Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их применения Демина, Екатерина Николаевна

Введение к работе

Актуальность темы. Характерной чертой в общей теории алгебраических систем является рассмотрение их классов, в частности формаций алгебраических систем. Напомним, что класс алгебраических систем называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Понятие формации конечных групп было введено в 1963 году Гашюцем В. Он определил локальные формации, используя функцию, отображающую множество простых чисел во множество формаций конечных групп. В 1974 году Шеметков Л.А. ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех конечных простых групп во множество формаций конечных групп. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Шеметковым Л.А. были также определены ступенчатые, примарно постоянные и однородные формации конечных групп.

Идея построения новых видов формаций и классов Фиттинга привела к необходимости рассмотрения ш-спутников (Q-спутников) различных направлений, причем направление О-спутннка / определяется как отображение класса J всех конечных простых групп во множество всех непустых формаций Фиттинга. Ясно, что таких направлений существует бесконечное множество, и, значит, для фиксированного непустого класса конечных простых групп Q можно построить бесконечное множество новых видов формаций, получивших в работе Ведерникова В.А. и Сорокиной М.М. (2001) название Q-расслоенных формаций конечных групп.

Эта работа имела принципиальное значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга. Введенное понятие О-расслоенной формации конечных групп позволило не только с единых позиций изучать ранее определенные типы формаций, но и ввести бесконечное множество новых типов формаций, путем задания направления. Наибольшие применения среди новых типов формаций нашли Q-канонические и О-биканонические формации конечных групп, направления которых интегрируют в себе основные признаки направлений локальной и композиционной формаций. В последние годы интенсивно исследуются частично локальные {ш-локальные) и частично композиционные (О-композициоппые) формации и классы Фиттинга конечных групп. Изучению свойств расслоенных формаций и классов Фиттинга конечных групп посвящен ряд работ Ведерникова В.А., Еловикова А.Б., Камозиной О.В., Kop- пачевой М.А, Силенок Н.В., Скачковой Ю.А., Сорокиной М.М. и др.

Одним из основных подходов к изучению формаций является исследование свойств решеток их подформаций. Для любых двух формаций Ji и полагают Ji А = П #2? Ji V $2 = formal U J^)- Всякое множество формаций, замкнутое относительно операций AnV, является решеткой. Существует большое число работ Ведерникова В.А., Воробьева Н.Н., Егоровой В.E., Сафонова В.Г., Скачковой Ю.А., Сорокиной М.М., Скибы A.H., Шеметкова Л.А.,

Эйдинова М.И. и др., посвященных таким свойствам решеток как полнота, модулярность, алгебрапчность и дополняемость. Например, Шеметков Л.А. и Скиба А.Н. получили результаты о модулярности и алгебраичности решеток всех формаций конечных групп, всех гг-кратно локальных формаций конечных групп. Скиба А.Н. изучил гг-кратно локальные формации конечных групп, у которых решетка гг-кратно локальных подформаций булева. Модулярность решетки всех тотально насыщенных формаций конечных групп доказана Сафоновым В.Г. Свойства полноты, модулярности и алгебраичности решетки гг-кратно Q-расслоенных формаций конечных групп изучены Ведерниковым В.А., Коп- тюх Д.Г., Егоровой В.Е. и Скачковой Ю.А. Кроме того, Скачковой Ю.А. исследованы булевы решетки гг-кратно Q-расслоенных формаций конечных групп.

Свойства полноты и модулярности решетки формаций дают возможность рассматривать длину формации. Понятие длины формации было введено Ски- бой А.Н. (1986), им изучены локальные формации конечных групп /-длины 5. О-расслоенные формации конечных групп длины 3 исследовались в работах Ведерникова В.А. и Коптюх Д.Г. Формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3 изучены Ведерниковым В.А.

В различных приложениях теории классов алгебраических систем часто приходится использовать формации, замкнутые относительно той или иной совокупности подсистем. Понятие подсистемного функтора (в терминологии Ски- бы А.Н.) охватывает все рассматриваемые при этом совокупности подсистем. Это позволяет наряду с организующими возможностями подсистемных функторов использовать их как аппарат исследования классов алгебраических систем. Пусть каждой алгебраической системе А класса X сопоставлена некоторая совокупность ее подсистем т(А). Будем говорить, что т - подсистемный функтор на X, если выполняются следующие условия: 1) Л Є т(А) для любой алгебраической системы А Є X; 2) для любого эпиморфизма ф : А —В, где А, В Є X, и любых алгебраических систем H Є т(А) и К т(В) имеет место H^ Є т(В) и K^r Є т(А). Результаты исследования т-замкнутых формаций конечных групп и их решеток содержатся в работах Воробьева Н.Н., Егоровой В.Е., Жизнев- ского П.А., Корпачевой М.А., Сафонова В.Г., Сорокиной М.М., Царева А.А., Шабалиной И.П. и др. Например, свойства решеток всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций и всех т-замкнутых тотально канонических формаций конечных групп установлены в работах Сафонова В.Г. и Егоровой В.Е. соответственно. Воробьевым Н.Н., Царевым А.А. и Жизневским П.А. изучены свойства решетки всех т-замкнутых гг-кратно ш-композиционных формаций конечных групп.

Следует отметить, что до настоящего времени Q-расслоенные формации были построены лишь для класса конечных групп. Однако дальнейший анализ понятия расслоенности формации конечных групп и групп, обладающих конечными композиционными рядами, проделанный Ведерниковым В.А., показал, что понятие расслоенности формации носит более универсальный характер и может быть вполне применено к построению расслоенных формаций универсальных алгебр, обладающих условиями минимальности и максимальности для идеалов. Поэтому рассмотренная в настоящей диссертации задача построения О-расслоенных формаций для класса мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами является актуальной.

Аддитивная группа G с нулевым элементом 0 называется мультиоператор- ной T-группой с системой мультиоператоров T (или, коротко, T-группой), если в G задана еще некоторая система тг-арных алгебраических операций T при некоторых Ti₇ удовлетворяющих условию п > 0, причем для всех t Є T выполняется условие (0,...,0) = 0, где слева элемент 0 стоит п раз, если операция t гг-арна. Заметим, что мультиоператорные Т-группы объединяют в себе такие понятия как группы, кольца, модули и мультикольца. Для указанных алгебр результаты данной диссертации будут справедливы как следствия.

Кроме того, в диссертации получено описание минимальных и полных Q- спутников для основных классов О-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами, установлено применение Q- спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций, изучены fii-расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и их решетки - все это также принадлежит к современному направлению теории алгебраических систем и их классов.

Целью данной работы является построение различных классов О-расслоен- ных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, описание строения их минимальных и полных О-спутпиков, изучение произведений и свойств решеток таких формаций, а также исследование Qi-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и их решеток.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. построить различные классы расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; дать описание строения их минимальных и полных спутников, а также установить применение спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций;

2. изучить полные, модулярные, алгебраические и булевы решетки О-рас- слоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами; получить полное описание О-расслоеппых формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, имеющих длину <2;

3. построить различные классы расслоенных т-замкнутых формаций муль- тиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп;

4. исследовать полные, модулярные, алгебраические и булевы решетки Qi- расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорпых Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп; установить полное описание Qi-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператор- ных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, с длиной < 2.

Объектом исследования являются расслоенные формации мультиоператор- ных Т-групп, обладающих композиционными рядами, и расслоенные т-замкну- тые формации мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Предметом исследования являются минимальные спутники, произведения и решетки расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, а также решетки расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Методы исследования. В работе использовались методы общей теории алгебраических систем, теории классов алгебраических систем, а также методы общей теории решеток.

Основные положения, выносимые на защиту:

замкнутых подформаций с направлением (р является булевой, где ШТ - класс всех мультноператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Научная новизна полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Важнейшие из них:

4. 1. построены различные классы расслоенных формаций мультноператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; дано описание строения их минимальных и полных спутников; установлено применение спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций;

   2. показано, что решетка всех гг-кратно О-расслоеппых С-формаций для любого п Є Nq с направлением у, щ < у, является полной, модулярной и алгебраической; получено полное описание тг-кратно Q-расслоенных C- формаций $ с — 2, где п Є Nq и i^-A для всех А Є J, у которых решетка всех гг-кратно Q-расслоенных подформаций с направлением <р является булевой, где С - класс всех мультноператорных T- групп с конечными композиционными рядами;

   3. построены различные классы расслоенных т-замкнутых формаций мультноператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп; дано описание строения их минимальных спутников; установлено применение спутников к исследованию свойств решеток таких формаций;

   4. показано, что решетка tQ,\F.всех гг-кратно Qi-расслоенных т-замкнутых ШТ-формаций для любого п Є Nq с направлением < ^f^₅ является полной в SDt, модулярной и алгебраической; получено полное описание гг-кратно Qi-расслоенных т-замкнутых ШТ-формаций $ с ^n₁Kf (S^r) < 2, где п Є Nq и <р₀ < <>; изучены гг-кратно Qi-расслоенные т-замкнутые ШТ-формации с г- направлением <р, таким, что <р(А) с штл'штл для всех А Є Ji, у которых решетка всех гг-кратно Qi-расслоенных т-замкнутых подформаций с направлением <р является булевой, где ШТ - класс всех мультноператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

   Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций алгебраических систем, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

   Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания института математики и информатики Московского городского педагогического университета (2008-2011); на научно-практической конференции "Роль научных исследований в преподавании математических и естественнонаучных дисциплин "(Москва, 2009); на международной алгебраической конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 80-летию со дня рождения

   1. 1. 1. И. Кострикина (Нальчик, 2009); на VIII международной школе-конференции "Теория групп и ее приложения", посвященной 75-летию В.А. Белоногова (Нальчик, 2010); на международной конференции "Алгебра, логика и приложения "(Красноярск, 2010); на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры МГУ и 70-летию А.В. Михалева (Москва, 2010); на 42-ой Всероссийской молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, 2011); на 8-ой международной алгебраической конференции в Украине, посвященной 60-летию со дня рождения

         2. М. Усенко (Луганск, 2011); на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011); на международной конференции "Алгебра и математическая логика", посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (Казань, 2011); на международной конференции "Мальцевские чтения", посвященной 60-летию со дня рождения С.С. Гончарова (Новосибирск, 2011).

         Опубликованность результатов. Основные научные результаты диссертации опубликованы в двух рецензируемых журналах [1-2], в материалах трех [35] и тезисах пяти [6-10] международных и всероссийских конференций, в одной депонированной работе [11], в одном сборнике трудов [12] и в одном препринте [13].

         Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно или при непосредственном его участии.

         Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 70 наименований. Объем диссертации - 120 страниц.

         Похожие диссертации на Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их применения

         

         Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп ЛИ в применении к уравнениям математической физикиЛукацкий Александр Михайлович

         

         Решетки Z-расслоенных формаций конечных группЕловикова Юлия Александровна

         

         Факторизации однопорожденных расслоенных формаций конечных группЕловиков Андрей Борисович

         

         Z-расслоенные критические формации конечных группСиленок Надежда Владимировна

         

         Критические Z-веерные и Z-расслоенные формации конечных группКорпачева Марина Александровна

         

         Канонические формации и классы фиттинга конечных группЕгорова Виктория Евгеньевна

         

         Полные неприводимые представления пространственных групп и их применение в теории фазовых переходов Чечин Георгий Михайлович

         

         Самораспространяющийся высокотемпературный синтез нитридов металлов группы железа с применением азида натрия и галоидных солей аммония Майдан Дмитрий Александрович

         Применение методов теории групп для изучения интегралов энергии гиперболических уравненийТыщенко, Андрей Владимирович

         Асимптотическая теория представлений симметрической группы и ее применения в анализеКеров, Сергей Васильевич