Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор результатов 15
Глава 2 Предварительные сведения 2Ї
Глава 3 Критические Q-расслоенные формации конечных групп 31
3.1. Общие свойства Q-канонических формаций 31
3.2. Описание минимальных Q-канонических не ф-формаций 40
3.3. Общие свойства Q-биканонических формаций 45
3.4. Описание минимальных Q-биканонических не ф-формаций 54
Глава 4 Критические Q-расслоенные нормально наследственные формации конечных групп 59
4.1. Общие свойства Q-канонических нормально наследственных формаций 59
4.2. Описание минимальных Q-канонических нормально наследственных не ф-формаций 69
4.3. Общие свойства Q-биканонических нормально наследственных формаций 75
4.4. Описание минимальных Q-биканонических нормально наследственных не ф-формаций 85
Выводы 92
Список используемых источников 93
- Описание минимальных Q-канонических не ф-формаций
- Описание минимальных Q-биканонических не ф-формаций
- Описание минимальных Q-канонических нормально наследственных не ф-формаций
- Описание минимальных Q-биканонических нормально наследственных не ф-формаций
Введение к работе
В теории конечных групп одним из наиболее важных и интересных направлений является характеризация групп по тем или иным свойствам, налагаемых на их подгруппы. Большое значение здесь имеет проблема изучения групп, все собственные подгруппы которых обладают некоторым свойством Q, которым сами группы не обладают. Первыми такие группы стали исследовать Миллер и Морено, которые рассматривали неабелевы группы, все собственные подгруппы которых абелевы (или, иначе, минимальные не
2С-группы, где 2С- класс всех конечных абелевых групп) [50]. В 1924 году
О. Ю. Шмидт получил описание строения минимальных ненильпотентных групп [44], получивших название впоследствии групп Шмидта. Впоследствии, не ф-группы для некоторого класса групп ф изучали К. Дерк, Б. Хупперт,
С. А. Чунихин, Ю. А. Гольфанд, Л. А. Шеметков, А. И. Старостин, В. Н. Семенчук, В. А. Ведерников, В. Т. Нагребецкий и многие другие.
Обобщением теории минимальных не ф-групп является теория минимальных не ф-классов (или иначе ф-критических классов), то есть таких классов групп, которые сами не содержатся в некотором классе ф, но у которых все собственные подклассы в ф содержатся.
В 30-ые годы после выхода работ Г. Биркгофа [45] и Б.Г.Неймана [51] теория классов групп выделилась как отдельное направление и начала интенсивно развиваться. Изначально, развитие этой теории было связано в основном с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразия, квазимногообразия и др.). В 1963 году, после выхода работы В. Гашуца [48] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль среди которых заняли формации групп. Так возникло и начало развиваться новое научное направление - теория формаций. Напомним, что класс групп называется формацией (Гашюц, [48]), если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [1,41,43,46,47]. Как отмечается в [43], при изучении формаций можно выделить два основных подхода. С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформаций заданной формации. Многочисленные исследования в этом направлении связаны с понятием минимальной не ф-формации. Пусть 0 - произвольная непустая совокупность формаций, ф - некоторый класс групп. 9-формация {5 называется минимальной не ф-формацией [42] или иначе фо-критической формацией [21], если {5Ф, но все собственные 0-подформации из (5 содержатся в классе ф. В 1980 году Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп была впервые поставлена проблема изучения Фе-критических формаций (см. [42]). Исследованием фе-критических формаций для определенных G и ф занимались А. Н. Скиба, А. Ф. Васильев, С. Ф. Каморников, В. Н. Семенчук, Е. А. Таргонский, В. М. Селькин, В. Г. Сафонов и другие. А. Н. Скибой получено решение этой проблемы в случае, когда 9 - совокупность всех локальных формаций, а фЄ0 - формация классического типа.
В. А. Ведерниковым и М. М. Сорокиной решена задача Л. А. Шеметкова для композиционных и композиционных (нормально) наследственных формаций [3,4,30,31]. В последние годы интенсивно исследовались частично локальные и частично композиционные формации (см., например, [2,28,29]). В работе [2] В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх изучены Q-композиционные наследственные критические формации. Исследованию со-локальных критических формаций посвящены работы В. М. Селькина и А. Н. Скибы (см., например, [16]). Введенная в 1999 году В. А. Ведерниковым концепция частичной веерности и частичной расслоенности позволила на языке функций описать все формации конечных групп [5,6,52]. Отметим, что локальные и композиционные формации являются частными случаями веерных и расслоенных формаций соответственно.
В данной диссертации рассматриваются Q-канонические и Q-биканонические критические формации. Здесь приводится описание строения минимальных Q-канонических не ф-формаций, минимальных Q-биканонических не ф-формаций, а также описание строения минимальных Q-канонических нормально наследственных не ф-формаций и минимальных Q-биканонических нормально наследственных не ф-формаций. Тем самым решается задача Л. А. Шеметкова об изучении Фе-критических формаций в случае, когда G - класс всех Q-канонических формаций, когда 0 - класс всех Q-биканонических формаций, а также, когда 0 - класс всех нормально наследственных Q-канонических (Q-биканонических) формаций.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. Общая проблема конструирования и классификации формаций с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана с идеей исследования формаций с заданными свойствами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают Фе-критические формации, то есть такие 0-формации, не содержащиеся в классе групп ф, у которых все собственные 9-подформации содержатся в ф для некоторой непустой совокупности формаций 0. На VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп Л. А. Шеметков впервые поставил общую проблему изучения
Фе-критических формаций [42]. Решению этой проблемы посвящены работы A. Н. Скибы Z 16,21-28 3 , Е. А. Таргонского [37-39], В. Г. Сафонова [11], B. М. Селькина [12-15] и др., в которых исследовалось строение различных видов локальных критических формаций. После введения в рассмотрение В. А. Ведерниковым Q-расслоенных формаций, появилась необходимость их исследования. Q-канонические и Q-биканонические формации являются частными случаями Q-расслоенных формаций. Поэтому вопрос их изучения весьма актуален и перспективен в настоящее время. В данной диссертации решается проблема Л. А. Шеметкова для Q-канонических (нормально наследственных) формаций, а также для Q-биканонических (нормально наследственных) формаций
Цель и задачи исследования - построение общей теории критических Q-канонических, критических Q-бикинонических, критических Q-канонических нормально наследственных и Q-бикинонических нормально наследственных формаций.
Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории, классов групп, в частности, при дальнейшем изучении веерных и расслоенных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Описание минимальных Q-канонических не ф-формаций.
Описание минимальных Q-биканонических не ф-формаций.
Описание минимальных Q-канонических нормально наследственных не ф-формаций.
Описание минимальных Q-биканонических нормально наследственных не ф-формаций.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры естественнонаучных дисциплин филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове, на Третьей Международной алгебраической конференции в Украине (Сумы, 2001 г.), на Международном семинаре по теории групп, посвященному 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина (Екатеринбург, 2001 г.), на Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д. А. Граве в Киевском университете (Киев, 2002 г.), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002 г.).
Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17,32,33] и тезисах конференций [18,34-36].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 52 наименований. Объем диссертации - 97страниц.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову, а также кандидату физико-математических наук, доценту Марине Михайловне Сорокиной за внимание, оказанное при написании данной диссертации.
Описание минимальных Q-канонических не ф-формаций
В данном разделе приведем один из основных результатов этой главы. Напомним, что формационно-критическая группа G называется ПК-базисной (К-базисной), если формация nKF(G) (KF(G)) содержит единственную максимальную ПК-подформацию (К-подформацию). 3.2.1. Теорема. Пусть ф - непустая ПК-формация, h - ее максимальный внутренний П-спутник. ПК-формация (5 является ф к-критической тогда и только тогда, когда 5=nKF(G), где G - такая ПК-базисная группа с монолитом P=Gg, что выполняется одно из следующих условий: 1) G=P - простая группа из П; 2) G=[P]H, ЛГ(Р)=(А) П, P=0A(G), CG(P) P, Н - f-базисная группа с монолитом Q=Hh(A) и максимальная подформация из formH содержится в h(A); 3) G - f-базисная группа такая, что 7(Р)П, P=Gh(n) и максимальная подформация из forniG содержится в п(П ). Доказательство. Необходимость. Пусть f - минимальный П-спутник ПК-формации {5- По теореме 3.1.1 Qr=nKF(G), где G - монолитическая группа из \5\ф с монолитом P=Gg, причем при І (Р)=(А)П формация ДА) является п(А)-критической, а при АГ(Р)П формация f(H ) - п(П )-критическая. По f(A)=0,QcmAEQ\K(G). Согласно теореме 2.2.4 п{Т2 )=ф и для любого АЄП справедливо h(A)=@Ah(A)=Ahi(A), где h] - произвольный внутренний П-спутник формации ф. Пусть АЄК(Р) 1. Рассмотрим случай, когда А$.К(ф). Так как AGK(G), то f(A)=0, и, ввиду леммы 2.2.3, PGA @Af(A)c . Следовательно, HKF(P)cg. Если QKF(P)cS, то OKF(P)c и АЄК(ф), что невозможно. Поэтому f2KF(P)={5 и можем считать, что G=P. Покажем, что \5=&А. Действительно, как отмечено выше, @Ас{ . С другой стороны, из РЄ@А, ввиду того, что @А - ПК-формация, получаем
Таким образом, 5=@А- Пусть бч - собственная ПК-подформация из ? и і5\Ф0. Если АєК(\5х), то, ввиду леммы 2.2.3, @Ас ь что невозможно. Следовательно, К($і)=0, и значит, {5і=(1) - единственная максимальная ПК-подформация из &. Согласно лемме 2.2.11, группа Р является формационно критической. Тем самым установлено, что формация S удовлетворяет условию 1). Пусть теперь АЕК(ф) и Н - группа наименьшего порядка из f(A)\h(A). Тогда группа Н монолитична с монолитом Q=Hh(A). Если Q6@A, то что невозможно. Следовательно, Q @A и ОА(Н)=1. Пусть А - неабелева группа. Рассмотрим регулярное сплетение Т=АЩ=[К]Н, где К - база сплетения. Тогда, в силу леммы 2.2.3, TG@Af(A)c=f, и значит, 2KF(T)Q\ Допустим, что 2KF(T)cS. Тогда OKF(T)g$. По лемме 2.2.24 0А ,А(Т)=К И из ТЄф получаем Противоречие. Следовательно, QKF(T)=S. Ввиду лемм 2.2.22. и 2.2.23, группа Т монолитична с монолитом К. По лемме 2.2.18 Т - критическая, а значит, и формационно критическая группа. Покажем, что Н является f-базисной группой. Пусть 36 - множество всех тех собственных секций группы Н, которые принадлежат formH=form(T/0A )A(T))=f(A). В силу выбора Н получаем 3c;h(A). Поэтому H formX, и значит, Н является формационно критической группой. Согласно лемме 2.2.13, формация formH обладает максимальными подформациями. Допустим, что Ш\ и 9Лг - различные максимальные под формации из formH=f(A). Тогда а значит, и ч Следовательно, формация f(A)=formH обладает единственной максимальной подформацией 9Л, причем 5H h(A). Тем самым установлено, что Н является f-базисной группой. Так как Н=Т/0А(Т), то по лемме 1 формация S обладает единственной максимальной QK-подформацией. Поэтому Т - QK-базисная группа и $ удовлетворяет условию 2). Пусть теперь A=ZP. Так как 0Р(Н)=1 и Н монолитична, то по лемме 2.2.15 существует точный неприводимый FpfHJ-модуль К. Пусть Т=[К]Н. Тогда Т монолитична с. монолитом К=Ст(К). Ввиду теоремы 2.2.19, Т является формационно критической группой. По лемме 2.2.3 Если nKF(T)C{5, то ШТ(Т)сф и из 0Zp ,zP(T)=0Zp(T)=K получаем ПКГ Т) . Как и выше, нетрудно показать, что Н f-базисная группа. Тогда по лемме IT- Ж-базисная группа и формация 5 удовлетворяет условию 2). Пусть ДР)П. Тогда f(a )=formG, п(П )=ф, и значит, формация Щ) является ф-критической. Пусть S - группа минимального порядка из f(Q )\ f). Тогда группа S монолитична с монолитом R=S =Sh(n) и f(2 )=formS. Так как f(ft )c{55 то SGV . Из QKF(S)G$ и 2KF(S) получаем $=QKF(S) и поэтому в качестве G можно выбрать группу S. Покажем, что S - f-базисная группа. Пусть Г) - множество всех тех собственных секций группы S, которые принадлежат formS=f(n ). В силу выбора группы S имеем Т)Яф и поэтому S formD. Следовательно, группа S является формационно критической.
По лемме 2.2.13 формация formS имеет максимальные подформации. Если 9Лі и 9Л2 - различные максимальные подформации из formS, то в силу ф-критичности формации f(Q )=formS, получим f(n form(5n,u2R2) , что невозможно. Следовательно, формация formS обладает единственной максимальной подформацией Т1яф=\\(0. ), и значит, группа S является f-базисной. По лемме 3.1.7 S - К-базисная группа и формация \5 удовлетворяет условию 3). Достаточность. Пусть {5=2KF(G), где G - К-базисная группа с монолитом P=G , типа 1)-3). Из GG Vf) следует, что {5ф. Пусть G - группа типа 1). В этом случае собственными QK-подформациями формации г являются лишь (1) и 0. Так как фф0 и і5Ф, то формация 1$ является фж-критической. Пусть теперь G - группа типа 2) и АєК(Р). Из строения группы G получим 0A ,A(G)=P И f(A)=formH. Из Hh(A -Q 1 следует, что H h(A) и поэтому f(A)h(A). Так как единственная максимальная подформация из f(A) содержится в h(A), то формация f(A) является Ь(А)-критической и по теореме 3.1.1 {5 - Фпк-критическая формация. Рассмотрим случай, когда G - группа типа 3). Тогда On(G)=l и f( ,)=formG =h(a ). Так как единственная максимальная подформация из f(Q ) содержится в h(Q!), то f(Q ) - п(П )-критическая формация и по теореме 3.1.1 формация (5 является ФпК-критической. Теорема доказана. Следствие. Пусть ф - непустая К-формация, h - ее максимальный внутренний спутник. К-формация 5 является фк-критической тогда и только тогда, когда i5=KF(G), где G - такая К-базисная группа с монолитом P=G=3, что выполняется одно из следующих условий: 4) G=[P]H, P=0A(G), CG(P) P, Н - f-базисная группа с монолитом Q=Hh(A) и максимальная подформация из formH содержится в h(A), где АєК(Р). Общие свойства Q-биканонических формаций В данном разделе исследуются некоторые общие свойства Q-биканонических формаций, которые будут использоваться при доказательстве одного из основных результатов этой главы. 3.3.1 Теорема. Пусть h - максимальный внутренний Q-спутник непустой 2В-формации ф, f - минимальный Г2-спутник ПВ-формации $. Тогда и только тогда формация 55 является фш-критической, когда 5f=QBF(G), где G - группа минимального порядка из {5\ф с монолитом P=GS) и либо f(A) является п(А)-критической формацией при K(?)=(A) Q, либо f(Q!) является п(П )-критической формацией, если ЛТ(Р)П. Доказательство. Необходимость. Пусть G - группа минимального порядка из \3\ф. Тогда группа G является монолитической с монолитом P=G и i5= BF(G). Согласно теореме 2.2.7,
Описание минимальных Q-биканонических не ф-формаций
Теорема. Пусть ф - непустая QB-формация, h - ее максимальный внутренний Q-спутник. QB-формация \$ является Фпв-критической тогда и только тогда, когда Or=QBF(G), где G - такая QB-базисная группа с монолитом P=Gg, что выполняется одно из следующих условий: 1) G=P - группа простого порядка р такого, что ZPEQ; 2) G=[P]H, где P=CG(P) - р-группа, ZpGf2, Н - f-базисная группа с монолитом Q=H р) и максимальная подформация из formH содержится в h(Zp); 3) Р - неабелева группа, ЩР)=(А)сП и P=Gh(A); 4) G - f-базисная группа, K(P)Q, p=Gh(n) и максимальная подформация из formG содержится в h(Q ). Доказательство. Необходимость. Пусть f - минимальный П-спутник ШЗ-формации S. По теореме 3.3.1 0;=QBF(G), где G - монолитическая группа из $\ф с монолитом P=G S, причем при K(V)=(A)QQ. формация f(A) является п(А)-критической, а при ДР)Г2 формация f(Q!) - 1і(Т2 )-критическая. По теореме 2.2.7
По теореме 2.2.6 п(А)=ф для любого АЄ{і }и(2\2С) и h(A)=@Ah1(A) для всех AEQ( )2t, где hi - произвольный внутренний П-спутник формации ф. Пусть (P)=(A)cQ. Если А - неабелева группа, то Ь(А)=ф и Р=Оф=0Ь(А). По лемме 3.3.4 группа G является 2В-базисной, и Qf удовлетворяет условию 3). Рассмотрим случай, когда A=Zp. Пусть ZvQK{ $b). Так как ZPEK(G), то f(Zp) 0, и, ввиду леммы 2.2.5, Следовательно, 2BF(P)cg. Если BF(P)C{5, то QBF(P)c и ZVEK(&), что невозможно. Поэтому f2BF(P)=i5 и можем считать, что G=P. Согласно лемме 2.2.17, группа Р является формационно критической. Кроме того, {5=nBF(P)=SRp имеет единственную максимальную Ж-подформацию (1). Таким образом, G=P - QB-базисная группа и формация Q в этом случае удовлетворяет условию 1). Пусть теперь ZpEK( %)) и Н - группа наименьшего порядка из f(Zp)\h(Zp). Тогда группа Н монолитична с монолитом Q=H ( р). Если QG9RP, то что невозможно. Следовательно, Ор(Н)=1 и по лемме 2.2.15 существует точный неприводимый FpfHJ-модуль К. Пусть Т=[К]Н. Тогда Т монолитична с монолитом К=Ст(К). Ввиду теоремы 2.2.19, Т является формационно критической группой. По лемме 2.2.5 Кроме того, Если Тбф, то что невозможно. Поэтому Т ф и в качестве группы G можно выбрать группу Т. Тогда Покажем, что Н - f-базисная группа. Пусть Э - множество всех тех собственных секций группы Н, которые лежат в f(Zp)=formH. В силу выбора Н получаем ch(Zp). Поэтому H formX, и значит, Н является формационно критической группой. Согласно лемме 2.2.13, формация formH обладает максимальными подформациями. Допустим, что Ш\ и 9 - различные максимальные подформации из formH=f(Zp). Тогда а значит, и f(Zp) =h(Zp).
Противоречие. Следовательно, формация f(Zp)=formH обладает единственной максимальной подформацией ЯЯ, причем Sft =h(Zp). Тем самым установлено, что Н является f-базисной группой. По лемме 3.3.6 Т -ПВ-базисная группа, и значит, формация {5 удовлетворяет условию 2). Пусть ДР)П. Тогда f(n )=formG, Ь(П )=ф, и значит, формация f(Q!) является ф-критической. Пусть S - группа минимального порядка из f(2 )\ . Тогда группа S монолитична с монолитом R=S =Sh(a) и f(Q )=formS. Так как f(Q )c{5, то SGiM . Из nBF(S)c и nBF(S) получаем g=QBF(S) и поэтому в качестве G можно выбрать группу S. Кроме того, можем считать, что К(К) 1. Как и при доказательстве теоремы 3.2.1, нетрудно показать, что S -f-базисная группа и единственная максимальная подформация из formS содержится в h(2 ). Ввиду теоремы 2.2.7 и следствия 2.2.8, формация S=f2BF(S) содержит лишь конечное множество QB-подформации. Допустим, что {51 и 2 - различные максимальные ПВ-подформации из S. Тогда 8ч Ф и \32 Ф, а значит, и
Описание минимальных Q-канонических нормально наследственных не ф-формаций
В данном разделе приведем один из основных результатов этой главы. 4.2.1. Теорема. Пусть ф - непустая QKsn-формация, h - ее максимальный внутренний d-спутник. nKsn-формация {5 является фпк5п-кРитическои тогда и только тогда, когда i5= Ksn(G), где G - такая QKsn-базисная группа с монолитом P=Gg, что выполняется одно из следующих условий: 1) G=P - простая группа из Q; 2) G=[P]H, (P)=(A)cQ, P=0A(G), CG(P) P, Н - sn-базисная группа с монолитом Q=Hh(A) и максимальная нормально наследственная под формация из snformH содержится в h(A); 3) G - sn-базисная группа такая, что K(P)Q., P=Gh(a) и максимальная нормально наследственая подформация из snformG содержится в Доказательство. Необходимость. Пусть f - минимальный sn-спутник ШСБп-формации г5. По теореме 4.1.4 i5=nKsn(G), где G - монолитическая группа из $\ф с монолитом P=G , причем при K(P)=(A) Q формация f(A) является п(А)8п-критической, а при А"(Р)2 формация f(Q ) п(П )5П-критическая. По следствию 2.2.25 f(a )=snform(G/Oa(G)), f(A)=snform(G/0A. A(G)) для всех AGQ.nK(G) и ґ(А)=0,еслиАєШ:(О). Согласно теореме 2.2.4 Ъ(0!)=ф и для любого АЄІ2 справедливо h(A)=@Ah(A)=Ahi(A), где hj - произвольный внутренний -спутник формации ф. Отметим, что, согласно лемме 4.1.2, h является максимальным внутренним flsn-спутником формации ф. Пусть AEK(P) Q. Рассмотрим случай, когда А(К(ф). Так как AGK(G), то f(A)=0, и, ввиду леммы 2.2.3, РЄА ЗДА){5. Следовательно, HKsn(P)c{5. Если fiKsn(P)c{5, то QKsn(P)c ) и АєЦф), что невозможно. Поэтому Ksn(P)=S и можем считать, что G=P. Покажем, что Э=@А. Действительно, как отмечено выше, @Ai5. С другой стороны, из РЄ@А, ввиду того, что @А - QKsn-формация, получаем =nKsn(P) A. Таким образом, f=A- Пусть OS - собственная QKsn-подформация из {J и г5і=0. Если АЄДОГі), то, ввиду леммы 2.2.3, @Acgfb что невозможно. Следовательно, К(\5\)=0, и значит, бч=(1) единственная максимальная QKsn-подформация из бг.
Согласно лемме 2.2.11, группа Р является формационно критической. Тем самым установлено, что формация S удовлетворяет условию 1). Пусть теперь АЄК(Ф) и Н - группа наименьшего порядка из f(A)\h(A). Тогда группа Н монолитична с монолитом Q=Hh(A). Если QG @А, то что невозможно. Следовательно, Q @A и 0А(Н)=1. Пусть А - неабелева группа. Рассмотрим регулярное сплетение Т=АЩ=[К]Н, где К - база сплетения. Тогда, в силу леммы 2.2.3, значит, Допустим, что Ksn(T)Ci5. Тогда QKs T) !). В силу леммы 2.2.21 0А)А(Т)=К и из Тєф получаем Противоречие. Следовательно, "2Ksn(T)=S. Ввиду лемм 2.2.22 и 2.2.23, группа Т монолитична с монолитом К. По лемме 2.2.18 Т - критическая, а значит, и формационно критическая группа. Покажем, что Н является sn-базисной группой. Пусть Э -множество всех тех собственных секций группы Н, которые принадлежат В силу выбора Н получаем 3h(A). Поэтому H snformX, а значит, H formX и Н является формационно критической группой. Применяя лемму Цорна, нетрудно показать, что формация snformH обладает максимальными нормально наследственными подформациями. Допустим, что Ш\ и 9 различные максимальные нормально наследственные подформации из snformH А). Тогда 3fti h(A) и 9Л2 п(А), а значит, и Следовательно, формация f(A)=snformH обладает единственной максимальной нормально наследственной подформацией 9Л, причем 9Л h(A). Тем самым установлено, что Н является sn-базисной группой. Так как Н=Т/Од(Т), то по лемме 4.1.6 формация {5 обладает единственной максимальной Ksn-подформацией. Поэтому Т - Ksn-базисная группа и S удовлетворяет условию 2). Пусть теперь A=Zp. Так как Ор(Н)=1 и Н монолитична, то по лемме 2.2.15 существует точный неприводимый Рр[Н]-модуль К. Пусть Т=[К]Н. Тогда группа Т монолитична с монолитом К=СТ(К). Ввиду теоремы 2.2.19, Т является формационно критической группой. По лемме 2.2.3 QKsn(T)cS, то КБП(Т) Ф и из 0Zp.Zp(T)=0Zp(T)=K получаем что невозможно. Поэтому QKsn(T)=i5. Как и выше, нетрудно показать, что Н -sn-базисная группа. Тогда по лемме 4.1.6 Т - Ksn-базисная группа и формация {5 удовлетворяет условию 2). Пусть ДР) П. Тогда f(2 ) является ф5П-критической. Пусть S - группа минимального порядка из f(Q, )V). Тогда группа S монолитична с монолитом R=s$=sh(n-) и f(n )=snformS. Так как Щ)с, то $Є&\ф. Из flKsn(S)c$ и QKsn(S) f) получаем f=2Ksn(S) и поэтому в качестве G можно выбрать группу S. Покажем, что S - sn-базисная группа. Пусть ) - множество всех тех собственных секций группы S, которые принадлежат formScsnformS=f(n ). В силу выбора группы S имеем Х) Ф и поэтому S formD. Следовательно, группа S является формационно критической. Ввиду леммы Цорна, формация snformS имеет максимальные нормально наследственные подформации. Если Т1\ и 9Л2 _ различные максимальные нормально наследственные подформации из snformS, то в силу ф5П-критичности формации f(T)=snformS, получим fC snform ! U ЯЯ2) Ф, что невозможно. Следовательно, формация snformS обладает единственной максимальной подформацией Ш Ф=Ъ(0!), и значит, группа S является sn-базисной. В силу леммы Цорна, формация S=nKsn(S) содержит максимальную QKsn-подформацию. Допустим, что Si и S?2 _ различные максимальные l Ksn-подформации из \J. Тогда О Ф и бг2—Ф, & значит, и что невозможно. Поэтому З?і=&2, и S является ЖБП-базисной группой.
Таким образом, формация S удовлетворяет условию 3). Достаточность. Пусть f=QKsn(G), где G - QKsn-базисная группа с монолитом P=G , типа 1)-3). Из GGi5V) следует, что 5f ф. Пусть G - группа типа 1). В этом случае собственными nKsn-подформациями формации {5 являются лишь (1) и 0. Так как ф 0 и 0і Ф, то формация f ЯВЛЯеТСЯ Ф к5П-КрИТИЧЄСКОЙ. Пусть теперь G - группа типа 2) и АЄДР). Из строения группы G получим 0A ,A(G)=P И f(A)=snformH. Из Hh(A)=Q l следует, что ВДп(А) и поэтому f(A)h(A). Так как единственная максимальная нормально наследственная подформация из f(A) содержится в h(A), то формация f(A) является Ь(А)5п-критической и по теореме 4.1.4 5? - Фак -критическая формация. Рассмотрим случай, когда G - группа типа 3). Тогда Так как единственная максимальная нормально наследственная подформация из f(Q!) содержится в h(Q}), то f(T2 ) - 1і(2 )5П-критическая формация и по теореме 4.1.4 формация \$ является ф к -критической. Теорема доказана. 4.2.2. Следствие. Пусть ф - непустая Ksn-формация, h - ее максимальный внутренний спутник. Ksn-формация S является Фк п-критической тогда и только тогда, когда 2f=Ksn(G), где G - такая Ksn-базисная группа с монолитом P=G , что выполняется одно из следующих условий: 3) G=P - простая группа; 4) G=[P]H, P=0A(G), CG(P)P, H - sn-базисная группа с монолитом Q_Hh(A) и максимальная нормально наследственная подформация из snformH содержится в h(A), где АЄК(Р). В данном разделе исследуются некоторые общие свойства Q-биканонических нормально наследственных формаций, которые будут использоваться при доказательстве одного из основных результатов этой главы. Будем использовать следующие сокращения: QBsn-формация (Вяи-формация) - Q-биканоническая (биканоническая) нормально наследственная формация, Q-w-спутник ( «-спутник) формации - Q-спутник (спутник), все значения которого являются нормально наследственными формациями; ф -критическая формация - минимальная нормально наследственная не ф-формация. Через QBsnF(dt) (BsnF(%y) обозначим Q-биканоническую (биканоническую) нормально наследственную формацию, порожденную совокупностью групп дс. Следующая лемма доказывается аналогично леммам 4.1.1 и 4.1.2. 4.3.1. Лемма. Пусть S - QB-формация. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если формация & обладает хотя бы одним Qsn-спутником, то S является нормально наследственной формацией; 2) если формация Q нормально наследственна, то и формация f(A) является нормально наследственной для всех AeQU{Q }, где f - максимальный внутренний Q-спутник формации {5
Описание минимальных Q-биканонических нормально наследственных не ф-формаций
В данном разделе приведем один из основных результатов этой главы. 4.4.1. Теорема. Пусть ф - непустая ПВяи-формация, h - ее максимальный внутренний Q-спутник. ЛВ5??-формация Of является ф в -критической тогда и только тогда, когда Of=nBsrtF(G), где G - такая ПВ ш-базисная группа с монолитом P=G , что выполняется одно из следующих условий: 1) G=P - группа простого порядка р такого, что ZpGQ; 2) G=[P]H, где P=CG(P) - р-группа, ZpeQ, H - «-базисная группа с монолитом Q=H( р) и максимальная нормально наследственная подформация из snformH содержится в h(Zp); 3) Р - неабелева группа, АГ(Р)=(А) =2, P=Gh(A) и G - нормально минимальная не h(A)-rpynna; 4) G - «-базисная группа, ДР)П, P=Gh(n,) и максимальная нормально наследственная подформация из snformG содержится в h(Q!). Доказательство. Необходимость. Пусть f - минимальный Ши-спутник ГШяп-формации г5- По теореме 4.3.4 5=QB.s??F(G), где G - монолитическая группа из Ог\ф с монолитом Р=С , причем для К(Р)=(А)Я1 формация f(A) является п(А) „-критической, а при K(P)Q. формация f(Q ) Ь(П )5п-критическая.
По лемме 4.3.2 По теореме 2.2.6 Ь(А)=ф для любого АЄ{П } u(Q\7l) и h(A)=Ahi(A) для всех АЄПП2С, где hi - произвольный внутренний Q-спутник формации ф. Отметим, что согласно лемме 4.3.1, h является Г25и-спутником формации ф. Пусть К(Р)=(А) П. Если А - неабелева группа, то п(А)=ф и P=G =Gh(A). По лемме 4.3.6 группа G является iQBsrc-базисной. Пусть ЗЕ - множество всех собственных нормальных подгрупп группы G. Ввиду леммы 2.2.16, Тогда, в силу п(АХ„-критичности формации f(A), snform3tQh(A). Поэтому группа G является нормально минимальной не п(А)-группой и формация г5 удовлетворяет условию 3). Рассмотрим случай, когда A=Zp. Пусть Zp$K( ). Так как ZpEK(G), то f(Zp)=0, и, ввиду леммы 2.2.5, Следовательно, nB$wF(P)S. Если QBsnF(P)C$, то что невозможно. Поэтому QBs«F(P)=i5 и можем считать, что G=P. Согласно лемме 2.2.17 , группа Р является формационно критической. Кроме того, i5=nB /7F(P)=SRp имеет единственную максимальную QBs/2-подформацию (1). Таким образом, G=P - Ш3.уя-базисная группа и формация Qr в этом случае удовлетворяет условию 1). Пусть теперь 2рЄЛГ(ф) и Н - группа наименьшего порядка из f(Zp)\h(Zp). Тогда группа Н монолитична с монолитом Q=H (Zp). Если QE?lp, ТО что невозможно. Следовательно, Ор(Н)=1 и по лемме 2.2.15 существует точный неприводимый Рр[Н]-модуль К. Пусть Т=[К]Н. Тогда группа Т монолитична с монолитом К=Ст(К). Ввиду теоремы 2.2.19, Т является формационно критической группой. По лемме 2.2.5 Если ТЄф, то что невозможно. Поэтому Т$ф и в качестве группы G можно выбрать группу Т. Тогда Покажем, что Н - .ш-базисная группа. Пусть Зі - множество всех тех собственных секций группы Н, которые принадлежат f(Zv)=snfovmli. В силу выбора Н получаем 3 =h(Zp). Поэтому Н пэгтЗ:, и значит, H formX. Следовательно, Н является формационно критической группой. Применяя лемму Цорна, нетрудно показать, что формация srcformH обладает максимальными нормально наследственными подформациями. Допустим, что Ш\ и 5 2 - различные максимальные нормально наследственные подформации из s«formH=f(Zp). Тогда а значит, и формация f(Zp)=5,«formH обладает единственной максимальной нормально наследственной подформацией 5R, причем 5Rch(Zp).
Тем самым установлено, что Н является «-базисной группой. По лемме 4.3.8 Т - ШЗ-ш-базисная группа, и значит, формация Sf удовлетворяет условию 2). Пусть ДР)П. Тогда f(Q )= formG, hOG )=& и значит, формация f(Q ) является -критической. Пусть S - группа минимального порядка из ї(0!)\ф. Тогда группа S монолитична с монолитом R=s=sh( Y) и f(Q )=5nformS. Так как f(n )sS, то S6g\. Из QBsn(S)Q и 2Bs 7F(S) получаем и поэтому в качестве G можно выбрать группу S. Кроме того, можем считать, что К(Щ1. Покажем, что S - «-базисная группа. Пусть ) - множество всех тех собственных секций группы S, которые принадлежат formS5nformS=f(n ), В силу выбора группы S имеем йсф и поэтому S formD. Следовательно. группа S является формационно критической. Ввиду леммы Цорна, формация sttformS имеет максимальные нормально наследственные подформации. Если ЯЯі и 5Я2 - различные максимальные нормально наследственные подформации из snformS, то в силу ф -критичности формации f( )=s«formS, получим Следовательно, формация .sT-zformS обладает единственной максимальной нормально наследственной подформацией 9Я =ф=п(У), и значит, группа S является яи-базисной. В силу леммы 4.3.2 и следствия 4.3.3, формация {5?=2B.swF(S) содержит лишь конечное множество 2Вяи-подформаций. Допустим, что Si и 2 различные максимальные Ж57?-подформации из В. Тогда бч Ф и г г Ф, а значит, и S=OB«iF(SiU{S2)& что невозможно. Поэтому г51-1 2, и S является ПВ и-базисной группой. Таким образом, формация \5 удовлетворяет условию 4). Достаточность. Пусть 2f= B.s?7F(G), где G - Ш я-базисная группа с монолитом P=G , типа 1)-4). Пусть G - группа типа 1). В этом случае собственными QBsrc-подформациями формации г5= р являются лишь (1) и 0. Следовательно, формация & является фпВх«-критической.
Пусть теперь G - группа типа 2). Поскольку группа G монолитична, тс OzP ,zp(G)=P и f(Zp)= formH. Из Hh(Zp)=Q l следует, что Hh(Zp) и поэтому Так как единственная максимальная нормально наследственная подформация из f(Zp) содержится в h(Zp), то формация f(Zp) является Ь р),.„-критической и пс теореме 4.3.4 г - Фпв«гкРитическая формация. Пусть теперь G - группа типа 3) и АЄДР). Поскольку Gh(A) l, то s«form(u(G/P))=5CR - единственная максимальная нормально наследственная подформация из f(A), где Зс - множество всех собственных нормальных подгрупп группы G. Так как G - нормально минимальная не h(A)-rpynna, то :сп(А), и значит, 9Л Ь(А). Следовательно, формация f(A) является Ь(А)5„-критической и по теореме 4.3.4 i5 Фпв -критическая формация. Рассмотрим случай, когда G - группа типа 4). Тогда Так как единственная максимальная нормально наследственная подформация из f(Q!) содержится в h(2 ), то f(Q ) - Ь(П ) -критическая формация и по теореме 4.3.4 формация {5 является ф п-критической. Теорема доказана. 4.4.2. Следствие. Пусть ф - непустая В гс-формация, h - ее максимальный внутренний спутник. В и-формация f является Фв -критической тогда и только тогда, когда {5=Bs«F(G), где G - такая В.ш-базисная группа с монолитом P=G , что выполняется одно из следующих условий: 4) G=P - группа простого порядка;
