Содержание к диссертации
Введение
1 Математические модели распространения оптического излучения
1.1 Уравнения Максвелла
1.5 Свойства защитных голограмм как плоских оптических элементов .
2 Задача формирования лазерного излучения в приближении геометрической оптики
2.1 Модель распространения излучения для решения обратной задачи
2.2 Математическая модель и постановка обратной задачи
4 Технологические аспекты изготовления элементов плоской компьютерной оптики
4.1 Параметры микрорельефа компьютерно синтезированных оптических элементов
- Свойства защитных голограмм как плоских оптических элементов
- Математическая модель и постановка обратной задачи
- Параметры микрорельефа компьютерно синтезированных оптических элементов
Свойства защитных голограмм как плоских оптических элементов
Диссертация посвящена изучению актуальных проблем математическому моделированию и решению обратных задач синтеза плоской компьютерной оптики.
Плоская компьютерная оптика в настоящее время бурно развивается и завоевывает все новые рубежи. Сфера влияния классической оптики, базирующейся на использовании таких стандартных элементов как призмы, линзы, зеркала, весьма ограничена. Элементы плоской компьютерной оптики могут решать такие задачи преобразования излучения, которые недоступны классической оптике [2 ], [26], [53].
Широкое применение плоская оптика нашла в оптике лазеров. Плоская оптика используется в задачах фокусировки лазерного излучения, метрологии мощности лазеров. Широкое применение в практике имеют делители пучков, ответвители излучения. Большой интерес представляют возможности плоской оптики в задачах преобразования лазерного излучения [20], [63], [6]. Широкое применение находят в оптике тонкослойные системы (покрытия) [50], [66], [19], [67].
Широкое использование нашла плоская оптика и в защитных оптических технологиях. Голографические технологии используются во всем мире для защиты документов, ценных бумаг, товаров народного потребления. За границей более широкое применение получил термин Optical Variable Devices (OVD). По сути дела речь идет о специально синтезированных плоских оптических элементах, имеющих уникальные защитные свойства. Если за границей OVD технология получила широкое применение около десяти лет назад (первые проекты массового использования - VISA и MASTER-CARD), то в нашей стране применение оптических технологий для защиты от подделок началось около четырех лет назад [1], [62].
Диссертация посвящена некоторым вопросам синтеза плоской компьютерной оптики, а именно проблемам выбора математических моделей, постановке прямых и обратных задач синтеза, разработке методов их эффективного решения.
Еще одна проблема, обсуждаемая в диссертации - это разработка автоматизированного контроля подлинности компьютерно синтезированных голограмм. На стадии синтеза в голограмму встраивается специальный оптический элемент для формирования заданной диаграммы направленности лазерного излучения. Специально сконструированный прибор осуществляет регистрацию рассеянного на оптическом элементе излучения и автоматически «сравнивает» его с эталоном.
Глава 1 посвящена анализу математических моделей плоской компьютерной оптики. Показано, что для рассматриваемых задач адекватное действительности описание можно получить, используя модели Кирхгофа, Френеля и геометрической оптики. Подробно изучаются дифракционные эффекты, возникающие при рассеянии света на элементах плоской компьютерной оптики. В рамках указанных моделей осуществляется постановка обратных задач формирования лазерного излучения (из области в область). Такие задачи актуальны в голографических защитных технологиях, оптике мощных лазеров и т.п. [61], [20]. Большое прикладное значение имеет, казалось бы, простейшая задача:
Задача 1. На плоский оптический элемент, расположенный в плоскости Z=0 падает излучение лазера с равномерным распределением интенсивности внутри круга 0:{u,v: rV u2+v2}. Необходимо рассчитать и изготовить оптический элемент, формирующий в плоскости Z=F прямоугольник Р:{х,у: а 1 х , Ь у } с равномерным распределением интенсивности сформированного излучения,
Решение этой задачи открывает новые перспективы в лазерной термообработке деталей, возбуждением световодов оптическим излучением твердотельных лазеров [26]. Несмотря на кажущуюся простоту, возникающая обратная задача представляется достаточно сложной. Если математическая модель выбрана, то в рамках этой модели обратную задачу формально можно описать, как операторное уравнение первого рода Acp=f, срєФ, f =F (B.l) где p - характеристики оптического излучения, f - характеристики формируемого изображения. С математической точки зрения представляют интерес вопросы существования и единственности решения уравнения B.l, а также построение эффективных алгоритмов решения поставленных задач синтеза.
В главе 2 показано, что в рамках модели геометрической оптики, задача синтеза может быть сведена к изучению специального вида нелинейных отображений. x u=y v jxVyV-xVy uhConst (В.2) Широкий класс таких отображений может быть описан нелинейными уравнениями типа Монжа-Ампера: Z Zyy-Zxy2- (В.З) Показано, что, вообще говоря, решение задачи синтеза не единственно. Построены эффективные алгоритмы решения задачи синтеза (В.З). На конкретных примерах формирования квадрата и различных прямоугольников с равномерным распределением интенсивности демонстрируется эффективность приближенных алгоритмов решения задачи синтеза. Расчет прямых задач в приближении Френеля позволяет оценить дифракционные эффекты на формируемом изображении.
Математическая модель и постановка обратной задачи
Мы намеренно в этом пункте подробно описали как от формулы Грина (11) можно перейти к приближению Кирхгофа (25). Даже в простом случае дифракции на круглом отверстии становится ясно, что все эти переходы от (11) к (25) обосновываются на физическом уровне строгости [59]- Тем не менее, как показывает практика, в большинстве задач, которые будут рассматриваться в диссертации, это приближение является адекватным действительности. А практика, она и является критерием истины. Более детально на вопросах применимости мы остановимся в следующих главах.
Выражение (25) допускает простую физическую интерпретацию в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля: поле в точке {р, q, /) представляет собой суперпозицию сферических волн, распространяющихся из каждой точки апертуры системы. Коэффициент обеспечивает при этом выполнение закона сохранения энергии поля. Отметим также, что поля, описываемые выражениями (25) в случае ограниченности апертуры - области интегрирования G в этих выражениях удовлетворяют условиям излучения на бесконечности, Эти формулы получены при предположении что kf 1. т.е. они не имеют места непосредственно за экраном и апертурой. Вопросы применимости приближения Кирхгофа при решении конкретных задач должны, вообще говоря, решаться в каждом случае отдельно. Эта применимость определяется длиной волны излучения, геометрией системы, требованием к точности расчетов и т.д.
Формула (25) предыдущего параграфа получена в коротковолновом приближении. При этом предполагалось, что для точек (р, ?,/), близких к оси системы, / « г. В дальнейшем мы будем интересоваться именно этим случаем. В интеграле Кирхгофа можно сделать дополнительные упрощения, заметив, что
Пренебрегая теперь в показателе экспоненты в интеграле Кирхгофа членами старшего порядка в разложении г и заменяя в знаменателе величину г константой /, как это уже было сделано при переходе от (11) к (25), мы получаем следующее выражение для величин скалярного волнового поля:
Последнее выражение описывает процесс так называемой дифракции Френеля. Приведем основные условия применения этого выражения (s -характерные размеры апертуры и формируемого изображения):
Задачи оптики характеризуются малыми длинами волн, и следовательно, большими значениями волновых чисел к. Это позволяет использовать для решения задачи о распространении излучения в пространстве асимптотические методы. Один из путей использования асимптотики при к — со связан непосредственно с применением аппарата метода стационарной фазы [23], основанного на следующей известной теореме [33]:
Таким образом, в этом случае волновое поле в точке (р, q) плоскости z = / определяется, в первую очередь, волновым полем в точке (хо,уа), связанной с (p,q) соотношениями (33). Однозначная связь точек (p,q) имеет простой геометрический смысл. Прямая, проходящая через точку (х, у) плоскости z — 0 в направлении пересекает плоскость z = / в точке (р, д). В этом смысле мы и говорим о геометрической оптике. Соотношения (33) определяют луч, вдоль которого происходит основной перенос энергии. Множитель J jy ql в знаменателе последнего выражения обеспечивает выполнение закона сохранения энергии, проходящей через площадку dso в плоскости z — 0 и площадку dsf плоскости \D(x0tyo)\ При использовании (33) для вычисления волнового поля в плоскости изображения z = f необходимо, чтобы преобразование (33) осуществляло невырожденное взаимно однозначное преобразование области Gxy в плоскость {p,q),z — /. В любом случае асимптотика интеграла Кирхгофа при к — ос определяется при фиксированных (р, q) структурой прообраза отображения (33) точки [p,q). Выше мы рассмотрели случай, когда этот прообраз представляет собой единственную точку области G.
Если размеры области G много меньше расстояния /, и распространяющееся вдоль оси Z излучение отклоняется на малые углы, систему (33) можно упростить. Выражение в правых частях (33) под знаком квадратного корня в этом случае приближенно равно 1. Тогда
Пусть на плоскость Z = 0 из левого полупространства падает плоская волна Uo(x,y,z) = егкг, распространяющаяся вдоль оси OZ. Оптический элемент, преобразующий падающее излучение, считаем расположенным в плоскости Z = 0. Вообще говоря, оптический элемент нельзя считать расположенным в какой-либо плоскости, поскольку он имеет конечную толщину, а преобразующие свойства определяются его геометрией, распределением толщины, глубины рельефа. Это относится, например, к таким распространенным оптическим элементам, как линзы, фазовые дифракционные решетки и др. Строго говоря, математическая модель подобных элементов должна учитывать их геометрию рельефа путем постановки на границах раздела соответствующих краевых условий. При строгом решении уравнений Максвелла (1) в каждой из сред возникает много сложностей [52). Более того, для сложных оптических
Параметры микрорельефа компьютерно синтезированных оптических элементов
По этой технологии создание микроструктуры рельефа происходит под воздействием пучка электронов. Системы для создания микрорельефа по этому принципу называются электроннолучевыми генераторами изображений, и являются сложнейшими приборами, в которых используются новейшие достижения науки и техники [18], [65]. Главное преимущество этой технологии - экстремально высокое разрешение. В современных электроннолучевых литографических системах пучок электронов может быть сфокусирован в точку размером до пяти нанометров. В качестве среды чувствительной к воздействию электронов используются специальные вещества - электронные резисты [73], [74]. В электронных генераторах компьютер управляет электронным лучом и другими системами. Формирование структуры микрорельефа полностью подконтрольно, это позволяет использовать электроннолучевую литографию для записи любых микроструктур. Таким образом, с имеющимся высоким разрешением можно записать любое микроизображение: микросхему, оптический элемент для преобразования лазерного излучения, голографические защитные элементы. Создание оригиналов оптических элементов с помощью электроннолучевой литографии, как правило, включает в себя следующие этапы: расчет микрорельефа, подготовка данных для записи рельефа на электронном генераторе, процесс записи (экспонирования) на электронном генераторе, химическое травление резиста, напыление на оригинал тонкого слоя металлического слоя. В результате получается одно изображение - оригинал - представляющий собой микрорельеф с проводящей металлической поверхностью. Далее с помощью гальванопластики с этого оригинала можно получать копии для дальнейшего тиражирования.
Как правило, рассчитанный рельеф компьютерно синтезированной голограммы или другого оптического элемента, представляет собой достаточно сложную функцию двух переменных г(х,у). Изготовление такого рельефа представляется сложной задачей, так как фактически требуется создать микрорельеф с характерными размерами меньше длины волны видимого света. В некоторых ситуациях представляется возможным рельеф оптического элемента упростить. Одним из таких упрощений является бинаризация [13].
Продемонстрируем процесс бинаризации в одномерном случае. Пусть т{х) - некоторый рассчитанный рельеф (см. Рисунок 16). Предположим, что г(х) - рельеф отражающего оптического элемента. Пусть для простоты на него падает плоская монохроматическая волна длины Л. Тогда высота "гребешков" рельефа h = . Бинаризованный рельеф гь(х) вычисляется по формуле: rb{x) = -rourid( ) (100) где round - операция округления. Таким образом получается, что бинарный рельеф описывается функцией принимающей два значения 0 и . Отметим что мы рассматриваем отражающий элемент, в этом случае глубина бинарного рельефа в является оптимальной с точки зрения эффективности оптического элемента. Бинарный рельеф гь{х) показан на рисунке 16. 2±
Сравнивая рисунки 16а и 16Ь, видно, что Г(,{х) сильно отличается от г[х). Разумеется, операция бинаризации изменяет оптические свойства элемента.
Рассмотрим эти изменения на следующей модельной задаче. Пусть на плоский оптический элемент падает плоская волна с равномерным распределением интенсивности. Согласно описанному в пункте 3.2 методу рассчитан рельеф оптического элемента, так что на расстоянии / = 20 оптический элемент создает некоторое изображение. Расположение элемента и изображения показано на рисунке 17. -16
Фрагмент рельефа этого оптического элемента показан на рисунке 18. В приближении Френеля (93) была рассчитана интенсивность оптического излучения в плоскости изображения, она показана на рисунке 19. Теперь бинаризуем рельеф этого оптического элемента и снова в приближении Френеля рассчитаем интенсивность в плоскости изображения. Фрагмент бинаризованного рельефа показан на рисунке 20, интенсивность излучения в плоскости изображения показана на рисунке 21. Сравнивая рисунки 19 и 21 можно сказать, что в результате бинаризации оптического элемента создаваемое им изображение изменилось. В нижней полуплоскости появилось второе зеркальное "паразитное " изображение.
Скрытое изображение, создаваемое голограммой с бинарным рельефом распределена между ними поровну. Это означает, что в данных условиях модельной задачи бинаризация рельефа элемента привела к снижению эффективности элемента на 50 процентов, но структура изображения не изменилась. Эти выводы полностью подтверждаются экспериментами. Следует отметить, что бинаризация рельефа оптических элементов не всегда приводит к таким результатам. В некоторых случаях характер изменений сформированного изображения после бинаризации рельефа элемента существенно сложнее.
