Содержание к диссертации
Введение
1. Краевые задачи в полупространстве с "ребром" 14
1.1 ПДОвМ+
1.2 Свойство трансмиссии 16
1.3 ПДО со свойством трансмиссии 20
1.4 Классы амплитуд 23
1.5 Определение краевой задачи 27
1.6 Классы символов 28
1.7 Символы собственных операторов 31
1.8 Операторы порядка 39
1.9 Связь между операторами 47
2. Исчисление псевдодифференциальных краевых задач 52
2.1 Формально сопряженная задача
2.2 Дуальные символы 53
2.3 Композиция краевых задач 55
2.4 Допустимые диффеоморфизмы 68
2.5 Инвариантность свойства трансмиссии 71
2.6 Замена переменных в краевой задаче 73
2.7 Операторы на многообразии 79
2.8 Ограниченность операторов краевых задач 84
3. Представления С*-алгебры краевых задач 89
3.1 Краевые задачи на s - многообразиях
3.2 Принцип локализации 90
3.3 С*-алгебра краевых задач 92
3.4 Локальные алгебры 93
3.5 Локализация в алгебре С(9) 101
3.6 Специальное представление операторов из алгебры (0) 107
3.7 Локализация в алгебре (5 119
3.8 Представления алгебры Л 121
4. Асимптотика решений псевдодифференциальных уравнений и краевых задач на многообразии с коническими точками 127
4.1 Мероморфные операторные функции и жордановы цепочки
4.2 Пространства и операторы в бесконечном конусе 129
4.3 Мероморфные псевдодифференциальные операторы 130
4.4 Степенные решения
4.5 Формулы для коэффициентов
4.6 Доказательство теоремы 4.7.
4.7 Псевдодифференциальные операторы на мно ническими точками
4.8 Асимптотика решений
4.9 Свойства ядра и коядра оператора
4.10 Замечания об относительном индексе
4.11 Формулы для коэффициентов
4.12 Асимптотика решений краевой задачи
Литература
Введение к работе
Краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений на гладких многообразиях с краем рассматривались М.И. Вишиком, Г.И. Эс-киным, Л. Буте де Монвелем и др. ([1], [2], см. также [3] — [5] ) в связи с различными вопросами теории дифференциальных краевых задач, в основном, для вычисления индекса эллиптических операторов. Впоследствии теория псевдодифференциальных краевых задач нашла приложения в спектральной теории, в теории сингулярных возмущений, к эволюционным задачам, к задачам управления. Различные варианты теоремы об индексе применяются в топологии, дифференциальной геометрии, функциональном анализе, теоретической физике. Например, в квантовой механике требование целочисленности индекса некоторых эллиптических операторов доставляет необходимое условие осуществимости деформационного квантования; с помощью теоремы об индексе изучаются свойства множества решений уравнений квантовой теории поля; некоторые геометрические следствия теории индекса оказались полезными при исследовании гравитационных аномалий и т. д. В течение последних двух десятилетий усилия многих специалистов были направлены на то, чтобы обобщить достижения теории краевых задач на ситуацию, когда многообразие и (или) символы операторов имеют особенности.
Важным вопросом теории краевых задач является построение исчисления псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с негладкой границей. При этом непригодны способы определения краевых задач, используемые в гладкой ситуации. Разными авторами предлагались различные варианты построения теории псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с особенностями на границе (упомянем здесь работы [6], [7], где рассматривались краевые задачи на многообразии с коническими точками для псевдодифференциальных операторов из [8]). Однако соответствующие классы операторов оказывались либо специфическими, либо не инвариантными относительно естественных диффеоморфизмов многообразия. В настоящее время в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО) наблюдается существенный прогресс: определены классы ПДО на особых многообразиях, включающие естественные операторы и инвариантные относительно достаточно широкой группы диффеоморфизмов
([9] — [12]). Возникает вопрос о построении исчисления краевых задач для таких операторов. Он был решен в [13].
В последние годы классические алгебры операторов рассматривались с точки зрения теории С*-алгебр. Отметим здесь работы [14] (ПДО с разрывными символами на гладких многообразиях), [10] (ПДО на многообразиях с ребрами), [12] (ПДО на стратифицированных многообразиях), а также обзор [15], где, кроме алгебр ПДО, рассмотрены алгебры операторов Теплица и Винера-Хопфа. Такой подход позволяет выяснить структуру алгебры, получить критерий фредгольмовости ее элементов. Кроме того, для вычисления индекса фредгольмова элемента "существенно некоммутативной"алгебры (такой, например, как алгебры ПДО на негладком многообразии) используются результаты и методы операторной К-теории и некоммутативной теории гомологии, которые формулируются на языке С*-алгебр. Таким образом, изучение алгебры псевдодифференциальных краевых задач с точки зрения С*-теории является актуальной задачей. Представления С*-алгебры псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с ребрами найдены в [16].
Теория дифференциальных краевых задач на многообразиях с кусочно гладкой границей развивалась в 1970-80-х годах в работах В.А. Кондратьева, В.Г. Мазьи, Б.А. Пламеневского и др. (см. [17], [18], а также [19]). Оказывается, что решения таких задач теряют гладкость в особых точках границы. Поэтому одним из центральных является вопрос о поведении решений вблизи особенностей. Асимптотика решения представляется линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи. Формулы для коэффициентов таких комбинаций и методика их вычисления нашли многочисленные приложения в задачах математической физики. При этом сами коэффициенты часто приобретают физический смысл: матрица рассеяния — в теории дифракции, коэффициенты интенсивности напряжений — в теории трещин; емкость и тензор поляризации — в электростатике и т. д. Подчеркнем, что вид асимптотики определяется свойствами оператора задачи вблизи особой точки, а упомянутые коэффициенты зависят от данных задачи в целом. Аналогичные вопросы об асимптотике возникают и для решений псевдодифференциальных уравнений и краевых задач. В ряде работ изучалась асимптотика гармонических
потенциалов на многообразиях с коническими точками, выводились и формулы для коэффициентов [20]. Для этого использовалась связь рассматриваемых уравнений с соответствующими краевыми задачами Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Однако этот способ непригоден в общем случае, и в работах [21], [22] был предложен новый метод исследования асимптотики и вычисления коэффициентов для решений общих псевдодифференциальных уравнений. Он применим и для изучения асимптотики решений псевдодифференциальных краевых задач.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе дано определение оператора краевой задачи. При этом исходным является определение ПДО, предложенное Сеничкиным в статье [9]. Вводится понятие собственной краевой задачи и каждому оператору, входящему в такую задачу, сопоставляется скалярный символ. Во второй главе проверяется, что класс собственных краевых задач инвариантен относительно композиции, сопряжения и замен переменных. Попутно строится исчисление скалярных символов, с помощью которого устанавливается ограниченность операторов краевых задач в пространствах функций, квадратично суммируемых с весом. Третья глава посвящена изучению С*-алгебры, порожденной собственными операторами краевых задач "нулевого порядка". Приведен полный список классов эквивалентности ее неприводимых представлений. В четвертой главе даны асимптотические представления для решений эллиптических уравнений и краевых задач вблизи изолированных особенностей многообразия и выведены точные формулы для коэффициентов.
Перейдем к формулировке основных результатов диссертации.
Формулировка результатов.
Свойство трансмиссии
Пусть «S(R) — пространство С-функций, быстро убывающих на бесконечности, а S(R+) и tS(R_) — пространства, состоящие из функций вида г+и и г и, соответственно, где и Є S(R). Образ пространства S(R+) при отображении S(R+) Э и »— F(j+u), где F — преобразование Фурье, обозначим через Я+, а образ пространства S(R_) при отображении S(R_) Эй»-» F{j u) обозначим через HQ. Как обычно, асимметрия в обозначениях обусловлена приложениями к пространствам амплитуд. Обозначим через Н пространство полиномов одной переменной с комплексными коэффициентами, а через H d — подпространство в Я , состоящее из всех полиномов степени, не превосходящей d — 1. Положим Операторы Fr+.F-1: Я —» Я+ и Fr F l: Я —» Щ являются проекторами пространства Я на Я+ и Я , соответственно, вдоль подпространств Щ и Н+. Обозначим их соответственно через П+ и Пд . Оператор Яэ/и lim +o (F_1/)(i) Є С обозначим через П . Пусть а Є 5М(МП)+), тогда из леммы 1.2 следует, что функция Определению 1.4. Символ а Є 5M(Rn+), /г —со, обладает свойством трансмиссии, если 7[7] Z+. Пространство всех символов из 5 (Rn+), обладающих свойством трансмиссии, обозначается через 2t (Rn+) или, короче, 21м. Положим 21 = Up2l/\ Пространства соответствующих предсимволов будем обозначать через 21м и 21. Нетрудно доказать следующие характеризации пространства Я (g)5M (ср. с предложением 2.2.1.2 - 2 [4]). Предложение 1.5. Следующие утверждения эквивалентны: (ОаєЯ СіСі1); (іі) функция а C(W Zi х Km_1 х R) допускает асимптотическое разложение которое можно формально дифференцировать, т.е. для любых муль-тииндексов а,@ Є Ът 1 и Z = (Zi, Z2, з) Є Z+ существует такая постоянная с = с(а, /3, ), что где По = П+ + П0 , а - вырезающая функция; (гіг) а допускает разложение где bj Є SM(R i), a dk — быстро убывающая последовательность в S IR -i) (т.е. дЛЯ всякой полунормы qi в S сумма Х1ь=-оо ф(а/с)2(1 + k)2N конечна для любого N Є Z). Замечание 1.6. Если в условии предложения 1.5 не фиксировать число d, то получим характеризации пространства Н (g S . Наилучшие постоянные в оценках леммы 1.2 и пункта (гг) предложения 1.5 можно взять в качестве полунорм, определяющих топологию пространства Н (g 5 . Предложение 1.7. 1) Если ак Є 21 , к = 1,2, то ага2 Є 21 1+/ 2. 2) Если а 2Р, то d(rc)H-l 9fcr є 21 1. Доказательство. Первое утверждение легко выводится с помощью предложения 1.5(ш); докажем второе.
Обозначим d(x) - d d a через (j\. Считаем пока, что а = 0. Тогда &г(х, ) = д%а(х, ) и Применим к сг[7] предложение 1.5(ш). По индукции легко доказать, что где fy е -S- lfR 1), и ег(і/) = (14- iz/) (l - wYl l. Отсюда следует, что (5"i)[7] удовлетворяет условию (Hi) предложения 1.5 при любом 7 Є Z+, то есть о\ Є 2Р_/31. Теперь достаточно рассмотреть случай а = 1, так как дальше можно рассуждать по индукции. Кроме того, можно положить /3 = 0; действительно, где последнее слагаемое принадлежит 21м в силу предыдущих рассуждений, а первое слагаемое имеет вид d(x)dx о (х, ) для некоторого Итак, пусть а Є 21м, положим а\ = d(x)dXja(x,) и покажем, что (сгі)[7] Є Я 5м. Имеем где ( — производная по первому, а д$к — по второму аргументу. Второе слагаемое, очевидно, принадлежит 21м. Рассмотрим первое слагаемое и обозначим его через оч, тогда 02 = d(x)dXja, a (62)(7] естьі оче видно, линейная комбинация функций вида (dXnd(x))d(x)ldXj(ab_ij), если j ф п, и вида (dXnd(x))d(x)la _i+i если j = п. Опять применим предложение 1.5(т) к Т[7_г] и заметим, что, если 6 є S (М 1), то ( ф фУ .Ь Є (RJTi1) (соответственно (dlXnd{x))d(x)lb є (Rm-i) в СЛуЧае j = пу Отсюда вытекает, что (62)(7] допускает разложение (Ш) из предложения 1.5. Предложение 1.8. Пусть с є 21М_:/(]&П)+), j є Z+. Тогда, если 7 — такой символ, что т 2 Доказательство. По определению для любого N Є Z+ справедливо включение а — Y i=oaj е 21м_дг. Отсюда и из равенства dlj{dindb]{x )v)) = ( # ,( 0, (0 ) для любых мультииндексов а, /З Є Z+-1 и чисел /1,/2,7 + вытекает оценка Из последних двух предложений немедленно получаем Следствие 1.9. 1) Если jj є 21 , з = 1,2, то 1.3 ПДО со свойством трансмиссии Определение 1.10. ПДО А Є ФМ(ЕП+) обладает свойством транс- миссии, если любой его символ а Є 5M(Rn+) принадлежит пространству 21м (Rn+). Подпространство в M(Rn+), состоящее из всех ПДО порядка /UL со свойством трансмиссии, обозначается через Op2t/i(Rn+) или просто Ор21м. Лемма 1.11. 5-(R +) = 2l-(R +). Доказательство. По определению S С 21 . Докажем обратное включение. Пусть сг Є S 00, тогда по предложению 1.5(и) достаточно доказать, что для любых а, (З Є Z+-1 и /1; 2,7 - Є + верны оценки при ( , ) Є R j/ х Rm_1. Они следуют из очевидных неравенств при (аг7, , і/) Є R ? х К7"-1 х R и iV /і - /2- По лемме 1.11 оператор г+Л обладает свойством трансмиссии, если хоть какой-нибудь его символ принадлежит 21м. Лемма 1.12. Если сг є (Rn+) и р Є C R J, то функция (pa является "обычным"символом в R+ со свойством трансмиссии. Доказательство. Нужно установить включение Так как ( /?сг)[7] является комбинацией функций вида /?j 7[7_j], где /?j = i V3(:E)Un=o, то достаточно рассмотреть функцию цж у В силу предложения 1.6 символ (7i := d{x)1d l а принадлежит пространству 21м. Поэтому для функции имеет место асимптотическое разложение где ( jjt) С S (R JTj1) — быстро убывающая последовательность. А так как носитель функции (р отделен от множества {х1 Є Rm-1 : d(x ) = 0}, то при всех а,/? Є Zm_1 и J = (її, ,/з) Є 1?+ верны оценки кроме того, последовательность ip(x )d(xr)h 1(7k(x , d(x )f) быстро убывает в 5м (R"1).
Таким образом, функция ipc ] удовлетворяет условиям (и) предложения 2.2.1.2 — 2, [4], а значит, принадлежит Н 5M(Rm_1). Предложение 1.13. Пусть г+А Є Ор21м(Ш +), /л — со. Тогда оператор г+А осуществляет непрерывное отображение Доказательство. Пусть (щ) — последовательность функций, сходящаяся к нулю в топологии пространства C(Rn+); нужно показать, что г+Ащ — 0 в C(Rn+). Рассмотрим произвольный ком-пакт К в Rn + и функцию у? Є C(Rn+), равную единице на К. По лемме 1.12 оператор г+( рА) является "обычным"ПДО в R+, обладающим свойством трансмиссии. Следовательно, отображение r+((pA) : CC(R) - С(!7), а значит, и отображение г+{ц А) : Сс(1 +) - C(R +), непрерывно. Таким образом, последовательность г+((рА)щ равномерно стремится к нулю на К вместе со всеми производными. Это верно и для последовательности r+Auk, ибо r+Auk = г+(ірА)иь на К. Что и требовалось. Определение 1.14. Оператор r+A = r+Aj+ Є Op2l (Rn+) называется собственным, если А является собственным ПДО в R. Предложение 1.15. Пусть оператор г+А — собственный, тогда отображения непрерывны. Доказательство. Пусть последовательность (щ) сходится к ну-лю в C(Rn+). В силу предложения 1.13 последовательность г+Ащ сходится к нулю в C(Rn +). Из собственности оператора г+А следует, что существует компакт К С Rn + такой, что supp r+Auk С К при любом к. Это означает, что (г+Ащ) — бесконечно малая последовательность и в пространстве C (Rn +). Тем самым доказана непрерывность первого из двух отображений. Рассмотрим теперь какую-нибудь последовательность (щ) —» 0 в С(ЕП)+), зафиксируем покрытие множества Rn + (относительно) открытыми, ограниченными множествами и обозначим через {XJ} разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Пусть еще К и с/? — те же, что и в доказательстве предложения 1.13. Вследствие собственности оператора г+А сумма . г+((рА)Х]Щ содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых, каждое из которых бесконечно мало в C(Rn+). Значит, последовательность (г+Ащ) равномерно стремится к нулю на К вместе со всеми производными. Определение 1.16. Пусть /І Є R. 1) Будем говорить, что функция к Є С(1 + х RJL-j1 х Е"1-1) принадлежит П (МП+), если при любых а Z, /?, 7 Є Щ 1 и (х, у , ) Є 1 + х R 1 х ИГ "1. 2) Функция t е C(RSi xl + х М"1) принадлежит Й(1 +), если при любых а, 7 Є Z \ /? Є Z и (ж , у, ) Є R 1 х 1 + х R"1. 3) Функция Ь Є С(1 + х 1 + х W1 1) принадлежит Й(Ж +), если при всех а, (5 Є Z, 7 Є Z"1 и (ж, у, ) Є R + х 1 + х R771"1 Положим П 00 = П П , П 00 = ґ\П d, ftg00 = ПМП .
Операторы порядка
Определение 2.15. Пусть (Л4,р) — компактное метрическое пространство. Оно называется стратифицированным многообразием, если 1) Л4 есть объединение конечного числа топологических многообразий (стратов); 2) Замыкание каждого страта состоит из него самого и объединения некоторого, возможно пустого, множества стратов меньших размерностей. Пусть {sj}j zj — совокупность стратов, объединением которых является АІ. Наибольшая из размерностей стратов называется размерностью dim.yVf многообразия Л4] обозначим ее через т. Пусть rij = m — dimsj. Далее считаем, что многообразие Л4 обладает следующими свойствами: 1) объединение Л4оо стратов максимальной размерности всюду плотно в Л4; 2) объединение Го стратов размерности т — 1 всюду плотно в Г = М\Моо; 3) если dim Sj т — 1, то Sj = sy, 4) для каждого страта Sj, dim Sj т — 1 и любой точки а Є Sj существуют окрестность Оа в М. и гомеоморфизм я : Оа — я(Оа), где я(Оа) — относительно открытое подмножество произведения К(М!) х Шт п\ а К(М ) — замкнутый конус в некотором пространстве R , направляющее многообразие Л4 которого является гладким (rij — 1)-мерным многообразием с краем. При этом я(Оа П Sj) С {0} х Мт-7Ь, 0 - вершина К(М )\ я(Оа П Г0) С К (Г) х Мт" , где Г - край многообразия ЛІ ; и существуют такие постоянные с\ и с2, что сір(аг, а2) \х(а\) - я(а2)\ с2р(аъ а2) для всех а\,а2 Є Оа Положим M.Q -- JMOOUTO. ИЗ условия 3) следует, что множество S = М\ЛЛо является дизъюнктным объединением гладких компактных многообразий без края (ребер). В силу условий 2) — 4) множество Г = Го U S является стратифицированным многообразием без края. Нам понадобится атлас на АІ, обладающий специальными свойствами. Пусть а Є Sj, т — rij = det Sj m — 1, и пусть Oa: я, M. , К(М ) имеют тот же смысл, что и выше. Пусть еще {У-,У } — конечный атлас на М.\ v[ — диффеоморфизмы множеств V- на отно- сительно открытые подмножесва У[{У1) замкнутой верхней полусферы 57 . Продолжим v[ до однородного первой степени отображения 7гг : K(V() — K(v[(V{)). В свою очередь, 7Гг можно продолжить до отображения Вводя обозначения K,i = c l(K{y!) xRm_nj), va ,- = щох\Уа,і, получаем карту (ya,uVa,i)i обслуживающую точку а Sj. Уменьшая окрестность Va,i, можно считать, что замыкание Vaii пересекает лишь такие страты s размерности т — 1, для которых Sj С s. Семейство окрестностей Оа, а Є. S покрывает множество «S. Ввиду компактности S можно найти конечное подсемейство, покрывающее S.
Поскольку каждое множество Оа есть конечное объединение множеств вида Va , то конечное покрытие множества «S, составленное из Va i. Добавляя к этому покрытию конечное семейство координатных окрестностей, обслуживающих точки множества M.Q и принадлежащих Л4о вместе со своим замыканием, получаем искомый специальный атлас. Карты, обслуживающие точки из Л4о, называются стандартными, остальные — специальными. Определение 2.16. Атлас {(Vi, Vi)} определяет на М. структуру s-многообразия с краем, если любые две его карты (Vi,Vi) и (Vj,Vj) согласованы, то есть либо Ц, П Vj = 0, либо V{ П Vj Ф 0 и тогда а) отображение является допустимым диффеоморфизмом в смысле определения 2.7, если обе карты специальные; б) отображение Vj о г1 : г ДЦ П Vj) — Vj(Vi r\Vj) — диффео морфизм гладких многообразий с краем, если хотя бы одна из карт стандартная. Ясно, что на Г индуцируется структура s-многообразия без края (см. [9]), а на каждом ребре — гладкая дифференциальная структура. Пусть {ХІ} — разбиение единицы, подчиненное покрытию {Vi}. Будем говорить, что разбиение {ХІ} подчиняется специальному атласу {Vi,vi}i если элементы Хі разбиения, обслуживающие специальные карты, удовлетворяют оценкам Обозначим расстояние от точки х до множества S через ps{x), а до множества Го — через рг(х)- Метрика р на Г индуцируется метрикой Определение 2.17. 1) Интегральный оператор определенный на функциях и С(Лчо), назовем сглаживающим ПДО, если при любом N Є Z+ (в любой из карт (Vi х Vj, {vi,Vj) на М.) функция GA допускает оценку Если, кроме того, ядро оператора имеет собственный носитель, то есть (г) обе проекции supp GA — Л4о суть собственные отображения, (И) отношение ps(x)/ps(y) ограничено и отделено от нуля на supp См, то оператор А будем называть собственным. Аналогично определется сглаживающий ПДО на Г; нужно всюду в данном определении заменить ЛЛо на Го; оценки можно отнести к любой из карт (У/ х V/, (v[, v j)), где V( = Ц П Г, v[ = Vi\V(, а (V , г/ ) — карты специального атласа на Л4. 2) Интегральный оператор определенный на функциях v Є С(Г0), назовем сглаживающим потенциальным оператором, если при любом N Є Z+ функция GK допускает оценку при (ж, у ) Є Л4о х Го-. Если, кроме того, ядро оператора имеет несобственный носитель, то есть (г) обе проекции supp GK — Л4о, supp GK —» Го суть собственные отображения, (и) отношение ps{x)/ps(y ) ограничено и отделено от нуля на suppGK, то оператор К будем называть собственным. 3) Оператор определенный на функциях и Є С%(Мо), назовем сглаживающим следовым оператором типа d, если Qj — сглаживающие ПДО на Г, и при любом N Є Z+ функция GT допускает оценку при (х , у) Є Го X Мо\ оператор Qj в локальных координатах имеет вид (2.46) (определение корректно в силу пункта 3) определения 2.7). Если, кроме того, ПДО Qj — собственные, и ядро GT имеет Т-собственный носитель, то есть (г) обе проекции supp GT — Го, supp GT —» Mo суть собственные отображения, (и) отношение ps{x )/ps(y) ограничено и отделено от нуля на supp GT, то оператор Т будем называть собственным. 4) Оператор определенный на функциях и Є С%(Мо), назовем сглаживающим оператором Грина типа d, если Kj — сглаживающие потенциальные операторы, и при любом N Є Z+ функция GB допускает оценку при (х,у) Є Mo х Ліо- Если, кроме того, Kj — собственные, и ядро GQ имеет собственный носитель (см. пункт 1)), то оператор В будем называть собственным. Определение 2.18. Матрицу назовем сглаживающим оператором краевой задачи типа d = (dt,db): если она составлена из сглаживающих операторов, тип оператора Т равен dt, а тип оператора В равен 4. Если все операторы А, ?, К, Т, Q — собственные, то оператор краевой задачи назовем собственным. Пусть (Vi,Vi) — специальная карта, V( = V{ П Г, v[ = Vi\V(. Положим V% VO v J Уг К 0 (vJ)-V-Каждой краевой задаче ЛІ Є 91 ( ()) соответствует оператор V A(Vfх) : С?(ЦПМо)С?№пГ0) - С ПЛІОІЄС ПГО) : Аналогично, если (Vi,i j) — стандартная карта и ЛІ — краевая задача порядка JJL и типа d на Vi(Vi) (в обычном смысле), то определен оператор VtAiOT1) СГ W) Ф Сс W) - C{Vi) Ф C(V/).
Определение 2.19. Линейный оператор Л : С?{М0) Ф СС(Г0) - С(М ) Ф С(Г0) называется оператором краевой задачи порядка и типа d = (dt,db) на s-многообразии Л4, если существуют такие операторы ЛІ Є № Л(УІ(УІ)) и такой сглаживающий оператор краевой задачи В типа d, что Оператор краевой задачи Л называется собственным, если операторы Л{ и. В можно выбрать собственными. Класс всех операторов краевых задач (соотв. собственных операторов краевых задач) порядка ц и типа d обозначим через dK d{M) (соотв. SHf d{M)) Из определения 2.19 вытекает, что каждый сглаживающий оператор краевой задачи В есть оператор порядка —со (достаточно в (2.49) взять Л = В, ЛІ — О (Уг). Верно и обратное. Это легко следует из предложения 1.34. Таким образом, класс сглаживающих операторов совпадает 2.8 Ограниченность операторов краевых задач Обозначим через Ь1{Шп +) пополнение пространства C (Rn +) по норме Аналогично, Ц(Ш%) - пополнение CC(R) по норме (2.50), где R + и R заменяются на R и Rm, соответственно. Положим Предложение 2.20. Пусть 7 R, ц 0 и собственная краевая задача порядка /л и типа 0. Тогда при фикси- рованных и Є C(Rn+) и v Є С О С-і) отображения непрерывны. Доказательство. Рассмотрим первое из указанных отображений. Поскольку носитель функции и компактен и оператор ор+а — собственный, то найдется такая "срезка1 Є C(Rn+), 0 С 1, что P+(Ca)u — (op+a)u. Согласно лемме 1.12 op+(Ca) — "обьічньїй ТІДО в полупространстве Ш+. Так как носитель его ядра компактен, то норма op+(a); БЬ2(М+) ограничена сверху линейной комбинацией конечного числа полунорм символа С,а в пространстве 2tM(R+) [10]. Ввиду цепочки соотношений остается лишь заметить, что всякая полунорма в 2Р(К+) символа С,а не превосходит конечной комбинации полунорм а в 21М(МП+). Остальные отображения рассматриваются аналогично.
Допустимые диффеоморфизмы
При фиксированном ГЕ Є Го оператор-функция ь- а , (#, ) есть однородная функция нулевой степени. В силу условий (??), накладываемых на допустимые диффеоморфизмы, функция а0 корректно определена на косферическом расслоении 5 (Го) над Го- Она называется главным граничным символом краевой задачи А. Пусть точка {%, ) Є 5 (Го) фиксирована. Оператор а0 (#, ) можно продолжить до ограниченного оператора в пространстве 7 +фС [24], где Н+ (см. п. 1.4) снабжено Z/2-нормой. Пространство всех огра- ничейных операторов в Н+С обозначим через В(Н+, С). Алгебра, порождаемая операторами а(х, ) в пространстве В(Н+, С) при фиксированных (:, ) обозначается через Т(х, ), а алгебра (непрерывных) функций о(х, ) с нормой о(а;,-) = sup {а(а;, )11; Є 5 (Г0)Х} — через С(5 (Го)аг,Т). Ясно, что спектр алгебры C(S (To)x,T) получается объединением спектров алгебр Т(х, ) при всех Є й (Го)х-Известно [24], что спектр алгебры Т(х, ) состоит из тождественного представления и серии одномерных представлений 7г(п) : а(х, ) н- Предложение 3.8. При х Є Го отображение А ь-» а0 распространяется до изоморфизма .Д/Jx — Доказательство. Отображение Л і— о0 линейно, мультипликативно и перестановочно с инволюцией (п.п. 1.7, 1.8). Поэтому достаточно показать, что для всех А Є fH0 (Ad) выполняется соотношение Обозначим левую часть этого соотношения через N. Пусть W —- стандартная окрестность точки х и х Є Cc(W) ІХІ 1 ХІХ) = 1- Тогда, очевидно, iV = іпі{х(Л + J)x\\ i J Є i7i}- Переходя к локальным координатам, получим, что где Л = ор І І є 9 (n,+) — локальный представитель оператора A, Jo — идеал в алгебре краевых задач в полупространстве, порожденный умножениями на функции, исчезающие в нуле (мы предполагаем, что в новых координатах х = 0). Для г 0 введём оператор Ur : (! (),«()) ь- {rm 2u{r-)Mm l),2v{r-)), унитарный в Z/2(R+,Rm-1). Несложные вычисления показывают, что по части переменных. Возьмём любой оператор J Є JQ И получим, что UT{xAwX + JWr1 - Aw в сильной операторной топологии при г — 0. Значит, Aw + У Л , и потому TV Л . Так как Опуская простые вычисления, отметим, что A (r ) = L A ) -1. Следовательно, А ( ОИ = 11 ги(ОИ поскольку оператор Ur — унитарный. Если г — 0, то А (г;) — А (0) в сильной операторной топологии.
Поэтому AJ,(0) sup{А (Oil» Ф 0} и мы приходим к равенству Таким образом, N а05 (Г0)х- Проверим обратное неравенство. Пусть В = Т M (0X(O- где С Є C iR-1) и (0) = 1. Положим правой части принадлежит идеалу Jo- Чтобы получить такое включение для второго слагаемого, заметим, что идеал Jo содержит некоторые компактные операторы, например, (1 — х)К Є Jo, где К Є /CL2(M ,Mm-1). Поскольку JQ есть ненулевой идеал в неприводимой алгебре, то он и сам неприводим [23, 2.11.3]. Поэтому /С1/2(К+,Кт-1) С Jo, см. [23, 4.1.10]. Из соотношений Займемся описанием локальных алгебр Aj Jx для точек х Є S = АЛ\АА$. Пусть, как и в п. 1.11, Ох есть окрестность точки х в АЛ и х : Ох — к(Ох) С /( (Л! ) х Rm n — гомеоморфизм. Введем краевые задачи в клине, W := К (АЛ ) х Mm_n так же, как и при определении краевых задач на АЛ. Обозначим через A(W) алгебру, порожденную операторами х Х в L2(W,r) при Х Є C (W), А Є HjJ 0( V); Г = X(dAf) х JRm n, дМ — край многообразия .М . Меры на W и Г, как обычно, склеиваются из локальных мер. Для любой функции % Є С (Мо) такой, что suppx С Ох, и всякого оператора Л Є 1Я0 (АЛ) получаем краевую задачу А :— (x l) (xAx)x из алгебры А(Щ. Пусть J0(W) — идеал в A(W), порожденный "операторами умножения"на функции т\ из CC(W) такие, что 77(0) = 0. Отображение A + Jx н- Лх + j7o(W) осуществляет изоморфизм A/ Jx = A(W)/J0(W). Пусть W Є W, w : W — Rra+ — координатный морфизм и в fab к \ локальных координатах оператор Ан имеет вид Aw = op ( ш J. В пространстве Ь ±(W, Г) введем унитарный оператор /г равенством адгф;), )) = принадлежит классу SHQ (W) И AQ = lim o UrAU l в сильной операторной топологии. Ясно, что Ао Л. Обозначим через Ao(W) алгебру, порожденную в Z/2(W, Г) операторами AQ вида (3.7). Предложение 3.9. Пусть х Є S. Имеет место изоморфизм Доказательство. Нам достаточно показать, что изоморфны алгебры А{Щ/ Jo(W) и Ао(Щ. Пусть А Є A(W) и оператор А0 задан равенством (3.7). Отображение j : Aw —» Ао, очевидно, распространяется до эпиморфизма j : .4(W) — v4o(W), причем j7o С ker j. Покажем, что отображение j есть мономорфизм. Пусть А Є A(W) и X Є CC(W) при х(0) = 1. Тогда ХА)Х Є Д(П ) и А - ХА)Х Є J&(W). Кроме того, j(xAoX + Jo) = А)- Поскольку хА)Х supz2Ao, то мы заключаем, что j — мономорфизм. Замечание 3.10. Оператор AQ в соотношении (3.7) зависит от выбора гомеоморфизма w. Инвариантный смысл определений выясняется в пункте 3.8. Для дальнейшего исследования удобно заменить 4o(W) изоморфной алгеброй. С этой целью учтем, что оператор AQ В равенстве (3.7) инвариантен относительно сдвига вдоль ребра. Поэтому где Т — ( n ), F — преобразование Фурье вдоль ребра, а функция С н- А)(С) определена на Rm n и принимает значения в алгебре ВЬ2(К(Л4 ),К(дМ. )) всех ограниченных операторов в пространстве L2(K(M ), К{дМ )). Обозначим через С алгебру, порожденную функциями Sm n l Э 6 н- Д)(#), где функция .Ао(-) связана с элементом Ло Є Ло формулой (3.8); положим Используя аргументы, приведенные в доказательстве предложения 3.7 для проверки равенства 3.4, получаем, что Из вышесказанного следует, что алгебры H.(W) и С изоморфны. 3.5 Локализация в алгебре С{0) Пусть О Є 5m_n_1 и Ло(-) Є С. Введем алгебру (#), порожденную операторами AQ(0) В пространстве L2(К(М ),К(дМ )).
Пусть W С К(М ) и пусть w : W — w(W) С Еп — координатный гомеоморфизм, однородный первой степени. В локальных координатах оператор А(6) имеет вид — однородные нулевой степени. Тогда операторы вида I ) со- держатся в алгебре С{в). Поэтому любое инвариантное подпространство П С Ь2(К(М ),К{дМ )) имеет вид х2(#(Л4 ))ех -М#(дЛ4 )), где х и х некоторые характеристические функции. Обозначим через С\{9) алгебру, порожденную в пространстве L,2(K(Ai )) операторами г+А(9) вида (3.10). Аналогично, алгебра С2{9) порождается в L2{K {дАі )) операторами Q(9) вида (3.13). Известно, что алгебра 2(0) неприводима и содержит идеал JCL,2(K(dM )). Нам достаточно доказать неприводимость алгебры С\(9), так как дальше можно рассуждать как в доказательстве предложения 3.5(г). Допустим, что Ті С Ь2(К(Л4 )) — подпространство, инвариантное относительно С\{9). Покажем, что тогда Ті инвариантно относительно всех компактных операторов в Ь2{К{АЛ )). Это будет означать, что 7- = 0, либо Ті = L2(K(M. )). Пусть (риф — функции на конусе К(АІ ), однородные нулевой степени такие, что supp (ф\М!) и supp (ф\А4 ) не пересекаются с дЛЛ . Выбирая (риф, можно аппроксимировать Т Є fCL2(K(Mf) операторами ірТф в сильной операторной топологии. Пусть {Wj} — специальный атлас на конусе К(ЛЛ ), т.е. Wj — Wj х R+, где {Wj} есть атлас на АЛ . Введем разбиение единицы {rjj} на К(АІ 0\0), подчиненное покрытию {Wj} и состоящее из однородных функций нулевой степени. Если обе окрестности W( и W( отделены от дМ , то (гу 1) (щг+A(9)r)j)w j Є С0(в), где С0(в) обозначает алгебру типа С2{9) для К(дМ ) = Шт п. Поскольку алгебра С(9) содержит идеал /CL2(Rm-n), то ірТір Є і(в) для любого Т Є JCL2(K(M ). Следовательно, подпространство 7Ї инвариантно относительно операторов tpTip, а значит, и относительно любого из операторов Т Є JCL/2(K(A4 ). Включение K.L2(K(M ), К(дЛЛ )) С С(в) теперь очевидно. Обозначим через К(Л4 ) компактификацию конуса К{АА ), полученную присоединением "бесконечно удаленной "копии многообразия М!. Введем алгебру С(К(Л4 )) непрерывных функций на этом компакте. Мы намерены использовать предложение 3.5 для локализации в С{9) посредством С(К(Л4 )). В качестве С возьмем подалгебру в BL2(K(M ), К(дМ )), натянутую на алгебры С{9) и С(К{М )). Выполнение всех требований предложения 3.5 очевидно, за исключением, может быть, условия хЖ Х Є JCL2{K(M ), К{дМ. )) для каждого оператора А{9) Є (9) и любых функций х, С С(К(А4 )) с непересекающимися носителями. Это условие легко проверить, рассуждая как в доказательстве предложения 3.6(и). Наша ближайшая цель — для каждой точки z Є К(Л4 ) описать локальные алгебры C(9)z. Рассмотрим несколько случаев.
Локализация в алгебре С(9)
В пространстве L2(K (Л4 0), К (дЛ4 )) введем унитарный оператор Ur для г Є М+, в локальных координатах действующий по формуле Ur(u(x),v(x )) = (гп/2и(гх),г(п 1 2х xv(rx )). Как нетрудно проверить, UrA{9)U l = А{г9) — А(0) в сильной операторной топологии при г —» 0. Кроме того, UrJU l — 0 для всякого элемента J Є Jo в той же топологии. Следовательно, Докажем противоположное неравенство. Выберем такую функцию Xi чт0 X = 0 вблизи вершины конуса иО х 1- Справедливы равенство А{9) = хМУ + хИ№ Ж()) + (1 _ хМ№ и включения Х(Л(0) - А((0)) Є /CLa CMi), А-(ЭМ )) С Jo и (1 - хМ№ Є Jo-Поэтому Л(0) Итак, отображение Л (в) - А{0) продолжается до изоморфизма алгебр С(9)о и (0). Сделаем несколько замечаний по поводу полученных результатов. Алгебры C(9)z совпадают для точек z, расположенных на одном и том же луче конуса К(Л4 )\0. От них отличается алгебра, отвечающая бесконечно удаленному концу того же луча. Алгебры C(6)z для точек множества К(Л4 ) на самом деле не зависят от параметра 9; зависимость от в имеет место для алгебр в точках из М . Спектр локальных алгебр для точек z Є К(М, )\0 известен; изучения требует только алгебра С(0). 3.6 Специальное представление операторов из алгебры (0) Положим г = \х\ и ср = х/\х\ для х є Rn\{0}. Преобразование Мел-лина функции и Є С (Мп\{0}) запишем в виде Справедливы формула обращения и равенство Парсёваля Для функций w Є C iS4 1) введем операторы Е(Х) и Е(Х) , оператор Е(Х) (Е(Х) 1) определен для всех комплексных А за исключением А = г(к + п/2) (А = — г(к + ті/2)), где к = 0,1,.... При A ±г(/с + п/2) эти операторы взаимно обратны. Для вещественных А оператор Е(Х) является унитарным на L2{Sn 1). Вообще, порядок Е(Х) в соболевской шкале пространств Hs(Sn 1) равен —ImX. Более точно, в любой полосе 7гаА h п/2 имеет место оценка Здесь Hs(X;Sn 1) обозначает пространство Соболева с нормой, зависящей от параметра А; при s 0 эта норма определяется равенством Для преобразования Фурье верна формула допускает представление Положим q(\ p,ri) — lim oo ( , 77) и Q = Q — Ч \ функция г) і—» q(\ip,r}) является однородной нулевой степени. Согласно [10] ПДО Q допускает представление в виде Наша цель — найти подобное представление для остальных опе раторов, входящих в краевую задачу из /2(0).
Начнем с ПДО г+А на М+\{0}. По определению r+A = г+ о А о j+} где А — ПДО на Кп\{0}. Пусть а ( р,г) - символ ПДО А , функции й и а 1) свя заны с а так же, как выше были связаны функции q(\ q и q. Обозначим через J+ оператор продолжения нулем на 5!!-1 функций, заданных на 5+ , а через Р+ — оператор ограничения С00 "-1) — (7 (5 -1). Представляя оператор А в виде (3.24), получим, что r+A = F+21 = P+ (5t;()(A) +Я,(1)(А)) J+, а операторы 2t () и a W определяются соотношениями (3.25) и (3.26) с заменой qW и q ) на й/() и аЛ1) соответственно. Рассмотрим теперь оператор Грина (Ви)(х) = (гтг) -1)/2 /е х Обозначим через к гомеоморфизм Sn 2 х R — 5П_1\{(0, ±1)}, определенный по формуле где, как обычно, (rj) = (1 4- rj2)1/2. Из формулы (3.22) следует, что Поскольку = (n/p) и функция н- („// ) однородна степени О, то есть не зависит от , то d\\ = (п/р) dp. Заменяя переменные Іп/р -» п и rjnlp к+ туп, получаем Введем оператор (3 ( ) (А) по формуле Чтобы оправдать перестановку интегралов в последней формуле, введем оператор Bs = op(rbs)} где голоморфна в области {(A,/u) : ImX п/2, Imp, —п/2} и быстро убывает, если Л + \р\ —» оо при условии 7тЛ, \1тр\ h. Поэтому Аналогичные рассуждения доставляют представление для операторов потенциала и следа Подводя итоги сказанному в этом пункте, введем оператор-функцию ЕэА 21(A) = а (А) + положим МА = diag{Mr_A+in/2,M _ A+i(n_1)/2}, где М - преобразование Меллина функций, заданных на Еп-1\0, и запишем в локальных координатах элемент А(0) алгебры (0) в виде В то же время А(0) = 2w jAij(0)(w 1) , причем В силу формулы (3.39) оператору Aij(0) отвечает функция А н- 21 (А). Обозначим через Djj пересечение области определения отображения wij и сферы SN 1. Пусть u - : D{j — 5 есть отображение, индуцирующее диффеоморфизм Wij. Введем оператор Благодаря равенству Парсеваля для преобразования Меллина имеем \\A{0)- Пусть алгебра 6 порождается функциями Л \— 21р(А), связанными с операторами А(0) Є (0) равенством (3.41), с нормой 2І (-); 6 = sup{j2l»(A); BL2(D, dD)\\; А Є Ш}. Мы приходим к следующему утверждению. Предложение 3.12. Алгебры (0) и изоморфны. Остается проверить оценку (3.32) и аналогичные ей неравенства, необходимые при рассмотрении операторов потенциала и следа. Эта проверка разбивается на три леммы, которые будут использоваться и при доказательстве предложения 3.16. Обозначим через #+(А, 5n_1) пространство, состоящее из тех функций w Є #S(A, 5n_1), чей носитель содержится в 5+-1. Лемма 3.13. Пусть 1т X = 0 и 1т = —т причем 0 т (п — 1)/2. Рассмотрим оператор-функции предположим, что имеют место включения Доказательство. Рассмотрим оператор 05(А, //). Имеем 03(А, /І) = 03(//)(3(//)- (3(A), где 03(//) = Нужно оценить норму оператора (3(//)_1(3(А). По определению G(A) = к (А) о -Е(А), где оператор к (А) действует по формуле а гомеоморфизм к, задан соотношением (3.28). Пусть 7i+(u,Sn 1) — подпространство пространства H .(Sn 1), составленное из элементов v, подчиненных условиям: а) при почти всех /! ! Є Sn 2 однородная функция = ( , &) .- -"v«/K), 0, аналитически продолжается в полуплоскость 1т п 0 (что равносильно возможности аналитического продолжения в ту же полуплоскость функции t н- u (7l M) — v K(f/If M))i b) выполняется равенство с постоянной с, не зависящей от s 0. Из только что приведенного определения следует, что оператор /с (А) изоморфно отображает H+{i\ + n/2,Sn l) на L2(Sn-2,n+). Кроме того, согласно [8, теорема 1.6.5] при А ф г(п/2 + к), k = 0,1,..., отображение Е(Х) : Осталось учесть, что (1 + Н)_г 2Г(1 + Л)_Г(1 + Л - fi\)T. Другие два неравенства доказываются аналогично. Ниже функции Ь$ и 6(1) — те же, что и в (3.32), функции к и определены равенствами (3.34) и (3.35), а к6 и г5 — равенствами где, как и прежде, 6 Є (0,1) и С С(М+), причем C,(t) = 1 при t 1 и C(i) = 0 при t 2. Лемма 3.14. Пусть Є (0,1/2). Тогда при любых неотрицательных целых N и q выполняются неравенства с некоторыми постоянными Q,, Q и Cfc, зависящими только от є N и q. Доказательство.
Докажем неравенства для символов Грина; остальные неравенства выводятся с помощью похожих рассуждений. Непосредственно из определений следует, что Подынтегральное выражение равно нулю при р Є (5, 6 г) и оценивается величиной pImu(l + р- Замечая, что производные функции и/ — b ((p, z/, u/,n, 7n) также допускают оценку (3.42), мы приходим к первому неравенству для 6 . Второе неравенство выводится из того, что первое неравенство остается, очевидно, верным и при вычеркивании функции М1). I Следующее утверждение вытекает из лемм 3.13 и 3.14. при некотором положительном є и любом iV с постоянными C(N,T), не зависящими от 6, X и /і. Предложение 3.16. Пусть 21(1) — функция вида (3.38) при j = 1, причем постоянная т, входящая в выражения для элементов матрицы (см. (3.26), (3.33), (3.36) и (3.37)) принадлежит интервалу (О, (п - 1)/2). Тогда Stf1) Є C0(R) (5+-1. Sn-2). Доказательство. Рассмотрим отдельно каждый элемент мат рицы 21(1). Для функции 0(1) результат известен (см. [12]). Отсюда вытекает требуемое включение для Р+01 \ Из оставшихся трех эле ментов мы снова рассмотрим только 05 (1). Исполь зуя второе неравенство для Ь из леммы 3.14, можно рассуждать (с небольшими изменениями), как в доказательстве леммы 3.13, и полу чить оценку с достаточно большим N. Поэтому так что отображение 21(1) : Lj(5n_1) -+ L S71 1) компактно. Кроме того, неравенство (3.43) и оценка доставляют соотношение 3.7 Локализация в алгебре 6 В этом пункте мы используем принцип локализации, данный предложением 3.3, выбирая в качестве J идеал Со(М) 8 JCL/2(D,dD), а в качестве коммутативной алгебры С — алгебру непрерывных функций на D. Как и выше, элемент алгебры С отождествляем с оператором "умножения" ( , У где ( = C\dD. Предложение 3.17. Для любого числа Л Є Ш отображение 7г(Л) : 21 н- 21(A), 21 Є 6 определяет неприводимое представление алгебры 6. Если Аі ф \2, то представления 7г(Аі) и 7г(Аг) неэквивалентны.
