Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения. 18
1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа 18
1.2 Основные понятия и определения многозначного анализа . 21
2 CLASS Теория степени совпадения для композиции аппроксимируемых многозначных отображени CLASS й. 31
2.1 Топологическая степень композиции аппроксимируемых многозначных отображений 31
2.1.1 Степень в конечномерном пространстве 31
2.1.2 Степень в нормированном пространстве 50
2.2 Степень совпадения с линейным фредгольмовым оператором 61
2.2.1 Степень совпадения для компактной композиции многозначных отображений 61
2.2.2 Степень совпадения для уплотняющей композиции мультиотображений 66
3 CLASS Общие краевые задачи для функционально-дифференциальных включений с запаздывание CLASS м. 74
3.1 Краевая задача для функционально-дифференциальных включений с конечным запаздыванием 74
3.2 Краевая задача для функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием 88
4 Оптимизация в импульсной управляемой системе . 105
Литература 116
- Основные понятия и определения многозначного анализа
- Степень в конечномерном пространстве
- Степень совпадения для компактной композиции многозначных отображений
- Краевая задача для функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием
Введение к работе
Применение геометрических и топологических методов анализа к исследованию различных вопросов теории дифференциальных уравнений имеет давнюю историю и восходит к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. Дальнейшее развитие эти методы получили в трудах М.А. Красносельского, Н.А. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и многих других исследователей.
С помощью указанных методов оказалось возможным эффективно решать такие важные задачи теории дифференциальных уравнений, как вопросы существования решений, анализ топологической структуры множества решений, исследование непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров, условия существования периодических решений и другие проблемы.
Начиная со второй половины XX века эти методы энергично распространяются на теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что дифференциальные включения являются очень удобным аппаратом для описания
управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были изучены с помощью методов нелинейного анализа в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, А.В. Арутюнова, В.Г. Задорожного, А.И. Булгакова, Е.Л. Тонкова, А.А. Толстоногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin'a, A. Cellina, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других.
Важное место в исследовании дифференциальных и функционально-дифференциальных включений занимают задачи о существовании периодических решений и разрешимости других краевых задач. Для изучения этих вопросов потребовалось развитие ряда важных разделов анализа многозначных отображений.
Существенную роль здесь играет теория топологической степени многозначных отображений. Разработке этой теории для вполне непрерывных многозначных отображений с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, A. Cellina, A. Granas'a, A. Lasota и др. Однако исследование различных аспектов теории дифференциальных включений и управляемых систем требует распространения этой теории на более широкие классы многозначных отображений. С одной стороны, для изучения дифференциальных включений в банаховых пространствах весьма эффективным орудием оказывается теория тополо-
гической степени многозначных отображений уплотняющего типа. С другой стороны, ряд важных задач теории дифференциальных включений и управляемых систем приводят к необходимости исследовать многозначные отображения с невыпуклыми значениями. В частности, отметим в качестве такого мультиотображения оператор, сопоставляющий начальным данным соответствующую интегральную воронку дифференциального включения.
Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов анализа мультиотоб-ражений и их приложениям к общим краевым задачам для функционально-дифференциальных включений и к задаче о существовании оптимального решения для управляемой системы с разрывными характеристиками.
В работе развиваются и исследуются новые разделы теории топологической степени для достаточно широких классов мультиотображе-ний. В диссертации вводится класс композиционных мультиотображе-ний. Мультиотображения этого класса определяются как композиции аппроксимируемых мультиотображений, возмущенные компактными однозначными отображениями. Отметим, что исследуемый класс отображений достаточно обширен. Он включает в себя мультиотображения с выпуклыми значениями, многозначные операторы сдвига по траекториям импульсных дифференциальных включений и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решений.
Для указанного класса многозначных отображений с помощью метода однозначных аппроксимаций строится теория топологической
степени сначала в конечномерном пространстве, а затем и в линейном нормированном пространстве. Далее эта теория применяется для построения топологической степени совпадения для пары (сначала компактной, а затем уплотняющей), состоящей из линейного фредгольмо-ва оператора нулевого индекса в банаховых пространствах и мультио-тображения являющегося композицией аппроксимируемых мультио-тображений. Изучаются основные свойства степени совпадения для отображений указанного класса и даются приложения к существованию точек совпадения. Развитые методы применяются к ряду задач теории функционально-дифференциальных включений и управляемых систем.
Рассматривается общая краевая задача для полулинейного функционально-дифференциального включения в сепарабелыюм банаховом пространстве. Включения такого типа интенсивно исследуются в последние годы в связи с их важными приложениями в описании управляемых процессов для систем с распределенными параметрами. Для описания краевого условия используется линейный ограниченный оператор и выпуклозначное мультиотображение.
Для исследования общей краевой задачи такого рода строится интегральный многозначный оператор, неподвижные точки которого являются решениями указанной задачи. Исследуются свойства интегрального мультиоператора и устанавливается, в частности, что он является уплотняющим относительно специальной меры некомпактности. Это дает возможность применить для его исследования теорию топологической степени и получить на этой основе существование решения
общей краевой задачи. В качестве частных случаев рассматриваются задача Копій и периодическая задача.
Далее построенная теория распространяется на случай функционально-дифференциального включений с бесконечным запаздыванием. Включения такого рода возникают при моделировании специальных классов управляемых систем и широко исследуются в последние годы. Предполагается, что распределенное бесконечное запаздывание принадлежит фазовому пространству, описываемому условиями Хейла-Като. Это также позволяет применить разработанные методы теории топологической степени и получить ряд результатов о существовании решений обобщенной краевой задачи.
В последние годы большое внимание исследователей привлекает изучение дифференциальных уравнений и включений с импульсными характеристиками. Это объясняется их интересными приложениями в теории динамических систем, математической экономике, математической биологии и других разделах современной математики. В диссертации рассматривается управляемая система смешанного типа с обратной связью, динамика которой описывается дифференциальным уравнением с управляющим параметром. Обратная связь задается с помощью дифференциального включения с импульсными характеристиками. Показано, что существование решения данной задачи сводится к существованию точки совпадения уплотняющей пары, состоящей из линейного фредгольмова отображения и многозначного отображения, являющегося композицией аппроксимируемых мультиотображе-ний. Применение разработанной степени совпадения позволяет уста-
новить существование оптимального решения данной задачи.
Приведем обзор содержания диссертации по главам.
Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений функционального анализа и теории многозначных отображений.
В первой части второй главы на основе классической теории топологической степени непрерывных однозначных векторных полей в конечномерном пространстве определяется в первом параграфе топологическая степень мультиполей, соответствующих мультиотоб-ражениям из класса Bc(U,En), где U С Еп - открытое ограниченное множество конечномерного линейного топологического пространства
Еп-
Пусть Хі,Хг, ...,Xk-i - компактные метрические пространства. Мультиотображения рассматриваемого BC(U, Еп) класса представляют собой сумму р + Т непрерывного однозначного отображения р : U —> Еп и мультиотображения Т — Fk о ... о F\ представляющего собой композицию полунепрерывных сверху аппроксимируемых муль-тиотображений Fj : Х{-\ -» К(Х$, і = 1,...,A;, Xq = С/, Xk = -En-Аппроксимируемость означает, что для каждого є > 0 мультиотобра-жение обладает однозначной є-аппроксимацией и при этом любые две аппроксимации могут быть соединены деформацией, протекающей в классе аппроксимаций. (Символ К(Хі) означает совокупность непустых компактных подмножеств Х{)
Для мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса BC(U, Еп), не имеющим неподвижных точек на дії, топологическая
степень определяется как степень однозначного векторного поля, соответствующего непрерывному отображению р + / : U -> Еп, где f =. fk о ... о /1} /г- : Хі-і -> Хі произвольные є-аппроксимации муль-тиотображений Fj, (г = 1,..., к) и є > 0 достаточно мало. Исследуются основные свойства введенной характеристики.
Во втором параграфе вводится понятие топологической степени мультиполей, соответствующих мультиотображениям из класса Ъс(и, Е), где U С Е - открытое ограниченное множество нормированного пространства Е.
Пусть Vi, V2,.., Vfc_i - открытые подмножества нормированных пространств. Мультиотображения данного класса представляют собой сумму р + Т непрерывного компактного отображения р : U -» Е и компактного мультиотображения Т = Fk о ... о F\ представляющего собой композицию полунепрерывных сверху мультиотображений Ft : Vi-i -> K{Vi), (і = 1,.., A:), (V0 = U,Vk = Е) таких, что
сужение Fi : U —> K(V{) на любое конечномерное подпространство Еп С Е аппроксимируемо;
сужение F^ (і = 2,..,к) на компактное ЛІУ-й-пространство Я С И_1 аппроксимируемо.
Топологическая степень вводится с помощью метода конечномерных аппроксимаций. Обосновывается корректность введенной характеристики и описываются ее основные свойства.
Во второй части первой главы вводится понятие степени совпадения для пар (компактной и уплотняющей) состоящей из мультио-тображени, представляющего собой композицию аппроксимируемых
мультиотображений, и линейного фредгольмова отображения нулевого индекса.
Пусть Е\,Е2 - банаховы пространства; I : dom I С Е\ -> Е2 - линейный непрерывный фредгольмов оператор нулевого индекса такой, что Іт I замкнутое множество.
Рассмотрим линейные непрерывные операторы проектирования р : Ei —> Е\, q : 2 —> Е2 такие, что Im р = Кег I и Im I = Кег q.
Символом 1р обозначим сужение оператора / на dom І П Кег р.
Пусть оператор kp : Im I -> dom I П Кег р имеет вид кр = 1~г, а оператор кРд : Е^ —> Ei задан соотношением крл{у) = кр(у — q(y)), УЄЕ2.
Пусть также канонический оператор проектирования ж : Е2 —> Е2/1т /, имеет вид л (у) = у + 1т I, а, ф : Сокет I -> Кег I - линейный непрерывный изоморфизм.
Пусть F из класса композиций аппроксимируемых мультиотображений является 1-компактным мультиотображением. Подкласс данного класса, состоящий из мультиотображений F таких, что l(x) . F(x) для всех х Є dU П dom I, будем обозначать A^[/ndomi(C/, #2)-
Степень совпадения deg(l,F,U) пары (/,F), где F = Fk о ... о i<\ из класса AgUndarnl(U, Е2), определяется как топологическая степень компактного мультиполя, соответствующего композиционному муль-тиотображению J Є Ъс(и, Е{) заданному как
3{х)=р{х) + {фотг + кр^оР{х), хЄЇЇ.
Исследуются основные свойства введенной характеристики и приводятся приложения к ряду теорем о существовании точек совпадения.
Во втором параграфе определяется степень совпадения для случая, когда мультиотображение F является уплотняющим.
Пусть Г - непустое компактное фундаментальное множество для (/,/3)-уплотняющего мультиотображения F = Fk0...oF\ из класса композиций аппроксимируемых мультиотображений и р : E-> Т некоторая ретракция. Рассматривается мультиотображение F = poFk0...oF\. Оно принадлежит классу /-компактных мультиотображений.
Тогда степенью совпадения deg(l,F,U)p пары (l,F) называем степень совпадения deg(l, F, U) пары {l,F).
Также исследуются основные свойства введенной характеристики и приводятся приложения к ряду теорем о существовании точек совпадения.
Третья глава посвящена краевым задачам для функционально-дифференциальных включений.
В первом параграфе исследуется условия существования ослабленных решений краевой задачи для дифференциальных включений с конечным запаздыванием.
Пусть Е - сепарабельное банахово пространство. Для Т > 0, h > О обозначим V = С([-Л; Т];Е);С = C([-h; 0]; Е). Для х V и t Є [0; Т] символом xt С, обозначается функция, заданная как xt{0) = х(t+ 0), 0Є[-Л;О].
Рассматривается общая краевая задача для полулинейного функционально-дифференциального включения:
x'(t) Є Ax{t) + F(t,xt), t Є [0;T], (3.1)
Qx Є Sx, (3.2)
в предположении, что линейный оператор A : D(A) С Е —> Е является производящим оператором Co-полугруппы expjiA}, а мультио-тображение F : [О, Г] х С —) Kv{E) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, условию подлинейного роста и условию х-ретулярности. Также накладываются условия на операторы из граничного условия: условие ограниченности на однозначный оператор, условие полунепрерывности сверху на многозначный оператор и
(QS) существует линейный ограниченный оператор Л : С —> V такой, что (/ — QoA)(y — QGf) = 0 для любых х V, у S(x) и
Для исследования разрешимости задачи (3.1)-(3.2) строится новый интегральный мультиоператор
T(x) = AS(x) + (I-AQ)G?F(x),
где Q, G -оператор Коши, 0V - суперпозиционный мультиоператор.
Неподвижные точки этого мультиоператора будут являться ослабленными решениями задачи (3.1)-(3.2).
Описываются свойства мультиотоператора Г и доказывается, в частности, что он является уплотняющим относительно специальной меры некомпактности
ДО) = ЫЯ),то<1с7(а)),
где
Это позволяет выписать общий принцип существования ослабленных решений задачи (3.1)-(3.2) для дифференциальных включений с конечным запаздыванием. Рассматривается пример примененния этого принципа и его приложения к периодической задаче и задаче Коши.
Во втором параграфе рассматривается задача (3.1)-(3.2) в предположении, что запаздывание принадлежит фазовому пространству Ъ, которое удовлетворяет аксиоматике Хейла-Като.
Это позволяет обобщить метод развитый в предыдущем параграфе и выписать принцип существования ослабленных решений для задачи с бесконечным запаздыванием.
Четвертая глава посвящена изучению управляемой системы с обратной связью и импульсными характеристиками.
Пусть I = [О, Т] компактный интервал числовой прямой и множество V = {ti, ...,tr} С (О, Г).
Рассматривается система следующего вида :
x'(t) = B{t,x(t),x'(t),u(t)), t Є [0;Т]\>, (4.1)
u'(t) Є C(t,u(t),x{t)), для п.в. t Є [0;Т]\ї>, (4.2)
u(t^) Є $k(u(tk)) Для каждого 1 < к < г, (4.3)
х(0) = <р, u(0) = Vo, (4-4)
где
Уравнение (4.1) описывает динамику траектории х(-) системы, а управление и(-) подчинено дифференциальному включению (4.2) с обратной связью. Предполагается, что в заданных точках t\,...,tr управление испытывает импульсные воздействия, описываемые соотношениями (4.3).
Предполагается, что операторы данной задачи удовлетворяют следующим условиям. Непрерывное отображение Б : [0,Т] х 1" х 1п х Ет —> Жп является липшицевым по четвертой переменной. Для многозначного отображения С : [О, Г] х Жт х Rn -> Kv(Rm) выполнены верхние условия Каратеодори, оно является равномерно непрерывным по третьему аргументу и удовлетворяет условию подлинейного роста. Импульсные мультиотображения являются мультиотображениями с .Назначениями.
Рассматривается множество функций х Є C([0,T],Rn) таких, что каждое сужение хк = x\[tk_utk], к = 1,...,г + 1, где t0 = 0, r+1 = Т принадлежит пространству Cl([tk-i,tk],Rn). Семейство всех таких функций снабженное нормой
г+1
является банаховым пространством и мы обозначаем его С|>([0, Т], Шп) Разрешимость задачи (4.1)-(4.4) сводится к вопросу о существовании точки совпадения для пары отображений, первое из которых представляет собой линейный фредгольмов оператор
I: C([0,T],Rn) -» C([(Mi];Rn) х ... х C([tnT];Rn) х Rn
нулевого индекса вида:
1(х) = (х'ъ...,х'г+1,х(0))
а второе - мультиоператор
G : СЪ({0,Т]Лп) - #(C([0,*i];Rn) х ... х C([tr,T];Rn) х Rn),
определяемый с помощью дифференциальных включений вида:
u'(t) Є C(t,u(t),xk(t)) для п.в. t Є [*jb_i,tjfc], u(**-i) = Фк-і, является композицией мультиотображений с .^-значениями.
При некоторых дополнительных условиях доказывается, что пара (l,G) является а-уплотняющей относительно меры некомпактности Куратовского, что дает возможность применить для ее исследования развитую ранее теорию степени совпадения.
Более того мы получаем утверждение о существовании оптимальных решений задачи (4.1)-(4.4).
Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:
Построена теория топологической степени мультиполей, соответствующих новому классу композиционных мультиотображений в конечномерном и нормированном пространствах.
На основе построенной топологической степени развита теория степени совпадения для компактных, а затем и уплотняющих пар, состоящих из линейных фредгольмовых отображений нулевого индекса и композиций аппроксимируемых мультиотображений.
Методы теории топологической степени применяются к для исследования и решения общих краевых задач для полулинейных функционально-дифференциальных включений в банаховых пространствах.
Методы решения общих краевых задач распространяются на случай функционально-дифференциальных включений с бесконечным за-
паздыванием в банаховом пространстве.
5. Теория топологической степени совпадения применяется для нахождения оптимального решения смешанной управляемой системы с обратной связью и импульсными характеристиками.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Четвертой Международной научной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2005), Воронежской зимней математической школе им. С.Г. Крейна 2006, конференции "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 2006), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу им. Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XVIII"2007, Международной научной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики"(Тамбов, 2007), а также на научном семинаре профессора В.В. Обуховского (ВГУ).
Основные результаты опубликованы в работах [1]-[7], [25]. Из совместных работ [1,6,25] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.
Автор глубоко признателен профессору Обуховскому В.В. за постоянное внимание и советы.
Основные понятия и определения многозначного анализа
Применение геометрических и топологических методов анализа к исследованию различных вопросов теории дифференциальных уравнений имеет давнюю историю и восходит к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. Дальнейшее развитие эти методы получили в трудах М.А. Красносельского, Н.А. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, К. Deimling a, L. Gorniewicz a, J. Mawhin a и многих других исследователей.
С помощью указанных методов оказалось возможным эффективно решать такие важные задачи теории дифференциальных уравнений, как вопросы существования решений, анализ топологической структуры множества решений, исследование непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров, условия существования периодических решений и другие проблемы.
Начиная со второй половины XX века эти методы энергично распространяются на теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что дифференциальные включения являются очень удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были изучены с помощью методов нелинейного анализа в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, А.В. Арутюнова, В.Г. Задорожного, А.И. Булгакова, Е.Л. Тонкова, А.А. Толстоногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin a, A. Cellina, К. Deimling a, L. Gorniewicz a, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других.
Важное место в исследовании дифференциальных и функционально-дифференциальных включений занимают задачи о существовании периодических решений и разрешимости других краевых задач. Для изучения этих вопросов потребовалось развитие ряда важных разделов анализа многозначных отображений.
Существенную роль здесь играет теория топологической степени многозначных отображений. Разработке этой теории для вполне непрерывных многозначных отображений с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, A. Cellina, A. Granas a, A. Lasota и др. Однако исследование различных аспектов теории дифференциальных включений и управляемых систем требует распространения этой теории на более широкие классы многозначных отображений. С одной стороны, для изучения дифференциальных включений в банаховых пространствах весьма эффективным орудием оказывается теория тополо гической степени многозначных отображений уплотняющего типа. С другой стороны, ряд важных задач теории дифференциальных включений и управляемых систем приводят к необходимости исследовать многозначные отображения с невыпуклыми значениями. В частности, отметим в качестве такого мультиотображения оператор, сопоставляющий начальным данным соответствующую интегральную воронку дифференциального включения.
Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов анализа мультиотоб-ражений и их приложениям к общим краевым задачам для функционально-дифференциальных включений и к задаче о существовании оптимального решения для управляемой системы с разрывными характеристиками.
Степень в конечномерном пространстве
В качестве основного орудия при построении топологической степени мультиполей для одного класса мультиотображений будем использовать классическую теорию топологической степени непрерывных однозначных векторных полей в конечномерном пространстве. Напомним (см., например, [16], [17], [18]) ее основные положения.
Пусть Еп - конечномерное линейное топологическое пространство, U С Еп - открытое ограниченное множество. Перейдем теперь к описанию класса невыпуклозначных мультио-тображений, для мультиполей которых мы определим топологическую степень. Нам понадобится ряд топологических понятий (см., например, [11]). Пусть X - произвольное метрическое пространство. Определение 2.2 Множество А С X называется стягиваемым к точке XQ Є Л, если существует непрерывное отображение (гомото-пия) h : А х [0,1] — А такое, что h(x, 0) = х, h(x, 1) = XQ для всех ж Є А Очевидно, что стягиваемыми являются выпуклые и звездообразные множества. Определение 2.3 Пространство X называется локально стягиваемым в точке XQ Є X, если всякая окрестность U точки XQ содержит окрестность Щ, стягиваемую по U к точке. Определение 2.4 Пространство X называется локально стягиваемым, если оно локально стягиваемо в каждой своей точке. Пример 2.5 Всякое объединение выпуклых множеств линейного топологического пространства X локально стягиваемо. Определение 2.6 Множество А С X называется Rs-множест вом, если существует убывающая последовательность {Ап : п = 1, 2,...} компактных стягиваемых мноэюеств такая, что А = Г\{Ап}. Отметим, что множества такой топологической структуры естественно возникают при изучении дифференциальных уравнений и включений. Пример 2.7 Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения следующего вида: (x (t)eC(t,x(t)), [ х(0) = а?0, в предположении, что правая часть С : [0,Т]хМп — Kv(Rn) включения удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и условию подли-нейного роста. Тогда мнооюество решений Е(С, 0, хо) этой задачи является Rg-множеством в банаховом пространстве С([0, Т], Rn) (см., например, [38]). Определение 2.8 (см. [10], [20]) Непустое компактное множество А Є X называется асферичным, если для любого е 0 найдется 8 : 0 5 є такое, что для каждого п = 0,1,... любое непрерывное отображение единичной сферы a : Sn — W$(A), может быть продолжено до непрерывного отображения шара a : Bn+1 - We(.A). Определение 2.9 Множество А С X называется ретрактом пространства X, если существует такое непрерывное отображение (ретракция) г : X — А, сужение которого на А является тождественным, т.е. г{х) = х для всех х А.
Из теоремы Титце-Дугунджи (Теорема 1.8) вытекает, что всякое замкнутое выпуклое подмножество М метризуемого локально выпуклого пространства Е является ретрактом этого пространства. Определение 2.10 Мнооюество А С X называется окрестност-ным ретрактом пространства X, если существует ретракция г : W(A) - А, где W{A) - некоторая окрестность А. Определение 2.11 Вложением пространства X в пространство Y называется такое отображение h : X — Y, которое обладает свойствами: 1 h(X) С Y - замкнутое множество; 2 h : X — h(X) - гомеоморфизм. Определение 2.12 Пространство X называется абсолютным ретрактом, или AR-пространством, если для любого метрического пространства Y и любого вложения h : X — У множество h(X) является ретрактом пространства Y. Если же множество h(X) является окрестностным ретрактом, то пространство X называется абсолютным окрестностным ретрактом, или ANR-пространст-вом.
Отметим, что класс АЛТЯ-пространств достаточно широк. В частности, конечномерный компакт является АЛ -пространством тогда и только тогда, когда он локально стягиваем (см. [11]). Более того, каждое компактное многообразие является А./У.Й-пространством и, если Хо, Х\ - АіУД-пространства и ХоПХі - АіУД-пространство, то XQUXI также является ЛТУЛ-пространством.В работе развиваются и исследуются новые разделы теории топологической степени для достаточно широких классов мультиотображе-ний. В диссертации вводится класс композиционных мультиотображе-ний. Мультиотображения этого класса определяются как композиции аппроксимируемых мультиотображений, возмущенные компактными однозначными отображениями. Отметим, что исследуемый класс отображений достаточно обширен. Он включает в себя мультиотображения с выпуклыми значениями, многозначные операторы сдвига по траекториям импульсных дифференциальных включений и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решений.
Степень совпадения для компактной композиции многозначных отображений
Для указанного класса многозначных отображений с помощью метода однозначных аппроксимаций строится теория топологической степени сначала в конечномерном пространстве, а затем и в линейном нормированном пространстве. Далее эта теория применяется для построения топологической степени совпадения для пары (сначала компактной, а затем уплотняющей), состоящей из линейного фредгольмо-ва оператора нулевого индекса в банаховых пространствах и мультио-тображения являющегося композицией аппроксимируемых мультио-тображений. Изучаются основные свойства степени совпадения для отображений указанного класса и даются приложения к существованию точек совпадения. Развитые методы применяются к ряду задач теории функционально-дифференциальных включений и управляемых систем.
Рассматривается общая краевая задача для полулинейного функционально-дифференциального включения в сепарабелыюм банаховом пространстве. Включения такого типа интенсивно исследуются в последние годы в связи с их важными приложениями в описании управляемых процессов для систем с распределенными параметрами. Для описания краевого условия используется линейный ограниченный оператор и выпуклозначное мультиотображение.
Для исследования общей краевой задачи такого рода строится интегральный многозначный оператор, неподвижные точки которого являются решениями указанной задачи. Исследуются свойства интегрального мультиоператора и устанавливается, в частности, что он является уплотняющим относительно специальной меры некомпактности. Это дает возможность применить для его исследования теорию топологической степени и получить на этой основе существование решения общей краевой задачи. В качестве частных случаев рассматриваются задача Копій и периодическая задача.
Далее построенная теория распространяется на случай функционально-дифференциального включений с бесконечным запаздыванием. Включения такого рода возникают при моделировании специальных классов управляемых систем и широко исследуются в последние годы. Предполагается, что распределенное бесконечное запаздывание принадлежит фазовому пространству, описываемому условиями Хейла-Като. Это также позволяет применить разработанные методы теории топологической степени и получить ряд результатов о существовании решений обобщенной краевой задачи.
В последние годы большое внимание исследователей привлекает изучение дифференциальных уравнений и включений с импульсными характеристиками. Это объясняется их интересными приложениями в теории динамических систем, математической экономике, математической биологии и других разделах современной математики. В диссертации рассматривается управляемая система смешанного типа с обратной связью, динамика которой описывается дифференциальным уравнением с управляющим параметром. Обратная связь задается с помощью дифференциального включения с импульсными характеристиками. Показано, что существование решения данной задачи сводится к существованию точки совпадения уплотняющей пары, состоящей из линейного фредгольмова отображения и многозначного отображения, являющегося композицией аппроксимируемых мультиотображе-ний. Применение разработанной степени совпадения позволяет уста новить существование оптимального решения данной задачи.
Краевая задача для функционально-дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием
Мы будем использовать аксиоматическое определение фазового пространства Ъ, введенное Дж. Хейлом и Дж. Като (см. [36], [37]). Пространство Ъ будет рассматриваться как линейное топологическое пространство функций, заданных на (—оо, 0] со значениями в Е, наделенное полунормой Для любой функции х : (—оо;Т] —» Е и каждого t (—оо; Т], xt представляет собой функцию из (—оо,0] в Е, заданную как xt{9) = x{t + 6), 0є(-оо;О]. Будет предполагаться, что Ъ удовлетворяет следующим аксиомам. (!В1) Если функция х : (—оо; Т] -» Е непрерывна на [0; Г] и хо Є Ъ, то для любого t Є [0; Г] выполнено (0 xt Є В; (гг) функция t н- xt непрерывна; (in) \\xth K(t) sup z(r) + M( )z0b, Q r t где функции К, М : [0; оо) —У [0; оо) не зависят от х, К строго положительна и непрерывна, а М локально ограничена. (ЪО) Существует / 0 такое, что IW0)b fMa для всех ф ЕЪ. Отметим, что при данных условиях пространство Соо всех непрерывных функций из (—00,0] в Е с компактным носителем входит в любое фазовое пространство Ъ ([37], Предложение 1.2.1). Будем предполагать дополнительно, что выполнено следующее условие. (ФС1)
Наконец, будем предполагать выполненным следующее условие. (ВЄ2) Если феВСи \\ф\\вс ф 0, то \\ф\\ъ ф 0. Из этого предположения вытекает, что пространство ВС, наделенное з является нормированным пространством. Мы будем обозначать его ФС.
Простой пример последнего пространства получается, если положить р(в) = &\ (і Є 1. Пусть Е - сепарабельное банахово пространство, Ъ - фазовое пространство и Т 0. Рассмотрим следующую общую граничную задачу для полулинейного функционально-дифференциального включения с бесконечным запаздыванием: x\t) є Ax(t) + F(t, xt), t 0, (3.6) Qx є Sx, (3.7) при следующих предположениях. Линейный оператор А удовлетворяет условию (А) [3.1]. Мультиотображение F : [0, Г] х Ъ -» Kv(E) удовлетворяет следующим условиям: (Floo) для любого ф Є ФЄ мультифункция F(;if)) : [0;Т] - Kv(E) допускает измеримое сечение; (F2OQ) для п.в. t Є [0; Т] мультиотображение F(J, ) : Ж - Kv(E) пн.св.; (F3oo) для любого непустого ограниченного множества ft С 23С найдется функция an е L+[0,T] такая, что \\F(t,1 )\\E :=sup{z;: z Є F{t )} aQ(t) для п.в. t Є [0, Т] и ф Є ft; (F4oo) существует функция к Є L+[0,T] такая, что для каждого непустого ограниченного множества Q С ФС выполнено x{F(t, Q)) к(і)ф) для п.в. t [0,Т], где х - МНК Хаусдорфа в Е и у (П) - модуль послойной некомпактности множества Q.
Покажем теперь, что множество fi равностепенно непрерывно. Заметим, что из соотношения modc(Q) modc(rQ) вытекает, что достаточно доказать равностепенную непрерывность множества TQ. Это, в свою очередь, равносильно тому, что каждая последовательность Ы С (/ - AQ)G?F(Q)) равностепенно непрерывна. Для произвольной такой последовательности {дп} рассмотрим последовательности {хп} сПи {/п}, /п 3 (#п) такие, что gn = {I-kQ)Gfn, п = 1,2,... Из условия (F3oo) следует, что последовательность функций {/„} интегрально ограничена. Из (3.8) вытекает , что для последовательности {хп} выполнено соотношение X({xn(t)}) = 0, V G[0,T] и тогда из условия ( 4 ) получаем, что х(Ш )» = о п.в. е[0Д т.е. последовательность {/п} полукомпактна. Из свойств оператора Коши следует, что последовательность {Gfn} С С относительно компактна и, следовательно, равностепенно непрерывна. Применяя условие (G2), получаем, что последовательность {дп} равностепенно непрерывна.
Установленные свойства мультиоператора Г дают возможность применять для его исследования теорию топологической степени. Мы можем сформулировать следующий общий принцип существования ослабленных решений задачи (3.6)-(3.7). Теорема 3.16 При указанных выше условиях, пусть ограниченное множество Q, С Q((—oo;T};E) не имеет ослабленных решений задачи (3.6)-(3.7) на своей границе 8Q и пусть deg(i — Г, fi) ф 0. Тогда мноэюество ослабленных решений задачи (3.6)-(3.7), содержащихся в Q, не пусто. В качестве примера применения этого принципа рассмотрим следующее утверждение.
Далее, пусть некоторое множество функций Ф С QQ ограничено относительно в. Тогда, применяя свойство (QC), мы видим из формулы (3.12), что соответствующее семейство функций Е = { = Огхф : ф Є Ф} равномерно ограничено на (—оо,0], а значит, по Теореме 3.11 (Ш) ограничено и в пространстве ВС. Это означает, что оператор Q-1 непрерывен на QC. Здесь уравнение (4.1) описывает динамику траектории х(-) системы, а управление и(-) подчинено дифференциальному включению (4.2) с обратной связью. Предполагается, что в заданных точках управление испытывает импульсные воздействия, описанные соотношениями .
