Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор результатов 20
Глава 2. Предварительные сведения
2.1. Методы доказательств 28
2.2, Используемые результаты 28
Глава 3. Критические со-веерные формации конечных групп 34
3.1. Описание критических га-веерных формаций 34
3.2. Описание критических со-веерных нормально наследственных формаций 46
3.3. Описание критических со-локальных формаций 59
Глава 4. Критические Q-расслоенные формации конечных групп 71
4.1. Описание критических Q-расслоенных формаций 71
4.2. Описание критических Q-расслоенных нормально наследственных формаций 85
Выводы 101
Список используемых источников 102
- Описание критических со-веерных нормально наследственных формаций
- Описание критических со-локальных формаций
- Описание критических Q-расслоенных формаций
- Описание критических Q-расслоенных нормально наследственных формаций
Введение к работе
В последние десятилетия важное место в теории групп занимает понятие класса. Класс представляет собой совокупность групп, содержащую вместе с каждой своей группой G и все группы, изоморфные G. Возникает необходимость характеризации групп по свойствам тех или иных классов, в связи с чем требуются исследования различных классов групп и взаимосвязей между ними.
Теория классов групп, как самостоятельное направление в рамках теории групп, начала свое развитие лишь в 30-ые годы XX в. после выхода работ Г. Биркгофа [45] и Б.Х. Неймана [49]. Первоначальный этап развития теории классов был в основном связан с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразий, квазимногообразий и др.). После выхода в 1963 году работы В.Гашюца [47] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль среди которых заняли формации групп. Таким образом, в рамках теории групп возникло и вполне оформилось новое научное направление - теория формаций. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [33, 42, 44].
При изучении формаций можно выделить два основных подхода, С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформаций заданной формации. Наличие у исследуемой формации S тех или иных подформаций и их взаимное расположение в 5 является важной характеристикой этой формации. Однако, следует отметить тот факт, что поскольку, к примеру, у любой неединичной локальной формации решетка подформаций бесконечна, то применение этого подхода весьма затруднительно при исследовании внутреннего строения такого рода формаций. Это обстоятельство привело к необходимости разработки особых методов исследования, связанных с понятием критической формации. Пусть
Э — произвольная непустая совокупность формаций, ф - некоторый класс групп. 0-формация тЗ называется ф9-критической формацией, или иначе, минимальной не ф-формацией, если {?ф, но все собственные 9-подформации из f содержатся в классе ф.
Общая проблема изучения фе-критических формаций впервые была поставлена Л.А, Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году [43]. В серии работ А.Н. Скибой было дано решение этой задачи в случае, когда 9 - класс всех локальных формаций, а фєО - некоторая формация классического типа (см., например, [34]). Аналогичные результаты для локальных наследственных, .локальных нормально наследственных формаций, кратно локальных формаций содержатся в работах А.Н. Скибы, В.М Селькина, В.Г. Сафонова и др. (см., например, [25, 28-29]). В.А. Ведерниковым и М.М. Сорокиной решена задача Л.А. Шеметкова для композиционных и композиционных (нормально) наследственных формаций (см., например, [6]).
Наиболее важную роль при изучении внутреннего строения конечных групп играют широко известные локальные и композиционные формации. Развитие теории формаций привело в дальнейшем к таким обобщениям этих понятий, как частично локальные и частично композиционные формации. Изучением частично локальных критических формаций занимались А.Н. Скиба, В.М. Селькин, И.Н. Сафонова и другие (см., например, [26-27, 30]). В.А. Ведерниковым и Д.Г. Коптюх получено описание Q-композиционных наследственных критических формаций [5].
В 1999 году профессором В.А. Ведерниковым была введена в рассмотрение концепция частичной веерности и частичной расслоенности, которая позволила на языке функций описать все формации конечных групп (см., например, [8-9]). При этом локальные формации явились одним из видов веерных, а композиционные - одним из видов расслоенных формаций. В работе [3] показано, что существует бесконечное множество различных видов ю-веерных и П-расслоенных формаций. Решение вышеуказанной задачи Л.А. Шеметкова для двух видов П-расслоенных формаций (П-канонических и П-биканонических) получено в работах М.М. Сорокиной и Н.В. Силенок [39-40].
В данной диссертации приводится описание строения <о-веерных и Q-расслоенных (нормально наследственных) критических формаций с заданными направлениями. Тем самым решается задача Л.А. Шеметкова изучения фо_кРитических формаций в случае, когда 9 — класс всех со- веерных (нормально наследственных) формаций с br-направлением 5<63, а также, когда 9 — класс всех Q-расслоенных (нормально наследственных) формаций с br-направлением (р<фз.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. Общая проблема конструирования и классификации формаций с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана с идеей исследования формаций с заданными свойствами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают ф0- критические формации, то есть такие Э-формации, не содержащиеся в классе групп ф, у которых все собственные 9-подформации содержатся в ф, для некоторой непустой совокупности формаций 9. На VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году Л.А. Шеметков впервые поставил общую проблему изучения Фо-критических формаций [43]. Решению этой проблемы посвящены работы А.Н. Скибы, В.М Селькина, В.Г. Сафонова, И.Н. Сафоновой, В.А. Ведерникова, М.М. Сорокиной, Д.Г. Коптюх, Н.В. Силенок и других (см., например, [5-6, 25-29, 39-40]).
Введенная в 1999 году профессором В.А. Ведерниковым концепция частичной веерности и частичной расслоенности позволила с единых позиций изучать бесконечное множество новых типов формаций, каждый из которых характеризуется определенным направлением [3-4, 8-9, 50]. Многие важные результаты, полученные ранее для локальных и частично локальных, композиционных и частично композиционных формаций, можно рассматривать как частный случай более общих результатов для со-веерных и Q-расслоенных формаций. Таким образом, исследование со-веерных и Q-расслоенных формаций является следующим шагом на пути обобщения и расширения круга изучаемых объектов в теории формаций и является вполне актуальной и перспективной задачей. В данной работе решается задача Л.А.
Шеметкова изучения Фо-критических формаций в случае, когда 0 - класс всех со-веерных (нормально наследственных) формаций с Ьг-направлением
5<53, а также, когда 6 - класс всех Q-расслоенных (нормально наследственных) формаций с br-направлением 9<
Цели и задачи исследования — построение общей теории критических са-веерных и критических Q-расслоенных формаций.
Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении веерных и расслоенных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и институтах для студентов математических специальностей.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Описание критических аьвеерных формаций.
Описание критических П-расслоенных формаций.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры БГУ, на Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д.А. Граве в Киевском университете (Киев, 2002 г.), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002 г.), на Международной конференции «Колмогоров и современная математика», посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (Москва, 2003 г.), на Международной конференции «Алгебра, логика и кибернетика», посвященной памяти профессора А.И. Кокорина (Иркутск, 2004 г.), на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 100-летию Н.Г\ Чудакова (Саратов, 2004 г.).
Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [16, 17, 19, 22], 2 препринтах [37, 38] и 7 тезисах конференций [10-12, 15, 18, 20, 21].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 50 наименований, расположенных в алфавитном порядке. Объем диссертации - 106 страниц.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное при написании данной диссертации.
Описание критических со-веерных нормально наследственных формаций
Пусть ф - некоторый класс групп, to-веерную нормально наследственную формацию \5 с направлением 6 назовем ф -критической формацией, или иначе, минимальной со-веерной нормально наследственной не ф-формацией с направлением 6, если й?Ф, но все собственные со-веерные нормально наследственные подформации с направлением 5 из S в классе ф содержатся. Аналогично определяются ф.,„з-критические формации (минимальные веерные нормально наследственные не ф-формации с направлением 8). Формация называется нормально наследственной, если с каждой своей группой G она содержит и все нормальные подгруппы группы G. Будем использовать следующие сокращения: ошї-спутник ( «-спутник) формации - ш-спутник (спутник), все значения которого являются нормально наследственными формациями; -критическая формация - минимальная нормально наследственная не ф-формация. Пусть Э - непустое множество групп.
Тогда (oy«F(2,S) (snF(x",5)) - со-веерная (веерная) нормально наследственная формация с направлением 5, порожденная множеством 2Є, coFs„(,5) (Fin(3i,8)) - такая со-веерная (веерная) формация с направлением 6, порожденная множеством $, которая обладает хотя бы одним йШ7-спутником ( «-спутником). 3.2.1. Лемма. Пусть Э - со-веерная формация с р-направлением 6. Если формация JS обладает хотя бы одним внутренним сохи-спутником, то Gf является нормально наследственной формацией. Доказательство. Пусть f - внутренний шя-спутник формации 53. Допустим, что GGS, М - нормальная подгруппа группы G и М Ог, причем G - группа наименьшего порядка с таким свойством. Тогда G=l. Если G - не монолитическая группа, то найдутся две различные минимальные нормальные подгруппы R и N группы G, причем G/RG2f И G/NG3f. ПО индукции MR/R M/MORGCi и MN/NSM/MONGS. Следовательно, M/MnRnN=MG8f. Противоречие. Поэтому G - монолитическая группа с монолитом R, причем M/RGS. Предположим, что jc(R)to. Тогда Ow(G)=l и G=G/0,„(G)efl[u) ). Ввиду нормальной наследственности формации f(a ), имеем MGf(co ). Так как f внутренний соуя-спутник формации S, то MGJ5- Противоречие. Допустим, что 7i(R)co. По лемме 2.2.23, формация Ї5 обладает таким со спутником h, что п(ю )=0» и h(q)=f(q) для любого qGo . Так как GE{5, то G/G5(p)Gf(p) для всех pGjt(G)noo. Поскольку f- сояи-спутник формации \5, то M/M8(p)=M/(MnG5(p)) (MG{p))/G8(p)Gf(p) для любого рЄл(М)Псо. Так как TU(R)C(O, то ROu(M) и М/О МЗ СМ/ЯуСО СМ Є Ксо ). Поскольку 5 является р-направлением, то из M/RGSN М/М5(Р)ЄҐ(р)=п(р) для всех pGa)rm(R) и М/Ощ(М)Єп(со ), ввиду леммы 2.2.20, получаем, что МєЗ\ Противоречие. Лемма доказана. 3.2.2. Следствие. Пусть Sf — веерная формация с р-направлением 5.
Если формация Gf обладает хотя бы одним внутренним «-спутником, то Зг является нормально наследственной формацией. 3.2.3. Лемма. Пусть f - максимальный внутренний со-спутник со-веерной формации {? с Ьр-направлением 6 таким, что 5 63. Формация 3f является нормально наследственной тогда и только тогда, когда f(p) - нормально наследственная формация для всех pGtoU{co }. Доказательство. Необходимость, Пусть 8f - нормально наследственная формация. Поскольку 6 — такое Ьр-направлением, что б 53, то согласно теореме 2.2.18, f(p)=SRpf(p) для всех рсо и f(to )=0f. Поэтому формация fib ) является нормально наследственной. Предположим, что найдется такое рЄш, что формация f(p) не является нормально наследственной и G — такая группа из f(p), которая обладает нормальной подгруппой M f(p), причем G - группа наименьшего порядка с таким свойством. Очевидно, что G=l. Как и при доказательстве леммы 3.2.1, нетрудно проверить, что G — монолитическая группа с монолитом R. Допустим, что Op(G) l. Тогда R Op(G). Поскольку G/RGf(p), то по индукции М/ІІЄДр), и значит, МЄЇНрії[р)=Ґ(р). Противоречие. Следовательно, Op(G)=l, Согласно лемме 2.2.5, существует точный неприводимый Рр[0]-модуль К, Пусть T=[K]G. Тогда группа Т монолитична с монолитом К=Ст(К). Поскольку 5 является Ьр-направлением, удовлетворяющим условию 6 6з, ТО как и при доказательстве леммы 3.1.3, нетрудно проверить, что Т5(р)=К. Так как T/K=GGf(p), то, ввиду леммы 2.2.19, TE9tpf(p) i5. Поскольку КМ - нормальная подгруппа группы Т, то КМЄ&. Из (КМ)5(Р)=Т5(Р)ПКМ=КПКМ=К получаем (KM)/(ICM)5(p)=KM/K=Mef(p).
Противоречие. Таким образом, формация f(p) является нормально наследственной для любого рЄсои{со }, Достаточность следует из леммы 3.2.1. Лемма доказана. 3.2.4. Следствие. Пусть f - максимальный внутренний спутник веерной формации 3f с Ьр-направлением 6 таким, что 5 53. Формация 5 является нормально наследственной тогда и только тогда, когда f(p) — нормально наследственная формация для всехрЄІР. 3.2.5. Замечание. Из леммы 3.2.3 следует, что если 5 - Ьр-направление, удовлетворяющее условию 6 бз, то 05 (36,6)=6) ,,(3 6), где Э — непустое множество групп. Доказательство следующей леммы проводится аналогично доказательству теоремы 2.2,16. 3.2.6. Лемма. Пусть Зс - непустой класс групп, S=coFJW(96,5), где 60 5. Тогда формация 0? обладает единственным минимальным оми-спутником f таким, что ca )=is«fonn(G/Oe,(G) : GGdc), f(p)=s«form( G/G p): GG3) ДЛЯ всех рЄсоПтг() и f(p)=0, если рЄсо\7и().
Описание критических со-локальных формаций
Отметим, что направление 5j со-локальной формации не является br-направлением. Пусть ф — некоторый класс групп, toL-формация $$ называется ф -критической, если Ї5Ф, а все собственные coL-подформации из й в классе ф содержатся. 3.3.1. Лемма. Пусть h - максимальный внутренний со-спутник непустой со локальной формации ф, — минимальный со-спутник со-локальной формации J5- Формация Зг является ф -критической тогда и только тогда, когда t5f=coLF(G), где G - группа минимального порядка из і$\ф с монолитом P=G таким, что f(p) является Ь(р)-критической формацией для всех рЄя(Р) со, а в случае тг(Р)со формация f(co ) является Ь(со )-критической. Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1.5. 3.3.2, Лемма. Пусть G — монолитическая группа с неабелевым монолитом Р, где я(Р) со. Тогда G является «L-базисной группой.
Доказательство. Пусть f - минимальный со-спутник формации S=coLF(G), h - coF-функция такая, что h(co )=form(G/Ow(G)), h(p)=form(G/P) для любого рЄл(Р), h(p)=form(G/Fp(G)) для всех pe(con7i(G))\7t(P), h(p)=0, если pGco\7i(G), =coLF(h), По лемме 2.2.16, f(co )=forTn(G/Om(G)), f(p)=form(G/Fp(G)) для всех pGrc(G)nco, f(p)=0 для всех pGo)W(G). Пусть pGjr(P). Так как FP(G)=1, то h(p)=form(G/P)CformG=f(p). Таким образом, h f ифСЇ5. Пусть 93 — собственная со-локальная подформация из 5f и b - ее минимальный со-спутник. По следствию 2.2.17, b f. Пусть рЄ7с(Р). Предположим, что b(p)=f(p). Так как Fp(G)=l, то G=G/Fp(G)Gb(p) =33, что невозможно. Поэтому b(p)Cf(p) и b(p)form(G/P)=h(p). Следовательно, b h и Шї=ф. Таким образом, ф — единственная максимальная со-локальная подформация из Q. Согласно лемме 2.2.8, G является критической группой, а следовательно, и формационно критической. Тем самым установлено, что G — coL-базисная группа. Лемма доказана. 3.2.3. Лемма. Пусть G=[P]H - монолитическая группа с монолитом P=Op(G), где Р — р-группа, pGco, Н - f-базисная группа. Тогда G является coL базисной группой. Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1.1. 3.2.4. Теорема. Пусть ф — непустая со-локальная формация, h - ее максимальный внутренний со-спутник, со-локальная формация 5f является Фшь-критической тогда и только тогда, когда 8f=coLF(G), где G - такая coL базисная группа с монолитом P=G \ что выполняется одно из условий: 1) G=P - группа простого порядка рЄсо; 2) G=[P]H, где P=Op(G) - р-группа, рЄсо, Н - f-базисная группа с монолитом Q=Hh(p) и максимальная подформация из formH содержится в КР); 3) Р - неабелева группа, л(Р) =«, P=Gh{p) для любого рЄл(Р); 4) G - f-базисная группа, Jt(P) a), P=Ghtto) и максимальная подформация из formG содержится в h(co ). Доказательство. Необходимость. Пусть f - минимальный со-спутник формации т$. По лемме 3.3.1, 3f=toLF(G), где G — монолитическая группа из 5\Ф с монолитом P=Gy, причем если 7Е(Р) =СО, ТО формация f(p) является Ь(р)-критической для любого рЄл(Р), а в случае 7і(Р) со формация f(co ) является п(со )-критической.
По лемме 2.2.16, ґ(со )=ґогт(0/Ош(С)), f(p)=form(G/Fp(G)) для любого рЄюПтг(С) и f(p)=0, если pGco\rc(G), Согласно теореме 2.2.18, п(со )=ф и h(p)=Rph(p)-SRph)(p) для любого рю, где hj -произвольный внутренний со-спутник формации ф. Пусть тг(Р) о) и рЄл(Р). Рассмотрим случай, когда р ти(ф). Так как h(p)=:0, то Др)=(1) и, значит, G=Fp(G). Тогда GGSRp. Так как pG7c(G)nco, то f(p) 0 и согласно лемме 2.2.19, РеШрс Др)с Тогда coLF(P)cg. Если coLF(P)Ct5, то wLF(P)c=$ и рЄк(ф). Противоречие. Следовательно, LF(P)=8 и можно считать, что G=P. Как и при доказательстве теоремы 3.1.7, нетрудно проверить, что 5ч=(1) - единственная максимальная со локальная подформация из В- По лемме 2.2.3, Р - критическая, а, следовательно, и формационно критическая группа. Тогда G=P — coL-базисная группа и формация 3f удовлетворяет условию 1). Пусть рЄтг(ф), Р - р-группа и Н - группа минимального порядка из %)\h(p). Тогда Н - монолитическая группа с монолитом Q=Hh(p), Ор(Н)=1 и, по лемме 2.2.5, существует точный неприводимый FpfHJ-модуль Т. Пусть R=[T]H. Тогда группа R монолитична с монолитом T=CR(T). Проводя рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3.1.7, нетрудно показать, что в качестве группы G можно выбрать группу R, Н является f-базисной группой и R - (oL-базисная группа. Таким образом, формация J5 удовлетворяет условию 2). Пусть Р - неабелева pd-группа. Так как G -ф, то G h(p). По лемме 3.2.2, G является coL-базисной группой и максимальная ш-локальная подформация ИЗ из {5 обладает таким w-спутником Ь, что b(p)=form(G/P). По условию Ш ф и согласно следствию 2.2.17, b h. Тогда form(G/P) h(p). Поэтому G/PGh(p) и P=Ghtp). Таким образом, формация Q удовлетворяет условию 3). Пусть л;(Р) ю. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям из доказательства теоремы 3.1.7, нетрудно показать, что формация 5 удовлетворяет условию 4). Достаточность. Пусть формация i5=coLF(G), где G - wL-базисная группа с монолитом P=G у такая, что выполняется одно из условий 1 )-4). Покажем, что формация Ї5 - Фшь-критическая. Так как GeJ5 , то г5ф. Пусть группа G типа 1) и pG7t(G). Так как 9Я=(1) — единственная максимальная подформация из {5=3 р, то Э является ф -критической. Пусть G - группа типа 2). Так как Gh(p) l, то G h(p) и formGh(p). Поскольку ц р)=Ґогт(0/Рр(С))=Гогт(С/Р)=ґогтН, то f(p)h(p). Так как единственная максимальная подформация 9Л из f(p) содержится в h(p), то
Описание критических Q-расслоенных формаций
В данном разделе исследуются некоторые общие свойства Q-расслоенных формаций, которые используются при доказательстве основного результата этой главы. Формационно критическую группу G назовем Qф-бaзиcнoй (ф-базисной), если формация QF(G ) (формация F(G )) содержит единственную максимальную Q-расслоенную (расслоенную) подформацию с направлением ф. 4.1.1. Замечание. Пусть ф - Ьг-направление Q-расслоенной формации такое, что ф фз, 6 - направление со-веерной формации, коллинеарное ф. Тогда 8 является br-направлением таким, что 8 8з. Действительно, так как ф является r-направлением, то ф(А)=А Ф(А) для любого Аєз. Из того, что ф и 8 коллинеарны, следует, что для любого рЄР справедливо 6(p)=9(Zp)=(ZpMZp)=(Zp) 8(p). Таким образом, 8 является г-направлением. Так как ф - b-направление, то ф(А)=ф(А)@А для любого АЄ$ п2(. Тогда S(p) (Zp)=9(Zp)@Zp"8(p)SRp для любого рЄІР и, следовательно, 8 является Ь-направлением. Из того, что ф фз получаем, что для любого рЄІР справедливо S(p)=9(Zp)93(Zp)=(ScZp=@Cp=83(p). Таким образом, 8 83. 4.1.2. Лемма. Пусть QQ s, Qn feO, а ={рЄІР : ZpeQ}, ф- r-направление Q-расслоенной формации такое, что ф фз? 8 - направление ш-веерной формации, коллинеарное р, ф - ш-веерная формация с направлением 8. Формация 5 является ф д-критической тогда и только тогда, когда S Фо(р_кРитическая формация. Доказательство. Согласно замечанию 4.1.1, S является r-направлением, а любое r-направление является р-направлением. Тогда по теореме 2.2.24, ф является Q-расслоенной формацией с направлением ф. Необходимость. Пусть 2f - фш-критическая формация. Тогда 2f является оо-веерной формацией с направлением 8, ЭФ, $3 =ф, где 93 произвольная собственная со-веерная подформация с направлением 8 из г5. Так как формации 3 и 33 являются со-веерными формациями с направлением 8, то, согласно теореме 2.2.24, J5 и 93 — Q-расслоенные формации с направлением ф.
Используя теорему 2.2.24, нетрудно показать, что множество всех Q-расслоенных подформаций с направлением ф из 5 и множество всех со-веерных подформаций с направлением 5 из S совпадают. Тогда из {5ф, Шеф получаем, что Э - Фпф-критическая формация. Достаточность. Пусть 2f - Фпф-критическая формация. Тогда J5 — Q расслоенная формация с направлением ф, г5 ф, 5R Єф где 9Л -произвольная собственная Q-расслоенная подформация с направлением ф из S- Так как ?, 9Л являются Q-расслоенными формациями с направлением Ф, то, согласно теореме 2.2.24, S и 5№ - со-веерные формации с направлением 5. Из Э Ф, Ш ф получаем, что Sf - фШ5-критическая формация. Лемма доказана. 4.1.3. Следствие. Пусть ф - r-направление расслоенной формации такое, что ф фз, 5 - направление веерной формации, коллинеарное ф, Ф - веерная формация с направлением 5. Формация J5 является Фб-критической тогда и только тогда, когда {5 - ф -критическая формация. 4.1.4. Лемма. Пусть ОЯ з, Пп2С 0, ш={рЄР : 7РЄП}, ф г-направление Q-расслоенной формации такое, что ф фз, 5 - направление ю-веерной формации, коллинеарное ф, Q ш-веерная формация с направлением 8, f и fn — минимальные со-спутник и Q-спутник соответственно формации Sf. Тогда f,o(p)=fn(Zp) для любого рЄ(0. Доказательство. Из замечания 4.1.1 следует, что 6 — р-направление и, значит, согласно теореме 2.2.24, формация S является Q-расслоенной с направлением ф. По теореме 2.2.16, fJw formtG/O G) : GGS), 4(p)=form(G/Gs P) : GGJ5) ДЛЯ всех рЄти(ї5)Псо, ґш(р)=0 для всех рЄш\тс(г5). Согласно теореме 2.2.25, ffi(Q )=form(G/0 (G) : Gef), ьЬ(А)=1Ъгт(С/Оф(А) : GGS) ДЛЯ всех AeQnK($) и fh(A)=0, если AeQ\K(&). Пусть рЄсо. Если рЄеАя), то грЄПЩЄ) и f№(p)=0=fn(Zp). Пусть рЄтс( )По). Тогда ґи(р) 0 и, ввиду леммы 2.2.19, Zpe$lp9lpfw(p) 8. Следовательно, ZpG.QnK0S). Так как направления ф и 5 коллинеарны, то (p formfG/Gstp) : GEJ5)=form(G/GV(zP): GG55)=fo(Zp). Лемма доказана. 4.1.5. Следствие.
Пусть (р - r-направление расслоенной формации такое, что ф фз 5- направление веерной формации, коллинеарное р, & -веерная формация с направлением 6, f] — минимальный спутник веерной формации 5 и f2 - минимальный спутник расслоенной формации {5. Тогда f(p)=f2(Zp) для любого р Є Р. 4.1.6. Лемма. Пусть Q , Qn2T 0, со={рЄР : ZpeQ}, q - br направление Q-расслоенной формации такое, что ф фз, 5 - направление со-веерной формации, коллинеарное р, S - со-веерная формация с направлением 5. Тогда максимальные внутренние со-спутник и Q-спутник формации S являются согласованными. Доказательство. Из замечания 4.1.1 следует, что 8 - br-направление такое, что 6 53. Согласно теореме 2.2.24, формация & является П-расслоенной с направлением ф. Пусть hw и IIQ - максимальные внутренние со-спутник и Q-спутник соответственно формации 5. По теореме 2.2.18, Ьш(со )=Э и для любого рЄсо справедливо h(0(p)=?iph(0(p)=Sfipg0)(p), где g,,, — произвольный внутренний со-спутник формации Q\ Ввиду теоремы 2.2.27 и леммы 2.2.31, ho(A)=5 для любого AG{Q }U(QUT) и для любого ZpGO справедливо hnCZp SRpgfitZp), где gQ - произвольный внутренний П-спутник формации S-Пусть рЄсо. Покажем, что h 0(p)=hn(Zp). Согласно лемме 4.1.4, f(o(p) fb(Zp),
Описание критических Q-расслоенных нормально наследственных формаций
Пусть ф — некоторый класс групп. Q-расслоенная нормально наследственная формация 5 с направлением (р называется Фо -критической формацией, или иначе, минимальной П-расслоенной нормально наследственной не ф-формацией с направлением р, если ЭФ, но все собственные Q-расслоенные нормально наследственные подформации с направлением ф из S в классе ф содержатся. Аналогично определяются Ф -критические формации (минимальные расслоенные нормально наследственные не ф-формации с направлением ф). В данном разделе приведем описание строения критических Q-расслоенных нормально наследственных формаций. Предварительно рассмотрим некоторые общие свойства Г2-расслоенных нормально наследственных формаций, необходимые для доказательства основныой теоремы.
Будем использовать следующие сокращения: Qsn-спутник (sn-спутник) формации - П-спутник (спутник), все значения которого являются нормально наследственными формациями; ф -критическая формация - минимальная нормально наследственная не ф-формация. Пусть ЇЕ - непустое множество групп.
Тогда ns??F($,(p) (snF( ,(p)) - П-расслоенная (расслоенная) нормально наследственная формация с направлением ср, порожденная множеством Э, QFJW(3 ) (Fjn(3 )) - такая Q-расслоенная (расслоенная) формация с направлением ф, порожденная множеством ;, которая обладает хотя бы одним Оз77-спутником (sn-спутником). 4.2.1. Лемма. Пусть f - Пуи-спутник Q-расслоенной формации 5г с г-направлением ф. Тогда Gf - нормально наследственная формация. Доказательство, Допустим, что GGS?, N — нормальная подгруппа группы G и N8f, причем G - группа наименьшего порядка с такими свойствами. Тогда GФ\. Если G - не монолитическая группа, то найдутся по крайней мере две различные минимальные нормальные подгруппы R и М группы G, причем G/RGg и G/MGf. По индукции NR/R=N/NnRG{5 и NM/M N/MnNeS. Следовательно, N/MnRnN NG . Противоречие. Поэтому G - монолитическая группа с монолитом М. Пусть ПГ\К(М)Ф0 и АЄОпДМ). Согласно лемме 2.2.30, p=aF(h,q ), где h(Q )= , h(B)=f(B) для любого ВЄП. Так как GGg, ТО G/G Gfi». В силу того, что f(A) - нормально наследственная формация и леммы 2.2.14, получим NG A/G4)(A)=N/NnG9(A)=N/N(p(A)Gf(A). По индукции N/MGS- Если, ДМ)сП, то M00(G) и N/On(N)s(N/M)/(0(i(N)/M)eg=h(n ). Следовательно, согласно теореме 2.2.28, NGS\ Противоречие. Пусть K(M)Q. Тогда On(G)=l и G G/On(G)Gf(Q ). В силу нормальной наследственности формации f(Q ) имеем NGf(nr). Тогда N/0n(N)6f(Q ). Таким образом, по теореме 2,2.28, NGJ5. Противоречие. Пусть Qn(M)-0. Тогда On(G)=l, G G/Ofi(G)Gf(Q ) и NGf(fi ). Значит, N/On(N)Gf(Q ). Так как МЄП-, то M Ofi N) и N/On N)=(N/M)/(Ofi N)/M)S. Следовательно, согласно теореме 2.2.28, NGS- Противоречие. Лемма доказана. 4,2.2. Лемма. Пусть f - максимальный внутренний Q-спутник Q.-расслоенной формации 5 с br-направлением ф, где р (рз- Формация f является нормально наследственной тогда и только тогда, когда f(A) — нормально наследственная формация для всех AGQU {СЇ}. Доказательство. Необходимость. Предположим, что формация f(A) не является нормально наследственной для некоторого AGQU{Q } и G — такая группа из f(A), которая обладает нормальной подгруппой M f(A), причем G - группа наименьшего порядка с таким свойством. Очевидно, что G l. Согласно теореме 2.2.27 и ввиду леммы 2.2.31, f(B)=S для всех ВЄ{П }и(П\2С) и f(Zp)=5Hpf(Zp) для всех ZpGQ. Тогда A=Zp для некоторого ZpGQ. Как и при доказательстве леммы 4.2.1, нетрудно проверить, что G — монолитическая группа с монолитом R. Если Op(G)=M, то R Op(G),
Тогда, поскольку M/RGf(Zp), то MG3 pf(Zp)=f(Zp). Противоречие. Следовательно, Op(G)=l и, по лемме 2.2.5, существует точный неприводимый FpfGJ-модуль К. Рассмотрим группу T=[K]G. Тогда группа Т монолитична с монолитом К=СТ(К). Поскольку ф - b-направление, то 9(Zp)=9(Zp)9ip, и значит, KTIP(ZP)T(P;(ZP)=FZP(T)CT(K)=K. Тем самым установлено, что K=T p(Zp). Так как T/KsGGf(Zp), то, ввиду леммы 2.2.31, TG91pf(Zp)c{5. Так как КМ Т, то КМЄ . Тогда, ввиду леммы 2.2.14, (KM)(p(Zp)=KMnTl()(Zp)=KMnK=K и (KM)/(KM)V(Zp)=KM/K=MGf(Zp). Противоречие. Таким образом, формация f(A) является нормально наследственной для любого AGQU{Q }. Достаточность следует из леммы 4.2.1. Лемма доказана. Непосредственно из леммы 2.2.29 вытекает следующее: 4.2.3. Следствие. Пусть f; - минимальный Clsn-спутник Q-расслоенной нормально наследственной формации 5ч с направлением (р таким, что фо Ф, i=l,2. Тогда и только тогда т5] &2, когда fi f2. 4.2.4. Лемма. Пусть QQ Qn2f 0, со={рЄ(Р : ZpGCl), ф — r-направление Q-расслоенной формации, такое, что ф фз, 5 - направление со-веерной формации, коллинеарное ф, ф - to-веерная нормально наследственная формация с направлением 5. Нормально наследственная формация S является Фи -критической тогда и только тогда, когда Зг - Фсьщ критическая формация. Доказательство. Согласно замечанию 4.1.1, 5 является р-направлением. Согласно теореме 2.2.24, ф является Q-расслоенной формацией с направлением ф. Необходимость. Пусть Зг - фш„-критическая формация. Тогда S со веерная нормально наследственная формация с направлением 5, 3 Ф, 33 іф, где S3 - произвольная собственная нормально наследственная со веерная подформация с направлением 5 из 3 . Так как формации 5 и S3 являются со-веерными нормально наследственными формациями с направлением б, то согласно теореме 2.2,24, S и S3 являются Q расслоенными нормально наследственными формациями с направлением ф. По теореме 2.2.24, множество всех Q-расслоенных нормально наследственных подформаций с направлением ф из 3? и множество всех со-веерных нормально наследственных подформаций с направлением 5 из г совпадают. Из ЭФ, 33 =Ф получаем, что 3? — Фо -критическая формация. Достаточность. Пусть J5 - Фп цгкритическая формация. Тогда 5 — П
