Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что ряды Фурье являются мощным аппаратом исследования в теории функций, уравнениях математической физики, математическом анализе и других разделах математики.
В настоящее время, в век ЭВМ и средств вычислительной техники, ряда Фурье нашли широкое применение в физике, механике, радиотехнике, теплотехнике и т.д.
Обстоятельное изложение различных аспектов теории ортогональных функций можно найти в известных монографиях А.Зигмунда, Г.Харда, В.Рогозинского, С.Качмажа и Г.Штейнгауза, К.Кахана и т.д. Несмотря на большое число теоретических и
прикладных исследований в теории тригонометрических ортогональных рядов, в настоящее время все еще имеется целый ряд нерешенных проблем. В частности, это относится к теории биор-тогонадьных рядов, где за счет биортогональности можно было бы выражать коэффициенты ряда через дискретные функционалы вместо обычных формул Фурье. Разработка таких методов являет-зя одной из важнейших задач как в теоретическом, так и в при-гаадном аспектах. Это связано с тем, что дискретизация непрерывных функций характерна для многих разделов прикладной математики, таких как вылислительная математика, разработка метода численных решений, теории передачи информации, теорети-іеская радиотехника и т.д.
В этом направлении в 60, 70, 80-е годы были выполнены ?яд исследований А.А.КиселевымлЛ.А.Онуфрлевой, С.Щушбаевым, С.Жолдасовой, Я.И.Шломой, Н.С.Абдуллаевым.игдр. К этим работшл гркшкает и настоящая работа.
Цель работы. Конкретной целью работы являются разработка трех классов методов гармонического анализа периодических функций и одного метода, содержащего произвольный параметр, для гармонического анализа непериодических функций.
Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность. В работе получены следуодие результаты:
Обобщены биортогональные разложения Чебешева-Маркова с помощью введения дискретных функционалов Ып. и 1/^ зависящих от параметра х. . Построены функции, сопряженные функционалам VL„, и 1/п. , получены достаточные условия для разложения f(i) в соответствующий биортогональ-ный ряд.
Для случая, когда f(t) раскладывается в абсолютно сходящийся ряд Фурье, для построения fft) применен обобщенный метод суммирования биортогональных разложений.
изучен класс дискретных функционалов, обобщающих понятие арифметического среднего функции. Построены функции сопряженные к этим функционалам и дан метод гармонического анализа, в котором используются указанные функционалы.
Разработан алгоритм последовательной гармонизации, в котором используется особое символическое исчисление.
Для произвольных двух характеров Дирихле, одного четного и одного нечетного, построен метод гармонического анализа.
Для гармонического анализа непериодических функций применена обобщенная формула суммирования Пуассона, которая связана с формулами арифметического обращения рядов. Получега. формулы, выражающие значения функции $Ц) через дискрєтіше значения ее преобразовашш Фурье (L>) .
- Ь -
- Методы гармонического анализа непериодических функций применены к финитным функциям, а также к функциям, имеющим финитный спектр и подучено условие финитности (6) , выраженное через f (ю) и условие финитности fC1**) t выраженное через fot) .
Все перечисленные результаты исследования являются новыми. Они могут быть использованы для решения задач математического анализа и прикладной математики. Простота полученных формул открывает возможность широкого использования стандартных вычислительных машин для решения задач гармонического анализа.
Общая методика исследований. В работе использовались методы математического анализа, в частности, рядов Фурье. Все полученные результаты были доказаны с использованием свойств функ- ций: функции Мебиуса fiCtt) , числа делителей &*) и характера Дирихле j[(tt, /с) по модулю к- .
Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на межвузовских ежегодных конференциях Терценовские
чтения" (Ленинград, 1987-1990 гг.), научном семинаре проф.Ви-денского B.C. го теории цриближения функций (ЛГПИ,Г988-1989 гг.), научном семинаре проф.Темиргалиева Н. - (КазГУ, 1992 г.), научном семинаре академика Амербаева В.М, (АН РК, 1992 г.), городском научном семинаре проф.Отелбаева М.О. (КазГУ, 1992 г.), научном семинаре профДенсыкбаева А.А. (КазГУ, 1992 г.).
' Публикации. По теме диссертации опубликованы четыре работы (I - 4).
Сурщура диссертации.. Дисертационная работа состоит из введения и трех глав, разделенных на 10 параграфов и списка литературы.
