Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Псевдохарактеры на свободных произведениях и HNN-расширениях групп 24
1.1 Некоторые общие утверждения о нетривиальных псевдохарактерах...24
1.2 Нетривиальные псевдохарактеры на свободных произведениях с объединенной подгруппой 38
1.3 Нетривиальные псевдохарактеры на HNN-расширениях групп 42
Глава 2. Псевдохарактеры на аномальных произведениях групп 50
2.1 Аномальные произведения и их свойства 50
2.2 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях с бесконечной циклической группой 54
2.3 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп 60
Глава 3. Псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими 72
3.1 Преобразования группы с одним определяющим соотношением 73
3.2 Эндоморфизмы свободной группы и связанные с ними понятия 80
3.3 Функции на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов 92
3.4 Псевдохарактеры и квазихарактеры на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов 97
3.5 Частные случаи псевдохарактеров свободных групп, инвариантных относительно некоторых эндоморфизмов 105
3.6 Нетривиальные псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром 113
Список цитированной литературы 125
Публикации автора по теме диссертации 126
- Нетривиальные псевдохарактеры на свободных произведениях с объединенной подгруппой
- Нетривиальные псевдохарактеры на HNN-расширениях групп
- Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях с бесконечной циклической группой
- Псевдохарактеры и квазихарактеры на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов
Введение к работе
Понятие квазихарактера и псевдохарактера на группах.
В диссертационной работе рассматриваются вопросы о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением, на некоторых свободных конструкциях групп и на аномальных произведених различных групп, в том числе на аномальпых произведениях с бесконечной циклической группой и аномальных произведениях локально индикабельных групп, а также о существовании нетривиальных псевдохарактеров свободной группы, инвариантных относительно определенных ее эндоморфизмов.
Нетривиальные псевдохарактеры связаны со многими важными характеристиками групп, например, с вторыми группами когомологий, устойчивостью решений функциональных уравнений и неравенств на группах, шириной вербальных подгрупп.
Термины "псевдохарактер, "а также "квазихарактер "были введены А. И. Штерном па Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году. Вещественным квазихарактером, или просто квазихарактером, называется отображение группы G в пространство действительных чисел R, удовлетворяющее следующему неравенству \f(xy)—f(x) —f(y) \ < є для любых элементов х, у группы G и некоторого є > 0. Псевдохарактером па группе G называется квазихарактер /, для которого выполняется f(xn) = nf(x) для любого элемента х Є G и любого целого п. Нетривиальным называется псевдохарактер /, отличный от аддитивного характера, т.е. для него существуют такие элементы а, Ь Є G, что f(ab) ф f(a) + f(b). Под аддитивным характером понимается такое отображение из группы G, для которого выполняется f(ab) = f(a) + /(6) при любых a,beG.
Можно задавать квазихарактеры и псевдохарактеры, как отображение в произвольное банахово пространство, а не только в пространство действительных чисел. Квазихарактером из группы G в произвольное банахово пространство Е называется отображение / из G в Е, удовлетворяющее следующему свойству: \\f(xy) - f(x) - f(y)\\ < є для любой пары элементов х,у группы G и для некоторого положительного числа є. Псевдохарактером из группы G в произвольное банахово пространство Е называется такой квазихарактер / для которого выполняется
f(xn) = nf(x) при любом элементе х группы G и для любого целого числа п. Определение нетривиального псевдохарактера, а также аддитивного характера в произвольное банахово пространство также аналогичны соответствующим определениям в вещественном случае. Таким образом, нетривиальные псевдохарактеры группы являются "почти" представлениями, на циклических подгруппах они являются представлениями, но при этом они все-таки не являются представлениями в полном смысле.
Если в качестве банахова пространства рассматривается пространство действительных чисел й, то получаются те вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры, которые были определены выше. Как правило, вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры называются просто квазихарактерами и псевдохарактерами. В диссертации показано, что если на некоторой группе существует нетривиальный вещественный псевдохарактер, то на этой группе существуют нетривиальные псевдохарактеры в любое банахово пространство. Таким образом, вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группе в произвольные банаховы пространства эквивалентен вопросу о существовании нетривиальных вещественных псевдохарактеров. Поэтому, в дальнейшем, в работе будет идти речь о вещественных квазихарактерах и псевдохарактерах. Вместо терминов: квазихарактер и псевдохарактер в некоторых работах употребляются термины: квазигомоморфизм и псевдогомоморфизм. Псевдохарактеры и квазихарактеры рассматриваются в работах В. А. Файзиева[11-17], Р. И. Григорчука[7, 8], А. И. Штерна[18), В. Г. Бардакова[9,10].
Понятие псевдохарактера возникло, как алгебраическое обоснование
вопросов о функциональных уравнениях и неравенствах. Такое алгебраи
ческое понятие, как псевдохарактер позволяет
объяснить природу более широких вопросов, выходящих за рамки чисто
алгебраических. Например, вопрос о том, при каких условиях решения
неравенства \\f(xy) — f(x) — f(y)\\ < є при некотором положительном
є близки к решениям уравнения f(xy) — f(x) — f(y) = 0 ставился во
многих работах. В связи с результатами Д. Хайерса [1], С. Уламом [2]
в списке нерешенных задач был поставлен вопрос о том, при каких
условиях решения функционального неравенства \\f{xy)—f{x)—f(y)\\ < є, будут близки к решениям соответствующего функционального уравнения f{xy) — f(x) — f(y) = 0. В работах Бейкера, Лоуренса и Зорцитто [3], А. И. Штерна [4], и Лоуренса [5] изучается вопрос о том, при каких условиях решение функционального неравенства |\f(xy)—f(x)—f(y)\\<є, совпадает с решением соответствующего функционального уравнения.
8 работе Каждана [6] для любого числа п построен пример такого
отображения / дискретной группы G, которое удовлетворяет условию
\\f{xy)-f(x)'f(y)\\ < Vn>н0 при этом не является є-близким ни к какому
представлению этой группы для произвольного числа є. Отображение /
из группы G можно назвать є—близким к отображению I из той же
группы G, в то же пространство, если для любого элемепта д группы
G выполняется неравенство \\f(g) — 1{д)\\ < є. Понятие вещественного
псевдохарактера позволяет дать объяснение существованию отображений,
удовлетворяющих условиям вида \\f(xy) — f(x) — /(у)11 < є, но не
близких ни к какому представлению. Существование или отсутствие таких
отображений влечет за собой устойчивость или неустойчивость уравнения
f{xy) - f(x) - f(y) = 0 на группе G.
Возникает вопрос о том, на каких типах групп будут существовать отбражения, "близкие"к представлениям, но при этом не являющиеся представлениями. Этот вопрос сводится к вопросу о существовании нетривиальных псевдохарактеров на этой группе. Если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, то можно задавать и такие отображения. Это показано в данной работе, также как и связь существования нетривиальных псевдохарактеров с вопросом о устойчивости уравнений на группах. Все вещественные псевдохарактеры произвольной группы G образуют вещественное линейное пространство, которое обозначается PX(G), подпространство аддитивных характеров обозначим через X(G).
Как показано в статье Р. И. Григорчука[7] выполняется изоморфизм векторных пространств HJ$(G) = PX(G)/X(G), где Я^(О) — ядро естественного отображения n-ой группы ограниченных когомологий Я^ (G)
9 : щ (G) —> H^(G, І2), Если на некоторой группе существует нет
ривиальный псевдохарактер, то для этой группы пространство Щ '(G)
нетривиально. Если на некоторой группе размерность факторпространства
PX(G)/X(G) бесконечна, то пространство ЩІ(G) также имеет бесконечную размерность. Используя этот факт, в работе получены некоторые следствия о вторых когомологиях групп.
В работах В.Г. Бардакова [9, 10] исследуются вопросы, связанные с шириной вербальных подгрупп для свободных произведений с объединением, HNN-расширений и групп с одним определяющим соотношением. В частности, в них показано, что для любой вербальной подгруппы V(G) в вышеописанных типах групп, ширина V(G) относительно конечного собственного порождающего множества слов V бесконечна. Для этого используются квазихарактеры( в работах [9,10] используется термин "квазигомоморфизм "). В диссертации доказано, что если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, ширина вербальной подгруппы V{G), содержащей коммутант и определенной конечным собственным коммута-торным( т.е. все элементы из V принадлежат коммутанту G') множеством слов V, имеет бесконечпую ширину относительно V. В частности, коммутант группы, на которой существует нетривиальный псевдохарактер, имеет бесконечную ширину относительно коммутаторов. Определение ширины вербальной подгруппы и собственного множества слов приводится в параграфе 1.1 в той части, в которой рассматриваются связанные с этим вопросом.
Существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторых типах групп рассматривается и устанавливаются в многих работах. В работе В. А. Файзиева([11]) доказывается, что нетривиальные псевдохарактеры существуют на свободных произведениях неединичных групп, за исключением группы ^2*-2г- Там же доказано, что на разрешимых группах не существует нетривиальных псевдохарактеров. Более общий результат -нетривиальные псевдохарактеры не существуют на аменабельпых группах (см. [8],[25]). В статьях (см.[12],[13],[14]) В. А. Файзиева дается описание пространств псевдохарактеров свободной группы, свободных произведений групп. Также В.А. Файзиевым построено пространство псевдохарактеров группы SL(2,Z)\14\, пространства псевдохарактеров полупрямого произведения групп и свободного произведения полугрупп (см.[15],[1б]). Исследуются также матричные отображения групп, аналогичные квазихарактерам([17]), и доказывается, что существование таких нетриви-
альных отображений связано с существованием нетривиальных псевдохарактеров на соответствующих группах.
В работах Р.И. Григорчука ([7, 8]) доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях групп с объединенной подгруппой и HNN-расширениях, при небольших ограничениях на эти группы. В этих работах также доказывается, что для таких групп при тех же условиях выполняется равенство dimH^iG) = со. Как следствия этих результатов получается результат о том, что на группах с одним определяющим соотношением и не менее, чем с тремя образующими существуют нетривиальные псевдохарактеры, и для таких групп также выполняется dimHl^{G) = со В данной работе приводятся доказательства существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях групп с объединенной подгруппой и HNN-расширениях, несколько отличные от приведенных в [7], [8].
Также многие результаты о псевдохарактерах на группах содержатся в работах А.И. Штерна (например, [18]). А.И. Штерном доказано утверждение о том, что для любого квазихарактера / на произвольной группе G функция (р(д) = limn-^col/nf(gn) является псевдохарактером на той же группе G (предложение Зб)[18]). Это утверждение часто используется при построении псевдохарактеров, в том числе, и в данной работе.
Результаты данной работы основаны на построении нетривиальных псевдохарактеров на свободных конструкциях, из которого выводятся утверждения о существовании нетривиальных псевдохарактеров на различных классах групп. Также делаются выводы о ширине вербальных подгрупп относительно собственных множеств слов в этих группах, о их когомологиях. Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях различных групп. Если группа G является аномальным произведением двух групп, одна из которых -бесконечная циклическая, а другая не является нормальным замыканием никакого своего элемента, и для нее выполнена теорема о свободе, тогда группа G обладает нетривиальным псевдохарактером при выполнении некоторого условия на аномалию. Понятие теоремы о свободе приводится в 2-ой главе данной диссертации. Устанавливается существование нет-
ривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп. Рассматривается большой класс групп с одним определяющим соотношением и двумя порождающими, и находятся условия существования на них нетривиальных псевдохарактеров. Тем самым дается частичный ответ на вопрос, поставленный Р.И. Григорчуком в [8]. При этом иссдедуются псевдохарактеры свободных групп, инвариантные относительно определенных эндоморфизмов, и получены некоторые результаты в этом направлении. Доказано, что любая группа с одним определяющит соотношением и нетривиальным центром, за исключением циклических групп, свободной абелевой группы второго порядка, групп, имеющих представление вида < а, |а-1 = аР > и группы < , a\t2 = а2 >, имеет нетривиальные псевдохарактеры. При доказательстве существования нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп используется то, что для локально индикабельных групп выполняется теорема о свободе (это доказано С.Д. Бродским в [19]), и то, что любая конечно порожденная подгруппа локально индикабельных групп обладает гомоморфизмом па бесконечную циклическую группу.
В данной работе при исследовании свободных групп и их эндоморфизмов вводятся некоторые новые технические термины, такие как степенные ряды одного элемента в другом, защищенные и вполне защищенные фрагменты.
Основные результаты диссертации опубликованы, также изложены на международной алгебраической конференции и на семинарах "теория групп"и на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры в МГУ.
Перейдем теперь к более подробному изложению диссртации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов и списка литературы.
Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов.
В пункте 1.1 приводятся определения квазихарактеров и псевдохарактеров, а также утверждения, которые связывают понятия вещественных псевдохарактеров с другими характеристиками групп. Можно задавать псевдохарактеры на группах не только, как функции из группы в прост-
ранство действительных чисел, но и как отображения в произвольное банахово пространство. Доказывается утверждение о том, что существование на группе вещественных нетривиальных псевдохарактеров влечет за собой существование на этой группе нетривиальных псевдохарактерах в произвольное банахово пространство. Далее приводится доказательства следующего, достаточно очевидного факта: существование нетривиального псевдохарактера на группе эквивалентно существованию квазихарактера, сколь угодно сильно отличного от любого аддитивного характера. Вопрос о нетривиальных псевдохарактерах на группах связан с устойчивостью уравнений на этих группах. Приводится доказательство утверждения: если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, уравпение f{xy) — f(x) — f(y) — О не является устойчивым на этой группе. Существование нетривиальных псевдохарактеров связано также с некоторыми топологическими характеристиками групп, а также с их аменабельностью. Псевдохарактеры произвольной группы образуют вещественное линейное пространство, которое обозначается через PX(G), подпространство аддитивных характеров обозначается через X(G). В работе Р. И. Григорчука (7) доказывается изоморфизм пространств 1щ (G) = PX(G)/X(G), где Hf$(G) — ядро естественного отображения п-ой группы ограниченных когомологий #n'(G) 0 : #& (G) — H^n\G, R), названное в [7] сингулярной частью группы #^(G). Таким образом пространство H^(G) изоморфно фактор-пространству всех псевдохарактеров по аддитивным характерам. Также в параграфе 1.1 рассматривается связь между существованием на группе нетривиальных псевдохарактеров и шириной ее вербальных подгрупп. Доказано, что если на группе существует нетривиальный псевдохарактер, то ширина любой вербальной подгруппы V(G), содержащей коммутант и определенной конечным собственным коммутаторным множеством слов V", будет бесконечна относительно V.
В параграфе 1.2 приводится доказательство теоремы о существовании нетривиальных псевдохарактеров па свободном произведепии с объединенной подгруппой. При этом формулировка и доказательство несколько отличается от приведенных в работах Р. И. Григорчука. Доказывается, что на свободном произведении с объединением G = *(А,В,Н,К,(р) существует нетривиальный псевдохарактер, если объединяемые подгруппы
Я и Я" являются собственными, соответственно, в Л и В, и для одного из множителей, например для А выполняется следующее условие: существует элемент а Є А для которого hiahv ф а~1 при любых элементах /їі,/і2> принадлежащих Я. С помощью нормальной формы элементов, которой обладает любой элемент в свободном произведении с объединением ([21, 22, 31]), задается функция, которая прибавляет 1 на слогах, содержащих элементы Ліа/і2, и прибавляет —1 па слогах содержащих элементы вида hia~1fi2, где Лі,/і2 Є Я. Доказывается, что эта функция является квазихарактером, а ее предел является искомым нетривиальным псевдохарактером.
В параграфе 1.3 доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на HNN-расширениях. Группа Gi = HNN(G, t\t~lAt = В) имеет нетривиальные псевдохарактеры, если обе изоморфные подгруппы являются собственными (см.[8]). Приводятся два способа построения нетривиальных псевдохарактеров на HNN-расширениях. Каждый элемент HNN-расширения G\ = HNN(G,t\t~lAt = В) имеет нормальную запись вида М1/г1...^п/ц,([21, 22]) где h— элемент базы G, є,- = ±1; и элементы 1ц являются представителями правых смежных классов G по подгруппе В, если Єі = 1, или G по А, если Є{ — —1. По этому виду мы можем составить сигнатуру элемента д : sqn(g) = (єі,Є2,...,єп). В качестве сигнатуры можно брать только последовательность знаков чисел ег-. Нетривиальные псевдохарактеры можно задавать, используя сигнатуры элементов, или вводя определенные функции, и рассматривая их зпачение на некоторых фрагментах нормальных записей элементов. В данном параграфе рассматриваются и тот, и другой способ.
В теореме 1.3.1 сформулировано следующие условия для существования нетривиальных псевдохарактеров на HNN-распгарении: обе изоморфные подгруппы должны быть собственными, и для одной из этих подгрупп, например для В, существует такой элемент д, что выполняется bigbz Ф д~1-Псевдохарактеры строятся на фрагментах нормальных записей элементов, имеющих вид thkt~l. Задается отображение на базе HNN-расширения, и с его помощью определяется функция на фрагментах thkt~l. С помощью другого способа, т. е. задавая функции на элементах HNN-расширения, рассматривая только их сигнатуры, можно обобщить результат. Для
существования на HNN-расширениях нетривиальных псевдохарактеров достаточно, чтобы обе изоморфные подгруппы были собственными.
В части 2 доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях различных типов групп. Аномальным произведением групп А и В называется фактор-группа свободного произведения А * В по нормальному замыканию некоторого своего элемента гу, который называется аномалией. Аномальное произведение групп А и В с аномалией - элементом свободного произведения w, обозначается, как AWB. Элемент w обычно рассматривается, как циклически несократимый, и в частности, не принадлежащий группам А или Я, и не сопряженный с элементами этих групп, однако в тексте диссертации, в параграфе 2.1 рассмотрены и такие случаи.
В параграфе 2.1 начинается рассмотрение аномальных произведений, в которых одним из множителей является бесконечная циклическая группы Z. Приводится конструкция С. Д. Бродского, использованная в статье [19] для доказательства выполнения теоремы о свободе для локально индикабельных групп. Рассмотрим аномальное произведение ZWB, где произведение всех элементов группы A = Z, входящих в циклически несократимую запись элемента w равно 1. Тогда элемент w принадлежит группе Я - нормальному замыканию группы В в свободном произведении F = А * В. Группа Я является свободным произведением групп Я,— изоморфных копий группы Я, сопряженных с группой Я при помощи г—ой степени порождающего бесконечной циклической группы. В зависимости от записи элемента w определяются числа кип, как минимальный и максимальный индексы, с которыми элементы из групп Я,- входят в несократимую запись элемента w в свободном произведении Я = Щ2 Ві. Для каждого элемента h группы Я можно определить значения функций Bn(h) и Яfc(/l), как произведение всех элементов групп Вп и соответственно Bk, входящих в несократимую запись h. Эти функции играют важную роль при доказательстве утверждений параграфа 2.2.
Основным результатом параграфа 2.2 является теорема 2.2.3. Пусть группа G является аномальным произведением бесконечной циклической группы А =< х >, и группы Я, для которой вьшолняется теорема о свободе, и которая не является нормальным замыканием никакого
своего элемента, с аномалией w. Пусть также сумма всех показателей степеней, с которыми х входит в запись w равна 0. Тогда на группе G существуют нетривиальные псевдохарактеры. Эта теорема является следствием утверждений 2.2.1 и 2.2.2, в которых на группу В накладываются более мягкие условия. Следствием теоремы является, в частности, утверждение 2.2.5, показывающее существование псевдохарактеров на аномальных произведениях двух локально индикабельных групп, одна из которых - конечно порожденная, при накладываемых на эти группы условиях, эквивалентных условиям теоремы. Для всех групп, удовлетворяющим теореме или утверждениям этого параграфа выполняется йгтЩІ{0) = оо(следствие 2.2.6).
В параграфе 2.3 доказывается несколько утверждений о существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп. Напомним, что локально индикабельными называются группы, в которых любая конечно-порожденная подгруппа обладает гомоморфизмом на бесконечную циклическую группу. Таким образом, если А - конечно-порожденная локально индикабельная группа, то она представляется в виде полупрямого произведения А = АХ < х > . Аномалия w во всех утверждения данного параграфа предполагается циклически несократимой, т. е. не сопряженной с элементами из групп А или В. Тогда соотношение w = 1 можно заменить соотношением w\ = l, где tui является циклически несократимым элементом в F = А * В. В основной теореме этого параграфа утверждается, что нетривиальные псевдохарактеры существуют для аномального произведения бесконечной циклической группы А =< х > и локально индикабельной группы В, не являющейся циклической, при условии, что сумма показателей степеней, с которыми х входит в аномалию w равна 0. Также доказывается утверждение 2.3.1: нетривиальными псевдохарактерами обладает аномальное произведение двух локально индикабельных: групп, одна из которых не является конечно порожденной, а другая не является циклической.
В утверждении 2.3.2 доказывается, что нетривиальные псевдохарактеры существуют на аномальных произведениях бесконечной циклической группы с группами - без кручения, на которых существует нетривиаль-
ный псевдохарактер, и которые не являются конечно порожденными. С помощью основной теоремы этого параграфа доказывается утверждение 2.3.4 о существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально индикабельных групп, одна из которых - конечно порожденная, и, таким образом представляется в виде полупрямого произведения: А = АХ < х >, а другая не является циклической, при условии, что произведение всех элементов группы А, лежащих в записи аномалии w принадлежит А.
Основной метод доказательства утверждений этого параграфа - сведение рассматриваемых групп к свободным произведениям с объединенной подгруппой, в случае с основной теоремой используется сведепие рассматриваемой группы к HNN-расширению. С помощью двух технических лемм, одна из которых вытекает го результатов А.А. Клячко ([27]), а другая содержится в работе М. Cohen, С. Rourke ([28]) устанавливается, что при выполнении условий утверждений, рассматриваемые группы также удовлетворяют условиям теорем о существовании нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях с объединением или HNN-расширениях. Используя это, можно получить утверждение 2.3.5, заключающиеся в том, что для всех аномальных произведений, удовлетворяющих условиям теоремы 2.3.3, утверждений 2.3.1, 2.3.4, и большей части групп, удовлетворяющих утверждению 2.3.2 выполняется равенство dimH^iG) = сю, а для всех групп, удовлетворяющих условиям утверждения 2.3.2 dimHl^G) Ф О, где G - соответствующая группа.
В части 3 исследуются группы с одним определяющим соотношением. Из работ Р. И. Григорчука(7, 8) следует, что группы с одним определяющим соотношением и не менее, чем тремя образующими имеют нетривиальные псевдохарактеры. В этих работах ставится вопрос: верно ли, что нетривиальные псевдохарактеры существуют на любой неаменабельной группе с одним определяющим соотношением. В статье [8] предполагается, что этот вопрос может быть связаным со следующим: существуют ли нетривиальные псевдохарактеры свободных групп, инвариантные относительно эндоморфизмов свободной группы. В данной работе вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими действительно сводится к рассмо-
трению эндоморфизмов свободных групп, и построению псевдохарактеров свободных групп, инвариантных относительно этих эндоморфизмов. Таким образом, в данной работе дается частичный ответ на вопросы, поставленные Р.И. Григорчуком, затрагивающий большую часть групп с одним определяющим соотношением и двумя образующими.
Рассмотрим группу с двумя образующими и одним определяющим соотношением G =< , a\r(t, а) = 1 > . С помощью различных преобразований можно добиться того, чтобы сумма показателей степеней, с которыми один из порождающих группы входит в определяющее соотношение г равнялась 0. Под ах(с) для произвольного порождающего группы х и произвольного элемента с мы понимаем суммарную степень, в которой х входит в запись с. В [20] ах(с) обозначается, как 1одх(с). Предположим, что выполняется 0*0") = 0- Тогда можно представить рассматриваемую группу с одним определяющим соотношением в виде HNN-расширения
,afc,...,an|s(afc,...,a„) = l,te,--1 = Щ+і,і = к, к + 1,.....,п — 1 > с базой < aj., - - ,On\s(ak,... ,() = 1 > и изоморфными подгруппами
ojt,...,a„_i > и < ajt+i, — ,От» >(см. [21], [22], [23]). Согласно теореме о свободе ([21], [22], [31]) изоморфные подгруппы будут являться просто свободными группами, т. е. они будут порождаться элементами щ свободно. В дальнейшем, не нарушая общности рассуждений, будем считать, что к = 0.
Согласно теореме Григорчука, для существования нетривиальных псевдохарактеров на HNN-расширениях, достаточно, чтобы обе изоморфные подгруппы были собственными в базе HNN-расширения. Таким образом, остается рассмотреть только тот случай, когда одна из подгрупп, например
< оо,. , Оп-1 > совпадает с базой < ao,.. -, a„|s(ao,..., a„) = 1 > . Можно
показать (см.[23]), что это происходит только в том случае, если соотно
шение s = 1 можно представить или в виде a„ = Uo(ao,...,an_i), где
Uq — слово от порождающих свободной группы Fn =< ao,...,an_i >,
не содержащее буквы а„, или в виде uq = Ї7(аі,...,а„), где U—
слово в порождающих а\,...,а„ не содержащее буквы oq. В остальных
случаях нетривиальные псевдохарактеры на группе G существуют. Будем
рассматривать первый вариант, когда определяющее соотношение s = 1
можно представить в виде о„ = /о(о> > ^n-i)- Тогда исходная группа с
одним определяющим соотношением имеет представление:
G =< aoj »а-п-ъ t\tOi-it~ = сц, і = 1,..., n — 1, tan-it-1 = Щ > .
Эта группа является HNN-расширением, в котором база изоморфна свободной группе Fn =< oq, Gb ч Яп-і > - Одна из изоморфных подгрупп совпадает с базой. Сопряжения элементом задают эндоморфизм свободной группы Fn :, который переводит порождающие Fn в следующие элементы:
аО -* «1»---,^-2 -* Оп-1|в»-1 —* ^о(«о, «ь » fln-i)- (1)
Этот эндоморфизм является мономорфизмом. В дальнейшем, через слово в образующих свободной группы будет обозначаться элемент свободной группы, равный произведению этих образующих. При этом слово в образующих свободной группы, и соответствующий ему элемент свободной группы не различается.
В параграфе 3.1 показано, что если одна из изоморфных подгрупп совпадает с базой HNN-расширения, и на этой подгруппе существует нетривиальный псевдохарактер, инвариантный относительно сопряжения проходной буквой, в данном случае - элементом t, то этот нетривиальный псевдохарактер можно продолжить на все HNN-расширение, т.е. на всем HNN-расширении также существует нетривиальный псевдохарактер. Следовательно, нам надо выяснить, при каких условиях, на свободной группе Fn существует псевдохарактер, инвариантный относительно эндоморфизма (1). Именно вид слова Uq является определяющим для выяснения, существует ли нетривиальный псевдохарактер на свободной группе, инвариантный относительно рассматриваемого эндоморфизма. В параграфе 3.1 это слово разбивается на три части. Через С/од обозначается часть слова Щ, содержащая все буквы aj , принадлежащие несократимой записи элемента С/о» и ограниченная этими буквами. Через Uqi обозначается левая часть слова ?7о, т. е. часть Uot которая лежит слева от Uoo, а через /о2 - правая часть слова Щ. Таким образом, в свободной группе выполняется равенство /То = ЭДиЭДюЭДй» где І/до начинается и кончается буквами of1. Из выбора чисел к = 0, п очевидно, что запись элемента Uq содержит Oq1, поэтому слово Uoo - непустое.
В параграфе 3.1 также вводятся еще некоторые обозначения. Через
Щ,і > О будем обозначать несократимую запись элемента, в который переходит Uq при і-ом применении рассматриваемого эндоморфизма. Таким образом, выполняется равенство Ui = t%Uot~%. Для произвольного элемента v Fn через t/t- будем обозначать элемент, в который переходит v на і-ом шаге, 1 = t%vt~%, в частности имеем vq = v,vi = tvt~l.
В параграфе 3.2 вводятся некоторые термины, связанные с эндоморфизмами свободных групп, и в этих терминах формулируются несколько утверждений об рассматриваемых эндоморфизмах. Любая буква в некотором слове и,-, г > 0, которое является образом какого-либо слова может получиться разными способами. Первый способ, который обозначим, как прямой переход, когда буква a,j+i слова и1+і получается из буквы a,j слова V{. Другой способ, когда буква щ+\ слова і/г+і получается в составе слова Uq из буквы а^ слова v,-. Если слово Vi не содержит букв а„1і, тогда все буквы слова i/J+i получаются прямым переходом. Это происходит только тогда, когда слово и,- не содержит букв а^_1? а слово і?і+і, соответственно, не содержит букв а^1.
Какие-либо сокращения при переходе v,- —* і>г+і возможны только с участием фрагментов, получающихся из букв а^-\. Сокращепия возможны только в двух случаях. Или, если в слове Vi рядом с буквой а^ стоит фрагмент, переходящий в фрагмент слова v,+i, который в слове Vi+і сокращается с фрагментом слова Uq1, или, если слово Щ является циклически сократимым, и слово и, содержит a^i- Таким образом, любые сокращения при переходах произвольных слов v* —* иг+і происходят или между буквами слова vl+i, получающимися в составе фрагмента Uq1, и буквами, получающимися прямым переходом, или между частями слов Uq. Во всех утверждениях части 3 предполагается, что слово Uqq является циклически несократимым. Это, в частности означает, что никаких сокращений с фрагментами 11 и буквами Oq 1, которые в некотором слове v^ і > 0 могут лежать только в таких фрагментах, при переходах любых слов не может происходить.
Под следом Vir(vj),j > і буквы Vir слова Vi в слове Vj будем понимать фрагмент Vj, который является образом буквы vir. Через откатку v_i слова v будем обозначать прообраз v, разумеется только для тех слов, для которых он существует. Для любого слова Vi,i > 0 определены
следы каждой буквы слова v,_i( утверждение 3.2.1). С помощью этого можно доказать утверждение 3.2.2. Если элемент Wj содержит в своей записи фрагмент, графически равный «,-, при i,j > О, то слово ш,_і содержит в прообразе этого фрагмента фрагмент, графически равный слову Vi-i, за исключением, возможно некоторого количества букв по краям, которое не превосходит max(\Uoi, |{7о2І) с одного края. При этом слово Wj-\ содержит фрагмент, графически равный V{-\ не полностью, т. е. не содержит несколько крайних букв, только, если пересекаются 1) множество начал v, и множество концов /о2> 2) множество начал Vj и множество концов Uqi'j 3)множество концов Vi и множество начал Uqi, 4) множество концов Vi и множество начал U{%- Тогда слово Wj-i может не содержать этих фрагментов пересечения. Эти пересечения, в любом случае, не содержат букв а^1. Этот факт широко используется в данной работе, с его помощью вводятся защищенные и вполне защищенные фрагменты, и доказываются связанные с ними утверждения.
Далее вводится определение степенного ряда одного элемента группы Fn в другом. Степенным рядом элемента Vi в слове Wj называется некоторый нерасширяемый фрагмент гуу, представляемый в виде Viiemivjvifeffin, где Щ,епй и vi,begin - произвольные конец и начало слова Vi, возможпо пустые, и
СОВСеМ Необязательно Vi = t^fcegm^end- При переходах Wj — Wj+ijVi -+ Vi+i
степенной ряд слова Vi в Wj переходит в степенной ряд слова Vi+\ в слове Wj+i. При этом степенной ряд может расшириться или сократиться. Основными результатами, доказанными в работе, о степенных рядах являются утверждения 3.2.3 и лемма 1. Несколько степенных рядов одного и того же слова vt- в элементе ti^-, разделенных несколькими буквами, не могут при переходах Wj —> w/j+i, и,- —» v,-+i объединиться в один ряд. Также и один степенной ряд не может разделиться на несколько отдельных. Следовательно, степенной ряд может расшириться или сократиться только по краям. Причем расшириться или сократиться степенной ряд одного слова в другом может только на некоторые фрагменты слов U^,U^, которые, разумеется не содержат букв Oq1. Если крайние фрагменты степенного ряда и,-,^, Virgin содержат или не содержат некоторую букву ап-ъ принадлежащую слову г;г- то все буквы of1, появляющиеся из этой буквы, соответственно содержатся или пе содержатся в соответствующем
степенном ряду Vi+i в Wj+\. Если слово Vi содержит в своей записи буквы ап-ъ т0 ПРИ переходах Wj —» Wj+i, *>г- —» Uj+i, где w— произвольный элемент Fn, степенной ряд Vi+i в любом слове не может расшириться на целые
Степени Uj+i, ПОСКОЛЬКУ Vi+i СОДерЖИТ буКВЫ Oq 1.
Однако, при большом количестве переходов, возможпы очень сильные
сокращения и расширения степенных рядов одного слова в другом. Для
того, чтобы задавать на группе Fn функции, инвариантные относительно
рассматриваемого эндоморфизма, нужно найти слова, степенные ряды
которых не могут сильно расширяться или сокращаться. Для того, чтобы
иметь возможность выбрать такие слова, вводятся понятия защищенных и
вполне защищенных фрагментов. Будем называть защищенным фрагмен
том Vdose произвольного слова V{,i > О любой фрагмент, ограниченный
буквами ао\ т. е. начинающийся и кончающийся на букву а^1. Если
прообраз защищенного фрагмента не принадлежит некоторому степенному
ряду, тогда и сам защищенный фрагмент пе принадлежит степенному
ряду, и наоборот. Защищенный фрагмент, как бы гарантирует сохранение
принадлежности или не принадлежности себя произвольному степенному
ряду при рассматриваемых переходах. <
Вполне защищенным фрагментом элемента г;,- называется такой защищенный фрагмент, который при преобразовании Vi —» v1+i переходит в такой фрагмент слова Vj+i, который сам содержит аналогичный себе защищенный фрагмент. Вполне защищенный фрагмент содержит в себе элементы, которые на следующем шаге образуют новый фрагмент, аналогичный этому, т. е. вполне защищенный фрагмент "воспроизводит"себя, что обеспечивает его защищенность от присоединений к степеппым рядам при любом количестве переходов. Каждый вполне защищенный фрагмент элемента Vj порождает систему вполне защищенных фрагментов во всех последующих Vj+c,c > 0. Любой вполне защищенный фрагмент слова Vj для любого j из некоторой системы вполне защищенных фрагментов слов Vj—ых не может ни сократиться при преобразованиях v^ ни быть присоединенным к степенпому ряду Vi-ых в tyj-ых при всех преобразованиях Wj, ни быть отсоединенным от такого степенного ряда, где w Є Fn. Если запись элемента и,- содержит вполне защищенный фрагмент, то степенной ряд Vi+c в слове Wj+c для любого числа с > 0 не может
расшириться на целые степени v,+c, по сравнению с соответствующим
СТепеНВЫМ рЯДОМ Vi В Wj.
Через слово V[i],i > 0 обозначим фрагмент слова v\, где р -заранее подобранное очень большое число. Фрагмент начинается теми буквами крайне левого вполне защищенного фрагмента vf, из которых получается новый вполне защищенный фрагмент при переходе Vj —» v,-+i, а заканчивается такими же буквами крайне правого вполне защищенного фрагмента vf. Если элемент V{ не имеет вполне защищенных фрагментов, то V[i] = vf~ . В диссертации доказано, что прообраз элемента V[i + 1] содержит в своей записи запись слова V[i]. Это свойство, позволяет в дальнейшем получить некоторые важные утверждения третьей главы. Иногда в работе V[i] обозначается также, как V*.
В параграфе 3.3 с каждым элементом v Є Fn связывается набор функций sf(w), 0±(w), ip±(w), областью определения которых является вся группа Fn. Через sf(w),i > О обозначим количество непересекающихся фрагментов слова w Є Fn, графически равных Vt+l, через sj'(w),i > О обозначим количество фрагментов слова w Є F„, равных Vfl. Функции в±(w) являются суммой функций sf(w) при различных значениях і, т. е. e+(w) = l^si(w)iweFnii = 0,1,..,0-(w) = EisT(w),weFn,i = 0,1,.... Функции ф±(ш) являются пределом значений функций e±(wj) при j -* со Теперь надо подобрать такой элемент v свободной группы Fn, чтобы с помощью этого набора функций, связанных с элемептом v, можно было задать нетривиальный псевдохарактер. Именно этому посвящены следующие два параграфа данной работы.
В утверждении 3.3.1 показывается, что слово V[i + 1] содержит все вполне защищенные фрагменты, которые лежат в образе элемента V[i] : tV[i]t~l, за исключении, возможно начала самого левого и конца самого правого. Утверждения 3.3.2 и 3.3.3 показывают, что если для некоторого і элемент Wj содержит в своей записи фрагмент, графически равный V[i],i > q и слово vq содержит вполне защищенный фрагмент, то и элемент Wj-P,j > р,г — р > q содержит в своей записи фрагмент, графически равный V[i — р]. В утверждении 3.3.4 показано, что если элемент v^ і > 0 содержит в своей записи вполне защищенный фрагмент, а слово Wj,j > 0 содержит фрагмент, графически равный V[«], то слово Wj-\
содержит все буквы a„_i, из которых получаются все вполне защищенные фрагменты слова V[i]. Также, если слово Wj,j > О содержит фрагмент, графически равный V[i], при условии, что vt,i > 0 содержит в своей записи вполне защищенный фрагмент, то слово Wj-i содержит фрагмент, графически равный V[i — 1].
Используя эти утверждения, можно получить некоторые функциональные неравенства, что и делается в теореме 3.3.5. Пусть для выбранного элемента v и некоторого числа q > 1 в записи элемента vq существует вполне защищенный фрагмент. Тогда для любого элемента w группы Fn выполняются следующие неравенства:
4(%i) ^ 4(щ), *тК-+1) ^ 5ГК)
для любых чисел г > q — l,j > 0. Таким образом, функции sf(wj) не увеличиваются "по диагонали", при одновременном увеличении i,j. Эти неравенства влияют на сравнение функций 0±(wj) и 6±(wj+i). Каждое i-ое слагаемое в 9±(wj) не меньше, чем і +1—ое слагаемое в e±(wj+i). При условии, что Vi содержит вполне защищенный фрагмент, вышеописанные неравенства выполняются при любом і > 0. Тогда единственным слагаемым, влияющим на значения функций ^(wj) и O^foj+i), но не подчиняющимся никаким неравенствам является Sq iwj+i)- Если, начиная с некоторого j для всех Wj выполняется 50 (wj) = 0, то значения функций B:k{wj) образуют невозрастающую последовательность неотрицательных чисел, и таким образом имеют предел.
Оставшаяся часть параграфа 3.3 посвящена подбору такого элемента v, для которого выполняется Sq(wj) = 0, для любого слова w Є Fn и при произвольных j > 0. Если /оо ^ о^1, тогда элемент v, содержащий в своей записи фрагмент, равный определенной степени щ является именно таким элементом. Если Uqq ф «о,<7 Є %-, можно взять слово, которое содержит фрагмент, равный очень большой степени а$. В случае, когда С/оо — Oq>9 Ф il можно взять слово, содержащее в своей записи фрагмент, равный некоторой степени Оо, не делящийся на q. Итог параграфу 3.3 подводит теорема 3.3.8. Пусть /оо Ф а$1, пусть также некоторый элемент v группы Fn содержит достаточно большую степень
ао, причем, в случае, когда Uqo = о? эта степень пе делится па q. Пусть также для данного элемента v слово v\ содержит вполне защищенный фрагмент. Тогда значения связанных с данным элементом v функций 9±(wj)ij = 0,1,... для любого элемента w образует невозрастающую последовательность неотрицательных чисел. Следовательно, существуют пределы limj^ooe±{wj)^ и таким образом для любого w Є Fn имеют смысл функции ф+(ги) и ф~(ги).
В параграфе 3.4 приводятся некоторые виды элемента С/Ьо» допускающие появление в некоторых словах вполне защищенных фрагментов. Если запись элемента Uqo содержит букву a^lj, тогда фрагмент произвольного слова, графически равный Uqo является вполне защищенным фрагментом этого слова. Если Uqo содержит букву а~11? то на следующем шаге Uqo переходит в слово, содержащее в качестве фрагмента [/од1, а на следующем шаге в слово, содержащее фрагмент Uqo, таким образом, и в этом случае фрагмент Uqo при рассматриваемом эндоморфизме порождает аналогичный себе фрагмент. Если запись элемента Uq содержит an-i> то фрагмент, графически равный C/ooi7oi/o2#oo также является вполне защищенным фрагментом. Ведь запись этого фрагмента начинается и заканчивается буквами ао, а /<н?7о2 содержит в себе слог ajl1? из которого при переходе получается аналогичный фрагмент. Такие примеры вполне защищенных фрагментов используются, в дальнейшем, при построении функций, из которых получается искомый псевдохарактер. При выполнении одного из вышеперечисленных условий на слоги слова Uq можно подобрать элемент v Є Fn, удовлетворяющий всем условиям теоремы 3.3.8. С вполне защищенным фрагментами вида С/од1 или UqqUqiUq2Uoq пе может происходить никаких сокращений в силу того, что они ограничены буквами uq1, которые, при условии циклической несократимости Uqq не сокращаются.
В тех случаях, когда ф+(ги) и ф~{ги) определены, будем обозначать ф(иі) = ф+(т) — ф~('ш)1 и доказывать, что с помощью ф можно задать искомый нетривиальный псевдохарактер. Также введем обозначения для функций:
s = s+-s-,e = 0+-0-.
Заметим, что выполняется равенство si = sf — s^ = стущ, где av(w) -
функция, суммирующая количество непересекающихся фрагментов записи слова іу, графически равных у±х. Функция <т„ является целочисленным квазихарактером на свободной группе для любого элемента v Є Fn. В лемме 3 данного параграфа утверждается, что сумма любого числа функций oVi является квазихарактером при условии, что все v,- удовлетворяют условию С(1/2). Таким образом, если все элементы V[i] для некоторого v удовлетворяют условию малых сокращений С(1/2), то функция в для данного элемента v является квазихарактером на группе Fn. В лемме 4 утверждается, что предел сходящейся последовательности квазихарактеров на произвольной группе сам является квазихарактером.
Теперь нам нужно подобрать такой элемент v свободной группы Fn, который в зависимости от вида элементов Uq,Uw будет удовлетворять всем вышеперечисленным условиям: элемент v содержит фрагмент, графически равный определенной степени ао, v\ содержит вполне защищенный фрагмент, слова V[i] удовлетворяют условию С(1/2). При этом используются тестовые слова для автоморфизмов свободной группы (см.[24]). Эндоморфизм свободной группы, который переводит тестовый элемент в сопряженный, является автоморфизмом. В третьей главе показано, что рассматриваемое преобразование свободной группы является автоморфизмом, только если Uqo = Oq1. Но такой вариант мы в условиях основных утверждений исключаем из рассмотрения. Поэтому рассматриваемый эндоморфизм не является автоморфизмом, и тестовые элементы не переходят в сопряжепные себе.
В качестве нужного элемента v можно взять тестовое слово v = атйа\ ...атп при г > 1. При доказательстве леммы 5 показано, что такой элемент v действительно будет удовлетворять всем накладываемым условиям. Основная теорема этого параграфа и всего третьего раздела утверждает, что если элемент С/ад- циклически несократимый, и выполняется одно из следующих условий: или С/ад содержит в своей несократимой записи a„ii? или Uq содержит a^i, при дополнительном условиии циклической несократимости элемента Щ, и вьшолнепия неравенства С/од ф Оо\ на свободной группе Fn =< ао, ві,..., a„_i > существует нетривиальный псевдохарактер, инвариантный относительно эндоморфизма этой группы oq — а\,..., dn-2 —> Оп-ь n-i — Uq- Таким образом, группы с одним оп-
ределяющим соотношением, которые после преобразований приводятся к HNN-расширениям, в которых одна из изоморфных подгрупп совпадает со всей базой, и которые удовлетворяет условиям вышеизложепный теоремы, также обладают нетривиальными псевдохарактерами. Как следствие этой теоремы получаем, что для таких групп пространство #6,2 (G) - PX(G)/X(G) является нетривиальным.
В следующем параграфе рассматриваются некоторые частные случаи групп с одним определяющим соотношением и эндоморфизмов свободных групп, допускающих существование нетривиальных псевдохарактеров, инвариантных относительно этих эндоморфизмов. Основной результат этого параграфа- если Щ ограничено буквами oq в положительной степени, и определенная в этом параграфе функция / принимает единичное значение на слове Щ, f(Uo) = 1, то на рассматриваемой свободной группе существует нетривиальный псевдохарактер, инвариантпый относительно рассматриваемого эндоморфизма. Также доказывается утверждение 3.5.2 о существовании нетривиального псевдохарактера на проговедении некоторой группы, уже обладающей нетривиальным псевдохарактером, с бесконечными циклическими группами, инвариантного относительно некоторого эндоморфизма этой группы.
В параграфе 3.6 доказываются утверждения о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром. Это доказывается двумя способами. Эти способы используются при доказательстве теорем 3.5.3 и 3.5.4. Нетривиальные псевдохарактеры существуют на всех группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром, за исключением циклических групп, свободной абелевой группы второго порядка, групп, имеющих представление вида < t, a\tat~l = tp > и группы < t, а\а2 = t2 > .
Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю, доценту, кандидату физико-математических наук А.А. Клячко за постановку задачи и руководство работой.
Нетривиальные псевдохарактеры на свободных произведениях с объединенной подгруппой
Теорема 1.2.1. Пусть G является свободным произведением групп А и В с объединенной подгруппой, с изоморфизмом ір между подгруппой Н группы А и подгруппой К группы В, G = (A,B,H,K,tp). Пусть для одной из групп Л, В, например, для А выполняется следующее условие: существует такой элемент а Є А, что для любых элементов h\,h2, принадлежащих подгруппе Н выполняется неравенство h\ahi Ф а 1. Пусть также группы Н и К являются собственными подгруппами групп А и В соответственно. Тогда на группе G существует нетривиальный псевдохарактер. Доказательство. Для определенности будем считать, что элемент а из условия теоремы принадлежит А. Любой элемент группы G имеет однозначно определенную нормальную форму hci...Cn, где h Є Н,СІ— представители из некоторой выбранной стистемы представителей правых смежных классов ЛиоН или В по К, с ф 1, и элементы с,- и Cj+i при любом і не лежат в одной группе А или В (ем.[21,22,31]). Введем отображение s из группы G в пространство действительных чисел R: Множества G\ и ( принадлежат Л. Покажем, что это определение корректно. Предположим, что существуют совпадающие элементы во множествах G\ и (. Тогда для некоторых элементов i,/i2,h h , принадлежащих группе Я выполняется hiah,2 = hzarxhi. Отсюда следует, что (h hijafahj1) = а-1, что противоречит условию теоремы. Выберем систему представителей правых смежных классов группы А по подгруппе Я и, аналогично, В по К. Для любых представителей правых смежных классов группы А, содержащих элементы вида ah, где h принадлежит подгруппе Я, значение функции s равно 1. Аналогично для любого представителя правого смежного класса группы А, содержащего элементы вида a lh, h Є Я функции s будет принимать значение -1.
Для любого элемента g Е G рассмотрим его нормальную форму g = hc\... Сп, и с помощью нормальной формы определим функцию / на группе G: Докажем, что функция / является квазихарактером. Для этого рассмотрим произведение двух произвольных элементов #1,02 группы G. Пусть нормальные формы элементов 01,02 имеют вид: 0Х = hiXi...xn, 02 = h yi...yki9 = 0102- Обозначим значения функции / на элементах 01,02 через ак (3 соответственно. Сначала переставим элемент / к h\ используя то, что xh = (xhxh " xh xhxh 1 Є Я где xh— выбранный представитель смежного класса, в котором лежит xh. Когда такая перестановка происходит с элементом из В, то это не влияет па зпачение функции /. Когда перестановка происходит с элементом из А, то это может повлиять на функцию / в двух случаях Тогда х = h ak, где h , h— некоторые элементы подгруппы Я. Переставляя элемент /i2 с таким элементом получим h ahhi = h (ahhi)ahh2 хаШ , где h ahh,2 — h (ahh2)ahh2 1 принадлежит группе H,ahh2 представитель правого смежного класса А по Я, причем siahh ) = 1. Аналогично разбирается случай, когда х = a lh, h Є Я - s(x) = —1. Такой элемент х при умножении справа на любой элемент из Я переходит в представитель Xi какого-нибудь смежного класса А по Я, для которого) s(xi) = s(x) = -1. 2) Возможна ситуация, когда в процессе этой перестановки в результате какого-либо умножения xh мы получим представитель смежного класса, на котором функция 5 принимает значение ±1. То есть xh = hza±lh±, откуда следует xh = hzh a±lh . Это означает, что элемент х можно представить $ в виде х = ІЇа±11?. Тогда по определению функции s,s(x) = ±1 и s(x) = s(xh). Таким образом, перестановка элемента /i2 к hi и, вообще, любая перестановка элемента h, принадлежащего объединенной подгруппе Я, не оказывает влияния на зпачение функции /, т. е. /( 1) = /( 7i)- Следовательно, мы можем считать, что / = 1 иgig2 = hiXi...xnyi...yk.
Нетривиальные псевдохарактеры на HNN-расширениях групп
Задавать псевдохарактеры на HNN-расширениях можно, используя только сигнатуру a(h) = (ei,...,en) элемента h = hoteihi...tenhn или рассматривая отдельные фрагменты записи h и лежащих в них представителей правых смежных классов базы Со по А или Я. При этом используется тот факт, что для любого элемента HNN-расширепия существует однозначно определенная нормальная запись. Приведем здесь доказательство вторым из вышеуказанных способов, а также поясним первый. Теорема 1.3.1. Пусть группа G\ является HNN-расширением G\ = HNN(G1t\t 1At = В) с базой G, изоморфными подгруппами А и В, и проходной буквой t. Пусть группы А и В являются собственными подгруппами в группе б?, и пусть для одной из этих групп, например для В, существует элемент g Є G, такой что для любых элементов bufo группы В выполняется следующее неравенство bigbi ф g l. Тогда на группе G\ существует нетривиальный псевдохарактер. Доказательство. Для каждого элемента с группы G\ существует однозначно определенная нормальная форма, такая что элемент с представляется в виде с = hiflhi...ifnhn, где h— элемент группы G, ЄІ = ±1; если ЄІ = 1, то / является представителем правого смежного класса группы G по подгруппе В, если ЄІ = — 1 то hi является представителем смежного класса G по А (см. [22, 21]). При этом записи вида -1,1, t или t, 1, Г"1 в нормальных формах элементов сокращаются. Введем обозначения: с— представитель правого смежного класса Вс группы G по подгруппе В, с— представителем правого смежного класса Ас группы G по подгруппе А. Введем отображение s : G — R из группы G в пространство действительных чисел Л, используя элемент g из условий теоремы. S(c) = 1, ЄСЛИ С Є С?2 = {&10&2,Vfci,62 Є Щі sic) — "І? ЄСЛИ сЕ(?з = {&iP_1b2,V6i,62 Є В}, s(c) = 0, если элемент g пе принадлежит С?2, &3- Проверим корректность определения отображения s. Допустим, что в группе G существует элемент 0, который одновременно принадлежит и МНОЖеСТВу С?2 И МНОЖеСТВу С?з- Тогда Существуют ЭЛемеНТЫ &1,&2,Ьз?&4 принадлежащие подгруппе В, для которых выполняется равенство Ь\до2 = Ьз#-1Ь4, гДе 9 элемент из условия теоремы. Мы можем записать это равенство в виде (4) 4) = 91- Приходим к противоречию с условиями теоремы.
Следовательно, отображение s задано корректно. Для произвольного элемента с Є G\ будем рассматривать его нормальную форму. Определим функцию / на группе G\ с помощью нормальной формы элементов. Для любого с G\ возьмем сумму значений отображения s на всех фрагментах вида thkt x и только па них, встречающихся в нормальной форме элемента с. Под значением отображения s на фрагменте thf1 подразумевается значение s(h), где h, по определению нормальной формы является представителем правого смежного класса группы G по подгруппе В. Заметим, что значение функции / не зависит от выбора системы представителей правых смежных классов G по #, т. к. s(h) = s(bh) для любых элементов h Є Я, 6 Є В по определению отображения s. Заметим также, что фрагменты вида Ш-1 не пересекаются, и, поскольку запись элементов в нормальной форме единственна, функция / на группе G\ определена корректно. Докажем, что функция / является квазихарактером. Рассмотрим произведение двух произвольных элементов сі, Oi группы G\. Предположим, что нормальные формы этих элементов имеют следующий вид:
Посмотрим, какие могут произойти сокращения па стыке элементов сі, С2. Если еп = 1 и h„,h не принадлежит В или єп 1 и ej = 1, то полного сокращения hnh не происходит. Выполняется или fnhnh = tbhnh fi при условии, что hnh! не принадлежит группе Л, и, соответственно, hji ф 1, или frhnh tf 1 = tbt, если произведение hnh принадлежит В, где hnh — согласно введенному нами обозначению представитель правого смежного класса Bhnh группы G по подгруппе В. Также, когда еп = —1, hnh не принадлежит А, или єп = — 1 и Е!Х = —1, по аналогичным соображениям полного сокращения фрагмента hnh! не происходит. В этих случаях для получения нормальной формы элемента с = c\pi надо перенести к началу слова элемент 6, принадлежащий группе В, или элемент а, принадлежащий группе А, используя формулы, вытекающие из определения HNN-распшрения: t la = (p(a)t l, tb = (p l(b)t, где (p— изоморфизм между группами А и В.
Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях с бесконечной циклической группой
В этом параграфе будем рассматривать группу G, которая является аномальным произведением бесконечной циклической группы и группы В, для которой выполняется теорема о свободе. В формулировках утверждений используются введенные нами обозначения Bn(f) и Bk(f). Числа кип выбираются с помощью несократимой записи w также, как и в предыдущем параграфе, как наименьший и наибольший индексы, с которыми элементы групп ВІ входят в несократимую запись w. Также сохраняются все допущения, принятые в предыдущем параграфе. Далее, с помощью предварительных утверждений устанавливается существование нетривиальных псевдохарактеров па аномальных произведениях циклической группы и групп, не являющихся нормальными замыканиями никакого своего элемента. Доказательство. Если для выбранных нами кип выполняется равенство к — п, то элемент w не является циклически несократимым в разложении (1). Тогда w Є В в этом случае к = 0 и, таким образом, w Є BQ. Тогда элемент w можно считать принадлежищим группе А, или принадлежащим группе В.
Если элемент w принадлежит В, тогда группа G = х (В/ w в) является свободным произведением бесконечной циклической группы и факторгруппы В по нормальному замыканию своего элемента w. Из условий утверждения получается, что в данном случае w = l. Следовательно, группа В/ w B неединичная, и по теореме Файзиева на группе G существует нетривиальный псевдохарактер. Если элемент го принадлежит группе Л, то из условию а\... щ = 1, также получаем w = 1, тогда группа G равна просто свободному произведению групп А и В. Поскольку обе группы - неединичные, и не равны Z i, то на их свободном произведении существуют нетривиальные псевдохарактеры. Далее будем считать, что к п. Обозначим через F свобродное произведение А В. Поскольку для группы В выполнена теорема о свободе и элементы из Вп по выбору числа п входят в несократимую запись аномалии гу, то группа Н п-1 в группе Н п/ w я -п является просто свободным произведением групп ВІ,І Є {к,...п — 1} и, таким образом, Hk,n-i w Нк п= 1. Аналогично устанавливается, что пересечение группы Щ+1,п с нормальным замыканием w я »= 1 является тривиальным. Поскольку к п, группа F = А В является HNN-расширением посредством х базы Нк,п с изоморфными подгруппами Hf.,n-i и Щ+1,П Согласно той же статьи [19], если G = HNN(t, S; t lAt = В) для некоторых групп G,A,B,Sn N — нормальный делитель группы G, такой, что NO A = l,NH В = 1, то Отсюда следует, что рассматриваемая нами группа G = AWB также представляется в виде HNN-расширения: где N — нормальное замыкание w в группе #,«- Согласно теореме о существовании нетривиальных псевдохарактеров, достаточным для существования нетривиального псевдохарактера па группе G является следующее условие: группы Щ,п-1 и #fc+i,n должны быть собственными подгруппами в группе Hk,n/N.
Проверим, что при выполнении условий утверждения эти условия также выполняются. Условие, что Hh,n-i — собственная подгруппа в Hk,n/N означает, что существует элемент h принадлежащий Hj-,n/N, такой, что h Hk,n-i - , следовательно, для любого элемента 1 Є Hk,n-i h Ф hi n, n Є N, и тогда произведение hh\ не принадлежит подгруппе N для любого элемента h\ Є Щ,п-і- Таким образом, нам надо найти элемент h группы H n/N, такой что для любого элемента hi Є #jt,n-i произведение hhi не принадлежит N. По условиям утверждения Bn{w) = 1. Возьмем элемент h = xnbx n, где b — произвольный неединичный элемент группы В. Любой элемент п, принадлежащий группе N представляется в виде произведения слов, сопряженных с w или с «Г1 : п = U(w±l)Si} gt Є Я п. В силу ассоциативности умножения числовых функций, для любых элементов 9і,92,9г группы Нк,п выполняется Вп(дід2д3) = Вп(9і)Вп(д2)Вп(д3). По условию Bn(w) = 1, поэтому Щдтд 1) = Bn(g)Bn(w)Bn(g 1) = = Вп(д) 1 Вп(д 1) = 1. Следовательно Вп(п) = 1 для любого элемента п, принадлежащего группе N. Элемент hh\ = хпЬх п -hi nN для любых Лі Є Hk,n-i, nneN т.к., по определению В71 Bn(hi) = 1, и, следовательно, Вп(хпЬх п h\) = b ф 1 = B ijn). Таким образом, группа Hk,n-i является собственной подгруппой в группе Hk,n/N. Аналогично доказывается, что из условия Bk(w) = 1, следует, что группа #&+1,п собственная подгруппа в Hj.jn/N. Таким образом, требуемое условие для существования на группе G нетривиальных псевдохарактеров выполнено. Утверждение 2.2.1 доказано. Обобщим утверждение 2.2.1 с помощью смягчения условий. Утверждение 2.2.2. Пусть G = ДдВ, где А = х , В— группа, для которой выполняется теорема о свободе, и w = афі... щЬі. Пусть ах...щ = 1. Если (Bn(w))B ф В и (Bk(w))B ф В, то на группе G существует нетривиальный псевдохарактер. Доказательство. Если k = п, то, как было показано при доказательстве предыдущего утверждения, или элемент w принадлежит группе В, или w = 1. В первом случае группа G является свободным произведением G = х (В/ w в). Из того, что элемент w принадлежит группе В следует, что Bn(w) = Bk(w) = B0(w) = w, и, значит В Ф w в . Следовательно, на группе G можно задать нетривиальный псевдохарактер, как на свободном произведении двух неединичных групп, одна из которых неизоморфна Z%. Если w = 1, группа G является просто свободным произведением групп А и В, и на ней также существует нетривиальный псевдохарактер.
Псевдохарактеры и квазихарактеры на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов
Теперь мы можем приступить непосредственно к построению псевдохарактера свободной группы Fn, который будет инвариантен относительно рассматриваемого нами эндоморфизма, и таким образом, будет определять псевдохарактер на изначальной группе с одним определяющим соотношением. Мы будем использовать функции ф+ и ф , связанные с подобранным определенным образом элементом v. В силу своего определения, как предела других функций при множественном применении к элементам свободной группы рассматриваемого эндоморфизма, эти функции будут инвариантны относительно данного эндоморфизма. Мы также рассмотрим конкретные примеры вполне защищенных фрагментов в зависимости от того, какой вид имеет запись элемента Щ. В итоге получаются результаты, показывающее, что при тех или иных условиях на элемент Щ искомый нетривиальный псевдохарактер существует. Лемма 1. Пусть слово C/QO - циклически несократимо и содержит букву йпії- Тогда можно подобрать такой элемент v Є Fn, который будет удовлетворять всем условиям предыдущей теоремы. Доказательство. При выполнении условий леммы любая буква an_i, появляющаяся в слове Wj, где w - произвольный элемент Fn, j О образует вполне защищенный фрагмент в слове Wj+i, и таким образом систему вполне защищенных фрагментов во всех последующих Wj- ых. Действительно, при выполнении условий леммы фрагменты произвольного слова, графически равные С/од1 являются вполне защищенными фрагментами. Если слово v содержит букву а \ъ то слово v\ содержит вполне защищенный фрагмент. Поэтому, в качестве искомого элемента v можно взять элемент, содержащий в своей записи букву a li и нужную степень ао- Лемма доказана. Таким образом, мы видим, что при условии а іі Є С/оо из любой буквы ап-і образуются вполне защищенные фрагменты. Попробуем найти другие примеры таких условий, при наложении которых на элемент С/о, появляются вполне защищенные фрагменты в других элементах группы Fn, и ими можно воспользоваться для задания искомых псевдохарактеров на этой группе .
Пусть а Є Щ. При преобразованиях группы Fn элемент о?п_г переходит в слово вполне защищенным фрагментом при условии, что этот внутренний фрагмент а іі не сокращается в произведении U02U01. Тогда любой фрагмент, равный 0 будет порождать в дальнейшем систему аналогичных себе вполне защищенных фрагментов. Для того, чтобы внутренний слог а„1ъ лежащий в фрагменте С/00С/02С/01С/00 между двумя фрагментами t/oo не сократился достаточно потребовать циклической несократимости С/о, можно требовать значительно более мягких условий. Лемма 2. Пусть а іі Є С/о, и слово С/о является циклически несократимым. Тогда любой фрагмент а іі в произвольном слове v Є Fn образует систему вполне защищенных фрагментов в последующих Vi-ых. Следствие.
Пусть а -\ Є Щ, и слово Щ является циклически несок- ратимым. Пусть UQO - циклически несократимо и не равно а . Тогда можно подобрать такое слово v Є Fn, которое будет удовлетворять всем условиям теоремы 3.3.8. Таким образом, при условиях oj -i Є UQO или 0 Є UQ можно найти такие слова v Є Fn, что существовать для любого элемента w Є Fn. Соответственно, для любого w Є Fn будут иметь смысл функции +(w),ip (w). В силу своего задания, как предела значений функций 0±(WJ) от элементов, получающихся при множественном применении рассматриваемого эндоморфизма к w для произвольного элемента w, эти функции будут сохранять свое значение при переходах w помощью которой можно построить нетривиальный псевдохарактер на Fn. Пусть функции: Через av(w) обозначаем функцию, суммирующую количество вхождений произвольного слога г; в ±1 степени в слово w. В свободной группе функция av очевидно является целочисленным С(1/2). Тогда aWl + ... + aWk + ... является квазихарактером на группе Fn. Доказательство. Обозначим через г(х),х Є Fn сумму всех функций ащ, т.е. r(x) = aWl + ... + rWk + — Значение г(ху) может быть не равно сумме г(х) + г(у) в двух случаях: или на стыке слов ху появляются некоторые новые слоги Wi, или сокращаются. Появиться может, максимум, два новых различных слога w Wj. Действительно, пусть, например на стыке слов ху появляется некоторый новый слог Wi. Он не лежит полностью ни в одном из слов х, у, но одно из этих двух слов должно содержать хотя бы половину этого слога, т.е. содержать фрагмент слога Wi, имеющий длину \wi\/2. Предположим на стыке слов ху появляются сразу три новых слога it/,-. Тогда одно из слов х, у содержит половины по крайней мере двух различных слогов w Wj. Это означает, что половина одного из w Wj содержит половину другого. В таком случае, например, Wi содержит фрагмент Wj, причем длина этого фрагмента 1/2т,-, что противоречит условию, по которому все Wi удовлетворяют условию С (1/2). Что касается сокращений, то если некоторый слог w лежащий в слове х полностью сокращается в произведении ху, то это означает, что в слове у лежит слог wf1. Эти слоги взаимно сокращаются и не влияют на значение лежащий в слове х сокращается частично, то дальше гиг- сокращения не идут. При выполнении условия С(1/2) частично сократиться могут не более двух различных слогов у каждого из слов. Пусть частично сокращается слог Wi, лежащий в слове х. Тогда произведение ху после сокращений имеет следующий вид ху = xiw beginy, где xiWifcgin равно оставшейся после сокращений части х. Если в произведении ху, частично сокращается еще и некоторый слог Wj, также лежащий в слове х, то произведение Ху ПОСЛе СОКращеНИЙ Имеет Также и оставшаяся после сокращений часть х имеет вид x Wj gin, т. е. хіЩ,Ьедт = 2Щ,Ьєдіп- Это означает, что до начала сокращений, в слове х пересекались между собой слоги Wi и Wj. Если в произведении ху, частично сокращается еще некоторый слог wq, также лежащий в слове х, то слоги Wi, Wj, wq одновременно пересекаются между собой по одному общему фрагменту в слове х. Когда три слога пересекаются между собой, то один из них содержится в объединении двух других. Тогда, по крайней мере, в одном из этих двух слогов лежит фрагмент третьего слога, имеющий длину не менее половины этого слога. Естественно, что в одном из них он содержится не менее, чем на половину. Это противоречит условию С (1/2). Следовательно, \г(ху) — г(х) — г(у)\ 6. Лемма доказана.
