Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Многомерные вариационные задачи и мультиварифолды 26
I. Классические направления вариационных задач . 26
1.1. Классическое вариационное исчисление 26
1.2. Классическая двумерная задача Плато 28
2. многомерные вариационные задачи 29
2.1. Классические постановки многомерных вариационных задач и классические многомерные задачи Плато 29
2.2 Частичные вырождения у минимальных отображений и невозможность использования функционала Дирихле в многомерном случае 31
2.3. Современные постановки задачи Плато на языке теории гомологии 33
2.4 Введение стратифицированных поверхностей и классическая постановка задачи Плато А на языке теории бордизмов 35"
2.5. Функционалы типа к- мерного объема 40
3. Функциональный язык мультиварифолдов 42
3.1. Определение мультиварифолда 42
3.2. Структура мультиварифолда 45"
3.3. Массы и носители мультиварифолда 4-8
3.4. Спрямляемые мультиварифолда 51
3.5. Интегранды 55"
ГЛАВА ІV. Задачи минимизации обобщенных в классах параметризаций и параметризованных -159
I. Теорема о деформации 139
1.1 Оценки мультимасс мультиварифолдов при отображении 139
1,2. Теорема о деформации 145
2, Изопериметрические неравенства
3 Постановка вариационных задач в классах пара метризаций и параметризованных мультиварифолдов
3.1 Краевые условия . 165
3.2. Параметризации-решения и мультиварифолдн-решения 166
3.3. Вариационные классы
3.4. Формулировка общей вариационной задачи і 69
4» Существование и свойства минимальных параметризаций и параметризованных мультиварифолдов '171
4.1« Полунепрерывность обобщенных интеграндов 171
4.2. Теоремы существования минимальных решений .177
4.3. Структура множества минимальных решений .180
ГЛАВА V. Критерия глобальной минимальности I82
I. Постановка задачи на функциональном языке потоков 182
1.1. Понятия глобально минимальных потоков 183
1.2. Современный анализ классического алгоритма Гюйгенса .184
1.3. Выпуклые функционалы и теорема Хана-Банаха 185
2. Обобщенные формы и их свойства 137
3. Условия глобальной минимальности потоков 190
3.1. Современные "уравнение" Эйлера и алгоритм Гюйгенса ..190
3.2. Выпуклый случай 19?
3.3. Случай с интеграндами 196
4. Глобально минимальные потоки симметричных задач 200
4.1. Задачи с инвариантными функционалами ZOO
4.2. Задачи с ковариантно постоянными лагранжианами .2 О 9
5. Конкретные примеры глобально минимальных поверхностей 214
5.1. минимальные потоки на кэлеровых многообразиях .214
5.2. минимальные потоки на симметрических пространствах 2.16
5.3. Понтрягинские циклы в группах Ли ,2 24
Литература
- Классическая двумерная задача Плато
- Введение стратифицированных поверхностей и классическая постановка задачи Плато А на языке теории бордизмов
- Изопериметрические неравенства
- Современный анализ классического алгоритма Гюйгенса
Введение к работе
В последние годы роль многомерных задач в глобальном анализе особенно возросла, многие проблемы прикладного и теоретического характера естественно приводят к задачам минимизации многомерных нелинейных функционалов. Особый интерес представляют функционалы, порожденные различными типами мер (важные примеры - классические функционалы объема). С другой стороны, как известно, с глобально минимальными циклами риманова многообразия тесно связаны многие вопросы его геометрии и топологии. В настоящей работе изучается класс вариационных задач, связанных с так называемыми функционалами типа многомерного объема. Создание в работе нового аналитико-топол-огического аппарата позволяет разработать подходящий функциональный подход к понятиям "поверхности", "границы", и "минимизации", в результате чего успешно исследуются следующие три основных вопроса; I) доказательство общих теорем существования поверхностей фиксированного топологического типа, минимизирующих данный функционал типа объема в различных классах допустимых вариаций, 2) установление изопериметрических неравенств для класса поверхностей фиксированного топологического типа, 3) обнаружение общих критериев глобальной минимальности поверхностей и разработка эффективных методов нахождения конкретных минимальных поверхностей в римановых многообразиях.
Классическая двумерная задача Плато
Классическое вариационное исчисление. Классическое вариационное исчисление имело дело с одномерными вариационными задачами, простейшей из которых является задача минимизации интеграла вида в множестве (з кривых в открытом подмножестве Uc RU » соединяющих две заданные точки (задача на абсолютный минимум), или в некотором классе гомотопных кривых из згказанного множества % (задача на гомотопический минимум), где rXJ R11- R - некоторый лагранжиан, т.е. функция от двух векторных переменных X и зо ; причем { положительно однородна относительно переменной х . Равенство нулю первой вариации функционала J приводит нас к векторному уравнению Эйлера
Рассмотрим пару (Х р) ДДя которой -6(ос р)=.о и предположим, что матрица (-6 ). . , составленная из частных производных второго порядка функции -, по х и вычисленная при (joc р) , невырождена. Тогда из уравнения u =1/1 - CiWx локально можно выразить оЬ через X и и, , так что выражение представляет собой функцию от переменных х и и , которая определяется вблизи и обозначает ся через h/(X;X).
Теперь продолжим при помощи однородности функцию гЬ на все пары ( )4,) » для которых (х_, ЯиЛ находится в указанной окрестности С (х р)) при некотором Я о Полученная при этом функция снова обозначается через К(рс.и) и называется гамильтонианом нашей задачи, а X и и - каноническими переменными. Относительно канонических переменных уравнение Эйлера имеет следующий канонический вид X = hA,. ы =-К1гх (1.2) при условии, что рассматриваемая кривая геодезически параметризована, т.е. г(х,х) = coast вдоль нее. На этом пути наша задача была изучена в локальном. Глобально же она была исследована с помощью теории Морса.
Вопросу о существовании глобального решения задачи были посвящены знаменитые работы Гильберта, Вейерштрасса, Тонели и Л.Янга. Здесь мы выделим две важные идеи абстрактного характера. Во-первых, теоремы существования можно автоматически получить из принципа Вейерштрасса-Тонели о достижении полунепрерывной функцией минимума на компактном подмножестве. Во-вторых, глубокое высказывание Гильберта о том, что всякая задача вариационного исчисления имеет решение, если только слову "решение" придать соответствующий смысл, привело Л,Янга к открытию понятия обобщенной кривой. Введение слабой топологии и естественное пополнение относительно нее пространства кривых обобщенными кривыми обеспечивают, с одной стороны полунепрерывность всех минимизируемых функционалов, а с другой стороны сходимость минимизи рующих последовательностей, после чего существование "обобщенного решения" становится очевидным фактом.
Замечание. Если мы рассмотрим задачи с подвижными концами, то к уравнению Эйлера (I.I) необходимо присоединить ещё условие трансверсальности, а если рассмотрим задачу с дополнтельными ограничениями, то в (I.I) лагранжиан % надо заменить обобщенным лагранжианом с дополнительными переменными в виде множителей Лагранжа.
Классическая двумерная задача Плато. Другим классическим направлением вариационных задач (на самом деле, как теперь выясняется, тесно связанным с первым ) явилась двумерная задача Плато - задача минимизации функционала площади в классе всех поверхностей в R , затягивающих некоторый заданный контур и пара-метризованных некоторой фиксированной областью TJ в К Пусть отображение ОС/. U- R параметризует поверхность S рассматриваемого класса, it и Я/ - координаты области TJ Площадь S выражается в виде интеграла где коэффициенты первой основной формы поверхности 5 Тогда равенство нулю первой вариации функционала А(оь) эквивалентна векторному уравнению Эйлера їсли и, и V - изотермические координаты (т.е. Е= Gr » F = О у шыми словами, отображение XiU- ScR является конформным этображением), то уравнение (1,3)
Введение стратифицированных поверхностей и классическая постановка задачи Плато А на языке теории бордизмов
Классические постановки многомерных вариационных задач и классические многомерные задачи Плато. После того как одномерный и двумерный случаи получили более или менее полное описание возник вопрос об обобщении вариационных задач (в част - 50 ности, задачи Плато) на более высокие размерности. Пусть G -фиксированное компактное замкнутое С к _ Л ) - мерное подмногообразие в римановом многообразии Ot , W - некоторое к -мерное многообразие такое, что b\N = (3 (заметим, что далеко не всегда существует такое многообразие SW , краем которого являлось бы заданное многообразие G ) Далее мы рассмотрим такие кусочно гладкие или непрерывные отображения : W- OHS что р - тождественное отображение, и некоторый функционал J(f) над пространством отображений ; причем от отображений и функционала J() можно требовать дополнительные "разумные" свойства» По аналогам одномерного и двумерного случаев естественно выделяются следующие вариационные задачи
Задача А. (Задача о нахождении минимальных поверхностей переменного топологического типа с заданной границей). Найти такое кусочно гладкое (или непрерывное) отображение , которое минимизировало бы заданный функционал в классе всех пар пробегает всевозможные к - мерные компактные многообразия с краем - всевозможные кусочно гладкие (или непрерывные) отображения W в OtS , оставляющие неподвижной границу
Задача Б (задача о нахождении минимальных поверхностей фиксированного топологического типа с заданной границей). Пусть W - некоторое фиксированное к - мерное компактное многообразие с краем Э\Л/= G Найти такое кусочно гладкое (или непрерывное) отображение : , которое минимизировало бы заданный функционал J() в классе всех кусочно гладких (или непрерывных) отображений : VV— OfS тождественных на Э№= G » или в некотором данном гомотопическом классе таких отображений.
Дополнительные свойства, которые от отображений и функционала J() мы требуем, бывают разнообразными в соответствии с различными подходами к исходным понятиям решения, краевого условия и минимальности Разумность этих свойств означает, с одной стороны, что они достаточно богаты для успешного исполь-зования математических аппаратов и обеспечивают существование решения поставленной задачи, а с другой стороны - они должны достаточно точно отражать практические стороны задачи. О таких "свойствах" мы более подробно будем обсуждать ниже.
Вместе с задачами "с фиксированной границей" А и Б естественно рассматривать и соответствующие задачи "с подвижной границей" А и Б » для которых отображения f не тождественны на границе Q _. 9VV » а отображают её в некоторое заданное подмножество СҐЇВ Далее, с задачей Б связана ещё следующая задача
Задача Бл (реализующая задача). Пусть W - замкнутое компактное к - мерное многообразие и пусть задан некоторый гомотопический класс кусочно гладких (или непрерывных) отображений f - W — ОТб Требуется найти такое отображение , которое минимизировало бы заданный функционал J() в этом классе.
Конечно, в задаче Б интересна та ситуация, в которой заданный гомотопический класс не содержит отображение в точку, иначе задача на минимум тривиальна.
Если в указанных выше задачах в качестве функционала J() выбран функционал многомерного объема УОЦ() , то мы получим классические постановки многомерной задачи Плато на римановом многообразию! 0№
Частичные вырождения у минимальных отображений и невозможность использования функционала Дирихле в многомерном случае. Хорошо известно, что в процессе стремления к минимальному положению отображение может подвергаться частичным вырождениям (т.е. резко понижать свою размерность в некоторых открытых подмножествах многообразия \Д/ )» которые влекут за собой склей-ки-схлопывания в пленке - образе X =s (W); в результате чего В (VV) могут возникать куски размерностей S Г 1 . Каждый такой кусок не максимальной размерности в двумерной задаче А можно отобразить (без потери параметризующих свойств пленки) в двумерную часть пленки (\N)$ а затем стянуть по ней в одну точку, так что в этом случае отображение на этих участках вырождается полностью (по всем направлениям). Однако при к 2. это в общем случае сделать невозможно, поскольку эта задача эквивалентна задаче о продолжении непрерывного отображения, уже построенного на остове размерности к _ і . Последняя, как хорошо известно, далеко не всегда имеет решения ввиду наличия чисто топологических препятствий. Если же мы рассматрим задачу Б, то даже в двумерном случае одномерные куски в пленке-образе f(W) неустранимы. Это демонстрируется на примере, когда W - двумер-нал цилиндрическая поверхность в R . Если граничные окружности в ЪУ\/ расположены достаточно далеко друг от друга, то образ минимизирующего площадь отображения представляет собой два диска с соединяющим их отрезком.
Изопериметрические неравенства
В этом параграфе мы опишем принадлежащие Федереру, Флемингу Г 4] и Альмгрену [5J конструкции гомотопий, деформирующих в остовы его кубического клеточного разбиения, изучим их особенности и докажем "параметризованный" аналог теоремы Федерера -Флеминга о деформации (см. 4] ).
Оценки мультимасс мультиварифолдов при отображении. В этом пункте будут установлены оценки мультимасс мультиварифолдов при отображении. Кстати будет показано, что при определенных ограничениях индуцированное отображение типа П действует даже тогда, когда индуцирующее отображение f имеет особенности на носителе мультиварифолда. Пусть U-R - R - непрерывная неотрицательная функция. Положим
Определение I.I. Локально липшицево отображение -6?G- R1» где G - некоторое открытое подмножество в R7 , содержащее U0 , называется It- допустимым если переводит ограниченные множества в ограниченные и d I хЦос)" для почти всех (в смысле меры L ) точек ос из U0 . Пусть чса: G — R7 - непрерывные отображение, а ос : (Ъу] - 0,1] - некоторая непрерывная монотонно возрастающая функция, причем об(с?)= о , ос(і)= і . Определим гомотопию ЧбС ЗО : СПЗх 5- R следующей формулой ""омотопия h ( а) отличается от линейной гомотопии от к а іишь параметризацией отрезка [о, і ] Поэтому мы назовем её квазилинейной гомотопией от к Q ,
Теорема І.І. Пусть ;а ; G - R11 - It- допустимые отобра-кения (соответственно, непрерывно дифференцируемые го- допустимые отображения), а 1г= 1.)- квазилинейная гомотопия от к а . Поскольку величины в самых правьтх частях неравенств (1.6), (1.7) и (1.8), согласно условиям (I.I) и (1.2), стремятся к нулю вместе с t , а абсолютные носители мультиварифолдов (Vf\\J) и Т 1 1 X ( VГ) XX)) содержатся в замыкании выпуклой оболочки ограниченного множества (spt VyUa spt V) » то существуют пределы (в компактно слабой топологии)
Таким образом утверждение (а) доказано. Далее, оценки(I.3),(1.4) и (1.5) следуют из полунепрерывности функций масс М- в компактно слабой топологии и неравенств для каждого 5 0 . Наконец, если V полуспрямляем, то полуспрям ляемьт также для любого S О . Тогда для любого S 0 " CVnUs) и \(?Х УПф) полуспрям ляемы. Следовательно, мультиварифолды T/ V и TL!YI хУ) полуспрямляемы. Таким образом, утверждение (в) доказано и тем самым завершается доказательство теоремы.
Теорема 1.2. Пусть Ц, и ХҐ - непрерывные неотрицательные функции на , а q. : G — R — И - допустимые и V-допустимые (соответственно, непрерьшно дифференцируемые IX -допустимые и 1/- допустимые) отображения. В частности, множествами вершин комплексов ( и О являются и - .
Рассмотрим в R метрику которая, как известно, эквивалентна обычной евклидовой метрике. Обозначим через Ии(Ъо) расстояние (?& a-k-i) от точки х до О _ ( _ . Легко показать, что Ц - липшицева функция, к Сх) 0 » причем U/j (pc-) =. о тогда и только тогда, когда х є Cft- -- . Легко доказать также, что где Ь - группа перестановок из элементов 4,2., jfi?- а б2 и_ центр ТЬ- мерного куба С С) такого, что х O f) . В дальнейшем нам нужно следующее свойство функции Ы . Предложение I.I. (см. [4 ] ). Пусть j4 - положительная лера Радона на R , а С (о) обозначает, как обычно, гь - мерный суб огда ju({xe R : (1.% )(00.)= о}) = о ДЛЯ почти всех (в СМЫС-е меры C Co) Замечание. Если в качестве меры лл взять точечную меру Си , о из (I.12) вытекает
Далее, определим отображение 11 44 п к \ (о к ГИ) [едующими требованиями: ограничение Fj на С является тождест-ІННЬМ отображением, а его ограничение на каждой СК-И)- мерной етке - центральным проектированием этой клетки (без центра) на границы.
Отображение г гладко всюду за исключением набора конусов -Г fQ. \ - прообраза мест "стыковки к - мерных клеток", в дифференцируемоеть Р нарушена из-за негладкости поверхности 5ов из Cj . С другой стороны, для мультиварифолдов индуциро--іное отображение Т в общем случае существует лишь тогда, да индуцирующее отображение непрерывно дифференцируемо. связи с этим необходимо построить гладкие аппроксимации к R
Современный анализ классического алгоритма Гюйгенса
Понятия глобально минимальных потоков. Пусть dVo -риманово многообразие и пусть О - некоторый функционал над пространством потоков E Offc . Введем следующие естественные понятия глобальной минимальности.
Определение I.I. Поток 5 є Е 0Т& (с границей или без границы) называется абсолютно (соответственно, гомологически) минимальным относительно функционала J , если J(S) J (50 для любого S б ELO такого, что поток 5 S замкнут (соответственно, точен).
Среди всевозможных функционалов над t- Offlo мы выделим важный класс функционалов, задаваемых лагранжианами.
Определение 1.2. Лагранжианом степени к на 0f& называ ется всякое отображение "С: A OfS-» R такое, что его огра ничениена каждом слое Л СИ расслоения AbOf является положительно однородным.
Каждый лагранжиан ъ степени к на OfG задает положительно однородный функционал над пространством ELOTS ПО формуле который называется интеграндом над потоками. Очевидно, что если - точечный поток, то J (I) ="() Таким образом, "С полностью определяется J .
Ясно, что абсолютно (соответственно, гомологически) минимальные потоки относительно функционала J являются решениями задачи минимизации функционала J в классе потоков с заданной общей границей (соответственно, в классе гомологичных потоков с заданной общей границей). Как и всякая другая вариационная задача, исследования этой задачи проводятся в двух тагах. В первом шаге изучается вопрос о существовании решений, который был успеш но решен (см., например, [4] и [32] ). Во втором же шаге требуются описание и конкретное нахождение глобально минимальных потоков, в частности, установление необходимых и достаточных условий глобальной минимальности потоков. Этому вопросу посвящается настоящая глава.
Современный анализ классического алгоритма Гюйгенса. В этом пункте мы будем кратко излагать проведенный в [2 анализ классического алгоритма Гюйгенса о семействе световых линий в неоднородной среде. Идея этого замечательного алгоритма геометрической оптики будет заложена в основу созданного нами метода минимизации.
Согласно принципу Ферма (принцип наименьшего времени) линии прохождения света являются решениями классической одномерной задачи минимизации интеграла в классе кривых х= ХСІ) (а 4 t Ь) в евклидовом пространстве R , соединяющих две заданные точки (см. I главы 1),где лагранжиан % определяется свойствами рассматриваемой среды. Из положительной однородности лагранжиана \ вытекает, что
Пусть р= р(Ьс)- функция со значениями в R . Назовем р геодезическим наклоном, если существует функция S(x) такая, что для любых пар (XjX справедливо неравенство причем равенство имеет место при ос= р . Функция от двух векторных переменных Ф(х,эс) = iSx(x) называется "точной производной". Заметим, что в этом случае $ полностью определяется функцией р . Действительно, разность , рассматривав мая как функция от оо , достигает минимума при х= р и, значит, ее производная по X обращается в нуль при х= р , т.е.
Если р - геодезический наклон, то решения векторного дифференциального уравнения х= р называются кривыми геодезического наклона. Теперь алгоритм Гйюгенса можно сформулировать так: кривые геодезического наклона минимизируют функционал J . Из (1.2) и (1.4) вытекает, что так что интеграл по любой кривой зависит только от концов этой кривой (очевидно, он равен S(x.f) _ S(xe) , где Х0 и эсц - начало и конец пути интегрирования). Выражение (1.5) называется инвариантным интегралом Гильберта. Если мы перепишем (1.3) в виде и подставим вместо х подынтегральную функцию из (1.5), то получим условие Вейерштрасса -СО,х)--Є(х,р)- C-f )4&(a,f ) o (І-б) Неравенство (І.6) означает, что функция л, выпукла по переменной X в точке х = р , в чем и заключается подлинный геометрический смысл условия Вейерштрасса. Более сложно обнаружить связь условия инвариантности интеграла Гильберта с классическими результатами: нелегко доказываемая теорема Малгоса установила, что это условие эквивалентно требованию, чтобы семейство интегральных кривых уравнения х = р удовлетворило уравнению Эйлера.
