Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 17
1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа 17
1.2 Основные понятия и определения многозначного анализа 20
2 Топологическая степень мультиполей для некоторых классов многозначных отображений и разрешимость операторных включений 30
2.1 Степень в конечномерном пространстве 30
2.2 Степень в нормированном пространстве 50
2.3 Степень мультиполей для мультиотображений типа селектируемых 59
2.4 Степень совпадения многозначных и линейных фредголь-мовых отображений 64
3 О некоторых развитиях метода направляющих функций 74
3.1 Интегральные направляющие функции 74
3.1.1 Гладкая интегральная направляющая функция 74
3.1.2 Негладкая интегральная направляющая функция 82
3.2 Многолистные направляющие функции 88
3.2.1 Строгая и обобщенная направляющие функции 88
3.2.2 Негладкая многолистная направляющая функция 95
3.2.3 Случай нескольких направляющих функций 104
3.2.4 Случай нескольких негладких многолистных на правляющих функций 118
Литература 123
- Основные понятия и определения многозначного анализа
- Степень мультиполей для мультиотображений типа селектируемых
- Негладкая интегральная направляющая функция
- Случай нескольких направляющих функций
Введение к работе
Геометрические и топологические методы анализа, применяемые к задачам о нелинейных колебаниях динамических систем, восходят к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою высокую эффективность в трудах М.А. Красносельского, Н.А. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, Д.И. Рачинского, К. Deimling a, L. Gorniewicz a, J. Mawhin a и многих других исследователей. Отметим, в частности, чрезвычайно плодотворное направление, связанное с понятием направляющей функции, основу которого заложили разработки М.А. Красносельского и А.И. Перова (см. [34], [35], [36], [37], [38], [44], [45]).
В то же время, начиная с конца 50-х годов XX века, энергичное развитие получила теория дифференциальных включений. Это связано прежде всего с тем, что дифференциальные включения являются очень удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, математической экономики и др. (см., например, [1], [2], [3], [10], [48], [49], [52], [58], [62], [70], [80]). В силу этого, задача о периодических колебаниях для систем такого рода является весьма актуальной для выяснения условий существования периодических режимов, в том числе и удовлетворяющих условиям оптимальности. Периодические задачи для дифференциальных включений исследовались в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В.
Обуховского, М.И. Каменского, Е.А. Ганго, А.И. Поволоцкого, А.И. Булгакова, В.В. Филиппова, J.P. Aubina, A. Cellina, К. Deimling a, L. Gorniewicz a, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и др. (см., например, [10], [12], [13], [14], [15], [20], [41], [43], [50], [52], [58], [62], {66], [67], [68], [69], [70], [74], [75], [76]).
Задача о периодических решениях дифференциальных включений потребовала для своего исследования развития ряда разделов анализа многозначных отображений (мультиотображений). В частности, достаточно действенной здесь оказалась теория топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям с выпуклыми Ь значениями, разработке которой были посвящены труды Ю.Г. Борисо вича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, А.С. Потапова, A. Cellina, A. Granas a, A. Lasota и др. (см., например, [5], [6], [8], [9], [10], [42], [46], [56], [63], [64]). Однако в целом ряде задач теории периодических решений дифференциальных включений аппарат выпукло-значных мультиотображений не может быть непосредственно применен. Достаточно заметить, что многозначный оператор сдвига по тра-екториям дифференциальных включений не является выпуклознач-ным даже в простейших случаях.
Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов анализа мультиотображений и их приложениям к задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений и включений.
В работе развивается и исследуется теория топологической степени мультиполей для новых классов мультиотображений, естественно возникающих в приложениях. Один из таких классов составляют мульти отображения, представимые в виде композиции аппроксимируемых мультиотображений и однозначных отображений. Этот класс доста- точно обширен: он включает в себя как выпуклозначные полунепре рывные сверху мультиотображения, так и многозначные операторы сдвига по траекториям дифференциальных включений и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решения. Второй рассматриваемый класс - это мультиотображения, обладающие непрерывными сечениями.
Для обоих классов строится топологическая степень совпадения, которая находит приложение в обосновании метода интегральных на- +? правляющих функций.
Развитые методы применяются к различным типам задач о нелинейных периодических колебаниях. Первой из рассматриваемых задач является задача о периодических решениях систем, описываемых функционально-дифференциальными включениями. В силу ее специфики в ней применяются направляющие функции специального типа - так называемые интегральные направляющие функции, которые впервые рассматривались A. Fonda (см. [59]) для функционально-дифференциальных уравнений. С помощью метода интегральных направляющих функций в диссертации получены новые теоремы о существовании периодических решений функционально-дифференциальных включений.
В классических работах по методу направляющей функции, как ft правило, предполагается, что эта функция является гладкой на всем фазовом пространстве. Это условие может представиться ограничительным, например, в таких ситуациях, когда направляющие потенци алы различны в различных областях пространства. Для снятия указанного ограничения в диссертации рассматриваются негладкие направляющие функции и их обобщенные градиенты. В этом случае для применения таких направляющих потенциалов используется топологическая степень мультиполей, что дает возможность получения новых признаков существования периодических решений.
Другим важным развитием метода направляющей функции, получившим отражение в диссертации, является метод многолистных направляющих функций. Многолистные направляющие потенциалы, впервые рассмотренные в работах Д.И. Рачинского (см. [47], [79]), позволяют существенно расширить классы систем, к которым применимы геометрические методы отыскания периодических решений. В частности, основное условие "направляемости" в данном случае предполагается выполненным лишь на некотором подпространстве фазового пространства.
При исследовании периодических задач для дифференциальных включений, помимо метода строгой многолистной направляющей функции, в диссертации рассматривается и его более общий случай: метод обобщенной многолистной направляющей функции. Не менее эффективным оказался и метод нескольких многолистных направляющих функций. Применение комплекса этих методов позволило получить в диссертации ряд новых результатов о существовании периодических решений дифференциальных уравнений и включений.
Приведем обзор содержания диссертации по главам.
Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений функционального анали за и теории многозначных отображений.
Во второй главе на основе классической теории топологической степени непрерывных однозначных векторных полей в конечномерном пространстве определяется топологическая степень мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CA(U, Еп), где U С Еп - открытое ограниченное множество конечномерного линейного топологического пространства Еп.
Пусть Y - линейное топологическое пространство. Мультиотобра-жения рассматриваемого класса представляют собой композицию (/ о G) непрерывного однозначного отображения / : Y -» Еп и полу непрерывного сверху мультиотображения G : U — K(Y), допуска ющего для каждого є 0 однозначную -аппроксимацию дє : U — У и такого, что любые две аппроксимации могут быть соединены деформацией, протекающей в классе аппроксимаций. (Символ K(Y.) обозначает совокупность непустых компактных подмножеств Y)
Такой класс включает в себя, например, многозначные операторы сдвига по траекториям дифференциальных включений и дифференци-альных уравнений, не обладающих свойством единственности решения.
Для мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CA(U, Еп), не имеющим неподвижных точек на dU, топологическая степень определяется как степень однозначного векторного поля, соответствующего непрерывному отображению f:U—±En вида /е =fog, где дє : U — • Y - произвольная е-аппроксимация мультиотображения G и є О достаточно мало. Исследуются основные свойства введенной характеристики.
Во втором параграфе вводится понятие топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CA(U,E), где U С Е - открытое ограниченное множество нормиро ванного пространства Е.
Мультиотображения данного класса представляют собой композицию (/ о G) непрерывного однозначного отображения / : Y —» Е и полунепрерывного сверху мультиотображения G : U - K(Y) такого, что его сужение на любое конечномерное подпространство Еп С Е имеет є-аппроксимации, любые две из которых могут быть соединены деформацией, протекаюшей в классе аппроксимаций.
Уг Топологическая степень вводится с помощью метода конечномер ных аппроксимаций. Обосновывается корректность введенной характеристики и описываются ее основные свойства.
Содержание третьего параграфа составляют определение понятия топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса CS(U, Е), где U С Е - открытое ограниченное множество нормированного пространства Е, и рассмотрение ос-новных свойств введенной характеристики.
Пусть X - метрическое пространство, - банахово пространство. Рассматриваемый класс состоит из мультиотображений, представи-мых в виде композиции (/ о G) непрерывного однозначного отображения / : Y - Е и мультиотображения G : X - P(Y) из класса S(X,Y), которое обладает непрерывным сечением и "цилиндрическое продолжение" которого G : Хх [0,1] - P{Y), заданное как G (x, А) = G(x) для всех (х,Х) Є X х [0,1], обладает свойством продолжения сечения.
Представителями класса S(X, Y) являются, например, полунепрерывные снизу мультиотображения с замкнутыми выпуклыми или раз- " ложимыми значениями.
Для невырожденных мультиполсй, соответствующих мультиотоб-ражениям из класса CS(U,E), топологическая степень определяется как степень однозначного векторного поля, соответствующего непрерывному отображению вида fog, где д : U — Y - произвольное непрерывное сечение мультиотображения G.
На основании свойств топологической степени непрерывных однозначных полей доказываются корректность данного определения и V? описываются основные свойства степени.
В четвертом параграфе в развитие классической конструкции J. Mawhin a (см. [61], [72]) вводится понятие степени совпадения рассмотренных выше классов мультиотображений и линейного фредгольмова отображения.
Пусть Ei, Е2 - банаховы пространства, U С Е\ - открытое ограниченное множество, I : dom/ С Е\ — i% - линейный фредгольмов опе-ратор нулевого индекса такой, что Iml С i% замкнутое множество.
Рассмотрим линейные непрерывные операторы проектирования р : Е\ — Е\ и q : i% — Е2 такие, что Imp = Kerl, Iml = Kerq.
Символом lp обозначим сужение оператора / на dom/ П Кет р. Пусть оператор кр : Iml — dom/ П Кегр имеет вид кр = l l, а оператор kpq : Е2 - Е\ задан соотношением kpq(y) = kp(y — q(y)), у є if Е2.Пусть также канонический оператор проектирования п : .2 - Е2/ІШ.І имеет вид 7г(у) = y + lml, а ф : Coker/ —ї Kevl - непрерывный линейный изоморфизм.
Пусть G Є A(U, і%) - /-компактное мультиотображение. Подкласс • класса A(U, Е2), состоящий из мультиотображений G таких, что 1{х)
G(x) для всех х Є dU П dom/, обозначается Adundomi(U, Е2).
Степень совпадения пары (l,G), где G из класса AaundomiiU, i%)» определяется как топологическая степень компактного мультиполя, соответствующего мультиотображению F из класса CAdundomi(U, Ei), заданному как F(x) = р(х) + (ф-к + kPtq)G{x), хеЇЇ. у; Исследуются основные свойства введенной степени совпадения и приводятся приложения к ряду теорем о существовании точек совпадения.
В качестве примера приводится утверждение (Теорема 2.4.3), которое используется в обосновании метода интегральной направляющей функции.
Определяется также степень совпадения для случая, когда мульти 1 _ отображение G принадлежит классу Saundomi(U , Е2) и изучаются ее основные свойства.
Третья глава посвящена приложению полученных в предыдущей главе результатов к задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений и включений.
В первом параграфе определяется интегральная направляющая функция для функционально-дифференциальных включений. Далее это понятие обобщается на случай негладких направляющих потенциалов.
Для г 0 обозначим символом С пространство С([—г, 0]; Rn). Длк
функции х(-) Є C([—T,T];Rn), Т 0, символом xt Є С обозначается функция, заданная как xt(9) = x(t -\-0),t Є [0,Т], 0 Є [—т, 0].
Сначала рассматривается периодическая задача для функционально-дифференциального включения следующего вида:
x (t) Є F(t, xt) п.в. Є[0,Т], (3.1.1)
x(0) = x{T), (3.1.2)
в предположении, что мультиотображение F : R x С — Kv(Rn) T-периодично по первому аргументу и удовлетворяет верхним условиям Каратеодори. (Здесь Kv(Y) обозначает совокупность непустых компактных выпуклых подмножеств Y)
Доказывается утверждение (Теорема 3.1.2) о существовании решения задачи (3.1.1), (3.1.2), имеющей интегральную направляющую функцию, топологический индекс которой отличен от нуля.
В качестве примеров рассматривается разрешимость периодической задачи для дифференциальных включений с запаздыванием, полулинейных и градиентных дифференциальных включений.
Описываемый метод распространяется на случай негладкой интегральной направляющей функции.
С использованием теории топологической степени, степени совпадения и метода негладкой интегральной направляющей функции, доказывается утверждение о существовании решения задачи (3.1.1), (3.1.2) (Теорема 3.1.6).
Рассмотренная в предыдущей главе теория степени совпадения позволяет изучать периодическую задачу (3.1.1), (3.1.2) и в предположении, что мультиотображение F имеет невыпуклые значения, но почти полунепрерывно снизу.
Развитие метода многолистной векторной направляющей функции, предложенного Д.И. Рачинским для дифференциальных уравнений, • ) на случай дифференциальных включений и его обобщение на неглад кие направляющие потенциалы составляют содержание второго параграфа.
Рассматривается периодическая задача для дифференциального включения следующего вида:
• z (t)eF(t,z(t)) п.в. te[0,T), (3.2.1)
z{0) = z(T), (3.2.2)
в предположении, что мультиотображение F : R х Rn — Kv(Rn) Т-периодично по первому аргументу и удовлетворяет верхним условиям Каратеодори.
Сначала доказывается утверждение (Теорема 3.2.1) о существовании Т-периодического решения включения (3.2.1), имеющего строгую многолистную векторную направляющую функцию (МВНФ).
В качестве примера рассматривается разрешимость периодической ! задачи для полулинейного дифференциального включения.
Рассматриваемый метод оказывается эффективен и при более общих условиях, когда основное неравенство "направляемое™" предполагается выполненным в нестрогой форме и хотя бы для некоторых yeF(t,z).
В диссертации рассматриваются также методы нескольких направте ляющих функций: полного набора строгих МВНФ, полного и острого набора обобщенных МВНФ и правильной МВНФ как для дифференциальных уравнений, так и для дифференциальных включений.
Указанные методы обобщаются на случай негладких направляю щих потенциалов.
Применение комплекса этих методов позволило получить ряд новых " результатов (Теоремы 3.2.2 - 3.2.18) о существовании периодических
решений дифференциальных уравнений и включений.
Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:
1. Построена теория топологической степени мультиполей для новых классов мультиотображений с невыпуклыми значениями в конечномерном и нормированном пространствах.
2. На основе построенной топологической степени развита теория t? степени совпадения для соответствующих классов мультиотображений и линейных фредгольмовых отображений.
3. Введены в рассмотрение два класса направляющих функций - негладкие интегральные и негладкие многолистные направляющие функции.
4. В терминах существования негладких интегральных направляющих функций указаны новые условия существования периодических решений функционально-дифференциальных включений.
5. С помощью метода негладких многолистных направляющих функций доказаны новые теоремы о существовании периодических решений дифференциальных уравнений и включений.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функциональ-но-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2002), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIII" (Воронеж, 2002), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2002), Международной научной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), семинаре "Нелинейные колебания" под руководством профессора А.И. Перова (НИИ математики, ВГУ, 2002, 2003), научных конференциях студентов, аспирантов и преподавателей физико-математического факультета ВГПУ (2000, 2002).
Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантом РФФИ N 03-01-06293 "Молодые ученые, аспиранты и студенты", а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23]-[32]. Из совместных работ [24], [25], [29], [30], [32] в диссертацию вошли только принадлежащие Корневу СВ. результаты.
Автор глубоко признателен профессору В.В. Обуховскому за постоянное внимание и советы.
Основные понятия и определения многозначного анализа
Приведем необходимые сведения из многозначного анализа (детали могут быть найдены, например, в [8], [9], [10], [70]). Пусть X, Y - произвольные множества; P(Y) - множество всех непустых подмножеств Y. 11. Многозначным отображением, или мультиотображением, G множества X в множестве Y называется соответствие, которое сопос тавляет каждой точке х Є X непустое подмножество G(x) С У, на зываемое образом х. Это соответствие записывается в виде G : X — P(Y). Класс мультиотображений включает в себя и обычные, однозначные отображения; для них каждый образ состоит из единственной точки. Всюду в дальнейшем многозначные отображения обозначаются прописными буквами, а однозначные - строчными. Для любого множества Л С X множество G(A) = U G(a) назы аЄА вается образом множества Л при мультиотображений G. 12. Пусть G : X — P{Y) - мультиотображение. Множество Гс в декартовом произведении X х У, называется графиком мультиотображеиия G. 13. Малым прообразом множества D CY называется множество 14. Пусть X, У, Z - произвольные множества, Go : X — P(Y), G\ : Y — P(Z) - мультиотображеиия. Мультиотображение G\ о GQ : X — P(Z), называется композицией отображений Go и G\. 15. Пусть X, У - топологические пространства, G : X — P(Y) мультиотображение. Мультиотображение G называется полунепрерывным сверху (пн. св.) в точке х Є X, если для любого открытого множества V С Y такого, что G(x) С V, существует окрестность U{x) точки х такая, что G(U(x)) С V. Мультиотображение G называется пн. св., если оно пн. св. в каждой точке х G X. 16. Пусть X, Y - топологические пространства, G : X —» P(Y) мул ьтиотображение. Мультиотображение G называется полунепрерывным снизу (пн. сн.) в точке х Є X, если для любого открытого множества V С Y такого, что G(x)nV ф 0, существует окрестность U(х) точки х такая, что G(x ) П V ф 0 для любого х Є U(x). Мультиотображение G называется пн. сн., если оно пн. сн. в каждой точке х Є X. 17. Мультиотображение G называется замкнутым, если его график ГУ есть замкнутое множество в пространстве X х Y.
Символами Cv(Y),Kv(Y) обозначаются совокупности, состоящие из всех непустых выпуклых замкнутых или, соответственно, компактных подмножеств пространства У. 18. Мультиотображение G называется компактным, если область значений G(X) относительно компактна в У, т.е. G(X) компактно в У. Мультиотображение G называется локально компактным, если каждая точка х Є X обладает окрестностью U(x) такой, что сужение G на U(x) компактно. Теорема 1.2.1. Пусть G : X — К(У) - замкнутое мультиотображение. Если оно локально компактно, то оно пн. св. [10, стр. 22]. Теорема 1.2.2. Пусть G : X — С{У) -замкнутое мультиотображение. Если А С X - компактное множество, то его образ G(A) замкнут в Y [10, стр. 23]. Теорема 1.2.3. Пусть G : X —» К (У) - пн.св. мультиотображение. Если А С X - компактное множество, то его образ G{A) компактен [10, стр. 23]. 19. Пусть {Gj}jeJ , Gj : X — P(Y) - некоторое семейство мульти отображений. Теорема 1.2.4. Если мультиотображения Go : X — P{Y), G\ :Y - P(Z) пн. св. (сн.), то их композиция G\ о Go : X — P(Z) пн. св. (сн.) [10, стр. 32-33]. Теорема 1.2.5. Если мультиотображения Go : X — P{Y), G\ : X — P(Z) пн. сн., то их декартово произведение Go х G\ : X - P(Y х Z) пн. сн. [10, стр. 34]. Теорема 1.2.6. Если мультиотображения Go : X — K(Y)t G\ : X - ііГ( ) пн. св., то их декартово произведение Go х Gi : X - K{Y x Z) пн. св. [10, стр. 34]. Теорема 1.2.7. Пусть Y - банахово пространство. Если мультиотображение G : X — K(Y) пн. св. (сн.), то выпуклое замыкание coG : X - Kv(Y) пн. св. (си.) [10, стр. 36]. 20. Покрытием множества X называется система подмножеств X, объединение которых совпадает с X. Покрытие Е топологического пространства X называется локально конечным, если каждая точка х Є X обладает окрестностью U, пересекающейся лишь с конечным числом множеств из Е. 21.
Однозначное отображение д : X —У Y называется сечением мультиотображения G, если Теорема 1.2.8 (см. [73]). Пусть X - метрическое пространство, У - банахово пространство. Тогда каждое пн. сн. мультиотображение G : X - Cv{Y) имеет непрерывное сечение. 22. Пусть (X, рх), (Y, ру) - метрические пространства. Метрику р в произведении пространств X х Y определим равенством Пусть G : X - P{Y) - некоторое мультиотображение. Непрерывное отображение д : X —У У, где є 0, называется є - аппроксимацией мультиотображения G, если для каждого х Є X найдется х Є W(x) такое, что Ясно, что это понятие может быть равносильно выражено утверждением, что или, что где Г9е,Гс - графики отображений д и G соответственно, а окрест ность графика мультиотображения G выбирается относительно метри ки р. V Теорема 1.2.9. Пусть X - метрическое пространство, Y - норми рованное пространство. Всякое пн. св. мультиотображение G : X — Cv(Y) для любого є 0 обладает є - аппроксимацией д : X — Y такой, что де(Х)-С coG(X) [10, стр. 43]. Тот факт, что отображение дс является є - аппроксимацией мультиотображения G будем обозначать символом дє Є a(G, є). Важные свойства є - аппроксимаций могут быть описаны в следу ющем утверждении (см., например, [62]). / Теорема 1.2.10. Пусть G : X — К {У) пн. св. мультиотображение. (і) Пусть Х\ - компактное подмножество X. Тогда для любого є 0 найдется 5 0 такое, что д Є a(G,5) влечет #1 Є 1( 1 , ) (ii) Пусть X - компактное, Y\ - метрическое пространства и / : Y - Y\ - непрерывное отображение. Тогда для любого є 0 найдется 5 0 такое, что д Є a(G, S) влечет / о д є a(f oG,e). (Ш) Пусть X - компактное пространство, Н : X х [0,1] — K(Y) - пн. св. мультиотображение. Тогда для любого Л Є [0,1] и є 0 найдется S 0 такое, что /г Є а(#, S) влечет /і(«, Л) Є а(Н(-, Л), г). (iv) Пусть УЇ - метрическое пространство, Gi : X —) .ftT(Yi) - пн. св. мультиотображение. Тогда для любого є 0 найдется 5 0 такое, что д Є a(G, ) и /і Є a(Gi,6) влечет g x g\ Є a(G x С?і,є). 23. Пусть Л - измеримое подмножество числовой прямой R, снаб-женной мерой Лебега /І. Мультиотображение G : Л — K(Rn) называется измеримым, если для любого открытого множества V С Rn множество G+l{V) изме
Степень мультиполей для мультиотображений типа селектируемых
Пусть X - метрическое пространство, Y - банахово пространство. Рассмотрим следующий класс мультиотображений. Определение 2.3.1. Мулътиотображение G : X — P{Y) принадлежит классу S(X,Y), если оно удовлетворяет условиям: Si) G обладает непрерывным сечением [1.2, 21]; «S2) "цилиндрическое продолжение" G : X х [0,1] — P(Y), определенное как G (x,X) = G(x) для всех (х,Х) Є X х [0,1], обладает следующим свойством продолжения сечения: любое непрерывное сечение сужения G па (X х {0})U (X х {1}) может быть продолоюено до непрерывного сечения G . Мулътиотображения класа S(X, Y) будем называть селектируемыми. Замечание 2.3.1. Пусть (Уо,ро) (Yi,Pi) метрические пространства. Зададим метрику р на YQ Х Y\ формулой Р {(2/0, 2/i), (Уо, 2/i)} = шах {ро(у0, у 0),Рі(уи 2/1)} Пусть Go принадлежит классу S(U,YQ), a G\ из класса S(U,Y\). Тогда мулътиотображение G = Go х G\ : U —» P(YQ XY\) принадлежит классу S{U,Yo х Y\). В самом деле это вытекает из того, что отображение g : U — YQ х Y\ является непрерывным сечением мулътиотображения G тогда и только тогда, когда щд : U — Уо и щд : U — У1, где щ : Уо х Y\ — Y(, і = 0,1 - канонические проекции, являются непрерывными сечениями мультиотображений Go и G\ соответственно. Приведем два примера селектируемых мультиотображений. Пример 2.3.1. Прежде всего, из классической теоремы Майкла (Те орема 1.2.8) следует, что классу S(X, Y) принадлежит любое пн. сн. [1-2, 16] мультиотображение G : X — Cv{Y). Приведем теперь пример невыпуклозначных мультиотображений из класса S(X, Y). Пример 2.3.2. Символом D(Ll([0, d\; Е)) будем обозначать совокуп ность всех замкнутых разложимых подмножеств [1.1; 10] простран ства Z QOjcT); Е). Одним из примеров разложимого множества являет ся множество всех суммируемых сечений произвольной мультифунк ции Ф: [0,d]-+ Р(Е). У Следующий аналог теоремы Майкла является обобщением Бресса на (A. Bressan)- Коломбо (G. Colombo) теоремы Фрышковского (А. Fryszkowski) (см. [60]). Теорема 2.3.1 [см. 55]. Пусть X - сепарабелъное метрическое пространство. Тогда любое пн. сн. мультиотобраэюение G : X — D{Ll([Q, d\; Е)) имеет непрерывное сечение. Теперь мы можем предложить второй пример мультиотображения из класса S(X,Y). Теорема 2.3.2.
Пусть X - сепарабелъное метрическое пространство, Y = Ll(\0,d\\E). Тогда любое пн. сн. мультиотобраэюение G : X —V D(Y) принадлежит классу S(X, Y). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, справедливость ( Si) прямо вытекает из Теоремы 2.3.1. Проверим выполнение условия («S2). Пусть g -непрерывное сечение мультиотображения G на множестве А = {X х {0}) U (X х {1}). Для проверки (е г) достаточно применить Теорему 2.3.1 к пн. сн. мультиотображению G : X х [0,1] - D(Y), определен ному как Пусть теперь U - отрытое ограниченное подмножество нормированного пространства Е. Символом CSQU{U, Е) обозначим класс компактных мультиотобра-жений F вида F = (/ о G), где G из класса S(U, Y) для некоторого банахова пространства Y; f : Y — Е - непрерывное отображение; х . F(x) для всех х Є dU. Как и прежде, (/ о G) будем называть представлением мультиотображения F. Определение 2.3.2. Топологической степенью deg , U) мультиполя Ф = i—F, где F = (foG) Є CSQU{U, E), назовем топологическую степень deg( p, U) поля ер = і — fg, где g : U — Y - произвольное непрерывное сечение мультиотображения G. Лемма 2.3.1. Определение 2.3.2 корректно, т.е. степень deg(z — fg, U) не зависит от выбора сечения д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g0,gi : U - Y - два произвольных непрерывных сечения мультиотображения G. Из (с?г) вытекает, что отображение h : (U х {0}) U (U х {1}) - У, определенное как может быть продолжено до непрерывного сечения h : U х [0,1] - У мультиотображения G : U х [0,1] - C(Y), G (x,\) = G(x). Тогда ясно, что отображение / о h : U х [0,1] — Е реализует гомотопию полей г — fgo и г — fg\ откуда и вытекает Введенная таким образом характеристика обладает всеми основными свойствами топологической степени. Определение 2.3.3. Мультиотобраоюения Fo, F\ из класса CSdu(U,E), Fo — (/о Go),Fi = (/і о G\) и соответствующие им мультиполя Фо = і — і Ь,Фі = г — F\ называются гомотопными (Ф$ Ф\), если существует мультиотображение Н : U х [0,1] — P(Y) и непрерывное отображение k : Y х [0,1] — Е, удовлетворяющие условиям: (ііі) мультиотобраоюение Н обладает непрерывным сечением; (iv) мультиотобраоюение коН : U х [О,1] - Р(Е), заданное равенством компактно и не имеет неподвижных точек на 3U X [0,1]. Мультиотобраоюение к о Н в этом случае называется гомотопией в классе CSQU(U,E), соединяющей мультиотобраоюения F\ и i (и соответствующие им мультиполя Фо и Ф{). (1) Гомотопическая инвариантность. Пусть мультиотобраоюения FQ,FI принадлежат классу CSQU{U,Е), FO = (/о о Go), Fi = (/і о G\). Если соответствующие им мультиполя Фо = г — Fo и Ф\ = і — F\ гомотопны, то
Негладкая интегральная направляющая функция
Рассмотрим теперь случай негладкой интегральной направляющей функции. Напомним вначале некоторые понятия негладкого анализа (см., например, [4, 16, 18, 22]). Пусть в пространстве Rn задана локально липшицева функция V(x). Для хо Є Rn и v Е Rn обобщенная производная V{XQ;V) функции V(x) в точке хо по направлению и задается выражением где х Е Rn. Тогда обобщенный градиент dV{x) функции V(x) в точке хо определяется следующим образом: Известно, что мультиотображение dV(x) имеет выпуклые компактные значения и полунепрерывно сверху. Поэтому любое ее измеримое сечение v(t) Е dV(x(t)), t Е [0,Т], является суммируемым. Дадим следующее определение. Определение 3.1.2. Локально липшицеву функцию V : Rn — R назовем негладкой интегральной направляющей функцией задачи (3.1.1), (3.1.2), если найдется N 0 такое, что для всех суммируемых сечений v(s) Е dV(x(s)), для любой абсолютно непрерывной функции х Е Ст такой, что ЦжЦг N и а; () \\F(tyxt)\\ п.в. t Є [О,Т], где / Є PF(X) произвольное суммируемое сечение. Справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1.6. Пусть V : Rn -» R - негладкая интегральная направляющая функция задачи (3.1.1), (3.1.2) такая, что О ф. dV(x) для всех х G Rn, \\х\\ N и где Вн С Rn — шар радиуса N с центром в нуле. Тогда задача (3.1.1), (3.1.2) имеет решение. Замечание 3.1.2 (см. [4]). Отметим, что условия теоремы выполнены, если, например, функция V четна, или lim V(x) = ±оо. х-++оо ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Для доказательства снова воспользуемся Теоремой 2.4.3 и будем рассматривать аналогичные операторы: о Нетрудно проверить, что мультиоператоры тгоСи kPtq о G выпукло значны и компактны. Отметим, что для Л Є (0,1) решение х Є doml включения 1(х) Є XG(x) удовлетворяет задаче (3.1.3), (3.1.4). Это означает, что х(-) — абсолютно непрерывная функция такая, что x {t) = А/() п.в. t Є [0,Т], / Є PF(x). Тогда, следуя [16], имеем: для всех v, v(s) Є dV(x(s)), откуда следует, что С другой стороны, из условия (F3) вытекает, что я І2 М, где М 0. Но тогда найдется и М 0 такое, что В качестве U возьмем шар Вг С Ст радиуса г = max{N, М , NT ll2}. Тогда имеем для всех х Є dU. Пусть теперь и Є dUDKerl произвольно. Поскольку и 7VT-1/2, из определения интегральной направляющей функции получаем, что для всех v Є dV(u),f(s) Є F(s,u). Но для всех г; Є dV(u) и, таким образом, для всех v Є 0V(u), 2/ Є nG(u). Это значит, что 0 $. 7rG(u) для к Є dU П Кег/ и Таким образом, все условия Теоремы 2.4.3 выполнены и задача (3.1.1), (3.1.2.) имеет решение. Будем рассматривать теперь периодическую задачу (3.1.1), (3.1.2) для функционально-дифференциального включения, предполагая, что мультиотображение F : R х С — K(Rn) удовлетворяет, кроме условий Ft) и F3), следующему условию: FL) существует последовательность непересекающихся компактных множеств {In} Jn Я: [О,?1], таких, что (і) /х([0, Т] \ I) = проверить, что мультиоператоры тгоСи kPtq о G выпукло значны и компактны. Отметим, что для Л Є (0,1) решение х Є doml включения 1(х) Є XG(x) удовлетворяет задаче (3.1.3), (3.1.4). Это означает, что х(-) — абсолютно непрерывная функция такая, что x {t) = А/() п.в. t Є [0,Т], / Є PF(x). Тогда, следуя [16], имеем: для всех v, v(s) Є dV(x(s)), откуда следует, что С другой стороны, из условия (F3) вытекает, что я І2 М, где М 0. Но тогда найдется и М 0 такое, что В качестве U возьмем шар Вг С Ст радиуса г = max{N, М , NT ll2}. Тогда имеем для всех х Є dU. Пусть теперь и Є dUDKerl произвольно. Поскольку и 7VT-1/2, из определения интегральной направляющей функции получаем, что для всех v Є dV(u),f(s) Є F(s,u). Но для всех г; Є dV(u) и, таким образом, для всех v Є 0V(u), 2/ Є nG(u). Это значит, что 0 $. 7rG(u) для к Є dU П Кег/ и
Таким образом, все условия Теоремы 2.4.3 выполнены и задача (3.1.1), (3.1.2.) имеет решение. Будем рассматривать теперь периодическую задачу (3.1.1), (3.1.2) для функционально-дифференциального включения, предполагая, что мультиотображение F : R х С — K(Rn) удовлетворяет, кроме условий Ft) и F3), следующему условию: FL) существует последовательность непересекающихся компактных множеств {In} Jn Я: [О,?1], таких, что (і) /х([0, Т] \ I) = 0, где fi - мера Лебега, I = U 1п\ п (іі) сужение F на множество Jn = InxC является пн. сн. мульти-отображением. Замечание 3.1.3 (см. [70]). При выполнении условий (FL) и (F$) определен мультиоператор суперпозиции сопоставляющий каждой функции х{-) множество всех суммируемых сечений мулътифункции F(t,xi). Известно, что этот мультиоператор пн. сн., замкнут и имеет разложимые значения. Замечание 3.1.4. В силу Теоремы 2.3.1 и Замечания 3.1.3 мультиоператор суперпозиции PF принадлежит классу Под решением задачи (3.1.1), (3.1.2) понимается абсолютно непрерывная функция х(-), удовлетворяющая условию периодичности 0, где fi - мера Лебега, I = U 1п\ п (іі) сужение F на множество Jn = InxC является пн. сн. мульти-отображением. Замечание 3.1.3 (см. [70]). При выполнении условий (FL) и (F$) определен мультиоператор суперпозиции сопоставляющий каждой функции х{-) множество всех суммируемых сечений мулътифункции F(t,xi). Известно, что этот мультиоператор пн. сн., замкнут и имеет разложимые значения. Замечание 3.1.4. В силу Теоремы 2.3.1 и Замечания 3.1.3 мультиоператор суперпозиции PF принадлежит классу Под решением задачи (3.1.1), (3.1.2) понимается абсолютно непрерывная функция х(-), удовлетворяющая условию периодичности (3.1.2) и включению (3.1.1) п.в. на [0,Т]. Справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1.7. Пусть V : Rn — R — интегральная направляющая функция задачи (3.1.1), (3.1.2) такая, что W{x) ф 0 для всех
Случай нескольких направляющих функций
Далее, следуя идеям работ [37], [38], [71], определяем полный набор строгих МВНФ, полный и острый набор обобщенных МВНФ, правильную МВНФ для дифференциальных уравнений и переносим указанные методы на случай дифференциальных включений, правая часть которых удовлетворяет условиям типа Каратеодори. Сначала будем рассматривать периодическую задачу (3.2.17)-(3.2.18) для дифференциального уравнения в пространстве Rn, предполагая, что функция f(t, z) непрерывна по совокупности переменных, непрерывно дифференцируема по второму аргументу и Т-периодична по первому аргументу (Т 0). Пусть на подпространстве Rn 2 заданы скалярные непрерывно дифференцируемые функции Всюду в дальнейшем будем считать, что для функций (3.2.33) выполнено условие В силу условия (3.2.34) можно найти такое г , что Для / Pi 0 выделим в Лп область Положим Введем понятие полного набора строгих МВНФ. Определение 3.2.8. Функции {Vi(), ...,Vk(),W( p, р)} , обладающие свойствами (3.2.3),(3.2.4) и (3.2.34), образуют полный набор строгих МВНФ для уравнения (3.2.17) относительно области f2 (г ,/)1,/), если выполнены следующие условия: Применяя методы работ [37], [47] и теорию топологической степени мультиполей, приведем схему доказательства следующего принципа существования периодического решения. Теорема 3.2.7. Пусть для уравнения (3.2.17) можно указать полный набор {Vi(C) — Vfc(0 W(ip, p)} строгих МВНФ относительно области Q (r ,pi,p2). Пусть топологический индекс на бесконечности ind(Vi,oo) функции Vi(C) отличен от нуля: Тогда уравнение (3.2.17) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение 2 («) такое, что z (t) Є G{r ,po), t Є [0,T]. Замечание 3.2.2. Отметим, что из условий (3.2.39) вытекает гомотопность векторных полей Wi(pz), і — 1,...,/:, и —pf{0,z), z Є FC1: llp-гЦ го, 7-г р2. Поэтому все поля VVf(), г = 1,..., k, гомотопны друг другу и имеют одинаковую топологическую степень. Следовательно, В пространстве Rn через Qi и Qi, г = 1,..., к, обозначим множества точек z : \\pz\\ Го, для которых выполнены соответственно неравенства Сформулируем утверждения, результаты которых будут использованы при доказательстве Теоремы 3.2.7. Лемма 3.2.1. Все точки множества {z Є Rn : \\pz\\ = г } являются очками невозвращаемости траекторий уравнения (3.2.17). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что \\pz\\ — г . Из (3.2.35) вытекает, Пусть Gc(r ) = {( Є Я""2 : fl г } и G Po) = { Є R2: f А } .
Лемма 3.2.2 (см. [47]). Для всякой траектории z( ) уравнения (3.2.17) с начальным условием z(0) Є G((r ) х dG (po) справедливо соотношение ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.2.7. (і) Предположим вначале, что решения уравнения (3.2.17) продолжимы на [0,Т]. В силу условий, наложенных на функцию f(t,z), задача Коши для уравнения (3.2.17) однозначно разрешима при любом начальном условии ZQ Є Rn. Обозначим решение, для которого z(0) = ZQ, через z(t, z$). При сделанных предположениях непрерывный оператор сдвига UTZQ = z(T; ZQ) определен на множестве G(r ,po) и в силу Лемм 3.2.1 и 3.2.2 невырожден на dG(r ,po)- Следовательно, определена топологическая степень deg(I — UT,G(r ,po)). Как известно (см., например, [37]), доказательство существования Т-периодических решений уравнения (3.2.17) в этом случае сводится к доказательству соотношения Следуя [47], устанавливается, что указанная топологическая степень удовлетворяет условию (3.2.41) Каждое поле Wi(pz) + qz, z Є G(r , po), і = 1,..., k, является прямой суммой векторных полей VVi(C) Є Rn 2, С Є G((r ), і = 1,..., к, и Є R2, Є G (po). Поэтому в силу теоремы о произведении вращений имеем где і = 1,..., А;. Так как точка = 0 лежит в области G (po), то по свойству нормализации топологической степени Учитывая Замечание 3.2.2, получим и в силу (3.2.41)
