Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Концепция фрактала, дробной производной и их применение в физике 12
1.1. Краткие сведения о возникновении и эволюции понятия фрактала 12
1.2. Основные области применения фрактала в физике 13
1.3. Теория перколяции и перколяционные фракталы 14
1.4. Суперуниверсальность в теории перколяции 18
1.5. Дробное исчисление: возникновение и область ее первоначальных приложений 27
1.6. Взаимосвязь между понятием фрактала и дробной производной 29
1.7. Задачи и парадоксы классической теории теплопроводности и диффузии 31
1.8. Выводы 33
Глава 2. Приложение перколяционных методов к некоторым задачам теории фазовых переходов 34
2.1. Основные понятия и методы статистической теории фазовых переходов 34
2.2. Учет корреляции в статистической модели фазового перехода типа порядок-беспорядок в сплаве типа Р - латуни 42
2.3. Об эффективном координационном числе и его температурной зависимости 45
2.4. Температурная зависимость мощности бесконечного кластера, возникающего при упорядочении атомов в сплаве типа Р-латуни 49
2.5. Упорядочение атомов как задача узлов теории перколяции 60
2.6. Кооперативный эффект Яна-Теллера в шпинелях как геометрический фазовый переход 69
2.7. Перколяционная теория контактного плавления бинарных эвтектических систем 72
2.8. Интерпретация интенсивности рассеяния рентгеновских лучей на упорядочивающемся кристалле вблизи точки Кюри на основе теории перколяции 78
2.9. Выводы 81
Глава 3. Применение фрактальной размерности и дробных производных к описанию равновесных и неравновесных свойств конденсированной среды 83
3.1. Температурная зависимость фрактальной размерности перколяционного фрактала вблизи точки Кюри 83
3.2. Флуктуации величины фрактальной размерности 86
3.3. Зависимость фрактальной размерности от перколяционной переменной 88
3.4. Понятие о факторизации дифференциальных уравнений 89
3.5. Факторизация трехмерного уравнения диффузии 92
3.6. Диффузионно-волновое уравнение в дробных производных 94
3.7. Выводы 98
Заключение 100
Литература 102
- Дробное исчисление: возникновение и область ее первоначальных приложений
- Об эффективном координационном числе и его температурной зависимости
- Интерпретация интенсивности рассеяния рентгеновских лучей на упорядочивающемся кристалле вблизи точки Кюри на основе теории перколяции
- Температурная зависимость фрактальной размерности перколяционного фрактала вблизи точки Кюри
Введение к работе
Диссертация посвящена актуальной теме. Это связано с тем, что возможности классической математики, опирающейся на понятия множеств и пространств с целой размерностью, в известной мере оказались исчерпанными. Необходимость дальнейшего развития теоретических методов современной математической физики, потребовала использования таких понятий как фрактал и дробная производная (интеграл). Понятие дробной (фрактальной) размерности было впервые сформулировано в работах Хаусдорфа и Безиковича. Этому предшествовали исследования выдающихся математиков конца XIX - начала XX веков, таких как Кантор, Вейерштрасс, Пеано, Кох, Серпинский, Жюлиа. Основы топологической теории размерности были заложены А. Пуанкаре и представлены в окончательном виде замечательным советским математиком П.С. Урысоном, трагически погибшим в возрасте 26 лет в 1924 году.
Термины фрактальная размерность и фрактал появились в математическом и физическом лексиконе около 25 лет назад, начиная с фундаментальных работ Б. Мандельброта по геометрии случайных процессов. Именно Мандельброт впервые увидел чрезвычайную плодотворность для приложений размерности Хаусдофа-Безиковича и дал определение фрактала, как множества, у которого эта размерность строго больше ее топологической размерности.
В настоящее время фрактал стал уже привычном объектом из арсенала теоретических методов в физике и примыкающих к ней областях. Всплеск «фрактальных» работ затронул такие основополагающие направления как неравновесная термодинамика, космология, теория динамического хаоса и гидродинамической турбулентности, теория фазовых переходов, физика космической и лабораторной плазмы. Важный класс фрактальных объектов образуют множества, описывающие геометрию протекания или перколяции. Под перколяцией понимается прохождение тока по случайной сетке проводников, причем слова «ток» и «проводящая сетка» понимаются весьма широко. Это явление имеет пороговый характер, т.е., ток по сетке протекает только лишь в том случае, если доля «целых связей» X выше некоторого критического хс порога протекания. В применениях эту простую геометрическую картину
понимают очень широко. Вблизи порога протекания геометрические характеристики фрактала становятся независимыми от микроскопических свойств среды. Это явление можно интерпретировать как универсальность фрактальной геометрии перколирующих множеств на пороге протекания. С другой стороны, в окрестности точки фазового перехода 2-го рода проявляются столь же универсальные свойства систем. Является весьма актуальной задача установления взаимосвязи между основными параметрами, описывающими перколирующую систему и термодинамическую систему в окрестности фазового перехода 2-го рода.
Классические уравнения математической физики содержат в себе неявную посылку о том, что свойства описываемой среды не являются фрактальными. В физике является актуальным ответ на вопрос: как изменятся классические уравнения математической физики, если среда из обычной, сплошной, превратится в разреженную, с фрактальной структурой? Имеется ряд работ, в которых дается ответ на этот вопрос, однако, он неоднозначен и методы теоретического описания динамики фрактальной среды находятся в стадии становления. В этой ситуации, любое новое исследование позволяет взглянуть на проблему под другим углом зрения и восполняет физическую картину.
Наконец, можно вспомнить парадокс, связанный с описанием теплопереноса и диффузии с помощью классического уравнения теплопроводности (диффузии). Как хорошо известно, решения уравнения теплопроводности приводят к выводу о бесконечно быстром распространении тепла. Ясно, что при описании процессов, протекающих достаточно медленно по сравнению с реальной скоростью теплопереноса, уравнение Фурье приводит к удовлетворительному согласию с опытом. Но в случае рассмотрения достаточно быстрых процессов следует учесть конечную скорость распространения тепла. Понятие дробной производной позволяет это сделать наиболее последовательным образом. В связи со всем сказанным, целью работы является:
1. Установление взаимосвязи между основным понятием теории фазовых переходов Ландау - параметром порядка и фрактальной размерностью геометрической структуры, образующейся в процессе фазового перехода.
2. Определение температурной зависимости фрактальной размерности перколирующей системы в окрестности температуры фазового перехода.
3. Получение фазовой диаграммы для упорядочивающихся бинарных твердых растворов на основе теории перколяции.
4. Получение уравнения кривой ликвидуса для бинарных эвтектических систем на основе теории перколяции.
5. Факторизация классического трехмерного уравнения диффузии и получение дробных дифференциальных уравнений для описания конденсированной среды, состоящей из частиц, с внутренним магнитным моментом.
Для достижения поставленных целей предусматривалось:
• провести анализ литературных источников, посвященных экспериментальному и теоретическому изучению термодинамики и кинетики фазовых переходов 1-го и 2-го рода, а также, основам теории перколяционных фракталов и их применению в физике конденсированной среды;
• изучить основные методы анализа статических фрактальных структур и обобщить их на динамические фрактальные структуры; • изучить методы описания теплопроводности и диффузии с учетом конечной скорости их распространения и применить для этой цели уравнения в дробных производных, имеющее два предельных случая
- уравнение Фурье и волновое уравнение.
Научная новизна работы заключается в следующем:
• на примере бинарных твердых растворов впервые показано, что кристалл, испытывающий фазовый переход, обладает динамической фрактальной структурой, впервые вычислена зависимость фрактальной размерности от термодинамических параметров;
• впервые определена температурная зависимость мощности бесконечного кластера, впервые установлена связь мощности бесконечного кластера с интенсивностью сверхструктурных рентгеновских отражений, возникающих ниже точки Кюри;
• на основе теории перколяции впервые получена теоретическая кривая ликвидус для бинарных эвтектических систем;
• на основе гипотезы подобия, впервые вычислена зависимость фрактальной размерности динамического фрактала от перколяционной переменной;
• впервые показано, что методы факторизации одномерного уравнения теплопроводности, применяемые для определения потоков на границах, не могут быть механически перенесены на двумерный и трехмерный случай. Установлено, что в этом случае появляются дополнительные («спиновые») степени свободы, которым дана физическая интерпретация.
Научное и практическое значение результатов.
Научное значение результатов, полученных в диссертации, состоит в том, что они способствуют более тесному слиянию методов теории фазовых переходов и теории фракталов, становлению единой теоретической дисциплины, охватывающей методы обеих теорий. Кроме того, геометрические представления, развитые в теории перколяции обладают рядом преимуществ в наглядности и вычислимости, в сравнении с традиционными методами термодинамической и статистической теории фазовых переходов. Отметим также, что для ряда наиболее характерных решеточных и континуальных задач теории перколяции на основе численных методов определены пороги перколяции и некоторые из фрактальных характеристик. Эти данные могут служить дополнительным и весьма надежным «экспериментальным» материалом при построении термодинамических и статистических моделей фазовых переходов в конкретных материалах. Удовлетворительное описание экспериментальных данных в этом случае свидетельствует и о справедливости фрактальной геометрической картины изучаемого объекта. Предлагаемый нами подход уравнивает в правах привычные термодинамические переменные и переменные, описывающие свойства фракталов.
С дугой стороны, получение новых уравнений математической физики, путем «простого извлечения корня» из классических уравнений, при его дальнейшем математическом и физическом обосновании может привести к фундаментальным новым результатам, так как это произошло при извлечении П. Дираком квадратного корня из уравнения Клейна-Гордона-Фока. Следует сразу отметить, что дробные производные и уравнения в дробных производных в огромной степени уступают в наглядности обычной производной и интегралу. Именно поэтому, установление Р. Нигматуллиным связи между фрактальной размерностью множества и порядком дробного дифференциального уравнения, описывающим стохастический процесс на этом множестве, является чрезвычайно важным результатом для физической и геометрической интерпретации дробных производных. Полученные в данной работе результаты имеют ту же цель и таково их практическое значение.
На защиту выносятся следующие основные положения: • метод вычисления зависимости фрактальных характеристик вещества от термодинамических переменных; • метод экспериментального определения мощности бесконечного кластера, с использованием рассеяния рентгеновских лучей на кристалле;
• метод построения кривых ликвидуса для бинарных эвтектических систем, основанный на теории перколяции;
• обобщение метода факторизации одномерного уравнения теплопроводности на высшие размерности путем увеличения числа внутренних степеней свободы;
• метод разрешения основного парадокса классической теории теплопроводности-диффузии Фурье-Фика, основанный на использовании дробного дифференциального уравнения теплопроводности.
Дробное исчисление: возникновение и область ее первоначальных приложений
Физика является главной областью приложений передовых математических методов и источником возникновения новых математических понятий, теорий и методов. Не является исключением и теория фракталов именно в физике она находит наиболее обширные применения и именно физика служит стимулом к совершенствованию и обобщению ее методов. Этому являются свидетельством многочисленные статьи, обзоры, труды конференций, монографии и учебники. Одним из первых изданий подобного рода является сборник трудов международной конференций по применению фракталов в физике [91]. В этом сборнике отражен опыт применения фракталов в физике вплоть до 1987 г. включительно. В обзоре Зосимова и Лямшева [48] приводятся данные о методах изучения колебательного спектра сред с фрактальными свойствами. В обзоре Батунина [25] мы находим пример применения фрактального анализа в физике элементарных частиц. Обзор отличается строгостью и полнотой изложения теории фракталов. Более ранний обзор Соколова [81] посвящен перколяционным фракталам и их приложениям к изучению механических, электрических и других свойств фрактальных сеток. Одной из первых областей применения фракталов является изучения структуры аттракторов динамических систем с хаотическим поведением [56]. Интересно отметить применение фракталов в радиофизике и теории передачи информации [54]. Для нас, наиболее интересной областью применения является физика конденсированного состояния. Число работ на эту тему велико и неуклонно растет. Результатам и достижениям в этой области посвящены два обзора Олемского с соавторами [14, 74]. В обзорах даны общие сведения о монофракталах и мультифракталах, приводятся рецепты определения фрактальных характеристик среды. В качестве объектов применения фрактальных методов, рассматриваются: пластическая деформация, диффузия во фрактальной среде, фрактальная кинетика иерархически соподчиненных систем.
Отметим, что ряд примеров применения фракталов и перколяционных методов описан также в книге Федера [89]. Там же приведены очень подробные ссылки на первоисточники
Обратимся к важному частному случаю фракталов — к так называемым перколяционным фракталам. Теория перколяции или протекания изучает процесс возникновения проводимости в неупорядоченной системе [3, 16, 41,81, 85, 97, 100]. Создателями теории протекания считаются Бродбент и Хаммерсли, которые изучали закономерности протекания газа или жидкости в пористой среде, заложили основы этой теории и дали ей название percolation theory [3]. Теория перколяции имеет очень широкий круг применений в физике, чему могут служить монографии [16, 97], обзоры [23, 24, 81]. Простейшим примером системы, в которой наблюдается явление перколяции, может быть куб, заполненный смесью алюминиевых и пластиковых шариков одинакового радиуса. Если дно и крышка куба являются проводниками, то через толщу куба, заполненного смесью шариков, может пойти ток, но только в том случае, если концентрация металлических шариков будет достаточно большой. Минимальная концентрация металлических шариков хс(0, при которой возникает проводимость между верхним и нижним основаниями куба называется порогом протекания. Для куба конечного размера /, величина порога протекания является случайной xc\i), однако, для куба бесконечного размера порог протекания определен однозначно Именно предел (1.2) и называется порогом протекания. Порог протекания можно получить и путем использования куба конечного размера. Для этого его надо случайным образом заполнять смесью металлических и пластиковых шариков и добиться появления проводимости. В этом случае порог перколяции будет случайной величиной. Далее, следует произвести усреднение по всем реализациям, дающим проводимость. При достаточно большом числе повторений, мы получим среднее значение порога протекания, совпадающее с (1.2). Доказательство теоремы о том, что усреднение по кубу конечного размера дает тот же результат, что и предел (1.2) приведено в литературе [16]. Изложенная выше геометрическая картина возникновения проводимости представляет собой так называемую задачу узлов (site problem). В теории перколяции имеется еще одна задача - задача связей (bond problem). Обстоятельства возникновения задачи связей можно пояснить следующим физическим примером [100]. Пусть мы имеем двумерную проволочную сетку размером NxN. Будем перекусывать кусачками связи соединяющие узлы сетки. При некотором значении числа целых связей течение тока от нижнего основания к верхнему прекратится. Как и в случае задачи узлов, порог протекания задачи связей для сетки конечных размеров есть случайная величина. Однозначно определенный порог протекания можно получить переходя к пределу бесконечной решетки. В теории протекания доказывается [16, 85, 97, 100], что порог протекания задачи узлов ниже порога протекания задачи связей: %с %с . Это почти очевидно: при удалении одного узла, обрывается z связей, где z-координационное число (число ближайших соседей). Поэтому, при удалении даже меньшего числа узлов, мы обрываем большее число связей. Совокупность связанных между собой узлов образует кластер. Ниже порога протекания имеются только кластеры конечных размеров, а выше порога перколяции появляется бесконечный кластер и совокупность конечных кластеров, не связанных между собой и с бесконечным кластером. При дальнейшем увеличении концентрации, бесконечный кластер будет «поедать» конечные кластеры и, при X = 1, конечных кластеров не будет вовсе - останется один бесконечный кластер. Конечные кластеры ниже порога протекания и бесконечный кластер обладают фрактальной структурой. Перколяционный кластер является так называемым однородным фракталом [16, 81, 85, 97]. Это означает, что самоподобие кластера проявляется в интервале масштабов от межатомного расстояния #о до длины корреляции 4
Об эффективном координационном числе и его температурной зависимости
Авторами работы [1] было показано, что вблизи порога протекания хс , кластеры имеют универсальную геометрическую структуру, определяемую исключительно законами критичности. Точнее можно сказать так: условие критичности приводит к независимости геометрических характеристик фрактала от микроскопических свойств среды. Данное явление можно интерпретировать как универсальность фрактальной геометрии перколирующих систем на пороге протекания. Наиболее яркая формулировка свойства универсальности известна как анзац (физический аналог теоремы) Александера -Орбаха (АО). Анзац АО формулируется так
Спектральная размерность перколяционного фрактала Ds =— на пороге перколяции для всех перколирующих систем, при размерностях объемлющего евклидова пространства п 2. Доказательство анзаца АО было проведено авторами для случая п 5, на основе использования теории среднего поля. При П 6, теория среднего поля несправедлива и авторы просто экстраполировали свой результат на более низкие размерности. Следует отметить, что этот результат справедлив для всех размерностей объемлющего пространства, чья размерность больше 5. В самое последнее время, азац Александера-Орбаха был строго доказан для размерностей 2 « 5. Это было сделано А.В. Миловановым из Института космических исследований РАН [8, 70] и этот результат является фундаментальным достижением в теоретической физике. Действительно, тогда, как Александер и Орбах использовали вполне традиционный аппарат статистической физики и приближение среднего поля, для малых размерностей оказалось необходимым использовать совершенной новую вычислительную технику и нетривиальные геометрические и топологические методы. Эта проблема хорошо известна из области критических явлений и теории фазовых переходов [66, 82] - критические индексы ряда термодинамических величин вблизи точки перехода, для размерностей и 4, совпадают с критическими индексами, вычисленными по термодинамической теории Ландау, т.е., в приближении среднего поля и это абсолютно точный результат. Для того, чтобы вычислить критические индексы в размерностях 1 п 4,. Кеннету Вильсону пришлось разработать свой ренормгрупповой подход и новую теорию критических явлений [18, 40], за что ему была присуждена Нобелевская премия по физике за 1982 г. Результат А.В. Милованова, по сути, аналогичен результату К. Вильсона. Ему тоже пришлось уточнить смысл и заново определить все величины, используемые в теории перколяции. Миловановым был использован топологический метод, при этом, все приведенные выше величины получили строгое аксиоматическое определение, а различным свойствам и соотношениям было дано строгое доказательство. Ввиду того, что мы собираемся далее существенным образом использовать эти свойства и соотношения, изложим вкратце наиболее существенное, что было получено в работах Милованова с соавторами, следуя, в основном, работе [45].
Дадим вначале строгое определение фрактальной размерности. Пусть множество F вложено в n-мерное евклидово пространство. Далее, пусть Nn{e) - число n-мерных кубов с ребром є, покрывающих множество F. Тогда хаусдорфовой фрактальной размерностью называется предел Отметим, что предел (1.7) существует для множеств F, обладающих свойством самоподобия (масштабной инвариантности). Фракталы подразделяются на детерминированные и случайные. Например, кривая Кох на рис. 1.2, а) - детерминированный фрактал, а зависимость, приведенная на рис. 1.2, б) — статистически самоподобный фрактал [45]. б) Пример статистически самоаффинного временного ряда. Определение хаусдорфовой размерности (1.7) приводит к концептуальному обобщению понятия меры в современной геометрии [67]. Обычные понятия длины, площади и объема являются не чем иным, как 1-, 2-, и 3-мерой множества, соответственно. Введение фрактальной размерности DH позволяет говорить о его DH -мере. Отметим, также, что хаусдорфова размерность не является топологическим инвариантом, т.е., может изменяться при общих гомеоморфизмах. Пример: кривая Кох гомеоморфна единичному отрезку, а ее хаусдорфова размерность DH = In 4/In 3 1.26 5 тогда, как у отрезка ВЦ = 1. Последнее обстоятельство связано с нарушением гладкости отображения в уголках кривой Кох. Для гладких отображений я сохраняется [56]. Есть ли фрактальная размерность, являющаяся топологическим инвариантом? Оказывается, есть. Введем эту размерность. Пусть и Р2 две точки фрактального множества F, находящиеся в общем положении [12], и пусть У - путь, соединяющий эти две точки. Поскольку F фрактал, то и путь является фракталом (самоаффинной кривой), лежащим в F. Ясно, что существует бесчисленное множество путей, соединяющих две заданные точки. Среди этого множества путей существует класс диффеоморфных друг другу путей, обладающих минимальной хаусдорфовой размерностью. Рассмотрим теперь всевозможные гомеоморфизмы f:F- F , где F - тоже фрактал, причем, хаусдорфовы размерности этих фракталов могут не совпадать. Среди путей У J (У) выберем тот, хаусдорфова размерность которого минимальна.
Интерпретация интенсивности рассеяния рентгеновских лучей на упорядочивающемся кристалле вблизи точки Кюри на основе теории перколяции
Дробное дифференциальное и интегральное исчисление возникло уже достаточно давно, в 19 веке, в трудах Римана, Лиувилля и получило дальнейшее развитие в трудах русского математика Летникова. Как хорошо известно [76], производную п -го порядка от функции f(x) можно представить в виде
Если в формуле (1.20) сделать замену п-1\ = Г(п), где Г(х) - гамма-функция Эйлера и считать аргумент гамма-функции действительным числом, то получим формулу для дробной производной Римана-Лиувилля
Первые приложения дробного исчисления были намечены уже Курантом и Гильбертом [59]. Они предложили находить с помощью дробных производных потоки вещества и энергии на границах, без решения краевой задачи для гиперболического уравнения. Достаточно полно, эта программа была реализована Бабенко [22] для процессов тепломассообмена. Книга [77] представляет собой объемистый труд справочного характера. В ней можно найти широкий спектр приложений дробного исчисления к решению дифференциальных и интегральных уравнений. В работе Чукбара [95], дробные производные впервые появляются в связи с конкретными физическими вычислениями, а не путем математического обобщения обычных производных. Ему впервые удалось показать, что порядок дробной производной ОС тесно связан с показателем Херста Н, в формуле описывающей закон изменения дисперсии при обобщенной диффузии
Отметим, что закон изменения (1.22) уже появлялся в нашем изложении (формула (1.6)), но для дискретной переменной. Плотность распределения величины X имеет гауссову форму Классическому фиковскому (Fickian) закону диффузии отвечает значение # = 0.5. случаи # 0.5 носит название супердиффузии («полеты» Леви), а случай Я 0.5 отвечает субдиффузии или диффузии с геометрическими стеснениями (geometric constraints)[95]. Общеизвестно (см. например [46]), что плотность распределения (1.23) при Я = 0.5 , является решением обычного уравнения диффузии. При Я 0.5 плотность распределения подчиняется уже не дифференциальному, а интегро дифференциальному уравнению. Соответствующие дробные дифференциальные уравнения для случаев Я 0.5и # 0.5 получены в работе [95]. В работе [98] дан простой вывод тех же самых уравнений и приведена дополнительная физическая интерпретация. 1.6. Взаимосвязь между понятием фрактала и дробной производной
Основные понятия классического математического анализа — производная функции и интеграл - возникли в ответ на потребности геометрии и механики, поэтому геометрическая или физическая интерпретация этих понятий не вызывала каких либо затруднений. Понятие дробного интеграла и производной явились логическим следствием развития формальных методов и не были вызваны к жизни непосредственными потребностями физики или техники. В связи с этим, придание физического или геометрического смысла дробным производным, является отдельной и самостоятельной задачей. Особенно интересными в этом направлении мы считаем работы, посвященные установлению связи между дробными производными и фрактальными множествами. Таких работ немного. Одна из ранних попыток подобного рода была предпринята в работе Зельдовича и Соколова [47], однако, авторы используют для оценки степени гладкости функции не дробную производную, а, так называемый, показатель Гельдера и производную в смысле Гельдера.
Задаче установления связи между фрактальной размерностью множества и порядком дробной производной, в дифференциальном уравнении, описывающем некоторый эволюционный процесс на этом множестве, была посвящены работы Нигматуллина [73]. Так как мы намерены предпринять некоторое развитие этой работы, вкратце изложим ее суть. Автор исходит из эволюции некоторой физической величины (потока)
Температурная зависимость фрактальной размерности перколяционного фрактала вблизи точки Кюри
В этом п.п., пользуясь методами статистической теории фазовых переходов, вычислим температурную зависимость мощности бесконечного кластера, образующегося ниже точки Кюри в упорядочивающемся кристалле. В основном, мы будем следовать нашей работе [37], внося в изложение необходимые уточнения и дополнения.
Основной постулат, позволяющий связать теорию перколяции с теорией ФП - это утверждение о том, что появление бесконечного кластера равнозначно переходу в одну из низкосимметричных фаз. При появлении бесконечного кластера становится отличной от нуля мощность бесконечного кластера Р(х), а в упорядоченной фазе становится отличным от нуля и параметр порядка rj. Следовательно, между этими величинами должна существовать функциональная связь. Сделанный нами вывод не нов, а давно известен и повсеместно излагается как в учебной, так и монографической литературе [74]. Между тем, странность положения заключается в том, что явная зависимость Р = P(rj) никем и никогда не вычислялась в рамках сколь-нибудь последовательной теоретической модели. Целью настоящей параграфа и является нахождение этой зависимости в случае ФП типа атомного упорядочения (перехода порядок - беспорядок). Кроме того, мы хотим найти уравнение кривой точек Кюри из перколяционных соображений и сравнить эту кривую с кривой, найденной в рамках статистической теории фазовых переходов, а также, провести анализ некоторых следствий нашей модели.
Все наши рассуждения и построения будут вестись в рамках рассмотрения конкретного физического объекта — твердого раствора замещения АСВХ_С типа р-латуни. Наша основная цель — это нахождение зависимости перколяционной переменной х и мощности бесконечного кластера Р(х) от термодинамических переменных с,Т, rj. Перколяционная переменная х - это доля (концентрация) целых связей (в задаче связей) или доля занятых узлов (в задаче узлов) [85, 100]. Заметим, что, если известна зависимость % — Х\С, 1 ,Tj), то известна и зависимость от термодинамических переменных любой заданной функции от х. Но, как видно будет из дальнейшего, по ходу решения этих задач, будут получены и другие важные результаты. Физическую задачу об упорядочении А- и В-атомов в сплаве АСВХ_С мы сведем к задаче связей теории перколяции на ОЦК решетке. Для этого, каждой ближайшей паре А- и В-атомов сопоставим «целую связь», а каждой ближайшей паре одноименных атомов - «оборванную связь». Ниже мы уточним это наше предварительное соглашение. При такой постановке, задача об упорядочении атомов твердого раствора ниже Тс становится задачей связей теории перколяции на ОЦК решетке. Отметим, что введенные выше понятия естественным образом возникают в рамках статистической теории фазовых переходов учитывающей ближний порядок (см. п.п. 2.2). Обратимся к вычислениям. В работе [37] нами использовались обозначения отличные от обозначений, введенных в предшествующих пунктах. В связи с этим, установим связь между теми и другими обозначениями. Вместо параметра корреляции є, мы использовали в [37] параметр ближнего порядка С, определяемый соотношением (2.41) температура перехода по (2.39) получается отрицательной. Внутри интервала Хс С І — Хс на границах интервала (2.41) существуют две вертикальные асимптоты для графика функции Тс (с). Сам график распадается на три ветви (рис.2.3), причем, центральная ветвь лежит ниже оси абсцисс, а две крайние -выше оси абсцисс. Таким образом, простая гипотеза о том, что доля целых связей совпадает с долей АВ пар среди всех возможных пар X РАВ , а на границе перехода порядок-беспорядок выполняется условие нефизичному результату и мы должны устранить причину этой нефизичности. Для этого заменим условие осуществления фазового перехода X = Хс на более универсальное. Отметим следующее — величины порогов протекания, вычисленные для разных типов плоских и пространственных решеток, сильно отличаются друг от друга, но как видно из табл.2.1, для пространственных решеток существует приближенный инвариант j = х cz = 1.46 ± 0.025 . Будем считать, что постоянным вдоль кривой перехода является этот инвариант J XZeff, а не величина порога протекания %с . Действительно, образование бесконечного кластера в термодинамической системе соответствует статической геометрической картине теории перколяции только при Т = О , а при Т О , перколяция носит динамический характер - связи образуются и распадаются и не только по причине обмена местами А-и В-атомами, но и по причине того, что расстояния между центральным атомом и его ближайшими соседями не соответствуют идеально правильной пространственной решетке. Таким образом, ясно, что эффективное координационное число является функцией температуры z = zoJ \1 ), причем, убывающей. Для компенсации убывания Z , мы в той же пропорции должны увеличить долю целых связей, так, чтобы вдоль кривой перехода выполнялось условие.
