Содержание к диссертации
Введение
2 Описание слияния свободных границ 19
2.1 Постановка задачи 19
2.2 Задача Стефана-Гиббса-Томсона (симметричный случай) . 22
2.2.1 Построение слабого асимптотического решения . 24
2.2.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик 26
2.3 Задача Стефана (симметричный случай) 33
2.3.1 Построение слабого асимптотического решения . 34
2.3.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик 34
2.4 Задача Стефана-Гиббса-Томсона (общий случай) 38
2.4.1 Построение слабого асимптотического решения . 38
2.4.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик 41
2.5 Задача Стефана (общий случай) 51
2.5.1 Построение слабого асимптотического решения . 51
2.5.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик 52
3 Численное моделирование слияния свободных границ 56
3.1 Разностная схема 58
3.2 Численные эксперименты 59
3.3 Выводы 64
3.4 Приложение: данные численного моделирования 65
- Построение слабого асимптотического решения
- Построение слабого асимптотического решения
- Построение слабого асимптотического решения
- Построение слабого асимптотического решения
Введение к работе
Обычно под задачей со свободной границей понимают задачу, в которой требуется дать динамическое описание некоторой среды, которая может находится либо в одной, либо в двух различных фазах (например, лед и вода). Свободной границей, как правило, называют поверхность раздела фаз между областями, занимаемыми различными фазами. В случае же однофазной задачи, понятно, что свободной границей является граница области, занимаемой рассматриваемой средой. Свободная граница перемещается (эволюционирует) со временем и ее позиция априори неизвестна. Такого рода задачи имеют глубокое прикладное значение во многих областях науки, не только в физике [52, 53], но также и в финансовой математике [61].
Задача (1.1)-(1.3), названная классической задачей Стефана, является существенно нелинейной, и интенсивно исследовалась как физиками, так и математиками (см. [53]). В частности, утверждалось, что условие (1.2) слишком грубое, т.к. в реальной среде температура в разных точках свободной границы Гг может быть различной. Кроме того, было установлено, что значения температуры зависят от геометрии поверхности свободной границы.
Однако, понятно, что ни классическая, ни модифицированная задачи Стефана не описывают все множество процессов, связанных со свободной границей: существует ряд физических ситуаций, в которых эволюция свободной границы описывается другими законами (Муллинс-Секерка, (Mullins-Sekerka), Хеле-Шоу (Hele-Shaw) и др.). Более того, детальные физические исследования показали, что в действительности не существует четкой границы между фазами, а наблюдается скорее тонкий пограничный слой, в котором вещество находится в промежуточном состоянии. Микроскопическое описание процессов в пограничном слое дает теория фазовых переходов Гинзбурга-Ландау (см., например, [47]). На основе этой теории были разработаны как очень сложные и комплексные математические модели, так и упрощенные уравнения в той или иной степени адекватно описывающие конкретные физические процессы (см., например, [1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 26, 43]).
Возникает вопрос, заключающий в себе как физический, так и математический смысл: нельзя ли усреднить все эти микроскопические модели, т.е., можно ли получить некоторую глобальную макроскопическую задачу, описывающую распределение фаз в среде. Понятно, что решение такой обобщенной задачи позволит определить вид предельных задач, отвечающих множеству частных физических ситуаций. Этому вопросу посвящен широкий круг работ [6, 8, 9, 18, 24, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 39, 40, 41, 44, 45, 46, 49, 54, 55, 56, 57].
Распространение (динамика) свободной границы в задаче Стефана (1.1)-(1.3) и задаче Стефана-Гиббса-Томсона (1.1), (1.3), (1.4) в настоящее время достаточно хорошо изучено в работах В.Г. Данилова, Г.А. Оме-льянова, Е.В. Радкевича [20, 38, 41, 57]. Основная идея построения решения (т.е. определения функций в± и границы Tt) состоит в том, что решение системы фазового поля (1.5), (1.6) рассматривается в смысле пространства обобщенных функций. Исходя из конкретной физической ситуации, авторами подбирается анзатц слабого асимптотического решения. Далее, доказывается, что при є —ї 0 это слабое асимптотическое решение удовлетворяет соответствующей предельной задаче, подробнее см. Раздел 1.0.3.
В то же время, в большинстве случаев значительный практический интерес представляют задачи не с распространением, а со взаимодействием свободных границ. Именно, пусть существуют две свободные границы Гц и Г2(. Понятно, что в этом случае область Г2 С R" разделяется свободными границами уже натри подобласти: 2f, Cl t, Cl t- Предполагается, что свободные границы движутся навстречу друг другу и в момент времени t — t в точке х = х происходит их касание. Понятно, что в момент взаимодействия свободных границ происходит смена топологии: вместо двух свободных границ возникает одна Tt, а вместо трех областей с различными фазами существует только две (в одномерном случае остается только область П, занятая только одной из фаз).
В настоящее время, на сколько нам известно, единственным примером аккуратного качественного анализа задачи со слиянием свободных границ в случае задачи Хеле-Шоу является исследование А. Мейрма-нова и Б. Зальтцмана [33]. Напомним, что задача Хеле-Шоу описывает движение свободной границы в однофазной среде. В своем исследовани-ии А. Мейрманов и Б. Зальтцман использовали классические результаты (в частности, принцип максимума) для уравнения теплопроводности. Заметим, что изучаемые нами двухфазные задачи являются на порядок сложнее рассмотренной в [33], и в нашем случае принцип максимума, вообще говоря, не применим, и мы используем другую - конструктивную технику.
Ясно, что, применив известную технику построения слабого асимптотического решения задачи без взаимодействия [20, 38, 41, 57], мы можем построить решение системы фазового поля как до, так и после взаимодействия. В то же время, необходимо "сшить" эти два решения равномерно по времени при t = t . Используя метод слабых асимптотик (см. Раздел 1.0.3), взаимодействие свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона исследовал Г.А. Омельянов [38]. В соответствии с изложенными выше соображениями Г.А. Омельянов написал равномерную по t асимптотику решения системы фазового поля. В отличие от Г.А. Оме-льянова мы используем иной вид анзатца слабого асимптотического решения системы фазового поля, который позволяет вывести глобальные по времени предельные задачи обобщающие предельные классические задачи на случай взаимодействия свободных границ. 1.0.1 Цель работы.
Наша основная задача заключается в построении формального асимптотического решения для системы фазового поля (1.5), (1.6), которое описывает взаимодействие свободных границ, т.е. мы хотим построить некоторую приближенную (асимптотическую) формулу для решения, и эта формула должна работать на временах t Є [0, ti], t\ t , t - момент взаимодействия свободных границ.
Согласно общим теоремам существования, решение системы (1.5), (1.6) существует. Решение строится с использованием метода слабых асимптотик.
Необходимо отметить, что цена, заплаченная за возможность построения более или менее явных формул для решения, не так мала - мы не проверяем, что асимптотические решения близки к точным решениям. Более того, исходя из известных оценок, такую проверку нельзя осуществить. В то же время, мы сравниваем построенные формулы с результатами численного моделирования (см. [42]).
1.0.2 Основные результаты
При формулировке основных результатов мы приводим только наиболее важные формулы и теоретические факты в общем виде. Более подробное их освещение и обоснование дано ниже в соответствующих главах диссертации (см. также [22]).
В Главе 2, в Разделе 2.4, посвященной исследованию взаимодействия свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона, получены следующие основные результаты.
Для того, чтобы проанализировать рассматриваемые в диссертационной работе задачи со свободными границами в случае взаимодействия, необходимо выбрать подходящий метод построения решения.
Под нелинейными волнами мы подразумеваем решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые имеют локализованное "быстрое" изменение. Наиболее типичными примерами таких волн являются решения уравнений с малой дисперсией є С 1 и сглаженные ударные волны в уравнениях с малой вязкостью. Применяемый в данной работе метод основывается на процедуре, при которой нелинейная волна является заданной функцией от времени со значениями в пространстве обобщенных функций 2? (К).
Обычно, под тем фактом, что функция является асимптотическим (приближенным) решением дифференциального уравнения, подразумевается, что эта функция удовлетворяет уравнению с малой невязкой. Говорят, что невязка мала, если в некоторой норме она допускает оценку 0(єа), где а 0 и малый параметр є — 0. Очень часто используется норма в пространстве Ск. В рамках применяемого нами метода мы используем норму в пространстве С°°. Малый параметр є содержится в решении или в уравнении. Асимптотическое решение ищется в виде специального анзатца, вид которого зависит от используемого метода.
Рассмотрим существующие в настоящее время основные асимптотические методы, использующиеся для решения нелинейных уравнений.
Такое стабилизирующееся решение отвечает нелинейной волне с локализованным быстрым изменением. Примерами таких волн являются решения уравнений с малой дисперсией, ударные волны, кинки, волны концентрации и др. Эти объекты представляют собой элементарные структуры нелинейного мира, который описывается с помощью процессов распространения и взаимодействия указанных нелинейных объектов, а также с помощью более сложных структур, возникающих при их взаимодействии.
В 70-80 гг. прошлого века В.П. Маслов со своими коллегами усовершенствовал метод Уизема [16, 31]. Это позволило описывать распространение нелинейных волн в несколько более общих ситуациях.
Примерно в те же годы разрабатывался новый мощный метод для построения точных решений "интегрируемых" уравнений в частных производных, описывающих взаимодействие одиночных нелинейных волн. Этот метод назвали методом обратного преобразования рассеяния (метод обратной задачи рассеяния), появление которого было воспринято как величайшее событие в математической физики 20 века.
Однако, благодаря усилиям многих знаменитых математиков, в последние несколько десятилетий почти все "интегрируемые" задачи были решены. Тем не менее, понятно, что множество математических моделей тех или иных физических явлений, в которых необходимо проанализировать взаимодействие нелинейных волн, далеко не исчерпывается только "интегрируемыми" случаями.
В случае рассматриваемой в диссертационной работе задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона используется новый подход для построения асимптотических решений, описывающих распространение и взаимодействие нелинейных волн. Этот подход был назван методом слабых асимптотик и тесно связан с идеями, предложенными Ж.Ф. Коломбо (J.F. Colombeau) и другими учеными, которые занимались построением различных алгебр обобщенных функций. Метод, как таковой, был впервые введен в работах В.Г. Данилова и В.М. Шелковича под воздействием работ Ж.Ф. Коломбо и М. Обергуггенбергера (М. ОЬег-guggenberger) с соавторами и благодаря идеям, высказанным в работах Ж.А. Марти (J.A. Marti), В.В. Жаринова С. Пилиповича (S. Pilipovic).
В методе слабых асимптотик приближенные решения ищутся в таком же виде, как и в методе Уизема, модифицированном для решения задач с нелинейными волнами с локализованным быстрым изменением ([16, 31]), но с невязкой малой в смысле пространства функционалов V x над пробными функциями, зависящими только от пространственной переменной х. В частности, такое довольно тривиальное усовершенствование позволяет свести задачу описания взаимодействия нелинейных волн к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (вместо решения уравнений в частных производных).
Более того, с точки зрения дифференциальных уравнений, уравнение само "выбирает" регуляризацию обобщенных функций, содержащихся в его решении (регуляризация относительно малой вязкости, малой дисперсии и др.), что не согласуется с подходом Коломбо. Полученная при решении дифференциальных уравнений регуляризация не удовлетворяет условию нулевых моментов.
Для того, чтобы сделать подход Коломбо более близким к асимптотическим методам и получить конструктивные формулы, было предложено алгебраическое расширение линейной оболочки однородных и присоединенных однородных функций [17, 23]. Например, гармоническая регуляризация дельта функции Дирака (5-функции) была проведена с помощью сглаживающей функции с ненулевыми моментами. Было установлено взаимно-однозначное соответствие между алгеброй порожденной гармонической регуляризацией элементов указанной линейной оболочки и асимптотической серией типа Лорана-Хартога (Laurent-Hartog), называемой асимптотическим распределением [17, 23] Здесь fij - однородная или присоединенная однородная функция, {о } -ограниченная снизу монотонно возрастающая последовательность действительных чисел, и {/%} - конечное множество действительных чисел при каждом фиксированном г.
Произведение двух асимптотических распределений определяется как асимптотическое распределение, ассоциированное с произведением соответствующих элементов в алгебре гармонических регуляризации. Оно также позволяет ввести асимптотические подалгебры в алгебре регуляризации по модулю 0(єа) в слабом смысле при подходящем выборе си. Такие построения могут быть легко обобщены на случай произвольной гладкой регуляризации (более общий, чем случай гармонической регуляризации).
Более точно эти подалгебры порождаются произвольной гладкой регуляризацией, которая используется в методе слабых асимптотик. Именно, асимптотика строится в виде линейной комбинации регуляризован-ных образующих некоторой подалгебры.
Тот факт, что множество всех линейных комбинаций замкнуто с точностью до 0-р (єа) относительно нелинейных отображений, приводит к конечной системе уравнений на коэффициенты исходной линейной комбинации точно так же, как в приведенном выше примере для ударной волны.
В рассматриваемом здесь подходе существует только один момент, которому необходимо уделить особое внимание. Это выбор определения слабого решения, допускающего переход к "правильной" предельной задаче.
Эта проблема является хорошо известным камнем преткновения в теории нелинейных дифференциальных уравнений. Частные случаи, такие как предел при нулевой вязкости и предел при нулевой дисперсии, были изучены в известных работах [15, 27].
Заметим, что наше понимание величины Ovi(ea) в правой части уравнения может трактоваться как в смысле малой вязкости, так и в смысле малой дисперсии. Однако, при этом решения, соответствующие этим двум физическим трактовкам регуляризации, достаточно различные. Поэтому в наших построениях очень важно корректно сформулировать определение слабого решения допускающего переход к предельной задаче при є -» 0.
По-видимому, на эту ситуацию впервые было обращено внимание в работах [18, 19], где исследовался переход к предельной задаче (от системы фазового поля к задаче Стефана-Гиббса-Томсона). В диссертационной работе приводится определение слабого решения нелинейной системы фазового поля (см. Определение 1), которое немного отличается от полученного согласно стандартному подходу. Как показано в [18, 19], это определение позволяет корректно перейти к соответствующей предельной задаче. Заметим, что проанализированная в [18, 19] конструкция близка к методу слабых асимптотик, применяемому в настоящей работе.
Грубо говоря, логика метода состоит в следующем. Мы рассматриваем совместно две задачи: предельную задачу (без є) и регуляризованную задачу (содержащую є). Возникает вопрос: какое слабое решение регу-ляризованной задачи соответствует предельной задаче? Слово "соответствует" означает, что слабый предел слабого решения должен удовлетворять предельной задаче1.
В частности, сингулярный носитель слабого решения должен совпадать с позицией фронта предельной волны. Итак, каким же образом можно получить определение слабого решения, которое автоматически будет удовлетворять указанным условиям соответствия?
Давайте посмотрим на нелинейную одиночную волну в регуляризо-ванной задаче (кинк, солитон, волну концентрации и др.), построенной упомянутым выше методом [16, 31]. Главный член разложения в случае всех этих волн при є — О определяется решением известного стандартного (модельного) уравнения. Само это уравнение не содержит є. Его решения обычно интерпретируются как образ последовательности функций, аппроксимирующих 5-функцию или образ последовательности функций, аппроксимирующих функцию Хевисайда и т.д. Можно сказать, что модельное уравнение порождает гладкую структуру, которая содержит особую информацию, не зависящую от є, о зависимости от є решения обобщенной задачи.
Но на изучении модельного уравнения исследование не заканчивается. В порядке построения є-асимптотики для регуляризованной задачи необходимо также рассмотреть первую вариацию этого уравнения с точностью выше, чем 0(є).
Вариационное уравнение не зависит от є (как и само модельное уравнение), и, как правило, его разрешимость гарантируется условием ортогональности с нулевым ядром сопряженной задачи.
Это условие ортогональности, фактически, определяет позицию фронта нелинейной волны. Очевидно, это условие, в некотором роде, должно играть существенную роль в построении "правильного" определения слабого асимптотического решения. Поэтому мы даем определение слабого решения допускающего предельный переход таким образом, что в слабом смысле это определение становится условием разрешимости для линеаризованной задачи.
Число условий ортогональности равно размерности ядра сопряженного линеаризованного оператора. Следовательно, определение слабого решения для единичного скалярного уравнения может содержать только одно интегральное тождество (если размерность ядра равна 1) или два интегральных тождества (как в случае уравнения KdV).
Главным преимуществом метода слабых асимптотик является возможность аналитически описывать не только распространение нелинейных волн, но и их взаимодействие без использования точных интегральных методов (таких как метод обратного преобразования рассеивания, методы теории групп и др.).
Этот подход стал возможным благодаря особым свойствам асимптотических подалгебр обобщенных функций, элементы которых используются при построении слабых асимптотических решений. Описание асим птотическх подалгебр, на которых основывается построение слабых асимптотических решений в данной работе, дано в [20]. Здесь мы приводим простой пример, на котором основывается техническая база аналитического описания взаимодействия (слияния) ударных волн.
Выводы: Рассмотренные выше асимптотические методы успешно применялись для решения задач без взаимодействия. В то же время, из-за тех или иных ограничений они не могут быть использованы для анализа рассматриваемых нами существенно нелинейных задач, описывающих взаимодействие свободных границ. Применяемый в данной работе метод слабых асимптотик является логическим развитием идей В.П. Маслова [16, 31] и Ж.Ф. Коломбо [14]. Существенным преимуществом метода слабых асимптотик перед остальными методами построения асимптотических решений является возможность его использования для описания процессов взаимодействия нелинейных волн .
Построение слабого асимптотического решения
Прежде всего, рассмотрим какие эффекты выявляются при численном моделировании процесса взаимодействия. Из рис. 3.6 видно, что температура претерпевает "скачок" с конечной амплитудой вблизи момента слияния свободных границ: профиль графика резко меняется с W-образного на V-образный. Эволюция функции порядка показана на рис. 3.5. Ясно, что в задаче с взаимодействием двух свободных границ, до момента контакта t = , существуют три области (интервала) с различными фазами. В момент контакта свободных границ область (интервал) f2f исчезает, и при t t среда имеет только единственную фазу "+". Также понятно, что система (2.2), (2.3) существенно нелинейная, и простая сумма двух волн (кинков) не является ее решением. Если свободные границы Ti t, г = 1,2 находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга при t t , т.е. то в (2.2), (2.3) функция порядка имеет вид (2.14). В то же время, если t = t и фг ф 0, то формулы (2.13), (2.14) не дают верного решения даже качественно. Принимая во внимание все вышесказанное, мы будем искать слабое асимптотическое решение системы фазового поля (2.2), (2.3) в виде где Здесь /3, (p, 7 , 7(+, 7+ - искомые функции, причем функция р = p(t,e) описывает положение свободных границ Г , і = 1,2. Для того, чтобы описать структуру введенных выше функций, рассмотрим "быструю" переменную т: При этом на временах t t функция р0 = ф определяется из задачи (2.8), (2.16), (2.17). Согласно нашим предположениям, функция (po(t) может быть гладко продолжена на времена t t с сохранением знака производной. Это продолжение мы также будем обозначать (fo(t). Таким образом, переменная г = r(t, є) определена при t t , причем г — со при t t и є — 0 (до взаимодействия свободных границ); г — —со при t t и є —ї 0 (после взаимодействия свободных границ). непрерывны. Следовательно, непрерывны и TJ+, определенные в (2.21). Обозначим 7г+г(Уо( )5 ) = 7/+г(0- Понятно, что в наших предположениях 7/+rW = =t- Vot(0 гДе М = const. Поэтому, определяя функцию fiot(t), мы тем самым определяем свойства функций 7/+г-Положим Функции u)o(z), cJi(z) определены в (2.13), (2.14). Мы предполагаем (далее докажем), что выполнены пределы /?і(т) - 0, і(т) - 0 при г — со (т.е., до взаимодействия свободных границ). Из формулы (2.19) с учетом (2.15) видно, что в результате взаимодействия свободных границ кинки о 0 (Р(—х — р)/е) и OJQ (Р(Х — ф)/є) аннигилируют.
Аннигиляция означает исчезновение области f2f. В самом деле, если ip(t) 0, то из формулы (1.7) получаем и Если (p(t ) = х (в нашем случае х = 0), то если р 0, то для любого N 0, х Є М1. Формула (2.20) построена так, чтобы она качественно правильно описывала поведение температуры во время эволюции и взаимодействия свободных границ Г , г = 1,2. Согласно Определению 1, мы должны удовлетворить уравнениям (2.5), (2.6) с учетом формул (2.19), (2.20). Таким образом, имеем где операторы L и С определены в формуле (2.4). В правой части (2.23) коэффициенты при функциях Хевисайда имеют вид В (2.23) коэффициенты при J-функциях определяются формулами Здесь мы обозначили В уравнении (2.24) коэффициенты при -функциях имеют вид В (2.24) коэффициенты при производных 5-функций определяются формулами где мы обозначили Теорема 3. Если существует классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.16), (2.17) nput t , существует предел (2.18), выполнено уравнение u выполнено соотношение то функции йє, вє, определенные в (2.19), (2.20) являются слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3) при t Є Доказательство. В силу Леммы 2, если то Уравнение (2.38), где W} определены в (2.28), (2.29), являются условиями Стефана (2.79) при т —У +оо, существование которых следует из существования классического решения задачи Стефана-Гиббса-Томсона. При т — —оо уравнения (2.38) с учетом (2.30), (2.31) выполнены автоматически. Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось соотношение (2.39) или, что то же самое - уравнение (2.36). Аналогично, если то в силу Следствия 1 При т — +оо уравнения (2.40) переходят в условия Гиббеа-Томсона (2.46), существование которых следует из существования классического решения рассматриваемой предельной задачи. При г —у —оо уравнения (2.41) выполнены автоматически. Таким образом, получаем необходимость уравнения (2.41), которое в силу (2.30) и (2.31) выполнено автоматически. Кроме того, необходимо положить V? = 0, г = 1,2, и, тем самым, получаем соотношение (1.12). В заключение отметим, что из существования классического решения задачи (2.8), (2.16), (2.17) следует Таким образом, если выполнены предположения Теоремы 3, то система (2.42)-(2.44), (2.36) является регуляризацией обобщения задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.16), (2.17) на времена t Є [0,ti], где tx t . Динамика свободных границ до взаимодействия. Принимая во внимание наши предположения, получаем, что до взаимодействия рх — 0, и, следовательно, г —У оо, р/т —У 1 при є — 0, t t . Рассмотрим формулу (2.33) в пределе при г — оо. Здесь мы не будем подробно анализировать переход к пределу (подробный анализ описан в Разделе 2.4.2, см. формулу (2.112)), а укажем окончательный результат: Рассмотрим уравнение (2.41). Как было сказано, это уравнение верно всегда. Тем не менее, указанное уравнение формально содержится в системе (2.42)-(2,44), (2.36). Поэтому, для справедливости задачи (2.42)-(2.44), (2.36), необходимо приравнять к нулю коэффициенты (2.97), (2.98) при г —ї оо. Другими словами, мы проверим справедливость пределов (2.40). Итак, получаем уравнения где у(х, t) имеет смысл температуры (см. (2.20)). Таким образом, условия Гиббса-Томсона (2.17) выполнены с a = A ij с. Наконец, рассмотрим уравнение (2.36) до взаимодействия, т.е. проверим, что выполнены пределы (2.38). В результате предельного перехода при т — оо из (2.36) получим два уравнения Ясно, что уравнения (2.79) соответствуют условиям Стефана (2.16). Легко проверить, что при г — оо уравнения теплопроводности (2.42)-(2.44) переходят в предельное уравнение (2.8) в соответствующих областях Of, nr/tt и fijt. Итак, задача (2.42)-(2.44), (2.36) до взаимодействия переходит в предельную задачу Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.16), (2.17).
Построение слабого асимптотического решения
Слабое асимптотическое решение для системы фазового поля (2.2), (2.3) (0 а 1) в случае задачи Стефана (2.8), (2.59), (2.16) строится по формулам (2.19), (2.20). При этом положим (ср. с формулой (2.22)). Кроме того, в формуле (2.21) положим а функция ір определена по формуле (2.60). Остальные построения остаются без изменения, см. Раздел 2.2.1. Согласно Определению 1, получаем разложения где операторы L и С определены в формуле (2.4). В правой части (2.62) коэффициенты при функциях Хевисайда имеют вид В (2.62) коэффициенты при -функциях определяются формулами В уравнении (2.63) коэффициенты при -функциях имеют вид В (2.63) коэффициенты при производных 5-функций определяются формулами (2.33). Понятно, что для выполнения (2.62) необходимо, в частности, положить Последнее с учетом (2.71), (2.72) означает выполнение следующих уравнений Из разложения (2.62) с учетом (2.76), (2.67) получаем систему, состоящую из уравнений теплопроводности которые дополнены условиями (2.73), (2.74) и уравнением (2.75). Теорема 4. Если существует классическое решение задачи Стефана (2.8), (2.59), (2.16) при t t , существует предел (2.18), выполнено уравнение 2pr4 ot Р1 и выполнено соотношение (2.37), то функции йє, ве, определенные в (2.19), (2.20) с учетом (2.60), (2.61) являются слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3) при t Є [0,i], ti t . Доказательство Теоремы 4 совершенно аналогично доказательству Теоремы 3. Заметим, что из существования классического решения задачи Стефана (2.8), (2.59), (2.16) следует выполнение уравнений Таким образом, если выполнены предположения Теоремы 4, то система (2.78), (2.77) является регуляризацией обобщения задачи Стефана (2.8), (2.59), (2.16) на времена t Є [0, ti], где t\ t . Остается лишь заметить, что условие (2.59) автоматически выполняется исходя из определения функций Т г, см. формулу (2.21). Динамика свободных границ до взаимодействия. Аналогично рассмотрению динамики свободных границ в симметричной задаче Стефана-Гиббса-Томсона в изучаемой задаче Стефана справедлив результат (2.45). В результате предельного перехода при т — оо из (2.77) получим два уравнения Ясно, что уравнения (2.79) соответствуют условиям Стефана (2.16). Легко проверить, что при т — оо уравнения теплопроводности (2.78) переходят в предельное уравнение (2.8).
При рассмотрении системы (2.76), (2.73)-(2.75) в пределе при г — оо непосредственно из уравнения (2.75) устанавливается, что Взаимодействие свободных границ. В случае симметричной задачи Стефана, аналогично рассмотренной выше симметричной задаче Стефана-Гиббса-Томсона, можно утверждать, что существует положительная действительная ограниченная функция / = Pi(p) (подробные вычисления см. в Разделе 2.4.2, формула (2.115)) такая, что /Зі — 0 при р — оо и fix — const Ф 0 при р — —оо. Будем искать функцию Те как решение задачи r.U = 0L,, тє\х=±1 = в\х= Задача (2.80) позволяет определить "глобальное" решение со свойствами подобными решению задачи (2.49). Аналогично (2.55) и (2.56) получаем В силу симметричности рассматриваемой задачи уравнения (2.81) и (2.82) одинаковые, кроме того, из этих уравнений видно, что 7і г(тф) — 0 при t t . Запишем функции ф и 7j+(—4 i t) в виде (2.57) (сейчас в формуле Аналогично определяется функция 7Д _ Различие в поведении температуры в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона проявляется в том, что температура в задаче Стефана не меняет профиль в момент контакта свободных границ (см. рис 3.8, d)), как это происходит в задаче Стефана-Гиббса-Томсона (см. рис 3.6). Объясняется это тем, что в задаче (2.80) отсутствует функция П, которая присутствует в задаче (2.49). В этой части мы обобщим построение решения для симметричной задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.16), (2.17), рассмотренной в Разделе 2.2.1 на случай, когда границы задаются соотношениями (2.1). Итак, в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) слабое асимптотическое решение для функции порядка имеет вид (1.7) Заметим, что при t t формула (1.7) совпадает с тремя первыми слагаемыми в правой части выражения (2.14) с точностью 0(eN) для любого N. Таким образом, нетрудно видеть, что анзатц (1.7) для функции порядка и качественно правильно описывает процесс взаимодействия. Именно, если ip2{t) — y i(t) 0, то
Построение слабого асимптотического решения
Различие в поведении температуры в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона проявляется в том, что температура в задаче Стефана не меняет профиль в момент контакта свободных границ (см. рис 3.8, d)), как это происходит в задаче Стефана-Гиббса-Томсона (см. рис 3.6). Объясняется это тем, что в задаче (2.80) отсутствует функция П, которая присутствует в задаче (2.49). В этой части мы обобщим построение решения для симметричной задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.16), (2.17), рассмотренной в Разделе 2.2.1 на случай, когда границы задаются соотношениями (2.1). Итак, в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) слабое асимптотическое решение для функции порядка имеет вид (1.7) Заметим, что при t t формула (1.7) совпадает с тремя первыми слагаемыми в правой части выражения (2.14) с точностью 0(eN) для любого N. Таким образом, нетрудно видеть, что анзатц (1.7) для функции порядка и качественно правильно описывает процесс взаимодействия. Именно, если ip2{t) — y i(t) 0, то ЄСЛИ fl{t ) = 2{t ) = , TO для любого iV 0, х Є R1. Наша задача - описать продолжение решения из интервала [0, t ) в интервал [ , i], ii Г. При этом, заметим, что функции 0і(х, і), определяемые из (2.8) в соответствующих областях Qf формируют обобщенное (продолженное) решение уравнения теплопроводности которое удовлетворяет дополнительному условию Теперь введем продолжение температуры. Во-первых, заметим, что функции Т и 7)+ могут быть построены как "модели" сингулярностей температуры. В самом деле, если нам известно решение задачи (2.8), (2.10), (2.11) при t Є [0,t ], то мы можем найти все функции, определяющие структуру сингулярностей температуры в±. Ясно, что задача продолжения функций Т и Т г с заданной структурой эквивалентна задаче продолжения функций pi(t,e), у г, 7о 7Г зависящих только от времени t. Согласно нашим предположениям относительно свойств решения задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) указанные продолжения могут быть построены. Таким образом, имеем функцию Т: которая определена при t Є [0, ti] и такая, что при t Є [0, t ]. Итак, можно продолжить разность в — Т = Тс во временной интервал [ , і], для некоторого t\. Это означает, что построено продолжение функции в в [t ,ii]. Таким образом, продолжение температуры в строится по формуле (1.9). При этом для определения функции в, входящей в анзатц (1.9) при т — со имеем уравнение теплопроводности (2.84) с дополнительным условием (2.85). При г —» —со, учитывая (1.9), имеем уравнение на 0f: и, как следствие, получаем уравнение для 6S: Ниже увидим, что в силу (2.84), (2.91) и Леммы 3 правая часть F(T,X) в (2.92) достаточно быстро возрастает при \т\ —» со, и, следовательно, получаем и очевидно выполнено неравенство \тв8\ const. Заметим, что слагаемое ipo9s имеет порядок О (є), и мы используем это слагаемое только, для того, чтобы удовлетворить уравнению теплопроводности (2.2) в случае, когда температура имеет вид (1.9).
Граничные условия для асимптотики 9 такие же, как и для самой температуры. Основной (ожидаемый) результат данной работы в одномерном случае состоит в предельной задаче (1.15) для функции 9. Таким образом, из наших построений имеем: если классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона существует вплоть до t , то обобщенное решение предельной задачи (1.15) существует на более широком интервале t Є [0, t\], h 0. Используя формулы метода слабых асимптотик (см. Главу 4) с учетом (1.7), получим Ч 2 -Ч \ В силу уравнения (2.2), принимая во внимание (2.93), получим, что производные по х функции 9, которая определена в (1.9), имеют разрывы только первого рода. Обозначим 9 = фо ї + 9. В силу (2.91) при t t имеем, что 9 Є С. По построению производные функции 9 имеют разрывы первого рода в точках х = (pi, г = 1, 2, следовательно, получаем Таким образом, подставляя температуру 9, определенную в (1.9) и анзатц (1.7) для функции порядка й в уравнение (2.2), с учетом формулы (2.93) и того факта, что производные функции в имеют разрывы, получаем уравнение В уравнении (2.96) коэффициенты при производных 5-функций задаются формулами где мы обозначили В итоге можем сформулировать Теорему 1 (см. Раздел 1.0.2), где мы обозначили Й2 ""00 классического решения задачи (2.8), (2.10), (2.11) до взаимодействия (г — —оо). Принимая во внимание формулу (1.14) и тот факт, что 1 — Л(т) — 0, т —V — оо, видим, что пределы (2.107) выполнены также и при т — —оо. Таким образом, получаем соотношение (2.108), которое с учетом (2.95) есть ни что иное, как (1.10). В силу Следствия 1, если выполнены соотношения Напомним, что сумма в левой части (2.111) входит в уравнение (2.96). При г — +оо уравнения (2.109) приводят к условиям Гиббса-Томсона (2.114) (или (2.11)), существование которых следует из существования классического решения задачи (2.8), (2.10), (2.11) до взаимодействия (г — —оо). При г — —оо уравнения (2.110) выполнены автоматически. Заметим, что соотношение (2.110) с учетом (2.97), (2.98) означает уравнение (1-11). В силу (2.96), получаем, что У/ = 0 и, следовательно, имеем соотно шение (1.12). Динамика свободных границ до взаимодействия. Исследуем наши построения -формулы (1.10), (1.11), (1-12) на временах, предшествующих моменту слияния свободных границ. Иными словами, рассмотрим эволюцию (динамику) свободных границ без взаимодействия. Принимая во внимание наши предположения, видим, что до взаимодействия ірц — 0, і = 1,2 и, следовательно, т — оо, р/т - 1 при є — 0, t . Рассмотрим формулу (2.100) в пределе при г — оо. Ясно, что в (2.101) слагаемые С55, CQQ0 И CQOOO стремятся к нулю при г — оо. Хорошо известно, что Шо = — и о+Ц). Следовательно, умножая последнее уравнение на и о и интегрируя по частям в Ш\, получим следующую формулу для ар Легко видеть, что BQ20 — 2ар и BQ202 - lap при р — оо.
Итак, видим, что Ср -4 ар при р — оо. Непосредственный анализ коэфициента D позволяет заключить, что D — ар при р —ї оо. Таким образом, принимая во внимание наши предположения относительно функции (5, проведенный выше анализ и предположение о том, что коэффициенты (2.100) равны нулю, получаем следующее уравнение при г — со (т.е. до взаимодействия свободных границ). Поскольку мы предполагаем, что функция /3 положительная, последнее уравнение имеет единственный корень При г — +оо (до взаимодействия свободных границ), с учетом наших предположений, получим, что уравнение (1.10) разделяется на два соотношения Заметим, что уравнения (2.113) являются условиями Стефана (2.10) на каждой из границ Г , І — 1,2. Из уравнения (1.11) при г —+оо имеем где 7(x,t) - температура, определенная в (2.87). Уравнения (2.114) по сути есть условия Гиббса-Томсона (2.11) с к = AQ2/X. Взаимодействие свободных границ. Перейдем к исследованию процесса взаимодействия свободных границ. После слияния свободных границ имеем, что (f2o(t) — ю( ) 0 и, следовательно, г—со при є —0. Принимая во внимание тот факт, что коэффициенты в (2.100) равны нулю, с учетом уравнения (2.112) получаем формулу для функции @і(т): В силу соотношения (2.99) для F, из формулы (2.100) имеем F(z) 0 при г Iі, и, следовательно, D 0. Аналогично, в (2.100) функция С является главным членом асимптотики
Построение слабого асимптотического решения
В случае задачи Стефана слабое асимптотическое решение для функции порядка строится по формуле (1.7). При этом мы определим функции /?;, г = 1,2 следующим образом Аналогично задаче Стефана-Гиббса-Томсона определим продолжение решения для температуры в как решение уравнения теплопрводно-сти (2.84), которое удовлетворяет условию В случае задачи Стефана положим у = О, Т = 0 и, следовательно, как и в (2.86), имеем Таким образом, слабое асимптотическое решение для температуры имеет вид (1.16). Уточним, что функция 6 i в формуле (1.16) имеет такую же структуру, как и 0, т.е. В результате применения метода слабых асимптотик из уравнения (2.2), с учетом формул (1.7) и (1.16), получаем разложение Из уравнения (2.3) имеем разложение (2.96), в котором коэффициенты при -функциях в случае задачи Стефана имеют вид: видеть, что для выполнения (2.96) необходимо, чтобы Последние равенства, с учетом (2.138), (2.139), эквивалентны следующим уравнениям Для того, чтобы удовлетворялось уравнение (2.136), в частности, необходимо, чтобы коэффициенты при еа обращались в нуль. С учетом (2.141), (2.137) имеем краевую задачу которая дополнена уравнением (2.142). Из всего вышесказанного мы приходим к основному теоретическому результату в случае задачи Стефана - Теореме 2. Прокомментируем доказательство этой теоремы. Доказательство. Доказательство необходимости выполнения уравнений (1.10) и (1.12) совершенно аналогично доказательству Теоремы 1. Заме тим, что существование классического решения означает, в частности, существование функций v?i(), г = 1,2 до взаимодействия, которые мы можем гладко продолжить за момент взаимодействия t t . Более то го, устанавливается (см. (2.145)), что в задаче (2.143) функции дц = 0, г — 1,2 при t t . В остальном схема доказательства Теоремы 2 совпа дает со схемой доказательства Теоремы 1. - (2aF-2В020-В?202) + (С66-2С0оо + Соооо) = 0, і = 1,2. (2.142) Динамика свободных границ до взаимодействия. Исследование уравнения (1.12) на временах до взаимодействия (т — со) дает абсолютно такой же результат, как и в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона, т.е. имеем равенство (2.112). В случае задачи Стефана, переходя к пределу при т -» со (до взаимодействия) в уравнении(І.Ю), получаем два равенства it = tywu 7г+ = 2 20t- (2.144) Уравнения (2.144) в рассматриваемом нами случае отвечают условиям Стефана (2.10). Из уравнения (2.140) получаем 01 =0, = 1,2.
Предельный переход при т — со в уравнении (2.142) приводит к соотношениям fiit{x,t)=0, і = 1,2. (2.145) Таким образом, видим, что в случае анзатца (1.7), (1.9), соответствующего задаче Стефана, система фазового поля переходит в классическую задачу Стефана. Взаимодействие свободных границ. Уравнение (2.115) в рассматриваемом случае остается верным. Поскольку анзатц для функции порядка (1.7) в случаях задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона одинаковый, то все вычисления, приводящие к формулам (2.123), (2.125) и (2.126) в случае задачи Стефана остаются верными. Заметим, что при г — —со (после взаимодействия) левая часть уравнения (2.142) и правая часть уравнения теплопроводности в задаче (2.143) автоматически равны нулю. Кроме того, в случае задачи Стефана нет соотношения аналогичного уравнению (2.127), как в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона. В то же время, в случае задачи Стефана справедливо соотношение (2.132). В то же время, из оценки для функции р(т) = т(1 + 2і {т) — 2і (т)) — const при г — —со (см. формулу (2.123)) следует, что рц(т), і — 1, 2 являются произвольными гладкими равномерно ограниченными функциями, причем
