Содержание к диссертации
Введение
1 Определенияипредварительные результаты 12
1.1 Группа PSL(2,C) и ее действие на H3 C 12
1.2 Двупорожденные подгруппы PSL(2,C) 16
1.3 Теорема комбинирования Клейна—Маскита 18
1.4 Группы с двумя эллиптическими порождающими . 19
2 Достаточные условия дискретности 22
2.1 Группы с двумя локсодромическими порождающими . 23
2.2 Группы с локсодромическим и эллиптическим порождающими 33
3 Условия дискретности для групп Маскита 45
3.1 Группы, порожденные непараболическим элементом и инволюцией 45
3.2 Группы Маскита 54
Литература
- Двупорожденные подгруппы PSL(2,C)
- Теорема комбинирования Клейна—Маскита
- Группы с локсодромическим и эллиптическим порождающими
- Группы, порожденные непараболическим элементом и инволюцией
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение влияния свойств подгрупп и их вложений в группу на строение этих групп — одна из центральных задач теории групп.
Еще в 1897 году Р. Дедекинд [40] изучил группы в которых нормальны все подгруппы. Неабелевы группы с таким свойством он называл гамильтоновы-ми в честь Гамильтона — создателя алгебры кватернионов, в структуре которой одна из гамильтоновых групп — группа кватернионов — играет ввжнейшую рольь
В 1903 году Г. Миллер и Х. Морено [41] описали конечные группы, в которых все собственные подгруппы абелевы.
В 1926 году О.Ю. Шмидт [26] обобщил их результаты, классифицировав все конечные группы с нильпотентными собственными подгруппами.
Соответствующее направление в теории конечных групп, связанные с описанием классов групп, в которых все подгруппы (или их определенная часть) обладают теми или иными свойствами, получило дальнейшее плодотворное развитие. Одним из главных результатов этого направления является классификация групп, все локальные подгруппы которых разрешимы [38].
Вслед за упомянутой выше статьей Шмидт опубликовал обобщение результата Дедекинда, а именно, классификацию групп, в которых есть ровно один класс сопряженности неинвариантных подгрупп [25]. Эти исследования были продолжены в ряде работ отечественных и зарубежных авторов.
Естественным обобщением гамильтоновых групп является класс мета-гамильтоновых групп, состоящий из групп, в которых нормальны все абелевы подгруппы.
Начало изучению метегамильтоновых групп положила работа Г.М. Ро-малиса и Н.Ф. Сесекина [15]. Конечные ненильпотентные метагамильтоновы группы классифицировал В.Т. Нагребецкий [13]. Конечные нильпотентные метагамильтоновы группы описаны в работе А.А. Махнева [12]. Бесконечные метагамильтоновы группы, а также обобщения как конечных, так и бесконечных метагамильтоновых групп рассматривались в работах различных авторов, из которых отметим работы СН. Черникова [22], Н.Ф. Кузенного и Н.Н. Семко [9], F. De Mari, F. De Giovanni [32]. Наиболее "свежие"результаты на эту тему содержатся в [29].
К этой теме примыкают и результаты настоящей диссертации.
Напомним, что подгруппа A группы G называется независимой, если NG(B) ^ NG(A) для каждой неединичной подгруппы В из A.
Независимыми подгруппами, очевидно, являются группы простых порядков, нормальные подгруппы, дополнения групп Фробениуса. Другими примерами независимых подгрупп служат силовские 2-подгруппы в простых группах L2 (2m), Sz (22m+1) иU:i(2m).
М. Сузуки [37] классифицировал конечные группы четного порядка с независимыми силовскими 2-подгруппами.
Л.И. Шидов [23] описал конечные группы, в которых независима каждая нильпотентная подгруппа, а Х.Я. Уначев [20] — конечные группы, в которых независимыми являются все i-максимальные подгруппы при і = 1, 2, 3. В работе А.Х. Журтова [7] содержится описание конечных простых групп с независимыми циклическими 2-подгруппами. Некоторые подходы к проблеме классификации конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами предприняты в работе Л.И. Шидова [24].
Тем не менее, до последнего времени задача описания конечных групп, в которых независимы все абелевы (соответственно, все неабелевы) подгруппы, оставалась нерешенной.
Цель диссертации. Получение классификации конечных групп, все абелевы (соответственно, все неабелевы) подгруппы которых независимы.
Методы исследований. Используются методы абстрактной теории групп.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Они имеют теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "МАЛЫДЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ" (Новосибирск, 2013 год), на семинаре "Теория групп" Кабардино-Балкарского государственного университета, на 8-й и 9-й Международных школах-конференциях (Нальчик, 2010 год; Владикавказ, 2012 год) по теории групп, на 18-й и 19-й Международных алгебраических конференциях (Нальчик, 2009 год; Челябинск, 2011 год).
Основные результаты диссертации.
-
Доказано, что в конечной группе G все неабелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда G — метагамильтонова.
-
Получено исчерпывающее описание конечных групп, все абелевы подгруппы которых независимы.
Оба основных результатов опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
Публикации. Результаты работы содержатся в [42-46], из них три работы [42-44] опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем и лемм привязана к нумерации глав, разделов и подразделов работы. Текст диссертации содержит 48 страниц, включая библиографию, которая содержит 46 наименований.
Двупорожденные подгруппы PSL(2,C)
Пусть М не является единичным элементом Id и элементом —Id. Он называется эллиптическим, если tr2(M) є [0;4); параболическим, если tr2(M) = 4; локсодромическим, если tr2(M) є С\ [0;4]. Эллиптический элемент называется примитивным, если tr2(M) = 4cos2(7r/n) для некоторого п є N, и непримитивным, если tr2(M) = 4cos2(7r;/n) для таких к,п є N, что 1 к п/2 и (А;,п) = 1. Локсодромический элемент называется гиперболическим, если tr2(A) 4, и строго локсодромическим в противном случае. На группе SL(2, С) рассмотрим топологию, индуцированную нормой . Напомним, что PSL(2,C) = SL(2,C)/{±Id}. Элемент этой группы называется эллиптическим (в том числе примитивным или непримитивным), параболическим или локсодромическим (в том числе гиперболическим или строго локсодромическим), если таким является его представитель в SL(2,C). В дальнейшем мы не будем различать матрицу М є SL(2,C) и класс эквивалентности {±М} є PSL(2,C). Группа G PSL(2,C) называется дискретной, если она является дискретным множеством в фактортопологии.
Рассмотрим модель Пуанкаре гиперболического пространства Є3, т.е. множество {(z,t) : z Є С, t 0} с метрикой ds2 = -—L_ . Множество Ж3 будем называть абсолютом и отождествлять его с расширенной комплексной плоскостью С. Эта модель конформна. Геодезическими в ней являются дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту, и лучи, перпендикулярные абсолюту. Геодезическими гиперплоскостями - полусферы, перпендикулярные абсолюту, и полуплоскости, перпендикулярные абсолюту.
Если геодезические \ и 2 имеют общую точку на абсолюте, то угол между ними положим равным нулю. В противном случае существует единственная перпендикулярная им геодезическая 4. Углом между i и 2 назовем величину двугранного угла, образованного гиперплоскостью, содержащей \ и 3, и гиперплоскостью, содержащей 4 и 4.
Легко видеть, что непараболические элементы, и только они, имеют две различные неподвижные точки в С, а параболические элементы, и только они, - ровно одну (см., например, [1, 4.3]). Для локсодромического элемента выделяют притягивающую и отталкивающую неподвижные точки. Точнее, пусть д - локсодромический элемент и z\,Z2 Є С - его неподвижные точки. Точка z\ называется притягивающей, если Hmn_ 0O5 n(z) = z\ для всех z Є С \ { j. Соответственно, точка Z i называется отталкивающей. Отметим, что притягивающая неподвижная точка элемента д является отталкивающей неподвижной точкой элемента д-\
Осью непараболического элемента д назовем геодезическую в Н3, соединяющую его неподвижные точки в С, и будем обозначать ее д. Ось д инварианта относительно действия д. Более того, если д -эллиптический элемент, то д - множество его неподвижных точек.
Непараболический элемент д сопряжен в PSL(2,C) элементу вида h = , где % 1 и -7г ip ТТ. Обозначим тд = \пя и (fig = if. Величины Тд и (fig называются величиной сдвига и углом поворота элемента д. Заметим, что если д - эллиптический элемент, то угол (fig определен с точностью до знака. Действительно, 7-1 7 7 7-1 /0 - 1 \ в этом случае % = 1 и h = khk , где к = є PSL(2,C). 1 0 Поэтому д одновременно сопряжен h и h-l. Тем не менее, корректно определена величина cos(pg. Группа G PSL(2,C) называется элементарной, если существует конечная G-орбита в Н3 U С. В противном случае группа G называется неэлементарной. Для группы G PSL(2,C) и точки р є Н3 U С обозначим через Gp стабилизатор р в G. Полную классификацию элементарных дискретных групп дает следующая теорема. Теорема 1.1. [4, 2.1] Пусть G PSL(2,C) - элементарная дискретная группа. Тогда имеет место один из следующих случаев: (1) группа G конечна и имеет неподвижную точку в Н3; (2) G = Gp для некоторого р є С; (3) существует G-орбита в С, состоящая из двух точек. В этом случае имеется такая подгруппа Н G индекса 2, что Н = Нр для некоторого р є С. Следующая теорема позволяет свести вопрос о дискретности неэлементарной группы к изучению ее двупорожденных подгрупп. Теорема 1.2. [4, 2.4] Пусть группа G PSL(2,C) не элементарна. Тогда следующие утверждения равносильны. (1) Группа G дискретна. (2) Каждая подгруппа с двумя образующими в G дискретна. Эта теорема была установлена Т. Йоргенсеном [12] в 1977 г. Отметим, что он использовал определение элементарной группы, отличное от того, которое дано выше. А именно, в [12] группа называется элементарной, если коммутатор любых двух ее элементов бесконечного порядка имеет след равный двум. Геометрический смысл этого определения объясняет следующее предложение.
Теорема комбинирования Клейна—Маскита
Достаточные условия дискретности для подгрупп PSL(2,C), порожденных двумя эллиптическими элементами, были установлены Ф. Герингом, К. Маклаханом, Г. Мартином и А. А. Рассказовым (cм. теоремы 1.5 и 1.6). Для подгрупп PSL(2,C), порожденных локсодромическим и эллиптическим элементами, такое условие было получено в параграфе 2.2. В данном параграфе эти результаты улучшаются для случая, когда эллиптический порождающий является инволюцией, т. е. элементом второго порядка или, эквивалентно, элементом с нулевым следом.
Прежде всего покажем, что в любой группе с двумя порождающими, один из которых является инволюцией, существует подгруппа специального вида, наличие некоторых свойств у которой влечет их наличие у самой группы.
Доказательство. Предположим, что Н - неэлементарная группа, т. е. для любой точки р є Є3 U С ее орбита Н(р) бесконечна. Поскольку Н(р) с G(p), утверждение (1) доказано. Предположим, что Н - дискретная группа. Покажем, что подгруппа Н имеет индекс не более двух в группе G. Рассмотрим гомоморфизм Ф : G — Z2, который сопоставляет элементу W = fSlgfl---fSmgtm вычет Ф(гю) =t\ +... +tm mod 2. Заметим, что кегФ = Н. Из теоремы о гомоморфизме следует, что G/H = Ф(С) Z2. Таким образом, группа G имеет дискретную подгруппу конечного индекса. Следовательно, G - дискретная группа. Утверждение (2) доказано. Предположим, что Н = (/) (h), т.е. группа Н является сво бодным произведением циклических групп, одна из которых порож денна элементом /, а другая - элементом h. По лемме 2.7 из [14], G = (/) (д). Утверждение (3) доказано. Лемма 3.2. [7] Пусть f є PSL(2,C) - нетривиальный непараболический элемент, д є PSL(2,C) - инволюция и h = gfg l. Тогда имеет место равенство S(f, h) = 2S(f,g). Лемма 3.3. [2 ] Пусть f є PSL(2,C) - нетривиальный непараболический элемент, g є PSL(2,C) - инволюция и h = gfg l. Тогда (1) если 0(f,g) 7г/4, то 6(f,h) = 26(f,g); (2) если 6(f, g) 7г/4, mo 6(f, h) = IT — 26(f, g). Доказательство. Обозначим 7 = j(f,g) и (3 = (3(f). Поскольку элементы f и h сопряжены, то /3(h) = (3. Рассмотрим два случая. Предположим, что / и h имеют общую неподвижную точку в С. Тогда 9(f,h) = 0. По предложению 1.1, (f h) = 0. Используя тождество (2.2) из работы [7], 7(/, h) = 7(/, д) {l{fi д) P(f) ) 5 (3.1) видим, что 7(7 Р) = 0. Значит, 7 = 0 или 7 = Р. Пусть 7 = 0. Из предложения 1.1 следует, что элементы / и д имеют общую неподвижную точку в С. Таким образом, 9(f,g) = 0 и 9(f, h) = 0 = 29(f, д). Пусть 7 = /3. Вновь в силу предложения 1.1, / и д не имеют общих неподвижных точек в С. Применим вторую формулу из леммы 1.2 для этих элементов:
На рисунке 3.1 для значений m = 3, m = 4 и m = 12 разными штриховками выделены полосы и криволинейные треугольники. Легко видеть, что точки, принадлежащие полосе, и только они, имеют координаты, удовлетворяющие неравенству (3.5) для соответствующего т; точки, принадлежащие объединению полосы с криволинейным треугольником, и только они, имеют координаты, удовлетворяющие неравенствам из условия (1) или условия (2) теоремы 3.1 для соответствующего т.
На рисунке 3.2 для значений т/ = 1, т/ = ті и т/ = Г2 разными штриховками выделены полосы и некоторые множества. Заметим, что точка принадлежит полосе тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют неравенству (3.6) для соответствующего Tf; точка принадлежит объединению полосы с множеством тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют неравенствам из условия (1), условия (2), условия (3) или условия (4) теоремы 3.2 для соответствующего Т/.
Группа (/, g) PSL(2,C) называется группой Маскита, если элемент / имеет две неподвижные точки zi, Z i є С и g(zi) = Z i. Впервые эти группы исследовались Б. Маскитом в 1989 году (см. [18]) и, на сколько известно автору, до сих пор нет исчерпывающего ответа на вопрос: при каких условиях на порождающие такая группа является дискретной? В данном параграфе мы дадим частичный ответ на этот вопрос.
Прежде всего отметим, что условие на группу быть группой Мас-кита накладывает весьма жесткие ограничения на один из ее порождающих. А именно, имеет место альтернатива, указанная в следующем предложении.
Предложение 3.1. [18] Пусть (/, ?) - дискретная группа Маски-та. Тогда либо f - эллиптический элемент порядка 2, 3, 4 или 6, либо g - инволюция.
Замечание 3.1. Поскольку неподвижные точки эллиптического элемента являются неподвижными точками для его степеней, имеют место следующие утверждения: (f,g) элементарна. В самом деле, в этом случае элемент g переставляет неподвижные точки элемента f, принадлежащие абсолюту. Эти точки и образуют конечную (/, ?) -орбиту. Следовательно, группа (/, ?) дискретна тогда и только тогда, когда j не является эллиптическим элементом бесконечного порядка.
Для первого случая из альтернативы предложения 3.1 известно достаточное условие дискретности.
Теорема 3.3. [18] Пусть (/, ?) - группа Маскита и j - эллиптический элемент порядка 2, 3, 4 или 6. Если g - примитивный эллиптический, параболический или гиперболический элемент, то (/, ?) - дискретная группа. Для того же случая имеет место достаточное условие недискретности, полученное Е.Я. Клименко в [19]. Теорема 3.4. [19] Пусть (/, ?) - группа Маскита и j - эллиптический элемент порядка 2, 3, 4 или 6. Если g - непримитивный эллиптический элемент, то (/, ?) - недискретная группа. Таким образом, остается открытым вопрос о дискретности тех групп Маскита (/,#), для которых / - эллиптический элемент порядка 2, 3, 4 или б, и g - строго локсодромический элемент. В дальнейшем нас будет интересовать именно этот случай. Как показали Ф. Геринг и Г. Мартин в [7], определение группы Маскита можно переформулировать в терминах параметров. Лемма 3.4. [7] Группа (f,g) PSL(2,C) является группой Маскита тогда и только тогда, когда par(/, д) = ((3,(3,(3 ) и (3 ф 0.
Группы с локсодромическим и эллиптическим порождающими
Если H/Z коммутативна, то заключение леммы верно, поэтому по лемме 2.1.1 силовские 2-подгруппы в Я и H/Z неабелевы и, следовательно, можно взять z из центра силовской 2-группы. Если теперь Я не является 2-группой, то пусть у — элемент нечетного простого порядка из центра Я.
По доказанному, Я/ (у), — гамильтонова группа, поэтому силовская 2-группа из Я — прямое произведение группы кватернионов на элементарную абелеву группу. Кроме того, любая силовская подгруппа нечетного порядка из И изоморфна силовской подгруппе из H/Z и поэтому абелева. Таким образом, Я — гамильтонова группа и заключение леммы справедливо. Поэтому можно предложить, что Я является 2-группой.
По лемме 2.1.1 H/Z является прямым произведением группы кватернионов Q на элементарную абелеву 2-группу. Если все инволюции из Я лежат в центре Я, то любая циклическая подгруппа из Я нетривиально пересекается с центром Я и значит нормальна.
В этом случае Я — гамильтонова и заключение леммы справедливо. Поэтому можно считать, что Я содержит инволюцию и, не лежащую в центре И. Тик как H/Z гамильтонова, то [и, Я] = Z. Пусть vZ — инволюция из Q. Если гпорядки 4, то Q обладает максимальной циклической подгруппой , что противоречит лемме 2.1.2 и поэтомуv2 = 1.
Далее, если y-Z элемент порядка 4 в И/Z, то y2 = v или y2 = vz и в любом случае, v перестановочен с y. Так как Н порождается элементами порядка 4, то v Є Z(H) и поэтому (v7u) H. С другой стороны, [и, Н] = (Z) (v,u). Полученное противоречие доказывает лемму. Предположим, что теорема неверна и обозначим через G минимальный противоречащий пример. Пусть F - подгруппа Фитинга группы G, т.е. ее наибольшая нильпотентная нормальная подгруппа.
Доказательство. Предположим противное. Тогда G неразрешима и по лемме 2.1.5 содержит инволюции. По лемме 2.1.9 централизатор любой инволюции из G нильпотентен и, поэтому, G удовлетворяет условиям леммы 2.1.4.
Если S силовская 2-подгруппа из G, то по лемме 2.1.9 S - расширение группы порядка 2 посредством абелевой группы, поэтому по лемме 2.1.4 G обладает нормальной подгруппой Я нечетного индекса, изоморфной А6, L2(7) ИЛИ L2(2m) для некоторого т (силовские 2-подгруппы других групп из заключения леммы 2.1.4 не являются абелевыми расширениями группы порядка 2). Поскольку любой автоморфизм Н7 централи-зирующий силовскую 2-подгруппу, является внутренним (лемма 2.1.6), то Н = G и G удовлетворяет условию (3) заключения теоремы, вопреки
Если CG(f) = F для любого нетривиального / Є F, то G - группа Фробениуса и дополнение к F нильпотентно по леммам 2.1.7 и 2.1.9, т.е. G удовлетворяет пункту (2) теоремы.
Поэтому существует 1 ф f Є F, для которого CG{f) і F. Можно считать, что / — элемент простого порядка. Пусть х — р — элемент из CG(f)\F. Так как CG(f), нильпотентная группа, содержащая F, то х централизует Op (F). Если (Op,(F)) ф 1, то по лемме 2.1.9 CG(Op/(F))-нильпотентная нормальная подгруппа в G, т0 есть х Є CQ(OPI(F)) = F, что противоречит выбору х. Поэтому Op {F) = 1 и F -р - группа.
Пусть С = {у Є Gl [F7y] Ф(Р)}, где Ф(Р) - подгруппа Фраттини F. По лемме 2.1.3, любой р — элемент из С централизует F и, поскольку F является р-группой, то С - р — группа. Так как С G и F C, то F = С. В частноети, [/,x] Ф(F). Поскольку F {х) явяеетсяр-группой, то по лемме 2.1.9 [F,x] \ = р, поэтому [Ф(F),x] = 1. Если Ф(Р) 1, то, так как Ф(Р) — характеристическая подгруппа в F, ее централизатор по лемме 9 совпадает с F, что противоречит выбору х. Поэтому Ф(Р) = 1, то есть р _ элементарная абелева р-группа.
Пусть Р = (F, х). Тогдa P неабелева и по лемме 2.1.9, Р = (z), где z — элемент порядка р. Если псе элементы порядка р из Р лежат в центре р то р _ гамильтонова группа. При р 2 она абелева, что неверно, а при р = 2 она — прямое произведение группы кватернионов порядка 8 на элементарную группу, но в этом случае в Р нет элементарной абелевой максимальной подгруппы. Поэтому можно считать, что х — порядка р.
Если Р р3, то, поскольку [F, x] = р, в F существует нетривиальный элемент у Є F, централизирующий ж и не лежащий в [F,x]. Теперь (x,y) - абелева группа, (х,у) P, но Np{{y)) = Р. Это противоречит условию.
Итак, Р р2. Случаи \F\ = р невозможен, поэтому F — элементарная абелева группа порядка р2 и, следовательно, G/F изоморфен подгруппе GL(2)p). Так как силовская р-подгруппа в G/F не инвари антна, то G/F содержит по лемме 8 подгруппу, изоморфную SL(2,p). Если р = 2, то G/F SL(2, 2) = GL(2, 2) S3, откуда G 54. Если р 2, то в центре G/F есть инволюция tF и G = FCG(t), где CG() = G/F. Так как Cc(t) по лемме 2.1.9 — нильпотентная группа, мы получаем противоречие.
Ранее Л.И. Шидов [23] описал конечные группы, в которых нормально независимы все нильпотентные подгруппы. Обобщая этот результат, А.Х. Журтов и автор в [43] показали, что конечная группа, в которой независима любая абелева подгруппа, является либо двустепенно ниль-потентной группой, либо группой Фробениуса с нильпотентным дополнительным множителем, либо группой, изоморфной одной из следующих групп: S4, Л, L2(7), L2(2m), т 2.
Группы, порожденные непараболическим элементом и инволюцией
Пусть G — группа Фробениуса с ядром K и дополнением Я, являющаяся АІ-группой. По лемме 2.1.4 Я — нильпотентная группа. Так как по лемме 2.1.2 в дополнении Фробениуса каждая силовскаяp-подгруппа циклическая или (при p = 2) группа кватернионов, то H = С х Q, где С — циклическая группа, и Q — либо тривиальная группа, либо группа кватернионов. Так как по лемме 2.1.2 Q двуступенно нильпотентна, то \Q\ = 1 или \Q\ = 8.
Лемма 2.3.3.1. Если K неабелева, то выполнен пункт 1 теоремы 2.3. Доказательство. Так как порядок коммутанта K не может равняться двум, то по теореме 2.2 K — p-группа нечетного порядка и либо K — центральное произведение экстраспециальной группы E = (a, b \ ap = If = [a, [a, Ъ}] = [b, [a, Ъ}] = 1) простого периода и порядка p:і на циклическую группу С, либо K изоморфна (а, Ъ ар = Wm = 1,аГ1Ъа = Ь1+рт для некоторого m 2. Рассмотрим вначале первую возможность. Так как Н действует точно на коммутанте [K, K] группы K, имеющем простой порядок, то H = (h) — циклическая группа. Пусть С = (c). Так как С = Z (K), то С инвариантна относительно H. Поскольку d = [a, b] G С, то dh = d\ где 7 - целое число, 7 = 1 (modp). Пусть у = (a,d). Так как (d) G, то NG (у) = G и, в частности, у инвариантна относительно Я. То же самое верно для V = (b, d). Поэтому, ah (d) = аа (d), bh (d) = b? (d), где а и (3 - целые числа. Отсюда aa = dh = [a, b]h = [ah, bh] = [аа, ЪР] = d и а/3 = 7 (modp). Так как а ф 1 ф (3 (modp), то а ф 7 (modp) или (3 ф 7 (modp).
Не нарушая общности, можно считать, что а ф 7 (modp). Если \С\ р, то пара ((d) , (а,с)) является запрещенной: d Є (а,с), но (а,с) не является Я-инвариантной подгруппой, поскольку, если (ac)h = ас3 для некоторого целого числа 5, то а3 с3 = (ас) = aac,d\, где d\ Є (d), откуда а = 5 = 7 (modp), вопреки а 7 (modp).
Итак, \С\ = (d) иК = Е. Если теперь а /3 (modp), то пара ((d) , (rf, ab)) является запрещенной, поэтому можно считать, что а= /3, т.е выполнен пункт 3 теоремы 2.3. Аналогичные рассуждения показывают, что вторая возможность не реализуется. Лемма 2.3.3.2. Если К — абелева группа, то выполнен один из пунктов 2-5 теоремы 2.3. Доказательство. Индукция по порядку G. Пусть K0 - минимальная Я-инвариантная подгруппа в К. ТЪгда K0 - элементарная абелева р-группа, на которой Я действует неприводимо.
Предположим вначале, что К0 = К. Если К - циклическая группа, то выполнен пункт 2 теоремы 2.3. Поэтому К — нециклическая группа. Рассмотрим случай, когда H неабелева, т.е. H = Q х H0, ще Q -группа кватернионов порядка 8, a Щ - циклическая группа нечетного порядка. Если H0 = 1, то по индукции, примененной к подгруппе KQ, порядок K равен p2, где p нечетно и H можно отождествить с подгруппой из GL2(p). Так как централизатор Q в GL2 (p) состоит из скалярных матриц, то выполнен пункт 5 теоремы 2.3..
Если Но = 1. то пусть a, b — элементы порядка 4, порождающие Q. Если при этом (a) действует неприводимо на K, то по лемме 2.1.2 kа" = к \ поскольку a2 — инволюция и поэтому (k,ka) инвариантна относительно (a), то ееть K = (k,ka) — группа порядка p2, и снова выполнен пункт 5 теоремы 2.3. Если же (a) действует приводимо на K7 то по индукции, примененной кК-(a),вK найдется a-инвариантная нетривиальная циклическая подгруппа (k), и (к,k6) инвариантна относительно (a, b) = H, откуда снова следует, что G удовлетворяет пункту 5 теоремы 2.3.
Итак, можно считать, что / — циклическая группа. Если какая-то подгруппа Но = 1 из / действует приводимо на K7 то по индукции, примененной к K-Но, подгруппа H0 действует скалярно на K и выполнен пункт 4 теоремы 2.3.
Таким образом, K не является минимальной H-инвариантной подгруппой. Покажем, что любая минимальная H-инвариантная подгруппа K0 K является циклической. Предположим противное. Пусть Ко — циклическая минимильная H-инвариантная подгруппа из K. Если Ко Ф {К), то K0 П Ф (K) = 1 и поэтому K = K0 х Къ где по лемме 2.3.1.3 tfi можно выбрать H-инвариантной. Пусть k G K0, тогдa (fc) не является H-инвариантной подгруппой и пара (А , (k, k)) является запрещенной.
Если же Ко Ф (if), то существует элемент k G K порядка p2, где p _ некоторое простое число, такой, что 1 т k2 G ifo- Так как в K/K0 по условию АІ любая подгруппа является H-инвариантной, то (ко, k), а вместе с ней и (k2) = Ф ((if0, k)) является Я-инвариантной, что противоречит нецикличности Ко Пусть V — подгруппа, порожденная всеми элементами простого порядка из K и V1 — минимальная H-инвариантная подгруппа из K. Тогда V\ V и, по предыдущему абзацу, V\ — циклическая группа простого порядка. По лемме 2.1.3 V = V\ х V,), где Vo инвариантна относительно H. Повторение применений леммы 2.1.3 позволяет представить V в виде V = V\ х Vmn 5де есе V, (і г =,1,., т) — инвариантные отоосотельно H циклические группы простых порядков. Если все подгруппы простых порядков из V инвариантны относительно Я, то по условию АІ все подгруппы из K инвариантны Hтносительно Я и по лемме 2.1.5 выполнен пункт 2 теоремы 2.3.
Предположим, что (v) — подгруппа простого порядка p из V, не являющаяся H-инвариантной. Так как (v,v1) по условию AI является H-инвариантной подгруппой, то (vh) = (v,vx). Если m 2, то найдется Vi G (v,vi), откуда следует, что пара (vj, (v,v )) является запрещенной. Таким образом, m = 2 и V - группа порядка р2. В частноети, K прямое произведение двух циклических p-групп. Если V Ф (K), то существует элемент x из K порядкаp2 такой, что а = v и подгруппа {У)=Ф((v,Х}) является H-инвариантной вопреки выборуv. Поэтому V Ф(K). Если V = K, то выполнен пункт 3 теоремы 2.3. Предположим, V = K. Так как V /Ф (K), то v1 или v2 не содержатся в Ф (K). Можно считать, что v2 G Ф (K), a v1 G Ф (K), то есть K = K1х (v2) для некоторой циклической подгруппы K1 K, содержащей (Vl). По условию AI любая подгруппа из K/ (v1) инвариантна относительно H. По лемме 2.1.5 H действует скалярно на K/ (vi), то есть k\ = kfa, vh2 = v2b, где h — порождающий элемент циклической подгруппы Ki, а a, b Є (v\). Поскольку (v2) инвариантна относительно H, то b = 1. Далее, (Щ 1 = (kp)a аР = (Ща, откуда вытекает, что = . Это означает, что vh = va, что противоречит выбору v.
