Конечные группы с малыми кратностями в разложении квадратов неприводимых представлений Поляков Сергей Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1 Вспомогательные результаты 16

1.1 Теоретико-групповые сведения 16

1.2 Сведения из теории представлений 17

1.2.1 Начальные сведения 17

1.2.2 Характеры простых и неразрешимых групп 18

1.2.3 Индуцированные представления и характеры 18

1.2.4 Теория Клиффорда 20

1.2.5 Характеры групп Фробениуса 21

1.2.6 Характеры знакопеременной группы Ап 21

1.2.7 Характеры групп 2(9) и PGL2(q) 22

1.2.8 Кратности в разложениях квадратов неприводимых характеров групп L3{q) и UM 24

1.3 Простые неабелевы группы лиева типа 26

1.4 Оценки классового числа 30

1.5 Свойства SMm-rpynn 31

1.6 Известные SMm-rpynnbi 33

2 Кратности в разложении квадратов неприводимых представлений почти простых групп с цоколем L/2(q) 36

2.1 Сведения из теории чисел 36

2.2 Группы L2(q) 36

2.3 Группы PGL2(q) для нечетных q 40

2.4 Почти простые группы с цоколем 2(9) 43

3 Простые неабелеы SM2-rpynnbi 48

3.1 Классические простые группы лиева типа 48

3.2 Исключительные простые группы лиева типа 51

3.3 Спорадические группы 53

3.4 Знакопеременные группы 53

Содержание З

4 Почти простые вМг-группы 55

4.1 Почти простые группы с цоколем, изоморфным классической простой группе лиева типа 56

4.2 Почти простые группы с цоколем, изоморфным исключительной простой группе лиева типа 63

4.3 Почти простые группы с цоколем, изоморфным знакопеременной группе 65

4.4 Почти простые группы с цоколем, изоморфным спорадической группе 66

5 Неразрешимые SM2-rpynnbi 67

6 Некоторые классы конечных SMm-rpynn 80

6.1 Группы Фробениуса 80

6.2 Строение групп порядков 32 и 64 с SM-характеристикой 2 81

6.3 Строение групп порядка 128 с SM-характеристикой 4 83

6.4 Количество разрешимых неабелевых групп с заданнной SM-характеристикой 84

Заключение 90

Список литературы 91

• Характеры простых и неразрешимых групп
• Кратности в разложениях квадратов неприводимых характеров групп L3{q) и UM
• Простые неабелеы SM2-rpynnbi
• Почти простые группы с цоколем, изоморфным исключительной простой группе лиева типа

Введение к работе

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Изучение особенностей строения конечных групп через заданные свойства неприводимых представлений широко используется в теории групп. Существуют как и очевидные утверждения, так и далеко не тривиальные факты, касающиеся, например, простых групп¹.

Если Lp и ф — обыкновенные неприводимые представления группы О, то существует разложение

где в — неприводимые попарно неэквивалентные представления группы О. Структурные константы с , могут быть определены с помощью характеров представлений в из соотношений ортогональности.

Интерес представляют случаи, когда на структурные константы накладываются определенные ограничения. В одном из них количество ненулевых констант с , невелико, в другом — сами константы ограничены сверху.

В первом направлении имеются результаты, касающиеся разрешимых групп, и, в первую очередь, р-групп. Достаточно подробно исследован случай, когда характер, полученный как произведение некоторого неприводимого характера на свой сопряженный, имеет в своем разложении малое число различных слагаемых²' ³.

Во втором направлении нас интересуют следующие случаи. Рассмотрим группы, у которых тензорные произведения любых двух неприводимых представлений имеют в своем разложении малые кратности.

Конечную группу О назовем SМ_т-группой⁴, если тензорный квадрат любого ее неприводимого представления разлагается в сумму неприводимых представлений группы О с кратностями, не превосходящими т.

В 1941 году лауреат нобелевской премии по физике Юджин Виг-нер (Эухенио Вигнер) ввел понятие SR-группы.

¹Kazarin L.S. Sagirov LA. On the degrees of irreducible characters of finite simple groups //Proc. of the Steklov Inst. Math. Suppl., 2001, Vol. 2. p. 71-81.

²Adan-Bante E. Squares of characters and finite groups.// J.Algebra. 2007. 310(2). p.619-623.

³Adan-Bante E. Products of characters with few irreducible constituents. // J.Algebra. 2007. 311(1). p.38-68.

⁴от английского «Square multiplicity»

Просто приводимыми группами (или SR-группами⁵) называются вещественные группы, в которых тензорное произведение любых двух неприводимых представлений не имеет кратностей (то есть кратности не выше единицы). Вигнер показал⁶, что для произвольной конечной группы О справедливо следующее неравенство

ElV^El^G/)!², (*)

gea geG

^гД^е \j~9 = {^х Є G I x 2 = g}, a Ca(g) — централизатор элемента g. Конечная группа G является просто приводимой тогда и только тогда, когда вышеуказанное неравенство обращается для этой группы в равенство. Получаемое из (*) равенство называется «условием Вигне-ра». Несмотря на предложенный критерий, в общем случае проверка условия Вигнера для конкретной конечной группы G является трудоемкой задачей, поэтому вопрос о свойствах и строении SR-rpynn долгое время оставался открытым.

Для неравенства, предложенного Вигнером, существует обобщение. В своей работе⁷ Дж. Макки доказал, что для произвольной конечной группы G справедливы неравенства.

Eiv5iⁿ⁺¹

gea geG

где п — произвольное натуральное число. Там же приведено доказательство неравенства Вигнера для конечных групп (п = 2 — это условие Вигнера).

В приложении «Нерешенные задачи» книги Введение в алгебру⁸ А.И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-rpynnax:

Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?

СП. Струнковым были сформулированы конкретные проблемы относительно строения SR-группы: «Дать описание всех просто при-

⁶ от «Simply reducible»

⁶Wigner Е.Р. On representations of certain finite groups// Amer. J. Math., 1941. Vol.63, p.57-63.

⁷Mackey G.W. Symmetric and anti symmetric kroneker squares and interwining numbers of induced representations of finite groups//Amer. J. Math., 1953. Vol.75. N3. p.387-405.

⁸Кострикин А.И. Введение в алгебру, часть 3. Основные структуры алгебры. М.: Физ.-мат. лит., 2001. 272 с.

водимых групп ... (вопрос, интересный для физиков). Не будет ли конечная просто приводимая группа разрешимой⁹?»

Заметим, что в 1984 году, в 9-м издании Коуровской тетради под номером 9.56 был опубликован вопрос Яна Саксла (J. Saxl): «Найти все конечные группы, для которых тензорный квадрат любого обыкновенного неприводимого представления свободен от кратностей¹⁰.»

Впоследствии задача СП. Стрункова была решена Л.С. Каза-риным, В.В. Янишевским¹¹ и Е.И. Чанковым¹². При этом был рассмотрен новый класс групп, более широкий чем SR. При отказе от вещественности и замены требования на разложимость без кратностей только квадратов неприводимых представлений, получаются группы, названные авторами ASR-группами¹³. ASR-группы, как и содержащиеся в их множестве SR-группы, оказались разрешимы.

Необходимо отметить, что вопрос о разрешимости ставится только для конечных SR-групп. Для бесконечных групп существует контрпример: трехмерная группа вращений О(З) — й'Д-группа¹⁴.

Можно сказать, что ASR-группы являются своеобразной границей. Если хотя бы одна из кратностей больше единицы, то в общем случае говорить о разрешимости группы нельзя.

SM_m-rpynnbi являются естественным обобщением SR и ASR групп. Понятно, что в множество SM2-rpynn входят как ASR, так и SM2-группы.

Для удобства введем еще одно определение. Назовем SM-харак-теристикой группы О наибольшую кратность в разложении квадратов неприводимых представлений этой группы. SM-характеристику группы О можно также определить как число т_х(0), такое, что О — SM_mx(G), но уже не SM_mx(_G)_!-rpynna.

Вероятно, что существует связь между наибольшей кратностью в разложении квадрата неприводимого характера и количеством характеров, входящих в это разложение. Например Edith Adan-Bante доказала, что если О — конечная нильпотентная группа нечетного порядка и х — ее неприводимый характер простой нечетной степени

⁹Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Издание 16-е, дополненное, включающее Архив решенных задач. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006. С.61, вопрос 11.94.

¹⁰Там же, С.40, вопрос 9.56.

^пКазарин Л.С, Янишевский В.В. О конечных просто приводимых группах. // Алгебра и анализ, 2007. Т.19. N6. С.86-116.

¹²Казарин Л.С. Чанков Е.И. Конечные просто приводимые группы разрешимы. // Математический сборник, 2010. Т.201. N5. С.27-40.

¹³от «Almost simply reducible»

¹⁴Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966. 588 с.

р, то наибольшая кратность в разложении характера х² связана с количеством неприводимых слагаемых в его разложении. Более точно, эта кратность равна 2, если слагаемых (р + 1)/2, и равна р если слагаемое всего одно¹⁵.

Заметим, что достаточно часто встречаются конечные разрешимые группы, у которых SM-характеристика больше единицы.

Если рассматривать группы с кратностями в квадратах неприводимых представлений не больших двух (ЯМг-группы), то возникает ряд вопросов, связанных с их строением:

Какие из простых неабелевых групп являются SM 2 -группами?

Какими особенностями строения обладают неразрешимые SM2-группы?

Какие из разрешимых групп являются SM2-rpynnaMn?

ЯМг-группы представляют особенный интерес, поскольку являются в каком-то смысле минимальным «расширением» класса ASR-групп.

В общем случае возникает вопрос о связи между SM-характерис-тикой конечной группы и ее строением.

Цель и методы работы.

Целью работы является исследование строения конечных групп, у которых тензорный квадрат любого неприводимого представления содержит неприводимые представления с небольшими кратностями, в частности, не больше двух. В диссертации используются методы доказательств теории конечных групп и теории характеров, в частности теорема Классификации простых конечных групп. В некоторых случаях для дополнительных вычислений была использована система компьютерной алгебры GAP.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Получено описание строения неабелевых композиционных факторов конечных неразрешимых SM2-rpynn.

2. Получено описание строения всех конечных почти простых SM2-групп.

¹⁵Adan-Bante Е. Squares of characters and finite groups. Теорема С.

3. Для всех конечных простых и почти простых групп получены нижние оценки SM-характеристики.

4. Вычислены SM-характеристики для некоторых конечных почти простых групп (в частности, для всех спорадических простых групп).

5. Получены нижние оценки SM-характеристики для групп Фро-бениуса, вычислены SM-характеристики некоторых 2-групп.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказано, что среди всех конечных почти простых групп SM2-группами являются только группы PGL/2(q) и знакопеременная группа As.

2. Доказано, что неабелевыми композиционными факторами конечных неразрешимых SM2-rpynn могут быть только группы, изоморфные группе L/2(q).

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научно-практической конференции «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль, 2010), на конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей», Новосибирск (2010), на 64-й научной студенческой конференции (Ярославль, 2011), на международной (43-й Всероссийской) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2012), на XI Белорусской математической конференции (Минск, 2012), а также на научных семинарах «Избранные вопросы теории групп» кафедры алгебры и математической логики ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2011-2013).

Публикация результатов.

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 2 статьи в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 4 тезисов докладов. Все 4 статьи написаны без соавторов. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы.

Характеры простых и неразрешимых групп

В этой главе исследуются почти простые группы с цоколем, изоморфным группе L2(q), для которых определяется SM-характеристика.

В начале главы в параграфе 2.1 доказываются вспомогателвные утверждения, касающиеся сумм примитивнвіх корней из единицы в поле комплекснвіх чисел.

В параграфе 2.2 рассматриваются группы L2(q). С помощвю вычислений по таблице характеров доказывается при четном q, что для любых двух неприводимвіх характеров кратноств вхождения одного в разложения квадрата другого не превосходит 2. Другими словами, доказывается для четного q, что L2(q) — SM2-rpynna и ее SM-характеристика равна двум.

Для нечетного q 3 выбирается пара подходящих характеров, с помощвю которвіх показвшается, что в этом случае SM-характеристика равна трем (кроме случаев q = 3 и 5). Здесв не проводиласв полная проверка для всех пар неприводимвіх характеров, но, как показывают ввічисления для групп L2(q) при 5 g 125, именно это значение и будет наиболвшим. Таким образом, можно предполагатв, SM-характеристика группы L2(q) в случае нечетного q будет равна трем.

В параграфе 2.3 доказывается, что группві PGL2(q), q 3, являются SM2-rpynnaMH. Следует отметитв, что в начале исследования среди проствіх неабелевых групп была известна толвко одна SM2-rpynna — А5. Посколвку существует изоморфизм групп А5 = L2(4) = L2(5), то появление групп L2(q), по крайней мере, для четнвгх q, в списке SM2-rpynn было вполне логично. Неожиданнвім оказалосв то, что класс проствіх SM2-групп содержал толвко эти группы (исключение q = 5). Как оказалосв впоследствии, и эти группы — частный случай групп PGL2(q) ввиду изоморфизма L2(q) = PGL2(q) для четнвіх q.

Наконец, в параграфе 2.4 разбираются случаи, когда G — почти простая группа с цоколем, изоморфным L2(q), отличная от L2(q) и PGL2(q). В каждом из них доказано, что SM-характеристика mx(G) группві G болвше двух.

При изучении конечных групп, у которых квадраты неприводимых представлений имеют небольшие кратности, первым возник вопрос о том, какие из простых неабелевых групп будут SM2-rpynnaMH. Выбор SM2-rpynn объясняется тем, что ASR-группы (SMi-группы) уже достаточно хорошо изучены (см. [6], [5]).

В общем случае вопрос можно сформулировать так: для указанного га определить, какие из простых неабелевых групп входят в класс SMm-rpynn, в частности перечислить группы, у которых SM-характеристика в точности равна га.

Для получения необходимой информации о конечных SMm-rpynnax использовались леммы 1.5.2 и 1.5.5. Для каждой простой неабелевой группы L было рассмотрено число m(L), равное отношению степени некоторого ее неприводимого характера х к числу классов сопряженных элементов k(L). В силу леммы 1.5.5, если L — неразрешимая SMm-группа, то х(1) m(k(L) — 1) для любого неприводимого характера \ группы L. Поэтому если для группы L значение m(L) больше некоторого числа г, то и ее SM-характеристика mx(L) больше г. Другими словами, L не является SMr-rpynnoft.

Неоднозначность определения числа m(L) объясняется тем, что не всегда известна наибольшая из степеней неприводимых характеров. С другой стороны, здесь важнее были оценки значений m(L) снизу. В качестве подходящего характера, как правило, использовался характер Стейнберга, но в ряде случаев, для уточнения полученного числа, были использованы другие неприводимые характеры большей степени.

Как и в предыдущей главе, здесь была использована лемма 1.5.5. Для каждой из почти простых групп G с цоколем L рассматривалось число m{G) = ipo(l)/k(G), где фо — неприводимый характер группы G. С учетом результатов главы 3, окончательную оценку снизу для m{G) можно записать так:

гп(П m(L) m(L) К fc(Out(L)) I Out(L) Г

В том случае, когда эта оценка неэффективна, используется дополнительная информация о группе G, а также лемма 1.5.4.

Далее в главе 6 рассматриваются разрешимвіе группы. В параграфах 6.2-6.4 приведены резулвтаты ввічислений SM-характеристики mx(G) для 2-групп. Сначала даются сведения о количестве SM2 и SMzi-групп среди неабелеввіх, в частности метабелеввіх 2-групп порядков, не превосходящих 256. Далее, для некоторых случаев указывается строение, классовое число, SM-характеристика mx(G) и идентификатор группы в системе GAP. Показано, что mx(G) может приниматв значения, равнвіе толвко 1, 2 и 4.

В отделвной таблице приводятся сведения о ступенях разрешимости 2-групп с характеристикой mx(G) 2. Установлено, что все группві порядков 32 и 64 — SM2-rpynnBi, причем группы, у которых mx(G) = 2, имеют ступенв разрешимости не менвше двух. Для групп порядков 128 и 256 ситуация несколвко сложнее. Значения ступеней разрешимости для групп с SM-характеристикой болвшей единицы равны толвко 2 или 3.

Кратности в разложениях квадратов неприводимых характеров групп L3{q) и UM

В приложении приведен текст программы для вычисления размерностей неприводимых представлений групп Ап, отвечающих заданному разбиению числа п и ассоциированной с ним таблице Юнга (см. [25]). Таблица Юнга состоит из к строк, таких, что в каждой і-й строке находится х% клеток. С каждой клеткой этой таблицы можно связать число («длину крюка»), равное числу клеток находящихся в том же столбце и ниже, а также в той же строке и правее данной клетки, плюс один:

Таким образом, таблице Юнга для каждого разбиения числа п сопоставляется набор из п чисел, соответствующих длинам крюков таблицы.

Предложение 1.2.19. Пусть имеется таблица Юнга, отвечающая некоторому разбиению числа п, и h\,...,hn — ее длины крюков. Тогда характер \ симметрической группы Sn, отвечающий этому разбиению, имеет степень

Сведения из теории представлений Ограничение неприводимого характера симметрической группы Sn, определяемого таблицей Юнга, на ее подгруппу, изоморфную знакопеременной группе Ап, будет неприводимым, если таблица Юнга не является симметричной относительно своей главной диагонали.

Доказательство. См. [4], Теорема 20.1. Значения Хо(1) неприводимых характеров максимальной степени знакопеременной группы Ап для n 23 можно найти на персональной странице Нейла Слоэна, последовательность А0609554. Там же имеется информация о классовом числе /с(Ага), и числе разбиений р(п)5. Информацию о числе разбиений р(п) также можно найти в [13], с 53.

Эти же значения, причем для значительно больших п, можно получить и с помощью GAP, используя стандартные функции: NrConjugacyClassesO и NrPartitionsO. Кроме того, можно использовать специально написанную функцию CharDegreesAnO для вычисления степеней неприводимых представлений знакопеременной группы Ап (см. приложения) .

Приведем таблицу характеров группы G = L2(q), q = 2п 8. У группы G имеется единственный линейный характер — 1с- Кроме того, есть характер Стейнберга St степени q. Семейство характеров pi состоит из (q — 2)/2 характеров степени q + 1, а семейство характеров (j, каждый степени q — 1, состоит из q/2 характеров.

Нам также понадобятся значения двух неприводимых характеров группы L2(q) для нечетных q. В таблице 3 приведен фрагмент таблицы характеров группы G = L2(q) для q = Ак + 1. Размеры классов сопряженных элементов у аг следующие: при 1 г к - 1 размер (ar)G = q(q + l), а размер класса (ak)G равен q(q+l)/2. Порядок элемента а равен (g-l)/2.

Дополнительно рассмотрим таблицу характеров группы G = PGL 2 (q). Если q = 2п, то PGL2(q) = L2(q), поэтому считаем, что q нечетно. В таблице имеются два характера степени 1: главный характер 1с и характер Sgn. Кроме того, есть характер Стейнберга St и характер SgnSt степени q. Семейство характеров pi состоит из (q - 3)/2 характеров степени q + 1, а семейство характеров Q, каж;дый степени q - 1, состоит из (q - 1)/2 характеров.

Приведем значения характеров хн и Xr2s для групп Us(q). В дальнейшем нам понадобятся группы Us(q) где q = р2 2. Как несложно убедиться, наибольший общий делитель d = (g + 1, 3) в этом случае равен 1. Действительно, число р при делении на 3 дает остаток О, 1 или 2, тогда р2 + 1 дает в остатке 1, 2 или 2 соответственно, поэтому р2 + 1 не делится на 3.

Для простых неабелевых групп лиева типа нам понадобятся значения степеней характера Stb-i оценка числа классов сопряженных элементов k(L) и порядок Out(L). Большинство результатов взяты из [27], стр. 491, и [23]. В отдельных случаях использовалась система компьютерной алгебры GAP.

В дальнейшем нам понадобится дополнительная информация о степени характера Stb, классовом числе и порядке Out(L) для групп Ln(q), Un(q), Bn(q) и Cn(q) в некоторых конкретных случаях. Эти значения также получены из [23] и с помощью GAP.

Простые неабелевы группы лиева типа В следующей таблице приведены значения (некоторые приближенно) порядка, классового числа и порядка группы внешних автоморфизмов спорадических простых групп.

Для большинства спорадических групп SM-характеристика достаточно велика, в первую очередь это относится к группам Бэби Монстр В и Монстр М. При работе с характерами спорадических групп возникают определенные трудности, главным образом из-за больших порядков этих групп. Здесь существенно упростил задачу пакет AtlasRep в GAP, в котором содержатся таблицы характеров ряда конечных групп, в частности

Простые неабелеы SM2-rpynnbi

Наша задача — выяснить, каким будет строение неразрешимой ЭМг-группы G. Рассматривая группы небольшого порядка, удалось установить, что неабелевыми композиционными факторами такой группы G будут только группы, изоморфные L2(q).

Как уже было доказано в главе 4 (теорема 4.4.2), почти простыми ЭМг-группами являются только группы РСЬ2(о) или А$ = Ь2{4) = L2(5), поэтому логично предположить, что похожим строением обладают неразрешимые группы и в общем случае.

В дальнейшем мы будем действовать от противного. Предположим, что существуют конечные неразрешимые ЭМ -группы, композиционные факторы у которых отличны от абелевых групп и L2(q). Выберем среди них группу G наименьшего порядка. Далее в этой главе будем считать, что неразрешимая группа G — именно этот контрпример.

Докажем следующее утверждение: Лемма 5.0.3. Пусть G — неразрешимая вМ2-группа наименьшего порядка и N — ее минимальная нормальная подгруппа. Тогда:

Доказательство. Любое представление факторгруппы, в силу предложения 1.2.1 является представлением группы. Поэтому, если G — контрпример наименьшего порядка, то факторгруппа G/N будет ЭМг-группой (см. лемму 1.5.7), у которой неабелевы факторы изоморфны Ь2(о). Если G имеет пару различных минимальных нормальных подгрупп М и N, то, поскольку

Таким образом, рассматриваемый контрпример имеет вполне определенное строение. В следующих утверждениях будет рассмотрена ЭМг-группа G Aut(A ) L = Li — простая неабелева группа. При этом, Aut(Af) = Al S, где А= Aut(L), a S — подгруппа симметрической группы Sm. Через Хо будем обозначать неприводимый характер группы L, имеющий наибольшую степень.

С помощью функции NrConjugacyClasses в GAP вычислим классовое число группы Ап при 7 п 12. В результате получаем список значений [9, 14, 18, 24, 31, 43] (см. таблицу 1). Функция CharacterDegrees возвращает список степеней неприводимых характеров группы. Для групп Ап, при 7 п 12, получаем список: [35, 70, 216, 567, 2310, 5775]. Непосредственная проверка показывает, что неравенство (10) не выполняется при п 8. Для дальнейшей проверки остаются группы: А5, А6, А7.

По имеющейся информации о значениях \L\, Out(L) и k(L) для спорадических групп (см. таблицу 12) можно сделать вывод, что ни одна из них не удовлетворяет неравенству (11). Таким образом, спорадические группы исключаются.

В дальнейшем в качестве характера Хо мы будем рассматривать характер Стейн-берга. Значения St(1), Out(L) и оценки k(L) взяты из таблиц 8-11. Исключительные простые группы лиева типа Пусть L = Я6(р ), тогда Out(L) = 2(3,р - l)i 6i, k(L) б6 p6t a StL(l) = рш. Неравенство (9) примет вид: р36 2 6i б6 -р6 или р30 559872 і. Ясно, что неравенство не справедливо ни при каких р и і.

Последнее верно только при п = 0 и 1. Группа 2 2(2) разрешима, поэтому она исключается. Остается группа 2 2(8). Еще раз используем неравенство (9), учитывая, что у группы 2В2(8) имеется характер степени 91: 91 2 3 - 11. Видно, что и этот случай исключается.

По аналогии с группами Ln(q) мы получаем, что при гг 5,6 подходящих ри t не существует. Нам остается рассмотреть только группу Щ (2).

Вычислим значения Out(L) для каждого из полученных чисел п,р, t и подставим в неравенство (9). В результате получается, что для последующей проверки останутся группы U3(q), для q = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 16, 17, 23, 32, 128, и группы Lzi(2) и L5(2). Группа [Уз (2) разрешимая, поэтому она исключается.

Далее, используя функцию GAP NrConjugacyClassesPSU, вычислим классовое число для каждой из этих групп

Воспользуемся информацией о степени характера хо для полученных групп: для з(З) Хо(1) = 32, для С/3(4) Хо(1) = 75, для U3(5) Хо(1) = 144, для U3(8) Хо(1) = 576, для U3(9) Хо(1) = 800, для С/з(16) Хо(1) = 4335, и для [74(2) Хо(1) = 81. Подставив эти значения в неравенство (9), убедимся, что список сократился до групп: U3(3), U3(4), U3(5), U3(8),

Пусть п 4. Запишем неравенство как: д(га_1) = р (га_1) л/it 6 8, 49. Видно, что при п = 4 это неравенство выполняется только если р = 2, = 1, а при больших значениях п1 подходящих р 1и 0не существует. Далее, fc( 4(2)) = 81, поэтому, подставив это значение в неравенство (9), убеждаемся, что и эта группа исключается.

Почти простые группы с цоколем, изоморфным исключительной простой группе лиева типа

Согласно теореме 5.0.5, группами, удовлетворяющими менее строгому неравенству Хо(1) 2 Out(L) k(L) будут: L2(q), А7, L3(3), L3(4), L3(8), U3(3), U3(4), C/3(5), E/3(8), [7з(16). Поэтому нам остается рассмотреть только их.

Воспользуемся информацией об этих группах, полученной в доказательстве теоремы 5.0.5 и проверим для каких из этих групп выполнено условие Xo(l) l,82-Out(L)fc(L). Несложно увидеть, что список групп сократится до L2(q), L3(3), L3(4), L3(8), U3(3), з(4), /з(5), /3(8). Следствие доказано. Для уточнения полученных результатов о строении простой группы L, мы построим неприводимый характер специального вида в группе G. Пусть г] — неприводимый характер наибольшей степени в группе L. В каждой из групп Li выберем характер rji, соответствующий характеру г\ группы L. Сконструируем теперь характер в группы N в виде в = щщ ... rjm.

Пусть Gi, О2, , &i — различные сопряженные характеры к характеру G = О і под действием подгруппы G. Согласно предложению 1.2.16, число характеров, сопряженных характеру в = в і в группе G, равно G : 1G(0).

Отметим, что для любых г т и а Є АІ характер rjf будет неприводимым характером подгруппы Li и ( ЦІ)2 = drji + wa1 т.е. кратность характера rjf в (??")2 та же, что и кратность rji в rjf. Поэтому для любого Ъ Є А верно равенство (О6)2 = dmQb + Г, где Г — сумма остальных неприводимых характеров, входящих в разложение (О6)2. В силу предложения 1.2.16 имеем 0G = YH=l eiXi Найдем кратность характера х = Хз0 Для индекса го, такого, что е = ЄІ0= max=1 е В силу того, что G — SM2-rpynna, х2 = 2 к CfcV fc — сумма различных неприводимых характеров группы G, a Cj Є {0,1, 2}

Применим оценки (12), (13), (14) и (15) для групп, полученных в теореме 5.0.5 и следствии 5.0.6. В качестве значений d(L) будем рассматривать SM-характеристики mx(L), вычисленные для указанных групп (см. таблицу 13).

Убедимся, что L не может быть изоморфна ни одной из групп: L3(3), Ьз(4), Ь3(8), з(З), /"з(4), Ua(5) и Ua(8), группы А7 и 11а(Щ рассмотрим позднее.

Если L = Ьз(3), то порядок Out(L) = 2, a d(L) = 11. Тогда, из (13) и (15) мы получаем противоречия: 11т 1,16 (2у/3)т, если т 2 и И2 16, если т = 2. Аналогичным образом действуем и для оставшихся групп: Если L = L 3 (8), то Out(L) = 6, a d(L) = 18. Тогда 18т 1,16 (6 )т, если m 2 и 182 144 если га = 2.

Если L = 7з(3), то порядок Out(L) = 2, a i(L) = 5. Соответствующие противоречия получаются такими: Ът 1,16 (2у/3)т, если га 2 и 52 16 если га = 2. Наконец, для группы L = f/3(5) порядок Out(L) = 6, a d(L) = 23. В этом случае из (13) следует, что 23т 1,16 (6лД)т, а из (15) - что 232 144.

Для групп L3(4) и С/з(8) нам потребуется оценки (12) и (14). Группа Aut(L3(4)) представляет собой расширение группы L3(4) диэдральной группой Di2. Поэтому, если L = L3(4), то Aut(L)/L = Du, и, следовательно, k0(Aut(L)/L) = 6. Зная, что d(L) = 13, мы получаем противоречия: 13т 1,16 (6л/3)"\ если га 2 и ІЗ2 144, если m = 2.

Если L = С/з(8), то Aut(L)/L = S3 х С3, и поэтому fc0(Aut(L)/L) = 9. Далее, d(L) = 33, поэтому 33т 1,16 (9 /3)т, если т 2 и ЗЗ2 324, если m = 2.

В силу полученных противоречий, мы исключили группы L3(3), Ь3(4), Ь3(8), /3(3), Е/3(5) и С7з(8).

Рассмотрим теперь случай, когда L = f/3(4). Порядок Out(L) = 4, a d(L) = 7, поэтому мы получаем условие: 7т 2 4т 3(-m_1-)/2 из которого следует, что га 12. Воспользуемся предложением 1.4.4Ь для оценки ko(S): 7т 2 4т 5т/4. Отсюда следует, что га 4. Таким образом, возможными остаются случаи, когда га = 2, 3, или 4.

Для проверки этих случаев воспользуемся леммой 1.5.5. Нам известно, что если G — неразрешимая SM2-rpynna, а Хо — ее неприводимый характер максимальной степени, то Хо(1) 2fc(G). (16)

Вычислим в GAP классовое число почти простых групп, с цоколем f/3(4): ВД(4)) = 22, fc(C/3(4).C2) = 20, fc(C/3(4).C4) = 22. Пусть га 2. Тогда в правой части неравенства (16) мы можем записать оценку:

С другой стороны, в группе f/3(4) имеется неприводимый характер степени 75, в группе f/3(4).2 характер степени 150, а в группе [73(4).4 характер степени 300. Поэтому, для левой части неравенства (16) можно записать: 75m Хо(1)- Отсюда мы сразу получаем противоречие: 75т 1,16(22у/3)т.

Если же га = 2, то неравенство (16) примет вид: 752 4 222 = 442, откуда видно, что и этот случай невозможен. Таким образом и группа t/3(4) исключается. Нам осталось проверить две последние группы: A-j и f/3(16) для га = 2.

Пусть L = Aj. Тогда Out(L) = 2, d(L) = 17. Неравенство (15) для этой группы запишется так: 172 16, противоречие, поэтому и группа A-j не подходит.

Проведенные рассуждения показывают, что среди возможных неабелевых простых групп Li в нашем контрпримере могут быть только группы, изоморфные L/2(q) — противоречие. Другими словами мы доказали, что рассматриваемого контрпримера не существует. Таким образом, верна:

Теорема 5.0.7. Пусть G — неразрешимая БМ2-группа. Тогда ее неабелевы композиционные факторы изоморфны группе L2(q).

Несмотря на то, что вычисления были ограничены значениями р 550 и q 13, общая тенденция вполне ясна. Если зафиксировать q, то, начиная с некоторого р, группа Фробениуса Ср XI Cq является ЭМ -группой.

В последующих параграфах приведены результаты исследования некоторых разрешимых групп небольшого порядка на принадлежность к классу SM2-rpynn. Как уже было доказано в [6] и [5], ASR-группы разрешимы, тем не менее, вопрос о кратностях неприводимых представлений для разрешимиых групп в общем случае остается открытым.

Похожие диссертации на Конечные группы с малыми кратностями в разложении квадратов неприводимых представлений

Корни Артина абелевых многообразий и представления группы Вейля-ДелиняСабитова Мария Наилевна

Проективные представления симметрических группИванов Владимир Николаевич

Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразованийБардаков Валерий Георгиевич

Представления конечных групп и проблема распознаваемостиЗаварницин, Андрей Витальевич

Представления гиперболических группЕгоров Андрей Владимирович

О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросыМакосий, Алексей Иванович

Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразийЛюдковский, Сергей Викторович

Орбиты, представления и характеры унипотентных групп.Игнатьев Михаил Викторович

Примитивные параболические подстановочные представления конечных простых классических группКораблева, Вера Владимировна

Представления и инварианты унитреугольной группыСевостьянова, Виктория Владимировна