Содержание к диссертации
Введение
I Нелинейный анализ в теории минимальных поверхностей 17
1.1 Принцип множителей Лагранжа в банаховом пространстве 17
1.2 Некоторые теоремы существования и единствен ности решения задачи Дирихле 21
1.3 Теорема Крэндалла-Рабиновича о бифуркации решений нелинейных фредгольмовых уравнений 31
II Метод условного экстремума в теории двумерных минимальных поверхностей 35
2.1 Обобщенный оператор Плато 35
2.2 Свойства обобщенного оператора Плато 40
III Бифуркации минимальных поверхностей, являющихся нуле выми точками обобщенного оператора плато 44
3.1 Разрешимость линеаризованной задачи двумерных минимальных поверхностей 45
3.2 Бифуркации минимальных поверхностей как нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура 56
3.3 Примеры 60
IV Минимальные поверхности с ограничениями 71
4.1 Разрешимость задачи двумерных минимальных поверхностей с ограничениями типа равенств 72
4.2 О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями 82
- Некоторые теоремы существования и единствен ности решения задачи Дирихле
- Свойства обобщенного оператора Плато
- Бифуркации минимальных поверхностей как нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура
- О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями
Введение к работе
Проблема существования минимальных поверхностей возникла в середине 19 века, когда в 1849 году бельгийский физик Жозеф Плато заметил, что если погрузить проволочный контур в мыльный раствор, то образуется пленка, которая по закону поверхностного натяжения принимает в качестве своего положения равновесия форму критической поверхности для функционала площади, называемой минимальной поверхностью, натянутой на контур [18]. В 40 — 50-е годы 19 века Гаусс, Томпсон, Дирихле, Риман, Вей-ерштрасс, Шварц, Дарбу и др.заметили, что граничная задача для дифференциального уравнения гармонических функций в области ГІ плоскости сводится к задаче отыскания минимума соответствующего функционала при условии, что допустимые функции имеют заданные граничные значения. В силу положительной определенности функционала, существование решения последней задачи было признано очевидным и отсюда сделан вывод о существовании решения граничной задачи. В 1869 г. возражение Веиерштрасса сводилось к следующему. Из положительной определенности функционала следует существование его точной нижней грани. Риман, как и его предшественники, считали очевидным, что точныя нижняя грань является точным минимумом, который осуществляет некоторая допустимая функция. Но именно это утверждение и требует проверки. Обоснование удалось Гильберту в 1900 году [17], он обосновал некоторые теоремы существования Римана, не- посредственно доказав, что соответствующая минимальная задача действительно имеет решение.
Только в 1939 году Дуглис, Радо, Курант [17, 18, 36] доказали общие теоремы существования для задачи Плато размерности два.
Для более точного описания результатов диссертации, напомним определение минимальной поверхности. Зададим поверхность радиус-вектором и = и(х, у), (х, у) Є П С R2. Рассмотрим функционал площади S(u) = JVEG-Fidxdy, п где Е = (их, ux),F = (их: uy),G = (иу,иу) — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
Определение. Поверхности, являющиеся экстремальными для функционала площади S, называются минимальными поверхностями.
Выберем на поверхности (локально) конформные координаты. В конформных координатах F = О, Е = G. Записав функционал площади в конформных координатах, получим функционал Дирихле
, . г Е + G D(u) = J —-— dxdy.
В [12] показано, что D(u) > S(u), а равенство достигается тогда и только тогда, когда F = О, Е = G, то есть координаты конформные. Любая экстремаль функционала Дирихле, для которой координаты (ж, у) оказались конформными, является экстремалью функционала площади. Обратное неверно. Для того чтобы получить все экстремали функционала площади, следует рассмотреть все экстремали функционала Дирихле, отобрать из них те, для которых координаты {х,у) оказались конформными, а затем подвергнуть (#, у) произвольной регулярной замене координат.
Итак, задача о существовании двумерных минимальных поверхностей в конформных координатах задается функционалом Дирихле и условиями конформности координат: и2х — и2 = 0, ихиу = 0. Для задачи с фиксированной границей добавляется еще и граничное условие и = ip(s),s Є dCt, где О — двумерный диск.
В конце 70-х — начале 80-х годов 20 века А.Т. Фоменко, а затем А.А. Тужилин, Дао Чонг Тхи повторно провели эксперимент с мыльными пленками. Решена многомерная проблема Плато с фиксированной и деформирующейся границей в терминах бордизмов [11, 32 - 35]. Основная идея — введение стратифицированного объема объясняется тем, что при минимизации "старшего" объема в "младших" стратах могут происходить схлопывания и другие эффекты.
Т. Постон в [36] экспериментально исследовал бифуркацию минимальной поверхности, возникающую при непрерывной деформации одного специального контура, и нашел, что ее можно описать сборкой Уитни.
А.Т. Фоменко и А.А. Тужилин предложили исследовать ветвления графика многозначного функционала площади, построенного на пространстве контуров. Проанализировав пример Т. Постона и проведя физические эксперименты, они обнаружили, что соответствующие бифуркационные диаграммы описываются схемой "ласточкин хвост".
А.А. Тужилин [32, 33] вычислил индексы типа Морса классических минимальных поверхностей.
В 80-е годы A.J. Tromba [38] доказал, что множество функций, удовлетворяющих условиям конформности координат и определенных на данной области, является банаховым многообразием и проводил исследования на этом многообразии с применением теории степени фредгольмовых отображений.
Что касается аналитического метода исследования бифуркаций минимальных поверхностей следует отметить, что в многомерной вариационной теории Морса-Пале-Смейла-Саймонса [25, 38] имеется аппарат позволяющий делать заключения о существовании так называемых "сопряженных контуров"; однако свойство "со-праженности контура " оказывается лишь необходимым условием бифуркации на нем.
С другой стороны, в функциональном анализе имеются эффективные методы исследования бифуркаций решений нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах [1, 2, 5, 15, 16, 24], восходящие к Ляпунову и Шмидту.
В 80 — 90 годы 20 века А.Ю. Борисович применяет функциональные методы исследования проблемы Плато в пространствах
Соболева [3, 4, 34, 35]. Им установлено существование бифуркаций данной минимальной поверхности над прямоугольным контуром; параметрами бифуркации являются размеры контура. Построен оператор минимальной поверхности, действующий в нормальном расслоении, названный автором оператором Плато и ненулевые решения которого реализуют бифуркации минимальных поверхностей.
Основная идея диссертации состоит в применении к проблеме минимальных поверхностей метода условного экстремума в банаховых пространствах, восходящего к работам [13, 14, 22, 23]. В результате задача о существовании двумерных минимальных поверхностей сводится к исследованию на экстремум функционала Дирихле, а в качестве ограничений служат условия конформности координат. Следуя терминологии в [4], получен обобщенный оператор Плато, нулевыми точками которого являются минимальные поверхности в конформных координатах. Подобный подход позволяет исследовать минимальную поверхность, проходящую через данный контур (рассматривается контур, гомеоморфный окружности 51), на существование бифуркаций от нее, но и получить условия, при которых они существуют. При этом не обязательно дифференцировать функционал Лагранжа по нормали к данной поверхности. Метод условного экстремума позволяет также рассмотреть математическую модель минимальной поверхности с "подпоркой", то есть поверхности, удовлетворяющей не только усло- виям конформности координат, но и условию закрепления в одной или в п внутренних точках области определения.
Результаты работы докладывались на конференциях "Международная научная конференция, посвященная А.Д. Мышкису" (2000 г.), Международная конференция Лобачевские чтения (г. Казань, 2001 г.), "Воронежская зимняя математическая школа" (2002 г.), на семинарах математического факультета Воронежского госуниверситета (семинары проф. Борисовича Ю.Г., проф. Перова А.И.), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (семинар академика А.Т. Фоменко).
Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х работах и 3-х тезисах.
Диссертация состоит из 4 глав и 10 параграфов, содержит цитируемую литературу из 41 наименований.
Первая глава посвящена основным положениям теории условного экстремума; некоторым теоремам существования и единственности решения эллиптических краевых задач; теории бифуркаций, используемых в формулировках оригинальных результатов и их доказательствах в последующих главах. В параграфе 1.2 первой главы приведены результаты из монографии Ладыженской О.А. и Уральцевой Н.Н. [21] о разрешимости и оценке решений эллиптических уравнений с ограниченными старшими коэффициентами на липшицевои области Q. Они существенно используется в третьей и четвертой главах. В третьей главе с их помощью удается вычислить размерность ядра линеаризованного обобщенного оператора Плато; в четвертой главе они используются для построения слабого решения в задаче минимальных поверхностей с ограничениями, которое получается путем построения аппроксимаций и доказательства их слабой сходимости.
Во второй главе применяется метод условного экстремума в банаховых пространствах к проблеме двумерных минимальных поверхностей. В результате получен обобщенный оператор Плато, нулевые точки которого являются двумерными минимальными поверхностями в конформных координатах; исследуются его основные свойства.
В параграфе 2.1 определяется обобщенный оператор Плато.
Пусть F\(u) = и2х — Uy, F2(u) = ихиу. Тогда задача о существовании двумерных минимальных поверхностей сводится к исследованию на экстремум функционала Дирихле при условии F\{u) = 0,^2(11) = 0. Граничное условие имеет вид Ви = и — 3, s Є дії.
Следующая лемма показывает в каких Соболевских пространствах действуют функциональные отображения F\,F2 : Лемма 2.1.1. Fi,F2 : W42(Q) -> W2\n).
Положим F(u) = Fi(u) 0 -^(u). Получим задачу D(u) —> extr, < -F(u) = 0, (2.1.5)
Ви = (p(s).
Составим функцию Лагранжа этой задачи
С(и, До, A*) = XqD(u) + \*F(u), (2.1.6) где До Є R, А* Є Wo1*^) ф Wl*(Vi) — множители Лагранжа. Согласно [13], если uq — решение задачи, то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа А и А*, что
Си(щ До, А*) - X0D'(u) + F'»A* = 0, (2.1.7) где F'*(u) : W}*(n) ф W2b(ft) -> W42*(ft) — сопряженный оператор к оператору F'(u) = (2их-^ - 2иу^) ф [их^ -f иу^).
Если wo не является регулярной точкой отображения F, то есть ImF'(uo) не совпадает со всем пространством W21(f2) Ф W21(^), то До = 0 и уравнение Эйлера-Лагранжа в этом случае будет виглядить так: F'(uq)X* = 0.
Если щ — регулярная точка отображения F, то есть когда ImF'(uq) совпадает со всем пространством W^H) ф W^H) то можно считать До = 1 и уравнение Эйлера-Лагранжа задачи запишется в виде D'(uq) + F'*(uo)\* = 0.
Определение 2.1.1. Нелинейный оператор
Ф{и, А*) = (Д0Ап + F'*(u)X*, F(u)) (2.1.12) назовем обобщенным оператором Плато.
В параграфе 2.2 описываются некоторые свойства обобщенного оператора Плато.
Теорема 2.2.1. Обобщенный оператор Плато Ф(и, А*) действует б пространствах
Ф : Wl{ti) х (W2b(fi) 0 И^*(П)) -> L4(fl) х (Wi(fy Є W№)).
Теорема 2.2.2. Отображение F'* билинейно на произведении \%{П) х (W^fi) 0 W^n)).
Теорема 2.2.3.Оператор Ф является С-гладким по совокупности переменных (it, А*).
Следующие две теоремы описывают свойства отображения і7"* относительно и при фиксированном А*.
Теорема 2.2.4. Оператор F'*(-)X* переводит слабо сходящуюся последовательность из пространства W%{0,) в слабо сходящуюся при фиксированном А*.
Теорема 2.2.5. Оператор F'*(-)X* : W%(CL) — W%*(ft) ограничен при фиксированном А*.
Теорема 2.2.6. Оператор F'*(u) : 1^(0) —» W42*(^) ограничен при фиксированном и.
В третьей главе исследуется существование бифуркаций нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура на поверхности за счет введения параметра, являющегося радиусом области в R2. Приводятся примеры бифуркаций кате- ноида, геликоида; отсутствия бифуркаций у плоскости и нулевой минимальных поверхностей.
В параграфе 3.1 строится линеаризация обобщенного оператора Плато и показавается разрешимость линеаризованной задачи.
С этой целью, на минимальной поверхности и{х',у'), заданной в конформных координатах (х',у'), меняющихся в области S С R2 рассмотрим контур, заданный краевым условием и = ip(s) где 7М — двумерный диск радиуса /х, О,^ = {(ж', у') : х'2 + у12 = /і2} С Н С R2,s Є дйц. Изучается бифуркация минимальных поверхностей от данной и, проходящей через данный контур Гм = \и{х'', у') : {х',у') Є дйц]. Область на поверхности, ограниченная контуром Гд, является условной критической точкой функционала Дирихле
Ыи) = \l \Vu\2dx'dy', (3.1.1) где V = (^7, ^7), при условиях Flfi(u) = и%, - up = 0,F2m(u) = Ux'Uyi = 0.
С помощью замены независимых переменных х' = цх,у' = jiy с диска Ci^ перейдем на диск единичного радиуса 7 = {(х->у) ' х2 + у2 = 1}.
Обобщенный оператор Плато в координатах (х,у) выглядит следующим образом
Ф(и, Л*, /і) - {Аи + -If'»A*, Д^(«)). (3.1.4)
Исследуется на существование точек бифуркации задача (3.1.5)
Ф(и,А*,м) = 0,
Линеаризация по (и, А*) задачи в точке (щ, Ад) имеет вид (Ah + ±F'*(h)\*0 + ^F'*(u0)r, frF'(uo)h) = (0,0), (3.1.6) .= 0.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1.3. Пусть выполнено условие эллиптичности по h задачи ' Ah + f2F'\h)\l + j,F'*(u0)C = 0,
Тогда для любого * Є W%* Ф W21*(^) существует и единственно решение задачи (*), принадлежащее W%0(Q), h = h{C). (3.2.1)
В параграфе 3.2 доказывается теорема о бифуркации. Подставим решение (*) виде в уравнения конформности координат uoxhx — Щуку = 0 u0xhy + u0yhx = 0, получим Uox(h(C))x - u0y(h(C))y = 0 uox(h(C))y + uoy(h(C))x = 0. (3.2.2)
Теорема 3.2.1. Пусть (uo,Xq) — минимальная поверхность, заданная б области 7 и соответствующий ей множитель Лагранжа соответственно. Предположим, что: (V о фиксирован и является решением системы (3.2.2); (И) /но, Xq такие, что выполнено условие эллиптичности задачи (*); (iii) (Xl,F(ho)) ф 0, где ho — решение задачи (*), соответствующее множителю о-
Тогда (щ,Хо,[іо) — точка бифуркации минимальной поверхности, являющейся нулевой точкой обобщенного оператора Плато.
В параграфе 3.3 вычислены множители Лагранжа для катеноида, геликоида, проверено выполнение последней теоремы для этих поверхностей (исследовано существование бифуркаций); что касается плоскости и нулевой поверхности, то вопрос о бифуркации остается открытым.
В четвертой главе построена математическая модель двумерной минимальной поверхности и(х,у), определенной на области О, с закрепленной на ней точкой, которая фиксируется условием и(хо,уо) = со = const для некоторой точки (жо,2/о) Є intCl.
В параграфе 4.1 это сделано с помощью метода условного экстремума. Наложение подобного условия приводит к появления нового множителя Лагранжа А Є R. Записывая условие и(хо, г/о)~со — О в интегральном виде, получим, что обобщенный оператор Плато содержит 6 - функцию. С помощью процедуры "сглаживания", то есть замены 6 - функции на соответствующие гладкие функции <, получим серию операторов
Ф(и, Л*, Л) = (Аи + F'»A* + А<5, F{u)). (4.1.5)
Нулевые точки таких операторов образуют последовательность, слабый предел которой и является минимальной поверхностью с наложенным условием и(хо, уо) = Cq.
В параграфе 4.2 четвертой главы исследуется существование бифуркаций минимальной поверхности с закрепленной на ней точкой, где параметром является радиус области О,.
Некоторые теоремы существования и единствен ности решения задачи Дирихле
Уравнение (1-1.4) назовем уравнением Эйлера-Лагранжа задачи (1.1.1), (1.1.2). Оно означает, что точка щ является стационарной точкой функции Лагранжа. Таким образом, теорема 1.1.1 утверждает, что необходимое условие локального экстремума в задаче (1.1.1), (1.1.2) при некотором выборе множителей Дагранжа совпадает с необходимым условием безусловного экстремума по и функции Лагранжа. Пусть имеет место регулярный случай. Условие (1.1.2) и уравнение (1-1.4) означают тогда, что решение щ и множитель Лагранжа А удовлетворяют системе уравнений где Си,С\ — частные производные функции Лагранжа С по и и А соответственно. Таким образом здесь принцип множителей Лагранжа утверждает, что выполнено условие стационарности функции Лагранжа по совокупности переменных (и, А ), ибо в регулярном случае множитель Лагранжа Ао равен единице. Отметим два специальных случая задачи (1.1.1), (1.1.2). Пусть пространство Y конечномерно. Тогда задача может быть записана в такой форме: Множители
Лагранжа в этом случае суть числа До, Лі,..., Ап, так что функция Лагранжа здесь имеет вид Следствие 1.1.1. Пусть функции /о, , /« принадлежат классу С1 б точке щ, удовлетворяющей условиям (1.1.7). Тогда если UQ есть точка локального экстремума в задаче (1.1.6), (1.1.7), то найдутся такие не равные нулю одновременно числа A0,...,An, что линейно независимы, то Ао Ф 0 и можно считать, что До = 1. Другой специальный случай возникает, когда отображение F распадается на регулярное отображение в некоторое банахово пространство и отображение в Rn, то есть когда задачу можно записать в таком виде: Следствие 1.1.2. Пусть функции /о,...,/п и отображение F принадлежат классу С1 в точке щ, удовлетворяющей условиям (1.1.11), (1.1.12). Предположим, что отображение F регулярно в точке щ. Тогда, если точка щ есть точка локального экстремума в задаче (1.1.10) — (1.1.12), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа Ло,..., \п Є R, А Є У , что Будем придерживаться следующих обозначений: Еп — n-мерное евклидово пространство, х = (жі,..., хп) — произвольная точка в нем, всюду п 2; О — ограниченная область в Еп; S (или дО) — граница О; О, — замыкание О; mesfi = / dx\ п \х\ = (Е х2)1/2,х2 = 2,VW = MX = (м ,..., иХп), Аи = Е uXiX.; г=1 г=1 Lp(n) — пространство функций суммируемых с р-ой степенью, норму в нем будем обозначать через uP)n; W(0) — банахово пространство, состоящее из всех элементов Lp(0), имеющих обобщенные производные до порядка т включительно, суммируемые по О со степенью р, норму в нем будем обозначать через и ; о W (О) — подпространство W(0), плотным множеством в ко тором является совокупность всех бесконечно-дифференцируемых функций с носителями в П; Wpfii-) — подпространство, плотным множеством в котором являются все m-раз дифференцируемые функции, обращаещиеся в нуль на дії. osc{u(x),Q,} — maxw(rr) — тти(х) — колебание функции и(х) на области ІЇ. Рассмотрим уравнение вида Lu = ——(aij(x)uXj + щ(х)и) + Ьі(х)иХі + а(х)и = - + /, (1.2.1) при условии, что их старшие коэффициенты ац = a,ji ограничены и измеримы и уравнение (1.2.1) строго эллиптично, то есть Для уравнений вида (1.2.1) рассмотрим задачу Дирихле в п-мерной области ІЇ, то есть задачу об определении функции и, удовлетворяющей в ІЇ уравнению (1.2.1) и на границе S области П условию Определение 1.2.1.Функция и W ip,) называется обобщенным решением, если она удовлетворяет интегральному тождеству при любой функции n Є С00 (17).
Для обобщенного решения задачи (1-2.1) - (1.2.3) из w Є ИЛ21(П), имеем ([21]) Отметим, что если функции fi, f и коэффициенты уравнения (1.2.1) гладкие и функция и(х) является его классическим решением из И7!(}), то она удовлетворяет и тождеству (1.2.4). Верно и обратное: если функция и Є W22(7) удовлетворяет (1.2.4) при любой г) Є С(П) и все остальные функции, входящие в (1.2.4) гладкие, то и(х) удовлетворяет уравнению (1.2.1) почти всюду. о Чтобы тождество (1.2.4) имело смысл при любых п W\ ($7) достаточно потребовать от fi и / следующего: определяющая граничное значение «(ж), допускает продолжение ір(х) на всю область Г2, которое принадлежит W tl) и граничное условие есть
Свойства обобщенного оператора Плато
Укажим некоторые свойства оператора (2.1.12) и его компонент. Теорема 2.2.1. Обобщенный оператор Плато Ф(и,Х ), порожденный задачей (2.1.5) действует в пространствах Доказательство. В силу следствия 2.1.1 вторая компонента оператора — F(u) действует в пространствах F : W%(1) — 14 ( ) 0 И 1 )- Первая компонента оператора состоит из суммы двух функций: Аи из пространства Ь (П) и функции F (u)X из пространства W% (fl), то есть суммируемая со степенью 4/3. Следовательно F (u)X — элемент пространства L ft), так как пространства 1/4(0,) и 1/4/з( 0 изоморфны. Теорема доказана. Теорема 2.2.2. Отображение F билинейно на произведении ШЦП) х (Ш2и(П) 0 W2U(Q)). Доказательство. Для любых А];,А2 Є Wj (fi) Ф И 1 ), «ь 2 R, /і Є Wf"(n) имеем Теорема 2.2.3. Оператор Ф является С00-гладким по совокупности переменных. Доказательство. Найдем частные производные отображения Ф по и и по А . В силу теоремы 2.2.2 имеем для h Є Wi(tt),C Є W% (tt) W} (U). Тогда по теореме Шварца о непрерывной дифференцируемости по паре переменных, Ф — С -гладко по совокупности переменных (и, Л ). Далее, следуя по индукции, получим бесконечную гладкость. Теорема доказана. Следующие две теоремы описывают свойства отображения F относительно и при фиксированном Л . Теорема 2.2.4. Оператор F (-)X переводит слабо сходящуюся последовательность из пространства W%(Q.) в слабо сходящуюся при фиксированном X . Доказательство. Пусть {ип} С W\(П) — слабо сходящаяся к щ последовательность. Поскольку заметим, что \(F (h)X ,un — щ)\ — 0, поскольку {ип} слабо сходится к щ, откуда следует слабая сходимость последовательности {F (un)X }. Теорема доказана. Теорема 2.2.5. Оператор F (-)X ограничен при фиксированном А . Доказательство. Предположим противное, то есть для некоторого ограниченного множества М Є W%(tt) множество F (M)X не ограничено. Это означает, что 3 {F (un)X } :
Последовательность {ип} С М ограничена, значит, существует подпоследовательность {иПк} С {ип}, такая что иПк — щ. По теореме 2.2.4, {F (unk)X } слабо сходится и ограничена, что противоречит предположению. Теорема доказана. Теорема 2.2.6.Оператор F (u) : W l) —» W42 (n) ограничен при фиксированном и. Доказательство. Оператор F {u) : W%(Q,) — 14 (0) линейный и непрерывный, поскольку он порождается дифференциальными операторами и - - : W%(L) — W O). Значит F (u) ограничен. Следовательно F (u) ограничен. Теорема доказана. В предыдущей главе было установлено, что задача о существовании двумерных минимальных поверхностей в конформных координатах с заданной границей эквивалентна нахождению условных критических точек функционала Дирихле при условии Fi(u) — и2х — и2 = 0, F2(u) = ихиу = 0 с граничным условием и — (f(s), s Є 9П. В результате получен обобщенный оператор Плато, нулевыми точками которого являются искомые минимальные поверхности. В данной главе исследуется существование бифуркаций нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура на поверхности за счет введения параметра, яляющегося радиусом исходной области С1 С R2. Подобный метод "введения параметра (или параметров) в контур" развивался А.Ю. Борисовичем в работах [3, 4, 34, 35]. Оператор Плато там полученный строился в терминах нормального расслоения к поверхности. Развитый здесь метод позволяет отказаться от сдвига по нормали от данной поверхности.
Данный метод позволяет также определить множество изменений значений параметров при которых существуют бифуркации. На минимальной поверхности и(х ,у ), заданной в конформных координатах (х ,уг), меняющихся в области S С R2 рассмотрим контур, заданный краевым условием и _ — p(s) где П — двумер-ный диск радиуса //, 0М = {(ж , у ) : ж 2 + у 2 = у?} С 2 С R2,s Є дСіц. Изучается бифуркация минимальных поверхностей от данной и, проходящей через данный контур Г = {и(х ,у ) : (х ,у ) Є дй ,}. Область на поверхности, ограниченная контуром Гм является условной критической точкой функционала Дирихле где V = ( 7, 7), при условиях Flfl(u) = v2, - u2yl = 0,F2fl(u) = ux Uy = 0. Fin, F2M — функциональные отображения, и как показано в главе 2, FiIM,F2fl : И 42(ЗД - И (ЗД.
Бифуркации минимальных поверхностей как нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура
В теореме 3.1.3 было показано, что у краевой задачи (3.1.9) суще-ствуети единственно решение, принадлежащее пространству W tt) для любого ( Є Wl Є И (П), Подставляя это решение в уравнения Из теоремы 3.1.3 следует, что h однозначно определяется , то есть решениями системы (3.2.2). Теперь можно сформулировать теорему о бифуркации минимальной поверхности, заданной на области О. Воспользуемся теоремой о бифуркации Крэндалла-Рабиновича (см. теорему 1.3.2). Теорема 3.2.1.Пусть (щ,\1) — минимальная поверхность, заданная в области Г2 и соответствующий ей множитель Лагран-жа соответственно. Предположим, что: (і) о фиксирован и является решением системы (3.2.2); (п) O,AQ такие, что выполнено условие (3.1.12); (Hi) (Xl,F(ho)) Ф 0, где ho — решение задачи (3.1.9), соответствующее множителю о Тогда (щ, AQ,//O) — точка бифуркации минимальной поверхности, являющейся нулевой точкой обобщенного оператора Плато. Доказательство. Рассмотрим линеаризованный оператор (3). Он действует следующим образом По теореме 3.1.3, существует и единственный /го, то есть ядро линеаризованного оператора (3.2.3) порождается элементом (/го,о). Таким образом dimKer Ф(и,\ )(ио, СИМО) = 1- Покажем, что сос!ітІтФ(и)д )(ио? Ag,/xo) = 1- Пусть элемент Рассмотрим скалярное произведение ядра, а поэтому Тогда так как (ho, Q) Є Ker Ф(и,л )(«о> AQ, MO)- ИЗ ЭТИХ вычислений, в частности, следует самосомряженность линеаризованного оператора Ф(«,А )( О,АО,МО)- Итак, откуда и следует, что коразмерность равна единице.
Теперь покажем выполнение последнего условия теоремы Крэндалла-Рабино-вича, то есть в силу условия 3 теоремы. Таким образом, согласно теореме 1.3.2, (щ, Ад, До) — точка бифуркации минимальной поверхности. Что и требовалось доказать. Далее в силу той же теоремы 1.3.2, имеет место следствие Следствие 3.2.1.Множество решений задачи (3.1.5) вблизи (UQ, Ао,До) состоит из двух кравых Г і и Гг, пересекающихся только в точке (щ, Ад, До)- Причем в силу замечания 1.3.1, кривая Г і совпадает с осью ц, а кривая Г 2 может быть параметризирована с помощью переменной s, \s\ є : где «2(0) = 0,//(0) = /io, /іо — компонента ядра линеаризованного оператора. 1. Исследуем на бифуркации минимальные поверхности: катеноид, геликоид. В конформных координатах эти поверхности записываются следующим образом. Катеноид: Геликоид: 5 — область определения функции u(x,y). Пусть fljj. — двумерный диск радиуса /І, Рассмотрим контур, заданный краевым условием Изучается бифуркация минимальных поверхностей от данной и, проходящей через данный контур Каждя из этих поверхностей является регулярной точкой отображения F = {и2х — и2) 0 ихиу. Образуем функцию Лагранжа Нормальная вариация функции Лагранжа имеет вид
О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями
На минимальной поверхности щ(х, у) (щ — одна из поверхностей: катеноид, геликоид) зафиксируем точку щ(0,0) = CQ = const. Эта поверхность является решением задачи двумерных минимальных поверхностей в конформных координатах с ограничением типа равенств (4.1.1) — (4.1.3). Согласно теории, изложенной в параграфе 4.1, WQ является слабым пределом последовательности {и} — решений задач (4.1.8) при є — 0. Пусть Пм — двумерный диск радиуса д, Рассмотрим контур, заданный краевым условием Каждый элемент последовательности {иє} является нулевой точкой оператора (4.1.5), то есть оператора и проходит через контур (4.2.1). Изучается бифуркация от данной поверхности мо с условием ио(0,0) = 0 = const, проходящей через данный контур С помощью замены независимых переменных (3.1.2) с диска П перейдем на диск единичного радиуса В результате и является слабым пределом последовательности {и}, каждый элемент которой является нулевой точкой оператора и удовлетворяет краевому условию Одновременно, щ можно рассматривать без дополнительного условия
По(0,0) = 0 = const, поскольку в данном случае сначала берется минимальная поверхность, а затем на ней фиксируется точка дополнительным условием щ(0,0) = 0 = const. Тогда щ является нулевой точкой оператора с краевым условием и то есть оператора, не содержащим в первой компоненте слагаемого \6е. Сведение задачи (4.2.2) — (4.2.3) к задаче (4.2.4) — (4.2.5) не противоречит правилу множителей Лагранжа, поскольку согласно этому правилу, множители Лагранжа Л и Л могут быть ненулевыми одновременно, а если Л ф 0, то Л может равняться нулю. Если Л = 0, то оператор (4.2.2) является оператором (4.2.4). Бифуркации задачи (4.2.4) — (4.2.5) исследуются в параграфе 4.3. Таким образом, бифуркации задачи (4.2.4) — (4.2.5) являются бифуркациями исходной задачи, то есть бифуркациями от данной поверхности щ с фиксированной точкой 110(0,0) = 0 = const и проходящей через данный контур Гм = {и{х\у ) : (х ,у ) Є дй }. [1] Вайнберг М.М., Треногий В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногий; Москва, - Наука, 1969. - 528 с. [2] Бернпітеин С.Н. Уравнения в частных производных / С.Н. Бернштейн; Москва, - Мир, 1977. - 382 с. [3] Борисович А.Ю. О функционально-операторном методе исследования бифуркаций минимальной поверхности / А.Ю. Борисович; Деп. в ВИНИТИ АН СССР 24.06.1985г., реф. N4442-85 Деп. [4] Борисович А.Ю. Оператор Плато и бифуркация минимальной поверхности / А.Ю. Борисович // Глобальный анализ и математическая физика. - Воронеж, Изд-во ВГУ, 1987, с. 142-154. [5] Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и степень Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов //
Успехи мат. наук СССР, 1977. - т. 32, N4. С. 3-54. [6] Борисович Ю.Г. Новая редукция двумерной проблемы Плато к фредгольмовому оператору с компактным возмущением / Ю.Г. Борисович, Л.В. Стенюхин // Международная конференция, посвященная 80 - летию А.Д. Мышкису: Тез. докл. - Воронеж, 2000. - С. 62-63. [7] Борисович Ю.Г. Методы глобального анализа в теории бифуркаций минимальных поверхностей / Ю.Г. Борисович, Л.В. Стенюхин // Труды математического факультета ВГУ. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001. - С. 24-32. [8] Борисович Ю.Г. Проблема Плато и условный экстремум / Ю.Г. Борисович, Л.В. Стенюхин // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001. - С. 24-28. [9] Владимиров B.C. Уравнения математической физики /B.C. Владимиров; Москва, - Наука, 1976. - 528 с. [10] Данфорд Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж. Шварц; Москва, - ИЛ, 1958, т.1. - 612 с. [11] Дао Чонг Тхи. Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато / Дао Чонг Тхи // Изв. АН СССР, 1980, 44, N5, - с. 1031-1065. [12] Дубровин В.А. Современная геометрия / В.А. Дубровин, СП. Новиков, А.Т. Фоменко; Москва, - Наука, 1979. - 760 с. [13] Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач. / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров; Москва, - Наука, 1974. - 479 с.
