Введение к работе
Актуальность темы. Симметрической группой степени п называют группу 6„ всох перестановок множества {1,2,... , п}. Бесконечная симметрическая группа б,*, определяется как индуктивный предел (объединение) групп 6„ при их естественных вложениях.
Теория характеров и представлений конечных симметрических групп была в основном построена в начале века в работах Ф.Фро-бениуса, И.Шура, А.Юнга и Г.Вейля. Важную роль в ней играет комбинаторика диаграмм и таблиц Юнга и алгебра симметрических функций. Дальнейшее развитие теории связано, среди прочего, с представлениями алгебр Гекке, модулярными представлениями группы 6П, комоинаторным вариантом преобразования Фурье для симметрической группы (алгоритм Робинсона - Шен-стеда,- Кнута).
Важные результаты по теории представлений бесконечной симметрической группы были получены в пионерской работе Эль-мара Тома, который описал все характеры этой группы. Здесь следует отметить, что группа 0«, является "дикой" группой и ее теория представлений должна строиться иначе, чем для классических линейных групп. В частности, неприводимых представлений у группы оо оказывается слишком много и они не допускают разумной классификации. Основой теории становятся фактор-представления по фон Нейману и их характеры.
Идея аппроксимативного описания характеров бесконечной симметрической группы, отсутствовавшая в работе Э.Тома, принадлежит А.М.Вершику и является частью его более широкой программы постановки и изучения асимптотических задач. Другие примеры реализации этой программы - классификация мер, инвариантных относительно действий бесконечномерных групп и асимптотическое изучение распределений длин циклов случайных подстановок относительно меры Хаара.
В начале 70-х годов О.Браїтели предложил комбинаторную технику для работы с широким классом С*-алгебр, аппроксимируемых конечномерными подалгебрами (т.н. AF-алгебр). Несколько позже в статьях Дж.Эллиота, а также Хандельмана, Эф-фроса и Шена был найден еще один мощный инструмент анализа
этих алгебр - группа Гротендика Ко, снабженная естественной структурой порядка.
А.М.Вершик был инициатором использования метрической теории динамических систем для изучения AF-алгебр. Оказалось, что эти алгебры полезно представлять, как скрещенные произведения, построенные по автоморфизмам пространства с мерой. При этом характеры алгебры становятся состояниями типа меры, что позволяет использовать развитые средства эргодической теории для их построения. Эргодический метод является в настоящее время наиболее универсальным и прямым методом вычисления характеров А.Г-алгебр.
Групповая *-> лгебра бесконечной симметрической группы служит характерным и весьма содержательным примером AF-алгебры. Как правило, приемы и методы, разработанные для симметрической группы, применимы в общей теории AF-алгебр.
Дальнейшее развитие теории представлений бесконечной симметрической группы связано с работами Ш.Стратилы и Д.Вой-кулеску, Г.Ольшанского, Р.Бойера, А.Вассермана, М.Назарова и А.Окунькова.
Поскольку группа вп является пределом конечных симметрических групп, естественно возникает вопрос об аппроксимативном построении ее теории представлений. Важность аппроксимативной теории связана с рядом причин.
-
Аппроксимативный подход приводит к постановке асимптотических вопросов в рамках стандартной теории представлений группы 6„.
-
Асимптотическая теория доставляет конструктивные методы в теории характеров и представлений бесконечной симметрической группы.
-
Симметрическая группа занимает особое место в математике и имеет многообразные связи с различными ее разделами. Не удивительно, что комбинаторные конструкции и алгоритмы, используемые при работе с группой &п, имеют нетривиальные предельные аналоги, связанные с задачами математического анализа (проблема моментов, ортогональные многочлены), теории вероятностей (процессы Дирихле, спектры случайных матриц) и математической физики (уравнение Бюргерса).
Отметим, что асимптотический подход, развиваемый здесь на примере симме грнческой группы, может аффективно применяться
-- ----- . _ 2
в гораздо большей общности, и в частности, для работы с бесконечномерными классическими группами, группами токов и группами диффеоморфизмов окружности.
Цель работы состоит и развнтии.асимптотической теории характеров симметрических групп м разработке связей этой теории с классическими задачами математического анализа, теории вероятностей и математической физики.
Научная новизна. В диссертации получепы следующие новые результаты.
-
Получен аналог центральной предельной теоремы для меры Планшереля группы &„. Найдены совместные предельные распределения неприводимых характеров относительно этой меры.
-
Установлена связь распределений Планшереля симметрических групп с разложениями рациональных дробей на простейшие. Это наблюдение связывает комбинаторику симметрической группы с классической проблемой моментов А.А.Маркова и случайными процессами Дирихле. Найден предельный аналог комбинаторного алгоритма блуждания по крюкам, процесс усадки отрезка, доставляющий принципиально новый метод задания распределений интегралов по случайным мерам Дирихле.
-
Описаны асимптотические свойства взаимного разделения корней для широкого класса ортогональных многочленов. Показано, что в пределе больших степеней многочленов, М -1 00, характер разделения такой же, как у минимумов и максимумов диаграмм Юнга, типичных по мере Планшереля группы 6„.
-
Предложена дифференциальная модель планшерелевского роста диаграмм Юнга. Установлена ее эквивалентность с квазилинейным уравнением в частных производных Rt + RRX = О (уравнение Бюргерса). Указана связь с процессом пелияейной диффузии в свободной теории вероятностей Д.Войкулеску.
-
Построена теория обобщенных симметрических полиномов Холла - Литтлвуда - Макдопальда. Установлена их связь с ортогональными многочленами Роджерса - Рамануджана. Поставлена и частично решена обобщенная проблема о вполне положительных последовательностях.
-
Найден g-аналог алгоритма блуждания по крюкам и комбинаторное доказательство g-аналога формулы крюков для размерностей неприводимых представлений конечной симметрической группы.
Методика исследован ля. В диссертации используется ряд оригинальных методов и. приемов, общих для всех локально - конеч-вых групп (подобных группе бос) и локально - цолупростых алгебр. Комбинаторная техника, пригодная для конструктивной работы с этим классом алгебр, разрабатывалась О.Браттели, Дж. Эллиотом, Д.Хандельманои, Эд.Эффросры. В диссертации эта техника обогащается использованием идей эргодяческой теории и дискретной теории потенциала.
Метрическая трактовка идейно восходит к классической теореме де Финетти, описывающей вероятностные распределения на произведении X = ПГ % бесконечного числа копий компактного пространства X, инвариантные относительно финитных перестановок сомножителей. В диссертации развивается общая теория центральных мерва. диаграммах Браттели, включающая в себя в качестве частных случаев как теорему де Финетти, так и описание характеров группы 6^. Еще один хорошо известный пример решенной задачи о центральных мерах - классификация Кингманом случайных разбиений (partition structures). Мотивировкой для его исследования послужили задачи популяционной генетики.
Использование эргодической теоремы Г.Биркгофа дает ключ к проблеме описания характеров индуктивного предела G^ = \imG„ семейства конечных групп Gn: всякий экстремальный характер предельной группы можно получить, как поточечный предел'
Х(д) = limx„( неприводимых характеров аппроксимирующих групп. Еще одна переформулировка задачи о характерах локально-конечной группы возможна в рамках дискретной теории потенциала. В случае группы боо речь идет об описании неотрицательных гармонических функций на решетке (графе) Юнга, т.е. на множестве диаграмм Юнга, частично упорядоченных по включению. Описание ответа с помощью обобщенного интеграла Пуассона использует конструкцию границы графа Юнга, аналогичной известной границе Мартина. В качестве ядра Пуассона выступают симметрические функции Шура. Проблема моментов была важной частью классических работ П.Л.Чебышева, А.А.Маркова и Т.И.Стилтьеса. Иптересующий нас аспект - связь между проблемами моментов Хаусдорфа и Маркова - изучался М.Г.Крейном и его школой. С совершенно - - . 4 другой точки зрения эта же связь исследовалась и контексте непараметрических задач статистики (Т.Фергюсон, П.Диаконис и ДР-)- Как показано в диссертации, ортогональные полиномы связаны с симметрической группой разнообразными контекстами. Упомянем, к примеру, роль полиномов Чебышева и Эрмита в формулировке центральной предельной теоремы для характеров группы &п и появление полиномов Роджерса - Рамануджана как вырождений симметрических функций Макдональда. Более неожиданными являются применения результатов аппроксимативной теории характеров группы в«, в общей теории ортогональных многочленов. Изучаемая нами задача об асимптотике разделения корней, по-видимому, ставится здесь впервые, хотя имеется обширная литература, посвященная предельным распределениям корней ортогональных много .ленои. Общая предельная форма больших диаграмм Юнга в разнообразных (и, казалось бы, не связанных между собою) ситуациях, описывается характерной кривой, которую мы называем законом арксинуса. Новый свет на причины универсальности этого закона в различных задачах математики и физики проливает "свободная теория вероятностей", предложенная недавно Д.Войку леску и его учениками. В этой теории роль гауссовского распределения играет полукругопой закон, а одним из ее ярких применений служит концептуальное обоснование теоремы Е.Вигнера о спектрах больших случайных матриц. Как показано в диссертации, изучение планшерелевского роста диаграмм Юнга тесно связано с этими вопросами. Уравнение Бюргерса является хрестоматийным примером квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Оно встречается, среди прочего, как сверхупрощенная модель уравнений Навье - Стокса и как вырожденный случай уравнения Кортевега - де Фриза. Асимптотическая теория меры Планше-реля симметрической группы приводит к новому классу автомодельных решений этого уравнения. Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты находят применения при изучепии алгебры Гекке и инвариантов узлов и зацеплений, при построении гармонического анализа на бесконечной симметрической группе, в классической проблеме моментов Маркова, в асимптотической теории ортогональных многочленов, в разнообразных задачах статистики и теории вероятностей. В качестве примера отметим решение проблемы С.Улама об асимптотике длины максимальной возрастающей подпоследовательности в типичной последовательности независимых случайных величин с общим непрерывным распределением. Подчеркнем, что методы, развитые в диссертации для важного специального примера симметрических групп, применимы к весьма широкому классу локально - конечных групп и алгебр, аппроксимируемых полупростыми матричными алгебрами. Агшробадия работы. Результаты диссертации докладывались автором на различных семинарах математико - механического факультета Петербургского университета, в Петербургском отделении математического института, на семинаре "Квантовые группы" (ПОМИ, С.-Петербург, 1990), в Институте теоретической физики им. Энрико Ферми (Чикаго, 1993), на семинаре по теории Ли (Медисон, 1993), на Иерусалимской комбинаторной конференции (Иерусалим, 1993), на семинаре Института проблем передачи информации (Москва, 1993), на Канадском операторном симпозиуме (Оттава, 1994), на 6-ой конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике (университет Ратгерса, 1994), в серии лекций на комбинаторном семинаре Гарвардского университета (Бостон, 1994). Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях {1 - 11), список которых представлен в конце автореферата. Структура диссертации. Работа состоит иэ введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Имеется таблица и 24 рисунка. В списке литературы 168 названий.Похожие диссертации на Асимптотическая теория представлений симметрической группы и ее применения в анализе
