Введение к работе
Актуальность темы
Современные технологии предлагают большие возможности по созданию различных электромагнитных систем с наперед заданными геометрическими и электродинамическими параметрами. Устройства, которые буквально несколько десятилетий назад были уникальными, становятся предметами массового использования. Поэтому одним из важнейших вопросов по-прежнему остается вопрос экономической эффективности и целесообразности создания устройств с заданными характеристиками. Во многих случаях достаточно совсем немного изменить хотя бы один параметр системы, чтобы получить как существенное улучшение, так и ухудшение выходных данных системы. Приближенные аналитические методы уже далеко не всегда могут удовлетворить потребности практики, поэтому возникает необходимость создания эффективных универсальных и высокоточных методов математического моделирования конкретных электродинамических структур.
Особенно важным математическое моделирование становится в случае, когда системы имеют особенности геометрического и электродинамического характера. Геометрические особенности могут являться следствием создания структур сложной геометрической формы или просто имеющих неоднородность поверхности. Примером такой электродинамической конструкции служит волновод с входящими ребрами. Подобные системы широко используются в микроволновых устройствах.
Входящие углы в волноводе могут быть по многим причинам, как по техническим, например, вследствие состыковки нескольких волноводов, так и для получения специального физического эффекта. К примеру, гребенчатый прямоугольный волновод, имеющий в своем поперечном сечении входящие углы, может использоваться в качестве фильтра для пассивного микроволнового устройства или настроечного элемента в нем. Гребенчатые волноводы обладают
важными для практического применения свойствами, одним из которых является эффект аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн при определенных соотношениях между геометрическими параметрами и длиной волны.
С помощью входящих углов в волноводе можно также моделировать наличие дефектов в поверхности системы (царапины, изломы и др.) или щупы, возбуждающие волновод.
Очень часто математические модели, описывающие системы с физическими особенностями, имеют особенности математического характера. Так в случае волновода с входящим ребром известно, что решение задачи, описывающей данную систему, имеет сингулярность, которая может значительно осложнить численный эксперимент. Решить эту проблему можно с помощью определения явного вида этой особенности инструментами математической физики и корректировки численного алгоритма с учетом полученных математических результатов.
К системам с особенностями электродинамического характера можно отнести конструкции, имеющие заполнение материалами с различными диэлектрическими и магнитными свойствами. Примером системы данного типа служит диэлектричекий резонатор, важными характеристиками которого являются спектр его резонансных частот и добротность. С помощью выбора диэлектрической проницаемости заполнения резонатора, его формы и размера, а также комбинации нескольких диэлектриков, можно существенно менять спектр частот, распределение полей, а также значительно увеличить добротность. Резонансные системы широко используются при создании высокоточной измерительной аппаратуры, узкополосных фильтров, для стабилизации СВЧ-генераторов.
Большой интерес представляют резонаторы аксиально-симметричных форм кусочно-постоянного радиуса. Помимо перечисленных свойств резонаторов, предполагается, что такие элементы могут найти применение при конструировании проводящих систем с малыми потерями. В частности, такие
резонаторы экспериментально исследовались на кафедре колебаний физического факультета МГУ .
В настоящей работе исследуются цилиндрическая волноведущая система, имеющая в конечном ее участке входящие ребра постоянного раствора, и резонансная диэлектрическая структура с диэлектриком кусочно-постоянного радиуса. С помощью такой резонансной системы в случае малых диэлектрических потерь и при размерах поверхности резонатора много больших геометрических размеров диэлектрика можно моделировать открытые системы.
Цели диссертационной работы
Цель диссертационной работы состояла в следующем:
-
Построение асимптотики решений спектральных задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа для двумерной области с входящими углами.
-
Построение математической двумерной модели волноведущей системы, содержащей входящие ребра в ее конечной части, и ее исследование проекционными методами различной модификации.
-
Построение векторной модели электродинамического волновода, содержащего входящие ребра в конечной его части, и ее исследование проекционными методами.
4. Исследование резонатора, заполнение которого представляет собой
последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов.
Научная новизна
1. Предложен и реализован метод расчета волноводов, содержащих
входящие ребра, представляющий собой комбинацию проекционных методов -неполного метода Галеркина и проекционно-сеточного метода - и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения поставленной задачи.
-
Доказано существование и единственность построенного приближенного решения этой задачи, показана его сходимость к точному решению.
4. Реализован алгоритм расчета диэлектрического резонатора,
заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических
соосных цилиндров различных радиусов.
Практическая ценность диссертации определяется тем, что результаты работы могут быть использованы для исследования широкого класса конкретных волноведущих систем с входящими ребрами, а также цилиндрических резонаторов с диэлектрическим заполнением аксиально-симметричной формы кусочно-постоянного радиуса. Волноведущие системы с входящими ребрами находят применение в широком круге устройств техники СВЧ (фильтры для пассивных микроволновых устройств, настроечные элементы в таких устройствах и т.д.). Кроме того, с помощью входящих углов в волноводе можно моделировать наличие дефектов в поверхности системы, например, царапины, или щупы, возбуждающие волновод. Резонансные системы находят широкое применение при создании узкополосных фильтров, прецизионной измерительной аппаратуры, для стабилизации СВЧ-генераторов, а также для создания чувствительных элементов для измерения различных физических и химических параметров окружающей среды.
Положения, выносимые на защиту
Основные научные результаты состоят в следующем:
1. Показано, что задача возбуждения о распространении бегущих
нормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственное решение.
-
Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами, представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.
-
На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразности применения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем.
-
Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущеи системы с входящмими ребрами.
-
Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов. В качестве иллюстративного примера получено распределение полей для различного вида заполнения.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и всероссийских и международных конференциях:
-
Семинар кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
-
Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2008", секция "Физика", подсекция "Математики и информатики", МГУ, физический факультет, 2008.
-
Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2011", секция "Физика", подсекция "Математика и информатика", МГУ, физический факультет, 2011.
-
Вторая международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем", Москва, 06-10 июня 2011.
-
Научная конференция "Тихоновские чтения", МГУ, факультет ВМиК, июнь 2011.
-
Научная конференция "Ломоносовские чтения - 2011", секция физики, подсекция "Теоретическая и математическая физика", МГУ, физический факультет, 2011.
-
Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2012", секция "Физика", подсекция "Математика и информатика", МГУ, физический факультет, 2012.
-
Всероссийская конференция (с международным участием) "Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем", секция "Математическое моделирование", РУДН, 23-27 апреля 2012 г.
-
Progress in Electromagnetics Research Symposium in Moscow, Russia, on August 19-23, 2012.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 5 статей в рецензируемых журналах по перечню ВАК и 8 публикаций в материалах конференций.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список цитированной литературы содержит 117 наименований. Текст диссертации содержит 123 страницы текста, включая 13 рисунков.
