и его финансовых приложений. Программно-технический комплекс фрактального анализа финансовых временных рядов и оценки справедливой стоимости рисковых активов реализован с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel. Содержание диссертационного исследования соответствует специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.
Информационная база исследования
В числе информационных источников диссертации использованы:
научные источники в виде данных из монографий, а также работ российских и зарубежных авторов в области теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, инвестиций и рынка ценных бумаг опубликованных в монографиях, периодической печати, в виде препринтов, научных докладов, материалов конференций и семинаров;
статистические источники в виде итогов торгов на фондовых площадках, свободно доступных через сеть Internet.
Научная новизна исследования
Научная новизна диссертации заключается в уточнении количественных характеристик фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков и получении безарбитражных оценок справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками. Новыми являются следующие научные результаты.
Получены уточненные оценки фрактальных характеристик (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения, длительность персистентных циклов) фондовых индексов в рамках предположений гипотезы фрактального рынка.
С помощью реализованных и впервые примененных в условиях российского рынка методов, основанных на модели с ФБД, получены оценки справедливой стоимости рисковых активов и фьючерсных опционов на эти активы.
На основе сопоставления результатов расчетов с реальными торговыми котировками показано, что указанные методы применимы как минимум на российском фондовом рынке.
Показано, что результаты расчетов на основе моделей из (2) существенно меняются даже при незначительных изменениях ключевого параметра - показателя Херста, что свидетельствует о чувствительности моделей и наглядно демонстрирует роль учета фрактальности в повышении точности оценки рыночных рисков.При написании диссертации автор видел одну из задач в том, чтобы на основе «сырых» теоретических моделей, построенных исследователями-математиками, получить работоспособный математически корректный инструмент оценки стоимости рисковых активов, имеющий: а) более реалистичные предпосылки по сравнению с существующими методами; б) ясную экономическую интерпретацию; в) потенциал практического применения в реальной инвестиционной деятельности. Данный инструмент дает возможность приблизиться к устранению проблемы вакуума практических методов применения столь привлекательной и реалистичной парадигмы, как гипотеза фрактального рынка.
Теоретическая и практическая значимость исследования Теоретическая значимость научных результатов заключается в том, что основные выводы и положения диссертации развивают теоретико-методологическую базу анализа динамики цен на фондовых рынках, адаптируя ее к российским условиям.
Практическая значимость результатов состоит в получении участниками фондового рынка инструмента для более точной (в сравнении с оценками на основе предположений гипотезы эффективного рынка) оценки рисков в процессе инвестиционной деятельности.
Результаты исследования также могут быть использованы в процессе преподавания аналитических дисциплин студентам экономических специальностей.
Апробация результатов исследования
Основные результаты исследования были изложены и обсуждены в рамках следующих мероприятий: «круглый стол» по теме «Российский финансовый рынок: проблемы повышения конкурентоспособности и роли в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2007 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Российский финансовый рынок и его роль в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2008 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Финансовые аспекты инновационного развития экономики России», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2009 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Мировой финансово-экономический кризис и перспективы инновационного развития экономики России: финансовый, кредитный, валютный аспекты», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2010 г.); Пятая международная конференция по прикладной математике и численным методам (Технический университет г. Пловдив, Болгария, 12-18 августа 2008 г.); Seminar on Actual Methods of Financial Risk Management - Российско-австрийский Семинар по актуальным методам финансового риск-менеджмента (Финакадемия, 13-18 сентября 2009 г.); Первый Российский экономический конгресс (РЭК-2009) Новой экономической ассоциации (НЭА) и Секции экономики Отделения общественных наук РАН (МГУ им. М.В. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.).
Результаты исследования нашли практическое применение в ООО «Менеджмент-консалтинг». В работе Аналитического отдела этой организации используется методология оценки справедливой стоимости
опционов на фрактальном рынке, а также описанная в исследовании дискретная модель ценообразования базисных и производных финансовых инструментов.
Материалы исследования используются кафедрой «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» в преподавании учебной дисциплины «Стохастическая финансовая математика». Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.
Работа выполнена в рамках направления исследования НИР кафедры «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по теме «Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов» в соответствии с Комплексной темой «Пути развития финансово-экономического сектора России».
Публикации
По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ (в том числе 3 - в изданиях, определенных ВАК) общим объемом 2,2 п.л. (авторский объем - 2,0 п.л.).
Структура диссертационной работы.
Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Первая глава посвящена основным сведениям в области фрактального анализа фондовых рынков, литературному обзору по теме диссертации, постановке научной проблемы и замыслу ее решения. Во второй главе представлена модель оценки рисковых активов и производных инструментов в рамках гипотезы фрактального рынка. Представлены и проанализированы примененные методы оценки фрактальных характеристик рисковых активов. В третьей главе показаны
результаты практических расчетов с применением указанных методов и модели. Заключение содержит основные выводы, список литературы -перечень источников, использованных при написании диссертации. Приложение включает описание результатов расчетов, не включенных в основной текст работы. Основные результаты исследования проиллюстрированы в таблицах и на графиках. Диссертация состоит из 3 глав, содержащих соответственно 8, 10 и 3 параграфа, включает 68 рисунков, 32 таблицы, 82 формулы. Общий объем составляет 163 страницы.
Связь показателя Херста Н с персистентностью / антиперсистентностью финансовых временных рядов
Объект исследования - фондовые рынки (на примере рынков России и США). Предмет исследования - фрактальные свойства фондовых рынков (фрактальная размерность и показатель Херста фондовых индексов, циклы в динамике ценообразования на рынках, персистентность/антиперсистентность, корреляционная размерность, размерность вложения) и их влияние на оценку справедливой стоимости торгующихся рисковых активов.
Методологические и теоретические основы исследования Теоретическая и методологическая основа исследования -теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в таких областях науки, как теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, стохастическая финансовая математика, фрактальная геометрия, нелинейная динамика. Важнейшую роль при написании работы сыграли работы (преимущественно зарубежные) в области исследования свойств фрактального броуновского движения и его финансовых приложений. Программно-технический комплекс фрактального анализа финансовых временных рядов и оценки справедливой стоимости рисковых активов реализован с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel. Содержание диссертационного исследования соответствует специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.
В числе информационных источников диссертации использованы: научные источники в виде данных из монографий, а также работ российских и зарубежных авторов в области теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, инвестиций и рынка ценных бумаг опубликованных в монографиях, периодической печати, в виде препринтов, научных докладов, материалов конференций и семинаров; статистические источники в виде итогов торгов на фондовых площадках, свободно доступных через сеть Internet. Научная новизна исследования Научная новизна диссертации заключается в уточнении количественных характеристик фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков и получении безарбитражных оценок справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками. Новыми являются следующие научные результаты. 1. Получены уточненные оценки фрактальных характеристик (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения, длительность персистентных циклов) фондовых индексов в рамках предположений гипотезы фрактального рынка. 2. С помощью реализованных и впервые примененных в условиях российского рынка методов, основанных на модели с ФБД, получены оценки справедливой стоимости рисковых активов и фьючерсных опционов на эти активы. 3. На основе сопоставления результатов расчетов с реальными торговыми котировками показано, что указанные методы применимы как минимум на российском фондовом рынке. 4. Показано, что результаты расчетов на основе моделей из (2) существенно меняются даже при незначительных изменениях ключевого параметра - показателя Херста, что свидетельствует о чувствительности моделей и наглядно демонстрирует роль учета фрактальности в повышении точности оценки рыночных рисков.При написании диссертации автор видел одну из задач в том, чтобы на основе «сырых» теоретических моделей, построенных исследователями-математиками, получить работоспособный математически корректный инструмент оценки стоимости рисковых активов, имеющий: а) более реалистичные предпосылки по сравнению с существующими методами; б) ясную экономическую интерпретацию; в) потенциал практического применения в реальной инвестиционной деятельности. Данный инструмент дает возможность приблизиться к устранению проблемы вакуума практических методов применения столь привлекательной и реалистичной парадигмы, как гипотеза фрактального рынка. Теоретическая и практическая значимость исследования Теоретическая значимость научных результатов заключается в том, что основные выводы и положения диссертации развивают теоретико-методологическую базу анализа динамики цен на фондовых рынках, адаптируя ее к российским условиям. Практическая значимость результатов состоит в получении участниками фондового рынка инструмента для более точной (в сравнении с оценками на основе предположений гипотезы эффективного рынка) оценки рисков в процессе инвестиционной деятельности. Результаты исследования также могут быть использованы в процессе преподавания аналитических дисциплин студентам экономических специальностей. Апробация результатов исследования Основные результаты исследования были изложены и обсуждены в рамках следующих мероприятий: «круглый стол» по теме «Российский финансовый рынок: проблемы повышения конкурентоспособности и роли в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2007 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Российский финансовый рынок и его роль в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2008 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Финансовые аспекты инновационного развития экономики России», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2009 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Мировой финансово-экономический кризис и перспективы инновационного развития экономики России: финансовый, кредитный, валютный аспекты», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2010 г.); Пятая международная конференция по прикладной математике и численным методам (Технический университет г. Пловдив, Болгария, 12-18 августа 2008 г.); Seminar on Actual Methods of Financial Risk Management - Российско-австрийский Семинар по актуальным методам финансового риск-менеджмента (Финакадемия, 13-18 сентября 2009 г.); Первый Российский экономический конгресс (РЭК-2009) Новой экономической ассоциации (НЭА) и Секции экономики Отделения общественных наук РАН (МГУ им. М.В. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.).
Результаты исследования нашли практическое применение в ООО «Менеджмент-консалтинг». В работе Аналитического отдела этой организации используется методология оценки справедливой стоимости опционов на фрактальном рынке, а также описанная в исследовании дискретная модель ценообразования базисных и производных финансовых инструментов.
Материалы исследования используются кафедрой «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» в преподавании учебной дисциплины «Стохастическая финансовая математика». Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.
Работа выполнена в рамках направления исследования НИР кафедры «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по теме «Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов» в соответствии с Комплексной темой «Пути развития финансово-экономического сектора России».
Описание и обоснование примененных методов оценки показателя Херста Н
Практическая оценка фрактальных характеристик фондовых рынков различных стран Анализ фрактальных свойств финансовых временных рядов имеет достаточно длительную историю. Б. Мандельброт [15], [16], [79]-[82] был одним из первых, кто применил метод нормированного размаха для анализа прибылей на финансовых рынках. В 1977 г. М. Грин и Б. Фелитц [69] исследовали дневные прибыли по большим выборкам и показали, что для доходностей во многих случаях характерна долгосрочная корреляция.
Существенный рост интереса к фрактальным свойствам инструментов фондового рынка продолжился в 1990-е годы. Э. Петере [24], [25], [92] провел системное исследование американского фондового рынка, проанализировав прибыли по индексам (в том числе по Dow Jones Industrial Average за весь срок его расчетов), выявил различие в характере динамики прибылей и волатильности индексов, а также показал особенности динамики курсов валют. А. Ло [77] внес вклад в разработку методологии фрактального анализа, не выявив, однако, значимой зависимости от начальных условий прибылей на американском фондовом рынке. В 1993 г. Т. Миллс [87] провел исследование фондового рынка Великобритании, в 1996 г. Т. Люкс [78] - аналогичное исследование рынка ФРГ. Необходимо выделить исследования В. Чоу, М. Пэна и Р. Сакано [61], а также И. Лобато и Н. Савина [76], авторы которых не нашли подтверждений персистентности фондовых рынков ряда стран. В свою очередь У. Уиллинджер, М. Такку и В. Теверовский [103] эмпирически выявили персистентность прибылей на фондовых рынках, однако не нашли подтверждений значимости полученных результатов. Особое место занимают широко известные исследования Р. Мантеня и X. Стенли [83] и [84].
Начиная с конца 1990-х гг. различными авторами проводятся обширные исследования фрактальных свойств фондовых рынков стран Азии, Южной Америки, а также стран Европы, не входящих в «Большую восьмерку». В 2000 г. С. Чен [58] провел вычисления показателя Херста для рынков Азиатско-Тихоокеанского региона и выявил долгосрочные зависимости прибылей на всех рассмотренных рынках. В 2001 г. Г. Нэт [89] исследовал рынок Индии с помощью ії/З -анализа, а в 2002 г. Дж. Кавальканте и А. Ассаф [57] провели анализ фрактальных свойств прибылей на фондовом рынке Бразилии. Е. Панас [91] в 2001 г. и Ю. Тольви [102] в 2003 г. исследовали фрактальные свойства рынков Греции и Финляндии соответственно. В том же 2003 г. Тольви [101] исследовал рынки Дании и Ирландии, выявив в этих странах наряду с Финляндией наличие у рынков длинной памяти. В 2001 г. С. Садик и П. Сильвапулль [96] провели анализ рынков Японии, Южной Кореи, Новой Зеландии, Малайзии, Сингапура, США и Австралии и показали, что рынкам Южной Кореи, Малайзии, Сингапура и Новой Зеландии свойственна длинная память. В 2005 г. Д. Кажуэйро и Б. Табак [56] на примере рынка Бразилии показали, что длинная память прибылей на фондовом рынке может быть частично объяснена с помощью переменных, описывающих особенности бизнеса конкретных фирм (firm-specific variables). В 2006 г. Г. О, К. Ум и С. Ким [90] применили метод DFA {Detrended Fluctuation Analysis) для анализа рынков на предмет наличия длинной памяти и не нашли значимых подтверждений данному свойству. В [49] авторы проводят анализ зависимости объема торгов на рынке и показателя Херста волатильности рынка. В работах [55] и [62] проведено обобщение и сравнение различных методов оценки показателя Херста. В России фрактальный анализ фондовых рынков также получил активное развитие. В работах [5], [6], [28], [64] проведен локальный фрактальный анализ финансовых временных рядов при помощи индекса фрактальности. В [29] и [30] авторы проводят R/S-анализ российского и американского фондовых рынков с целью формализованного построения торговой стратегии на фрактальном рынке. В [38] предложена методология прогнозирования финансовых крахов на основе моделирования степенного ускорения роста цены актива. Проблема арбитража в модели с ФБД Как уже говорилось выше, предполагая, что логарифмические доходности рискового актива подчиняются процессу ФБД, мы вносим в модель арбитражные возможности (1.5.3), тем самым затрудняя оценку производных финансовых инструментов и вызывая возможность безрискового получения дохода. Рынок данного типа не является полным, что исключает единственность эквивалентной мартингальной меры. Более того, из наличия арбитражных возможностей следует, что множество эквивалентных мартингальных мер пусто (соответствующие теоремы и их доказательства см. в [37]). Существует ряд подходов (обобщены в [95]) к преобразованию процесса ФБД, позволяющие исключить арбитраж. Опишем наиболее известные из них.
Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий)
На первый взгляд, гипотеза фрактального рынка выглядит весьма привлекательно в силу реалистичности своих базовых допущений. В рамках FMH при оценке характеристик процесса ценообразования актива появляется возможность перейти от частного процесса к его общему виду. Из практики торговли на фондовом рынке известно, что почти всегда наблюдается разрыв между фундаментальной «справедливой» стоимостью компании и денежной оценки ее бумаги. Новости воспринимаются участниками рынка с различной интенсивностью, что рождает тенденции. В таких случаях часть новостей игнорируется, а воспринимается лишь та информация, которая укладывается в общее мнение инвесторов о происходящем. Нарушение баланса инвестиционных горизонтов способно обрушить рынок, что и произошло, в частности, на российском фондовом рынке осенью 2008 г. «Бегство в качество» спровоцировало отток средств международных институциональных инвесторов с длительным горизонтом. Массовый уход этих участников рынка вызвал панику среди спекулянтов, усугубившую негативное развитие событий и приведшее к падению значений индексов на 80% по отношению к докризисному уровню. Вместе с тем, нельзя полностью абстрагироваться от фундаментальных характеристик компаний-эмитентов. Разрыв фундаментальной стоимости компании и рыночной оценки ее ценных бумаг является не менее важным ценообразующим фактором, чем потребность инвесторов в ликвидности. Однако на практике применение гипотезы фрактального рынка сопряжено с рядом трудностей.
Как видно, на сегодняшний день не в полной мере разработан инструментарий, позволяющий применять гипотезу фрактального рынка в повседневной деятельности финансовых институтов. Кроме того, проблема арбитража затрудняет оценку рыночных активов, в том числе производных финансовых инструментов. Проблема оценки производных финансовых инструментов решена лишь частично, при этом результаты получены для наиболее трудно интерпретируемого подхода к исключению арбитража (см. литературный обзор). Очевидно, для полноценного внедрения гипотезы фрактального рынка в практику требуются значительные усилия по разработке различных практических моделей и экономической интерпретации полученных математических результатов. Возникает закономерный вопрос: оправданы ли эти усилия при наличии описанных трудностей?
На наш взгляд, оправданы. Гипотезу фрактального рынка следует воспринимать не как альтернативу или замену гипотезе эффективного рынка, а как ее развитие, уточнение и обобщение. В данном случае имеем дело не с революцией в анализе свойств финансовых рынков, а с его эволюцией. FMH не противоречит традиционному подходу, а является его «приближением второго порядка».
Одновременно гипотеза фрактального рынка важна с практической точки зрения, так как позволяет повысить точность оценки рыночных рисков. Адекватная оценка рисков - ключевой элемент любой инвестиционной политики. Кроме того, с описательной точки зрения гипотеза фрактального рынка позволяет лучше понять поведение инвесторов и получить картину его возможных последствий как для ценообразования активов, так и для страновой макроэкономической конъюнктуры.
Трудности, возникающие при практическом применении гипотезы фрактального рынка, не являются неразрешимыми. Как видно из литературного обзора, ключевая проблема - проблема арбитража - может быть решена. Для уточнения оценок рисков необходимо вычислить показатель Херста Н по историческим финансовым временным рядам, и к настоящему моменту разработано множество эффективных методов оценки Н. Наконец, именно гипотеза фрактального рынка является основой применения методов технического анализа.
Таким образом, практическая значимость подхода в сочетании с нерешенностью ряда научных задач обуславливает высокую актуальность гипотезы фрактального рынка. 1.8 Научная проблема и замысел ее решения В настоящее время в России активно развивается торговля на фондовом рынке. Однако структура российского рынка существенно отличается от присущей экономикам западных стран, в том числе США. Ликвидность фондового рынка РФ значительно ниже ликвидности западных рынков. Инфраструктура рынка находится в стадии разработки. Ведущую роль на рынке играют не внутренние, а внешние участники (в первую очередь различные хедж-фонды). Фондовый рынок РФ является более спекулятивным, чем западные рынки, из-за недостаточного развития инфраструктуры и «нефтяного фактора». В свете перечисленных отличий фондовых рынков и приведенного выше обоснования актуальности и востребованности гипотезы фрактального рынка возникает проблема применимости FMH в российских условиях. На наш взгляд, для решения данной проблемы проведение эмпирического анализа необходимо, но не является достаточным. Возникает потребность в построении модели поведения рыночного актива, которая бы опиралась на FMH и давала адекватные оценки стоимостей как базисных, так и производных инструментов. При этом важно найти решение сопутствующих научных проблем, таких, как, например, проблема арбитража. Первая логическая часть посвящена эмпирическому, описательному анализу фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков (на примере рынков России и США). Ключевой результат - получение картины поведения рынков (развитого и развивающегося) в рамках гипотезы фрактального рынка. Ранее (см. литературный обзор) производились оценки фрактальных характеристик американского рынка, однако результаты ряда рассмотренных работ не являются вполне однозначными, а зачастую противоречат друг другу. В то же время существует объективная необходимость в систематическом анализе фрактальных свойств российского фондового рынка, не ограниченного каким-либо одним методом или видом активов. Кроме того, проводимый анализ создает основу для сравнения поведения развитого и развивающегося рынков.
Оценка стоимости опционов на российском фондовом рынке при помощи модели с ФБД
Как видно, оценка нижней границы стоимости опциона более чувствительна к изменению значения показателя Херста, чем оценка верхней границы. Максимальная (РТС) и минимальная (ММВБ) оценки верхней границы отстоят друг от друга на 1.3%, в то время как аналогичные оценки нижней границы - на 9.4%. Для нижней границы свойственна обратная зависимость от показателя Херста, а для верхней - прямая зависимость.
Теперь рассмотрим «длинный» опцион со сроком исполнения в декабре 2009 г. и прежними значениями остальных входных параметров (см. Таблицу 3.3.1.3): Фьючерсный опцион-колл американского типа на фондовый индекс (погашение опциона - 14 декабря 2009 г., цена исполнения - 120 000 б.п.): Оценки границ стоимости опциона (о.п., правая ось) для различных значений показателя Херста Н (левая ось)
Как исследовало ожидать, увеличение срока до исполнения усилило чувствительность оценок границ стоимости опционов от ключевого параметра модели (2.7.1, 2.9.2-2.9.4). Разница между максимумом и минимумом оценки верхней границы составила 4.8%, оценки нижней границы - 13.2%. Указанная разница увеличилась практически на одинаковую величину для обеих границ.
Итак, проведенные расчеты проиллюстрировали ряд закономерностей, важных с практической точки зрения при применении модели (2.7.1, 2.9.2-2.9.4).
Проведенное исследование подтвердило обоснованность предположений гипотезы фрактального рынка. Фрактальные характеристики фондовых рынков
Ценообразование основных индексов указанных рынков подчинено процессу черного шума, то есть ФБД с показателем Херста Н 0,5. При этом персистентность индексов меняется в зависимости от длины инвестиционного горизонта. Подобная неоднородность позволяет выделить непериодические циклы. Всем анализируемым индексам присущ как минимум один цикл, в случае индекса Standard & Poors 500 имеем два цикла. Индекс ММВБ, а также индексы Dow Jones Industrial Average и NASDAQ проявляют антиперсистентность на длительных инвестиционных горизонтах. Индексы РТС и Standard & Poors 500 характеризуются, наоборот, усилением персистентных свойств по мере увеличения временного интервала. Из всех рассмотренных индексов лишь индекс РТС на некоторых горизонтах демонстрирует признаки детерминированного хаоса, что видно из наличия конечной корреляционной размерности аттрактора. Остальные индексы характеризуются стохастической динамикой ценообразования вне зависимости от интервала времени.
Модель ценообразования рисковых активов на фрактальном рынке Дискретная модель, основанная на процессе ФБД, вполне удовлетворительно описала динамику ценообразования анализируемых биржевых инструментов.
Несмотря на то, что интервалы между границами достаточно длинные, на рынке присутствуют инвесторы, выставляющие котировку на покупку и продажу, не попадающие в указанные интервалы. Такие цены bid и ask далеки от справедливого уровня. Вместе с тем, цены совершаемых сделок в основном попадают в указанные интервалы.
Таким образом, показана практическая применимость модели (2.7.1) по крайней мере на российском рынке опционов. Проведены расчеты, продемонстрировавшие чувствительность модели к изменению значений фрактальных характеристик рынка.
Практические рекомендации на основе проведенного исследования Описанный в настоящей работе подход к оценке справедливой стоимости активов в рамках гипотезы фрактального рынка может быть использован при планировании инвестиционной деятельности на рынке ценных бумаг и является развитием традиционных методов, опирающихся на гипотезу эффективного рынка.
