Содержание к диссертации
Введение
1. Термодинамика переходов с образованием несоразмерных фаз в кристаллах
1. Введение 30
2. Обусловленное стрикцией взаимодействие доменных стенок в случае однокомпонентного параметра порядка 35
3. Метод расчета упругого взаимодействие солитонов, образующих регулярную структуру 41
4. Индуцированное деформациями взаимодействие солитонов в несоразмерной фазе для случая упругоизотропной среды с бесконечным модулем сдвига 43
5. Индуцированное деформациями взаимодействие солитонов в несоразмерной фазе в кристаллах 48
6. Различные вклады в притяжение солитонов 50
7. Температурные аномалии вблизи перехода несоразмерная - соразмерная фаза 52
8. Влияние дефектов на характер перехода несоразмерная - соразмерная фаза 55
9. ІС-С переход в кристаллах K2Se04 и Rb2ZnClA: сравнение с экспериментом 63
10. Аномалии оптического двупреломления в области перехода нормальная -несоразмерная фаза 65
2. Индуцированное деформациями взаимодействие вихрей абрикосова в сверхпроводниках ii рода
1. Введение 75
2. Деформации, индуцируемые вихрями вблизи нижнего критического поля: определяющий вклад "non-core" областей 76
3. Индуцированное деформациями взаимодействие вихрей в упруго-изотропной среде 81
4. Взаимодействие вихрей в кристалле в полях, не слишком близких к верхнему критическому полю 84
5. Взаимодействие вихрей в кристалле в полях, близких к верхнему критическому полю 91
3. Аномалии, исследуемые методами якр и ямр
1. Введение 95
2. Аномалии скорости спин-решеточной релаксации (СРР): общие соотношения 103
3. Аномалии СРР: однокомпонентныи параметр порядка, симметричная фаза 105
4. Аномалии СРР: однокомпонентныи параметр порядка, несимметричная фаза 108
5. Особенности случая несимметричной соразмерной фазы, описываемой двухкомпонентным параметром порядка 115
6. Аномалии СРР в несоразмерной фазе вблизи перехода из нормальной фазы 117
7. Особенность систем порядок - беспорядок 123
8. Вклад фазонав скорость СРР при низких температурах 125
9. Низкотемпературное затухание фазона 128
10. Вклад амплитудона в скорость СРР при низких температурах 132
11. Форма линии в несоразмерной фазе 135
4. Ультразвуковые аномалии вблизи точек структурных фазовых переходов.
1. Общие положения теории ультразвуковых аномалий 145
2. Расчет ультразвуковых аномалий в рамках последовательной теории возмущений: симметричная фаза 150
3. Расчет ультразвуковых аномалий в рамках последовательной теории возмущений: несимметричная фаза. 154
4. Особенности аномалий затухания ультразвука в случае двухкомпонент-ного параметра порядка 163
5. Ультразвуковые аномалии в несоразмерной фазе 165
5. Приповерхностные искажения структуры кристаллов
1. Спонтанные приповерхностные искажения структуры кристаллов 173
2. Приповерхностные искажения, индуцированные однородными внешними воздействиями 177
3. Аномалии макроскопического квадрупольного момента 179
4. Приповерхностное ветвление доменов 184
5. Расчет структуры ветвления во внешнем поле 185
6. Минимальный размер поверхностных доменов 190
Выводы 194
- Обусловленное стрикцией взаимодействие доменных стенок в случае однокомпонентного параметра порядка
- ІС-С переход в кристаллах K2Se04 и Rb2ZnClA: сравнение с экспериментом
- Взаимодействие вихрей в кристалле в полях, не слишком близких к верхнему критическому полю
- Особенности случая несимметричной соразмерной фазы, описываемой двухкомпонентным параметром порядка
Введение к работе
Исследование фазовых переходов в кристаллах представляет собой одну из широко исследуемых проблем в физике твердого тела. Особое место в этих исследованиях занимают переходы с образованием вырожденных фаз, к числу которых относятся несоразмерные фазы в диэлектриках и магнетиках, решетки вихрей Абрикосова в сверхпроводниках второго рода, волны зарядовой плотности в металлических системах, спин-пайерлсовские фазы и т.д. Энергия этих систем не зависит от определенной обобщенной координаты, которой обычно является фаза модуляции некоторого параметра порядка (фаза несоразмерной волны смещений или упорядочения атомов в диэлектрике, фаза волны зарядовой плотности в сплаве и т.д.). Такое вырождение приводит к появлению дополнительных бесщелевых (голдстоуновских) мод в спектрах возбуждений, которые и определяют характерные особенности этих систем.
Исследованию переходов с образованием вырожденных фаз посвящено большое количество как экспериментальных, так и теоретических работ (см., например, обзоры и монографии [1-8]). Интерес к теории вырожденных фаз обусловлен, с одной стороны, фундаментальным характером проблемы фазовых переходов, с другой - значением этой теории для интерпретации разнообразных свойств сегнетоэлектриков, магнетиков, сверхпроводников и других систем.
К началу выполнения работ, вошедших в диссертацию, существовало достаточно хорошее понимание основных особенностей, характерных для вырожденных фаз и фазовых переходов с их образованием. Однако многие аспекты влияния на термодинамику и кинетику таких переходов характерного для твердого тела упругого (а часто и кулоновского) дальнодействия, включая эффекты взаимодействия флуктуации параметра порядка с флуктуациями акустических степеней свободы, либо только начинали изучаться, либо вовсе еще не были рассмотрены к этому времени. Отчасти, такое положение дел объяснялось тем, что и в теории, описывающей "обычные" фазовые переходы (переходы между невырожденными фазами) в твердом теле, существовали определенные пробелы. Так, например, развитая довольно давно теория аномалий спин-решеточной релаксации, возникающих в кристаллах вблизи обычных фазовых переходов, представлялась неудовлетворительной, поскольку в ней использовалось, как правило, слишком упрощенное описание корреляционных функций параметра порядка [1, 138-142]. Аналогичные недостатки были присущи и анализу ультразвуковых аномалий [202-203].
Следует также отметить, что в ряде вопросов теории вырожденных систем, например, в вопросе о величине обусловленного флуктуациями фазы вклада в ультразвуковые аномалии, некоторые опубликованные результаты [212, 213] противоречили качественному пониманию характера взаимодействий в таких системах.
С другой стороны, ряд эффектов не рассматривался, по-видимому, ввиду казавшейся их малой значимости. Например, описание влияния упругого дальнодействия на термодинамику переходов несоразмерная - соразмерная фаза в диэлектриках явно было неполным, поскольку отсутствовал анализ эффектов, связанных с таким универсальным взаимодействием, как стрикционное [1]. В качестве другого примера здесь можно привести исследование индуцированного деформациями взаимодействия вихрей в сверхпроводниках второго рода. При расчете такого взаимодействия обычно использовалась упрощенная модель, в которой в качестве источников дилатации рассматривались только коры вихрей [110-112, 122-124], что, как оказалось, приводило к заниженной оценке величины взаимодействия. Кроме того, для анизотропного случая не анализировалась та часть упругого взаимодействия, которая связана с конечностью образца и обусловлена так называемыми силами изображения.
Наряду с этим, многие экспериментальные данные, полученные при исследовании вырожденных систем, не удавалось интерпретировать в рамках существовавших на тот момент представлений о свойствах идеальных вырожденных систем. Часто причиной такого несоответствия являлось наличие дефектов, приводящих к пиннингу солитонов и, как следствие, к появлению щели в голдстоуновской моде, размытию "lock-in" перехода и т.д. [1, 3, 6].
Однако последующие исследования специально очищенных кристаллов показали, что в них подобные эффекты могут оказываться несущественными. Так, например, щель фазонной моды в ряде экспериментов по магнитному резонансу оказывалась заведомо меньше ларморовских частот [176, 177].
Очевидно, что прежде чем анализировать существовавшие несоответствия между теорией и экспериментами, необходимо было понять, каковы же собственно результаты теории идеальных вырожденных систем. При этом естественно было сначала исследовать более простые случаи, в которых системы испытывают "соразмерные" фазовые переходы, если рассматриваемые вопросы для них не были изучены с необходимой полнотой. Помимо самостоятельного интереса, результаты таких исследований полезны и при анализе вырожденных систем, в той его части, где речь идет об эффектах, связанных с изменением модуля параметра порядка. Как оказалось, во многих случаях результаты последовательной теории дают более сложное описание свойств идеальных вырожденных систем, чем это полагалось ранее, и вполне позволяют интерпретировать многие экспериментальные результаты для реальных систем. Именно исследование всех этих вопросов и представляет основное содержание диссертации.
Главным направлением диссертационной работы является развитие макроскопической теории фазовых переходов с образованием вырожденных систем в кристаллах и теории свойств собственно вырожденных систем. Основные новые результаты, полученные в рамках этого направления, изложены в работах [9-31]. Кратко их можно сформулировать следующим образом.
Рассмотрено индуцированное упругими стрикционными деформациями взаимодействие солитонов в несоразмерных фазах в кристаллах конечных размеров, а также аналогичное взаимодействие стенок в полидоменных кристаллах. Проведен анализ основных взаимодействий солитонов в несоразмерных фазах вблизи переходов в соразмерные фазы, включая взаимодействия, индуцированные дефектами. Уточнен характер аномалий термодинамических величин вблизи перехода несоразмерная - соразмерная фаза.
Приведено наиболее простое доказательство того факта, что критический индекс аномалии двупреломления, существующего в симметричной фазе, вблизи фазового перехода второго рода (в частности, вблизи перехода нормальная -несоразмерная фаза) является таким же, как и критический индекс энтропии. Уточнены результаты теории индуцированного упругими деформациями взаимодействия вихрей Абрикосова во всей области магнитных полей, где существует смешанное состояние. Развита последовательная теория аномалий скорости спин-решеточной релаксации вблизи точек структурных фазовых переходов, включая переходы из нормальной в несоразмерную фазу. Рассмотрены особенности низкочастотной фононной динамики и скорости спин-решеточной релаксации в несоразмерных фазах при низких температурах. Проанализирована форма линии ЯМР (ЯКР) в несоразмерной фазе вблизи точки перехода нормальная - несоразмерная фаза. В рамках последовательной теории возмущений проведен анализ ультразвуковых аномалий вблизи точек структурных фазовых переходов для случаев однокомпонентного и двухкомпонентного параметра порядка, а также для перехода в несоразмерігую фазу. Выявлены качественные различия в характере этих аномалий для двух предельных случаев: переходов типа порядок - беспорядок и переходов типа смещения. Рассчитан вклад фазона в затухание звука. В рамках феноменологической теории исследована температурная эволюция приповерхностных искажений вблизи точек структурных фазовых переходов. Предложено феноменологическое описание аномалий макроскопического квадрупольного момента вблизи точек сегнетоэлектрических переходов. Рассмотрено влияние внешнего магнитного поля на структуру приповерхностного ветвления в ферромагнетиках.
Все перечисленные теоретические результаты получены автором. Основные идеи, изложенные в диссертации, обсуждались с А.П.Леванюком. Расчеты взаимодействия вихрей в сверхпроводниках для упругоизотропного случая проводились совместно с А. Кано. Автор выносит на защиту следующие основные положения:
I. Обобщенная теория влияния упругого дальнодействия на свойства несоразмерных фаз и термодинамику фазовых переходов несоразмерная -соразмерная фаза.
1. Вывод о существенном вкладе стрикции во взаимодействие солитонов в несоразмерных фазах в диэлектриках и результат расчета этого взаимодействия. 2. Метод расчета индуцированного деформациями взаимодействия двумерных солитонов, образующих регулярную структуру в кристалле конечных размеров с произвольной анизотропией.
Анализ термодинамических аномалий при переходе первого рода несоразмерная - соразмерная фаза. В частности, результат о конечности диэлектрической восприимчивости в точке потери устойчивости несоразмерных сегнетоэлектрических фаз.
Вывод о том, что за реальные времена эксперимента отталкивание солитонов, обусловленное дефектами, не успевает распространиться на межсолитонные расстояния, и поэтому не должно сказываться на характере перехода несоразмерная - соразмерная фаза в кристаллах.
П. Развитие теории влияния упругого дальнодействия на взаимодействие вихрей Абрикосова в сверхпроводниках второго рода с большим параметром Гинзбурга - Ландау.
Утверждение о преобладающем вкладе "non-core" областей в индуцированное упругими деформациями взаимодействие вихрей Абрикосова в сверхпроводящем кристалле в магнитных полях, не слишком близких к верхнему критическому полю.
Результаты для величины взаимодействия образующих решетку вихрей в изотропной среде конечных размеров для полей, близких к нижнему и верхнему критическим, а также для промежуточных полей.
Выражение для расчета энергии индуцированного деформациями взаимодействия вихрей в кристалле конечных размеров с произвольной упругой анизотропией.
4. Вывод о том, что индуцированное упругими деформациями взаимодействие вихрей, образующих решетку в конечном кристалле, не зависит от его формы.
Доказательство равенства критических индексов энтропии и существующего в обеих фазах двупреломления на основе только гипотезы универсальности.
Улучшенная теория аномалий скорости спин-решеточной релаксации (СРР) вблизи точек структурных фазовых переходов типа смещения для температур, выше дебаевских.
Вывод о сильной пространственной дисперсии низкочастотного затухания мягкой моды в несимметричной фазе в случае однокомпонентного параметра порядка.
Вывод о существенной разнице в низкочастотном затухании и пространственной дисперсии мод, отвечающих различным компонентам параметра порядка.
Результаты для температурных зависимостей скорости СРР в симметричной и несимметричной фазах в случаях сильной и слабой пространственной дисперсии мягкой моды вблизи фазового перехода с од покомпонентным параметром порядка.
Вывод о существенной разнице в величинах вкладов в скорость СРР, отвечающих различным компонентам параметра порядка.
5. Результат о логарифмической зависимости от ларморовской частоты вклада продольных флуктуации в скорость СРР в несоразмерных фазах. V. Теория низкотемпературной спин-решеточной релаксации в несоразмерных фазах.
Вывод о преобладающем вкладе прямых процессов в скорость низкотемпературной СРР, обусловленной поперечными флуктуациями, а также о линейной зависимости этого вклада от температуры и независимости от ларморовской частоты.
Результат о логарифмической расходимости на малых частотах и волновых векторах действительной части продольной функции отклика и формулу для ее мнимой части при низких температурах. 3. Вывод о преобладающем вкладе прямых процессов в скорость низкотемпературной СРР, обусловленной продольными флуктуациями, и кубической зависимости этого вклада от температуры.
Теоретический анализ формы линии магнитного резонанса в несоразмерной фазе при линейной зависимости резонансных частот от параметра порядка.
Последовательная теория возмущений для аномалий затухания звука вблизи точек структурных фазовых переходов, включая переходы в несоразмерную фазу.
Формулы для коэффициента затухания звука в несимметричной фазе для случая однокомпонентного параметра порядка.
Вывод о качественном отличии характера аномалий затухания звука вблизи точек фазовых переходов в системах типа порядок - беспорядок и системах типа смещения.
Результат для величины комплексного модуля упругости в несимметричной фазе в случае двухкомпонентного параметра порядка.
Формулу для фазонного вклада в затухание звука в несоразмерной фазе и вывод о малости этого вклада в общем случае. VIII. Феноменологическая теория аномалий квадруполыюго момента, индуци рованного приповерхностными искажениями структуры кристаллов вблизи точек сегнетоэлектрических фазовых переходов.
IX. Расчет структуры приповерхностного ветвления доменов в одноосном ферромагнетике во внешнем магнитном поле.
Перейдем к описанию основного содержания диссертации по главам.
В первой главе исследуется влияние упругого дальнодействия на термодинамические свойства вырожденных систем, представляющих собой регулярные структуры двумерных солитонов. Исследование проводится на примере структурных несоразмерных (1С) фаз в диэлектрических кристаллах. Для таких фаз характерной является пространственная модуляция некоторого структурного параметра порядка, который описывает понижение симметрии, отвечающее определенной соразмерной фазе [1, 2]. Обычно такая соразмерная фаза образуется в том же кристалле при более низких температурах в результате фазового перехода из 1С фазы. Для диэлектрических кристаллов с несоразмерными фазами особенности термодинамики переходов из симметричной (нормальной (N)) фазы в несоразмерную фазу уже были достаточно полно изучены ранее [1-3]. Поскольку все известные N-IC переходы являются переходами второго рода, при описании 1С фазы вблизи такого перехода обычно используется одногармоническое приближение для распределения параметра порядка. В этом приближении эффекты упругого дальнодействия проявляются достаточно тривиальным образом: стрикциониое взаимодействие вызывает в несоразмерной фазе однородные деформации, пропорциональные квадрату модуля параметра порядка. Результат такого взаимодействия сводится лишь к перенормировке амплитуды несоразмерной волны параметра порядка [48,68].
Ситуация при описании несоразмерных фаз в области, не слишком близкой к N-IC переходу, оказывается более сложной. В случае несоразмерных фаз типа II, когда инварианты Лифшица запрещены симметрией, необходимо учитывать по крайней мере несколько пространственных гармоник в распределении параметра порядка [39] и связь каждой из них с гармониками упругих деформаций [32]. При этом, как правило, IC-C переход оказывается переходом первого рода и в недеформируемой среде [38-41]. Так что в этих случаях учет упругих степеней свободы не приводит к каким-либо качественным изменениям в характере перехода.
В случаях же несоразмерных фаз типа I, для которых наличие инварианта Лифшица определено симметрией кристалла, распределение параметра порядка вблизи IC-C перехода оказывается возможным представить в виде регулярной последовательности доменных стенок (солитонов) [1]. В приближении постоянной амплитуды (модуля парметра порядка) и при отсутствии упругого дальнодействия такое распределение впервые было получено в [36]. Однако для выяснения характера IC-C перехода в этом случае потребовалось более детальное исследование пространственного распределения параметра порядка в 1С фазе, которое было проведено гораздо позже [49, 50]. В результате было показано, что в системах без дальнодействия рассматриваемый переход является непрерывным.
Естественно, что вопрос о влиянии упругого дальнодействия на свойства 1С фаз типа I вблизи IC-C перехода является еще более сложным. Исследованию этого вопроса был посвящен целый ряд работ, основной целью которых было выяснение характера IC-C перехода. В результате были выявлены две основные причины, по которым IC-C переход должен иметь скачкообразный характер: 1) взаимодействие параметра порядка со статическими упругими деформациями, которое описывается зависимостью от последних инварианта Лифшица [55, 57, 58]; 2) совместные эффекты дальнодействия и тепловых (или квантовых) флуктуации [54].
Нами рассмотрен еще один тип взаимодействия - это стрикционное взаимодействие параметра порядка с упругими деформациями [10, 11]. Это взаимодействие является универсальным, т.е. существует безотносительно к тому, допускается или нет симметрией кристалла инвариант Лифшица в разложении плотности свободной энергии системы.
Вначале исследован более простой случай, когда регулярная структура солитонов представляет собой обычную полидоменную структуру, которая описывается однокомпонентным параметром порядка. Этот случай не только иллюстрирует все аспекты обусловленного стрикцией взаимодействия, но и позволяет понять отличие в величинах этого взаимодействия для 1С фаз различных типов, структуры которых могут также рассматриваться как регулярные последовательности соответствующих солитонов (доменных стенок).
Причина рассматриваемого взаимодействия доменных стенок в такой полидоменной структуре заключается в следующем. Изменение параметра порядка в стенке приводит, в силу стрикции, к появлению в ней упругой дилатации и, как следствие, к продольным (вдоль плоскости стенки) напряжениям, распространяющимся в глубь конечного кристалла. Взаимодействие этих напряжений с дилатациеи соседних стенок и приводит к их взаимному притяжению. Величина дилатации, а значит, и притяжения, определяется величиной изменения квадрата параметра порядка в стенке. Упругая задача непосредственно решена для упругоизотропной среды конечных размеров, в которой полидоменная структура обладает периодом, много большим ширины стенки.
В несоразмерных фазах стрикционному взаимодействию отвечает связь деформаций со скалярным квадратом параметра порядка (квадратом амплитуды или, что тоже, модуля параметра порядка). В этом случае притяжение между солитонами индуцируется деформациями, возникающими за счет изменения модуля параметра порядка в области локализации солитонов. Наибольший интерес представляет случай 1С фаз типа Ї со слабой анизотропией, в которых, как было сказано выше, IC-C переход должен был бы реализовываться как непрерывный в отсутствие дальнодействия. В таких 1С фазах величина изменения модуля параметра порядка в области локализации солитонов существенно меньше, чем в случаях однокомпонентного параметра порядка или несоразмерных фаз типа II. Поэтому, в принципе, расчет индуцированного деформациями взаимодействия солитонов в случае 1С фаз типа I необходимо проводить в рамках более точного приближения, чем так называемое приближение постоянной амплитуды (постоянного модуля), которое обычно используется при исследовании термодинамики таких фаз [1]. Возможно, именно это обстоятельство является одной из причин, по которой влияние стрикции на взаимодействие солитонов в 1С фазах ранее не рассматривалось.
Для расчета обусловленного стрикцией взаимодействия солитонов в вырожденных системах предложен новый метод, в котором существенную роль играет регулярность структуры солитонов. В этом случае, как показано, можно пренебречь приповерхностными искажениями деформаций и параметра порядка, а неоднородные изменения этих величин в объеме рассматривать как одномерные. В основе метода лежит анализ предельного случая, в котором конечная среда полагается упругоизотропной и имеющей бесконечный модуль сдвига. В этом предельном случае существует только однородная дилатация (и), которая может рассматриваться как некоторый вариационный параметр. Сначала должна быть вычислена свободная энергия при некотором фиксированном значении и, что формально эквивалентно решению задачи для системы без дальнодействия. Затем, величина энергии, а значит, и взаимодействия, вычисляется варьированием по параметру и. Для того чтобы найти величину взаимодействии для случая конечного модуля сдвига или для анизотропного случая, оказывается достаточным произвести соответствующие перенормировки коэффициентов, входящих в выражение для взаимодействия солитонов. Справедливость такой процедуры устанавливается из эквивалентности форм функционалов свободной энергии от параметра порядка, полученных в результате варьирования по упругим степеням свободы для рассматриваемых случаев.
Этим методом рассчитан стрикционный вклад во взаимодействие солитонов в 1С фазе типа I, характеризующейся одномерной модуляцией двух-компонентного параметра порядка и слабой анизотропией в пространстве компонент параметра порядка. Для общности рассмотрения наряду со стрикционным взаимодействием учитывается также зависимость инварианта Лифшица от деформации. При решении задачи с параметром и для предельного случая бесконечного модуля сдвига распределение параметра порядка и свободная энергия, как функция плотности солитонов (и деформации и), могут быть представлены в виде рядов по степеням некоторого малого параметра анизотропии. В виде такого же ряда можно вычислять и деформацию и. При этом точность, с которой вычисляется деформация, путем минимизации свободной энергии в задаче с параметром, определяется точностью вычисления энергии. При расчете указанной энергии, а значит, и деформации, мы ограничились первым приближением по параметру анизотропии.
Соответственно, энергия взаимодействия вычислена в низшем приближении по этому параметру.
В Приложении А показано, что в 1С фазе обусловленная стрикционным эффектом деформация определяется изменением квадрата амплитуды параметра порядка в областях локализации солитонов, вычисленном в том же приближении, что и деформация. Такое соотношение отвечает условию равенства нулю средних напряжений, которое должно выполняться в каждом порядке теории возмущений по параметру анизотропии.
Используя результат для энергии системы в предельном случае бесконечного модуля сдвига и указанную выше процедуру перенормировок, получены выражения для энергии взаимодействия в случае конечного модуля сдвига и в случае анизотропных систем, к которым относятся несоразмерные фазы в кристаллах семейства селената калия.
Далее проведено сравнение указанных выше основных типов взаимодействий солитонов на больших расстояниях. Показано, что для большого числа систем типа смещения с не слишком малой анизотропией именно стрикционное взаимодействие оказывается более существенным по сравнению с взаимодействием, которое описывается линейной связью градиента фазы с деформацией или возникает за счет флуктуации изгиба стенок.
На основе полученных результатов вычислены аномалии теплоемкости и диэлектрической восприимчивости вблизи IC-C перехода первого рода. В частности, показано, что для сегнетоэлектрических 1С фаз в точке потери их устойчивости расходится только теплоемкость, а диэлектрическая проницаемость остается конечной.
Далее в этой главе рассматривается вопрос о том, каким образом наличие в кристалле дефектов может сказаться на характере IC-C перехода, наблюдаемого в реальном эксперименте. Вообще говоря, вопрос о влиянии дефектов на свойства вырожденных систем является сложным, и не все его аспекты хорошо изучены к настоящему времени. Здесь исследован характер взаимодействия солитонов (доменных стенок) на расстояниях порядка и меньше периода 1С фазы в кристалле с точечными дефектами. Обычно считалось ([69-71]), что такие дефекты приводят к отталкиванию между стенками, которое возникает благодаря контакту соседних стенок при статических изгибах, обусловленных неоднородным распределением дефектов в объеме. В то же время на больших расстояниях (превышающих ширину стенки) между стенками существует притяжение, обусловленное упругим (а в сегнетоэлектриках - и кулоновскими) дальнодействием. Естественно, что характер перехода несоразмерная -соразмерная фаза зависит от того, какое взаимодействие является наиболее эффективным.
Нами показано, что индуцированное дефектами отталкивание в трехмерных структурных 1С системах не успевает реализоваться за реальные времена эксперимента [12]. Доказательство проведено на основе оценок характерных времен, которые требуются для активационного возникновения настолько больших изгибов, чтобы возникли столкновения соседних стенок. Именно наличие таких столкновений и означало бы реализацию рассматриваемого отталкивания. Времена активационного процесса в той или иной системе определяются энергиями характерных барьеров. В рассматриваемом случае предполагается, что величина характерного барьера того же порядка, что и энергия характерного изгиба, амплитуда которого близка к расстоянию между стенками.
Оценки характерных барьеров и соответствующих времен проведены для различных систем, таких как системы без дальнодействия, сегнетоэлектрические и сегнетоэластические 1С фазы с различным характером взаимодействия параметра порядка и деформаций или поляризации. Практически во всех рассмотренных случаях времена распространения рассматриваемого отталкивания оказываются слишком большими по сравнению с временами реальных экспериментов, что и означает фактическую неэффективность такого взаимодействия.
Сравнение полученных при исследовании IC-C переходов соотношений для термодинамических величин с экспериментальными данными проведено для наиболее хорошо изученных кристаллов с несоразмерными фазами: K2SeOA и Rb2ZnCl4. При этом IC-C переходы в кристаллах рассматриваются как размытые переходы первого рода, поскольку равновесные состояния таких систем не достигаются ввиду больших времен релаксации.
В последнем параграфе главы рассмотрен характер аномалий оптического двупреломления, которое допускается симметрией парафазы (исходной фазы) вблизи точек фазовых переходов, включая N-IC переходы. Важность этого вопроса термодинамики фазовых переходов определяется следующими обстоятельствами. С одной стороны, измерения двупреломлеїшя обладают высокой точностью и поэтому используются для определения критических индексов. Однако, с другой стороны, интерпретация экспериментальных данных часто основывалась на неверном предположении о том, что критический индекс аномалий двупреломления должен определяться величиной 2/?, где р -критический индекс среднего параметра порядка (см., например, [2, 89]). В то же время, существовавшие для области скейлинга вычисления критического индекса локального квадрата параметра порядка, которому и пропорциональна величина двупреломления, носили достаточно сложный характер. Однако оказалось возможным получить простое доказательство, использующее только гипотезу универсальности, того, что индекс локального квадрата параметра порядка равен 1-а, где а - индекс теплоемкости [14]. Доказательство проведено путем сравнения аномалий энтропии и локального квадрата параметра порядка для частного случая, в котором те коэффициенты исходного гамильтониана (недоинтегрированного по флуктуациям параметра порядка), которые обычно полагаются константами, пропорциональны температуре (Г). В этом случае искомый результат получается наиболее очевидным образом при вычислении энтропии. В силу гипотезы универсальности этот результат должен быть справедливым и при иных температурных зависимостях коэффициентов исходного гамильтониана, т.е. в общем случае. Кроме того, в рамках теории возмущений вычислены аномалии двупреломления в области температур, не слишком близкой к точке перехода [14, 15]. Результаты приведены как для случая однокомпонентного, так и двухкомпонентного параметра порядка, описывающего переход в несоразмерную фазу. В конце параграфа кратко рассматривается экспериментальная ситуация.
Во второй главе исследуется влияние упругого дальнодействия на свойства вихрей Абрикосова в сверхпроводниках второго рода. Как известно [8], в кристалле вихри образуют двумерную решетку, которая вблизи нижнего критического поля представляет собой, фактически, регулярную структуру одномерных солитонов. В ранних работах [109-114] исследовалось влияние деформаций, индуцированных дефектами и вихрями, на пиннинг вихрей. Значительно позже интерес к этому вопросу возобновился в связи с исследованиями влияния упругого дальнодействия на ориентацию решетки вихрей относительно кристаллической решетки [123, 124].
При рассмотрении этих эффектов, как и вообще при исследовании термодинамики вихрей, выделяют две области, характеризующиеся близостью внешнего магнитного поля к верхнему критическому полю Нс2. В этих областях используются качественно различные приближения при описании распределения параметра порядка [8]. Вблизи Нс2 распределение модуля параметра порядка существенно неоднородно, фактически, на любых расстояниях от вихря. Для полей, не слишком близких к Нс2, в обычно используемом лондоновском приближении предполагается, что модуль параметра порядка изменяется только в области кора вихря (/?<#, где -корреляционный радиус). Поскольку изменение квадрата модуля параметра порядка описывает распределение источников деформаций, обусловленных стрикционным взаимодействием, то именно коры вихрей и рассматривались в качестве таких источников в области применимости лондоновского приближения. Одним из основных вопросов, который исследуется в данной главе, является изучение упругого дальнодействия в области полей Н «Нс2 с использованием более точного приближения, чем лондоновское [16]. В этом приближении учитывается изменение квадрата модуля параметра порядка не только в коре, но и в окружающей его ("non-core") области, ограниченной длиной экранирования Л (в сверхпроводниках с большим параметром Гинзбурга -Ландау А»%).
Сначала вычислены деформации, индуцируемые изолированным вихрем на расстояниях, превышающих длину экранирования. Именно эти деформации и определяют взаимодействие вихрей в решетке, имеющей периоды, большие длины экранирования (т.е. вблизи нижнего критического поля). Показано, что за счет большой протяженности "non-core" области, ее вклад в деформации в 4 In а: раз больше вклада кора.
Далее вычислено взаимодействие вихрей в упругоизотропной среде конечных размеров. При вычислении использован описанный в предыдущей главе метод, основанный на анализе предельного случая, отвечающего бесконечному модулю сдвига. Этот метод позволил вычислить в рамках единой процедуры индуцированное деформациями взаимодействие вихрей во всей области существования смешанного состояния. Полученные результаты показывают, что основной вклад во взаимодействие вихрей в полях, не слишком близких к верхнему критическому, определяется именно "non-core" областями вихрей.
Проанализирован также случай среды с произвольной упругой анизотропией. Получено выражение для энергии взаимодействия вихрей, образующих решетку в кристалле конечных размеров. Энергия взаимодействия содержит два вклада: один, определяющий парное взаимодействие вихрей в бесконечном кристалле, и другой, обусловленный конечностью образца. Проведены оценки величины энергии взаимодействия вихрей, которые показывают, что и в анизотропном случае эта величина определяется вкладом "non-core" областей, по крайней мере для полей, далеких от верхнего критического поля. Кроме того, в противоположность более ранним утверждениям, показано, что взаимодействие вихрей в решетке не зависит от формы образца.
В последнем параграфе рассчитано взаимодействие вихрей вблизи верхнего критического поля в конечной среде с произвольной упругой анизотропией. Полученный результат показывает, что это взаимодействие существенно меньше, чем предполагалось ранее
В главе III проведено исследование аномалий, исследуемых методами ЯМР и ЯКР, вблизи структурных фазовых переходов. Вначале исследуются аномалии скорости спин-решеточной релаксации (скорости СРР) [18, 19]. Во введении приводится обобщение результатов, полученных в предшествующих исследованиях корреляционных функций параметра порядка. Далее эти результаты используются при вычислении аномалий СРР. Вычисления выполнены для случая переходов типа смещения, в котором теория возмущений позволяет учитывать ангармонизмы в широкой области температур.
При вычислении аномалий СРР вблизи фазового перехода с однокомпонентным параметром порядка подробно исследованы предельные случаи слабой и сильной дисперсии мягкой моды. Эти случаи отличаются величиной и температурной зависимостью низкочастотного затухания мягкой моды в симметричной фазе (в первом случае определяющим является взаимодействие с акустическими модами, во втором - собственный энгармонизм мягкой моды). Поскольку именно низкочастотное затухание мягкой моды определяет вклад прямых процессов в скорость СРР, эти вклады оказываются существенно различными как по величине, так и по температурной зависимости в рассматриваемых предельных случаях. Далее вычислен вклад двухфононных процессов и показано, что он существенно меньше однофононного.
Для несимметричной фазы проанализирован специфический вклад в затухание мягкой моды, обусловленный собственным энгармонизмом третьего порядка. При этом покэзэно, что для определения соответствующего вклэдэ в скорость СРР оказывается существенной дисперсия низкочастотного затухания в области волновых векторов, меньших обратного радиусэ корреляции. Тэкэя дисперсия ранее не отмечалась. Для случая слабой дисперсии мягкой моды вычисленный вклад оказывается того же порядка, что и вклад, обусловленный затуханием мягкой моды за счет ангэрмонизмэ четвертого порядка. Для случая сильной дисперсии мягкой моды этот вклад является определяющим в несимметричной фазе.
Аналогичный анализ, проведенный для случая двухкомпонентного параметра порядка, показал, что вклад различных компонент в скорость СРР должен различаться на величиїгу порядка самих вкладов, поскольку таков же характер отличий в низкочастотных коэффициентах затухания мод, отвечающих этим компонентам. Этот вывод существенно отличается от того, к которому можно было бы прийти при использовании высокочастотных коэффициентов затухания, которые близки по величине в рассматриваемых модах.
Далее исследованы аномалии скорости СРР в несоразмерной фазе. Вклад фазона в скорость СРР был вычислен ранее [143]. Расчет же вклада амплитудонной моды (продольная релаксация) более сложен, поскольку в нем требуется учесть расходимость продольной восприимчивости, возникающей на малых волновых векторах и частотах за счет взаимодействия с фазонной модой [162]. Расчет произведен в рамках теории возмущений, которая формулируется в прямых корреляционных функциях, что позволяет избежать расходимостей в высоких по ангармонизмам порядках теории. Проведенные вычисления показывают, что вклад амплитудона содержит две части. Одна часть, обусловленная взаимодействием амплитудона с фазоном, логарифмически зависит от ларморовской частоты, но является малой по параметру теории возмущений относительно частотно-независящей части.
В следующих трех параграфах главы IV рассмотрена спин-решеточная релаксация в несоразмерных фазах при низких температурах, много меньших дебаевской температуры продольных колебаний, но больших температуры, соответствующей энергии кванта с ларморовской частотой [20]. В этой области температур аномалии скорости СРР уже наблюдались экспериментально (см., например, [186]), однако теория, учитывающая для 1С фазы специфику низких температур, отсутствовала.
Вначале проведены вычисления фазонного вклада в скорость СРР при низких температурах. Показано, что этот вклад определяется прямыми процессами, и, в отличие от высоких температур, не зависит от ларморовской частоты и пропорционален первой степени температуры (Г). Кроме того, он существенно превышает вклад акустических фононов, пропорциональный квадрату ларморовской частоты.
Далее приведено вычисление низкочастотного затухания фазонной моды при низких температурах, которое представляет самостоятельный интерес, но также необходимо для оценки характерной температуры перехода к высокотемпературному режиму, в котором появляется зависимость скорости СРР от ларморовской частоты. Вычисления основаны на теории возмущений для температурных функций Грина (Приложение Г). Основной вклад в это затухание дают четырехфононные процессы с участием фазонных возбуїкдений, а также процессы с непрямым взаимодействием фазонных возбуждений через амплитудонные [189]. Как показывают оценки, при низких температурах и частотах затухание фазона оказывается намного больше, чем затухание, отвечающее отклику оптических мод, но даже для тепловых фазонов оно меньше ларморовских частот вплоть до температур порядка единиц Кельвинов.
Затем вычисляется отвечающая продольным (амплитудонным) флуктуациям функция отклика (подробности вычислений приведены в Приложении Д), необходимая для расчета соответствующего вклада в скорость СРР. Полученный результат показывает, что расходимость действительной части продольной функции отклика на малых волновых векторах и частотах, возникающая за счет взаимодействия с поперечными (фазонными) флуктуациями, более слабая (логарифмическая), чем при высоких температурах. В тоже время мнимая часть этой функции отклика имеет расходимость q~2. Проведенное вычисление амплитудой ного вклада в скорость СРР показало, что он значительно меньше вклада фазона, пропорционален Z"3 и не зависит от ларморовской частоты.
В последнем параграфе исследована форма линии ЯМР (ЯКР) в несоразмерной фазе, характеризующейся гармонической волной модуляции. Как хорошо известно, в несоразмерной фазе линии резонанса становятся неоднородно уширенными и приобретают специфическую форму, которая отражает модуляцию пространственного распределения атомных позиций [1]. При этом тепловые флуктуации приводят к существенным изменениям формы линии. Большое число экспериментальных работ (см., например, [194-199]), в которых эти эффекты исследовались как в несоразмерных фазах, так и волнах зарядовой плотности, показали, что экспериментальные результаты не согласуются с теоретическими расчетами, предсказывавшими единственное изменение: сужение неоднородного уширения за счет обусловленного тепловыми флуктуациями уменьшения эффективной амплитуды модуляции локальных полей. Попытки объяснить это расхождение влиянием неконтролируемых примесей дали лишь некоторое качественное согласие с экспериментом. Однако последовательный расчет формы линии в чистом кристалле с 1С фазой фактически отсутствовал.
Нами проведен последовательный расчет формы линии магнитного резонанса в несоразмерной фазе вблизи N-IC перехода [22]. Расчет проведен в адиабатическом приближении для области температур, в которой выполняется условие применимости теории возмущений. При этом учитываются тепловые флуктуации как амшштудона, так и фазона. Форма линии дается сверткой статической (обусловленной статической несоразмерной модуляцией) и динамической (обусловленной флуктуациями амплитуды и фазы этой модуляции) форм в частотной области. В результате показано, что с точностью до масштабного преобразования форма линии зависит только от двух параметров, которые определяются отношением вкладов флуктуации фазона и амплитудона в динамическое уширение локальных резонансов к величине неоднородного статического уширения линии. Оба параметра зависят от кинетических коэффициентов, определяющих затухание в соответствующих фононных ветвях. При этом оказалось, что тепловые флуктуации не только уменьшают ширину неоднородной линии, как это считалось ранее, но и приводят к качественному изменению полной формы линии: при приближении к точке N-IC перехода два боковых максимума, обусловленных неоднородным статическим распределением резонансных частот, сливаются в один в центре линии. В качестве примера использования полученных результатов приведено описание экспериментальных данных двумерного ЯМР в кристалле Rb2ZnClA.
Обусловленное стрикцией взаимодействие доменных стенок в случае однокомпонентного параметра порядка
Рассмотрим полидоменную структуру, которая описывается пространственно неоднородным распределением однокомпонентного параметра порядка tj(x) (например, распределением компоненты поляризации в одноосном сегнетоэлектрике). Внутри доменной стенки параметр порядка неоднороден, обращаясь в ноль в некоторой точке. Учтем стрикционное взаимодействие, которому отвечает член TJ2UU (ии - упругая дилатация) в разложении Ландау для свободной энергии. Изменение параметра порядка в стенке должно приводить к изменению деформаций в кристалле, аналогичное тому, какое производило бы изменение температуры в некотором слое обычного кристалла без фазового перехода. Кроме того, ясно, что в месте пересечения слоя с поверхностью должно появиться искажение рельефа последней, отвечающее релаксации упругих напряжений вблизи поверхности. Естественно, что и распределения деформаций, и распределение параметра порядка вблизи поверхностей должны отличаться от таковых в объеме кристалла. Однако для регулярной полидоменной структуры в образце с определенными ориентациями поверхностей эти отличия будут существовать лишь в приповерхностных слоях, толщины которых имеют тот же порядок величины, что и период структуры. Последнее утверждение справедливо для любого периодического распределения источников деформаций при достаточно симметричных относительно такого распределения ориентациях поверхностей, что можно показать следующим образом. Точные выражения для деформаций в линейной упругой задаче для конечного образца можно вычислить следующим образом. Сначала следует найти решение, отвечающее подобной регулярной структуре периодически распределенных источников, распространенной на бесконечный кристалл. В случае двумерных солитонов это означает, что такое решение определяется как суперпозиция деформаций, создаваемых бесконечными солитонами в бесконечном кристалле. В конечном кристалле найденное распределение деформаций будет создавать на поверхностях напряжения, которые в силу граничных условий должны быть скомпенсированы введением соответствующих сил изображения. Если объемные распределения деформаций вычислять при условии равенства ігулю соответствующих им средних по объему напряжений, то для определения точного решения останется ввести на поверхностях дополнительные силы изображения с нулевыми средними значениями.
Ввиду периодичности задачи, эти силы должны иметь периодическое распределение вдоль поверхностей. Как известно (см., например, [62]), такие силы вызывают дополнительные деформации, спадающие в глубь кристалла на характерной длине порядка периода распределения поверхностных сил. В силу сказанного, вклад приповерхностных искажений в энергию полидоменной структуры, стенки которой, например, перпендикулярны поверхностям образца, будет мал в меру малости отношения периода структуры к размеру кристалла. Интересующие же нас распределения являются одномерными в объеме кристалла, а роль граничных условий сводится при этом к соответствующим соотношениям между средними по объему деформациями. Отметим, что решение подобной упругой задачи при заданном одномерном распределении источников (параметра порядка в нашем случае) и произвольной анизотропии было получено в [63]. Однако нас интересует более сложная задача, в которой пространственные распределения деформаций и параметра порядка изменяются самосогласованно. В этом параграфе мы рассмотрим случай упругоизотропной среды, а общее решение для анизотропного случая будет проведено при рассмотрении более сложной структуры стенок в 1С фазе. корреляции. Из (1.15) видно, что стенки создают продольные напряжения не только в области своей локализации, но и во всем объеме, что и приводит к их взаимодействию. Этот эффект возникает, фактически, за счет так называемых сил зеркального изображения, введение которых позволяет получить решение, удовлетворяющее граничным условиям на поверхностях образца. Действительно, как следует из (1.17), бесконечная стенка в бесконечной среде создает напряжения только в области своей локализации: напряжения около каждой стенки экспоненциально спадают на расстоянии порядка гс от нее, поскольку в этом случае т/2 равно спонтанному значению т}2, которое также является значением if на бесконечности. В конечном же образце продольные напряжения должны существовать как в области локализации стенки, так и (противоположного знака) вдали от нее, поскольку в силу (1.8) их средние по объему должны равняться нулю. Таким образом, возникновение продольных напряжений вдали от стенки можно рассматривать как результат действия сил изображения. 3. Метод расчета упругого взаимодействие солитовов, образующих регулярную структуру Выше был рассмотрен случай однокомпонентного параметра порядка, когда последний обращается в ноль в области локализации стенки. В случае многокомпонентного параметра порядка величина стрикционного взаимодействия существенно зависит от типа стенки. Так, для блоховских стенок, когда модуль параметра порядка (р) не изменяется в области их локализации, а стрикция определяется только взаимодействием деформаций с р2, стрикционное взаимодействие отсутствует (продольные напряжения (1.17) равны нулю в силу того, что р2 р2 0).
Для квазиблоховских стенок, характерных для 1С фаз типа I со слабой анизотропией, величина р2- р2 отлична от нуля [48]. Хотя эта величина и является достаточно малой по сравнению со случаем однокомпонентного параметра порядка при тех же периодах структуры, соответствующий вклад во взаимодействие квазиблоховских стенок часто оказывается определяющим, что и будет показано в следующем параграфе. Естественно, с точки зрения величины стрикционного взаимодействия, случаи 1С фаз типа I с сильной анизотропией и фаз типа II являются более близкими к случаю однокомпонентного параметра порядка. Структура 1С фазы может быть представлена как пространственно-модулированная структура соразмерной фазы, т.е. обе эти фазы могут быть описаны в терминах параметра порядка, соответствующего переходу нормальная - соразмерная фаза. Для случая двухкомпонентного параметра порядка (т/і = pcos p, т]2=ршчр, где р - амплитуда, а р - фаза параметра порядка) с 1С модуляцией вдоль оси х свободная энергия может быть представлена в виде (см., например, [48]): Здесь а = ат(Т-0), m 3 - порядок анизотропии, член гур2иу отвечает зависимости коэффициента а от деформаций и описывает эффект стрикции, член g,jUap2dpfdx отвечает зависимости от деформаций инварианта Лифшица. При температуре Т, &, которая определяется условием а0=аг(Т,-&)=ст2/4S, происходит переход второго рода из N в 1С фазу, описывающуюся в точке перехода одногармоническим распределением параметра порядка ( = pco$(q0x), t)2 = psin(q0x)) с волновым вектором q0=a/(2S). Вследствие анизотропии в пространстве компонент параметра порядка волновой вектор уменьшается при понижении температуры, а структура 1С фазы из синусоидальной становится "доменоподобной" ("domain-like"), и, наконец, при некоторой температуре Т = Т1ос доменные стенки исчезают при так называемом "lock-in" (IC-C) переходе. Далее будем рассматривать область температур вблизи такого "lock-in" перехода. Решение упругой задачи для анизотропной среды может быть получено, в принципе, минимизацией (1.18) по упругим степеням свободы. Однако это приводит к интегро-дифференциальным уравнениям для параметра порядка, что существенно усложняет последующее решение. Поэтому ниже использован более простой метод, позволяющий вычислять свободную энергию (и тем самым - энергию взаимодействия солитонов) для задач подобного типа при произвольной упругой анизотропии, не проводя полного решения упругой задачи. При этом, как и для полидоменной структуры, мы будем пренебрегать возникающими в конечном образце приповерхностными искажениями, отвечающими параметру порядка и деформациям. Обоснование такого приближения вполне аналогично приведенному выше для одномерной полидоменной структуры. Метод заключается в следующем.
ІС-С переход в кристаллах K2Se04 и Rb2ZnClA: сравнение с экспериментом
Экспериментальному исследованию аномалий вблизи IC-C переходов в различных кристаллах посвящено большое количество работ (см., например, [1, 3]). Ниже будет подробно рассмотрен наиболее хорошо изученный кристалл селената калия, являющийся несобственным сегнетоэлектриком с Р0 х if, в котором одномерно модулированная несоразмерная фаза существует в области температур от \2Ш до 95К. Для этого кристалла разложение (1.18) с одним зависящим от температуры коэффициентом позволяет описать как N-IC, так и IC-C переход [68]. Все коэффициенты в (1.18), за исключением giJt были вычислены с использованием экспериментальных результатов, полученных при исследованиях только N-IC перехода. Из результатов [73] можно сделать вывод, что вышеприведенная оценка порядка величины girxd верна. Для полученного в [68] значения 6«10"2 из (1.27) следует, что оба вклада в упругое притяжение солитонов одного порядка. Далее мы пренебрежем вкладом, зависящим от gtJ, и попытаемся в этом приближении описать экспериментальные результаты. При сопоставлении теории и эксперимента следует учитывать, что в реальности система солитонов настолько медленно релаксирует, что равновесные состояния, которые и описывает теория, в эксперименте не достигаются. Только в первой работе [74] по нейтроному рассеянию в селенате калия сообщалось о скачкообразном характере 1С-С перехода в этом кристалле. В дальнейших же исследованиях с лучшим разрешением по температуре обнаруживали только непрерывные тепловые и диэлектрические аномалии [75, 76]. Как оказалось, для реальных 1С фаз характерны гистерезисные явления, которые свидетельствуют о медленной релаксации к равновесным состояниям [77, 78]. Наблюдаемые же экспериментально непрерывные аномалии отвечают, в действительности, размытию предсказываемого теорией IC-C перехода первого рода. Поэтому основной интерес для сопоставления с теорией представляют интегральные величины, например, энтальпия перехода. Для K2Se04 коэффициенты разложения свободной энергии оцениваются следующим образом [68]: упругие модули в единицах 10" дин см 2 равны Х„= {5.3;5.0;3.6;0.48;1.5;1.6}, 213,„ /йг0в( -г,ги,4/2)/а0 =1.3-10-1 дии- см2. Отсюда а /а2 10 2, и из (1.41) получим nloc = mqloc/(2л) «O.W, что дает для отношения волновых векторов структуры в точках N-IC и IC-C переходов ЧаЫ1ос№ .
Экспериментальное значение, определенное в [74], дает quiqSoc «3.5. Такое различие можно отчасти объяснить тем, что в эксперименте интервал между температурами, при которых проводились измерения, составлял 4ДГ, так что измеренная величина qloc могла отвечать области переохлаждения 1С фазы. Однако и в этом случае разница в сравниваемых значениях q0iqloc остается большой, что указывает на неравновесность исследуемых систем. Детальное исследование тепловых аномалий в K2Se04 было проведено в [79]. Однако оно основывалось на некоторой приближенной теории [79, 80], предсказывавшей IC-C переход I рода в модели, для которой последовательный расчет [48] показал непрерывность этого перехода. Проанализируем тепловые аномалии исходя из предположения о размытости IC-C перехода. Для K2Se04 Tloc=95K, а а[Т «0.05-ь0,5 Дж-мояь хК х в соответствии с данными [68]. Тогда из (2.42) для скрытой теплоты получим: ?«0.6-j-4 Длс-моль"1. Это значение достаточно большое, и могло бы быть обнаружено в эксперименте для равновесного перехода, однако размытие перехода приводит к тому, что все аномалии наблюдаются как непрерывные [75]. Как показывают оценки, именно скрытая теплота и дает основной вклад в энтальпию размытого перехода (вклад аномалии теплоемкости оказывается на порядок меньшим). Экспериментальное значение энтальпии перехода 1.1 Дж-моль 1 вполне согласуется с нашими оценками. Тепловые аномалии были также подробно исследованы в кристалле Rb2ZnCl4, Однако необходимые данные о коэффициентах разложения (1.18) для этого кристалла отсутствуют. Для оценки скрытой теплоты и константы С1 в выражении для теплоемкости (экспериментальные значения которой имеют большой разброс) можно использовать значения С2 5К, Ps « 0.12 /Жул-см 2 и п «0.1 О.ОЗЛг [67, 81-83], характерные для большинства исследованных образцов. Тогда, из (1.46), (1.44) и (1.42) с Т1ос 195К получим; Q&1 + 2 Дж-моль 1 и С, 0.8-Ї-0.06 Дж-моль 1. Эти оценки согласуются с экспериментальными значениями Q « 6 -г 2 Дж моль 1 и Q »1.0 0.1 Дж-моль 1, полученными в [67, 84]. Исследование температурной зависимости двупреломления является одним из наиболее точных и часто используемых методов изучения критических явлений (см., например, [2, 85-92]). Для N-IC переходов эти аномалии наблюдались во многих экспериментах [2, 89-93]. Интерпретация аномалий для этих переходов обычно состояла в сравнении наблюдаемых критических индексов с теоретическими значениями для XY модели. Однако не очевидно, что в этих экспериментах действительно наблюдалось асимптотическое поведение. Кроме того, существует большое количество несоответствий и ошибок в интерпретации экспериментальных данных, полученных именно при исследовании аномалий двупреломления. Все это послужило поводом для более детального исследования этого вопроса, которое и проводится ниже. Рассмотрим аномалии оптического двупреломления в тех случаях, когда двупреломление существует уже в симметричной фазе.
Тогда изменение двупреломления в области фазового перехода определяется инвариантной комбинацией компонент параметра порядка т/(, и основной вклад дает инвариант низшей степени J]l [85]. Очевидно, этот случай отвечает и изменению двупреломления в области N-IC переходов с двухкомпонентным параметром порядка, реализующихся, например, в кристаллах группы селената калия. Подчеркнем, что мы не рассматриваем случаи, в которых двупрелом-ление появляется в результате понижения симметрии при фазовом переходе, как, например, в случае некоторых N-IC переходов с многокомпонентным параметром порядка (см., например, [2]). Отметим, что вычисление if loc с помощью флуктуациошю-диссипационной теоремы через соответствующую восприимчивость, показывает, что в области скейлинга восприимчивость должна удовлетворять определенному «правилу сумм» (т.е. интегральному соотношению для восприимчивости, как функции от корреляционный радиус). Как результат, сингулярности г в tj2 la , сокращаются. Фактически, игнорирование этого обстоятельства при непосредственном вычислении ц2 1ос и приводило к неправильным выводам о том, что сингулярность этой величины имеет вид jr2/?. Критика этих выводов содержится в [95]. Здесь же мы представили наиболее простое определение критического индекса для rj1 lac. Нетрудно видеть, что соотношение (1.63) остается справедливым и при учете эффекта стрикции, когда переход второго рода в несжимаемой решетке становится переходом первого рода за счет эффекта упругого дальнодействия в системах с а 0 [56,99]. Очевидно, что аналогичные выводы, а значит и соотношения (L60), справедливы также и для XY систем. В этом случае а 0, и главная сингулярность t]f hc имеет вид г . Для структурных фазовых переходов часто существует достаточно широкая область температур (jr 10 -Ї-10 2), в которой наблюдаемые аномалии можно интерпретировать в рамках термодинамической теории возмущений [99]. Поэтому ниже приведем результаты первого порядка теории возмущений для ?j2 he. При вычислении этой величины учтем также связь параметра порядка с упругими деформациями, которая в несимметричной фазе является линейной и приводит к соответствующей перенормировке флуктуационного вклада в рассматриваемую величину.
Взаимодействие вихрей в кристалле в полях, не слишком близких к верхнему критическому полю
Рассмотрим взаимодействие вихрей в случае конечной среды с упругой анизотропией. Как обычно ([8]), сначала упростим выражение для свободной энергии, проинтегрировав по частям член с V4 в (2.1). Используя граничное условие n(-ihV AyvL =0 (п - нормаль к поверхности ), получим: Поскольку Ч удовлетворяет уравнению (2.2), для (2.28) можем записать Соотношение (2.30) обобщает на случай деформируемой среды известное соотношение Абрикосова для свободной энергии ([8]). Вначале рассмотрим область полей, далеких от Нс2. Подчеркнем, что, как и при выводе (2.30), ниже мы будем пользоваться обычными (ненормированными) величинами. При Я«Яс2 удобно выделить вклад вихрей, записав Отметим, что для q Ф 0 функция & (д) зависит только от ориентации вектора q . При вычислении h, учитывая малость коэффициентов а0, можно ограничиться первым приближением по atJ. Тогда можно записать h = h0+hv, где h0 - решение уравнения (2.2) при atj = 0, а Л, представляет поправку к этому решению, возникающую за счет члена ачи\: Отсутствие поправки внутри коров следует из того факта, что в этой области (т.е. на расстояниях от центра каждого вихря, много меньших радиуса корреляции) можно линеаризовать уравнение (2.2) и пренебречь нелинейным членом с деформациями, поскольку модуль параметра порядка является малой величиной. Таким образом, вклад коров в источники деформаций содержится только в величине й0. Подставив эти соотношения в (2.32), получим: Наиболее существенный вклад в последние два члена (2.35) дает область волновых векторов q -1, поскольку h0(q) и АДд) резко убывают при q " . Для волновых векторов q -1 Фурье-компоненты / ,( /) могут быть вычислены в предположении, что / =ayU /b во всей области реального пространства (см. (2.34)). Поскольку из (2.31) и (2.33) следует, что ayujji b h sb iq iq), то для предпоследнего члена в (2.35) имеем соотношение Последний член отвечает вкладу упругих деформаций в энергию решетки вихрей. В этой сумме слагаемое с q = 0 отвечает вкладу однородных деформаций. Поскольку упругие константы входят в это слагаемое в инвариантной комбинации (см.(2.33) для 6 (0)), то оно не зависит от ориентации вихрей относительно кристаллической решетки. Эта зависимость возникает за счет слагаемых с q О. Важный вывод, который сразу следует из выражения (2.37), - это независимость величины взаимодействия вихрей от формы образца. Действительно, такая зависимость означала бы, что сумма по области малых волновых векторов (порядка обратных размеров кристалла) существенна и сравнима с остальной частью этого вклада. Однако сумма с ненулевыми q определяется Фурье-спектром функции й0 (/ )- А) (р) г которая является периодической в конечном объеме.
Форма и конечные размеры образца проявляются лишь в форме и ширине максимумов этого спектра вблизи обратных векторов (Q ) решетки вихрей, что при изучении объемных эффектов можно не учитывать. Сам же спектр не содержит слагаемых с малыми волновыми векторами порядка обратных размеров кристалла, что и означает независимость рассматриваемого взаимодействия вихрей от формы образца. Противоположное заключение о зависимости взаимодействия от формы образца, сделанное в [123], было основано на анализе лишь части упругого взаимодействия: фактически рассматривалось конечное число вихрей в бесконечной среде. Фактически, суммы по волновым векторам q можно заменить суммами по векторам (Q ) обратной решетки вихрей. Так, Л ,(р) можно представить в виде суммы по положениям (Д) вихрей: o(p) = th01(p pl). Тогда ЛО( ) = "1(\І(Д-А)Є" (S - площадь сечения образца в плоскости х,у), и, используя соотношение S l iexp( iqpl) = nS.Q, где п - плотность вихрей, получим: h0(q) = nh0l(q)S g. В результате из (2.37) находим следующее выражение для упругого вклада в энергию вихрей: В (2.38) функция b (Q) зависит только от ориентации векторов, но достаточно сложным образом. Поэтому окончательный результат можно получить только численно для кристалла определенной симметрии. Однако из (2.38) можно сделать ряд качественных выводов и оценок. Наиболее просто такие оценки получить для полей, близких к Яс1, когда расстояние между вихрями больше длины экранирования и величина h0l практически совпадает с функцией для одиночного вихря (см. (2.12)). Непосредственное вычисление (см. Приложение Б) показывает, что "non-core" вклад в h0i(Q) при увеличении Q {Q»A l) уменьшается лишь логарифмически. Поэтому функцию hm{Q) в (2.38) можно аппроксимировать ее значением при малых волновых векторах h 0i (0) = 4 1(1 1 2/2, ограничиваясь при этом суммированием по области Q % х. Отметим, что последнее ограничение также следует из того, что здесь мы вычисляли деформации на масштабах, превышающих размеры коров, т.е. размеры порядка . Вклад кора в hm(Q) спадает на волновых векторах порядка обратного радиуса кора, т.е. также на Q l. Поэтому и этот вклад можно аппроксимировать его значением при малых Q: # (0) = 5/ (0) = 4 /2 (см. (2.16)). Таким образом, в (2.38) можно положить Подчеркнем, что (2.38) содержит наряду с взаимодействием также вклад, линейный по концентрации вихрей. Покажем это на примере изотропного случая, когда av =aStJ и Лф1 = {К-2/л 13)6 +11(5 5 +8,,3 ) где К - объемный модуль и /л - модуль сдвига. Тогда, в соответствии с (2.33), имеем: где мы заменили сумму по дискретным Q интегралом, использовав соотношение V ««" jt/Q.
Линейный по концентрации член в правой части (2.41) представляет перенормировку собственной энергии вихрей, а квадратичный - энергию взаимодействия. В анизотропном случае (2.38) также сводится к двум вкладам: перенормировке энергии вихрей и взаимодействию вихрей. Оба вклада в этом случае зависят от ориентации решетки вихрей относительно кристаллической решетки. Квадратичный по концентрации вклад можно выделить из (2.38), если при подстановке в (2.35) h0(q) = S j h0i(P Р,Х =S 2 0i(?X исключить из энергии члены, содержащие множители е результате из (2.38) и (2.39) можно получить следующее выражение для энергии взаимодействия вихрей вблизи Нл: где b (Q) ip=(27tyl\ b,(Q)d(p - среднее по ориентациям Q (напомним, что b\Q) не зависит от модуля вектора Q) и также использовано соотношение скобках в правой части (2.42) отвечает взаимодействию, возникающему за счет конечности образца, т.е. за счет сил изображения, а второй - аналогичен взаимодействию вихрей в бесконечном кристалле, которое появляется только при наличии упругой анизотропии. В общем случае каждый из этих членов можно оценить как ЬАКIК. Тогда, учитывая, что 4 4 ] = Яс2 и пНс%2 =пФ0/(2іПжк) = В/(2ІІ2як) (где Ф„=яйс/е - квант потока, пФ0=В), из (2.42) и (2.39) получим следующую оценку энергии взаимодействия вихрей: Таким образом, можно заключить, что для рассмотренной области полей в сверхпроводниках с большим к основной вклад в индуцированное деформациями взаимодействие вихрей дает изменение параметра порядка в областях вне коров. При этом вблизи Нс1 его величина в 101п2 лг раз больше, чем это предполагалось ранее. Естественно, в области промежуточных полей Hcl«H«Нс2 "non-core" вклад уменьшается из-за перекрытия возмущенных вихрями областей, но все же, как показывает соотношение (2.26) для изотропного случая, также остается превалирующим над вкладом коров. 5. Взаимодействие вихрей в кристалле в полях, близких к верхнему критическому полю При вычислении взаимодействия вихрей в полях, близких к #с2, удобно использовать безразмерные единицы, которые были введены при написании уравнений (2.8)-(2. И), положив теперь \%\2 =-aib. Следуя работе [135], из уравнений равновесия (2.2-2.5) можно получить так называемые тождества Абрикосова (см. [8, 123, 136]). В присутствии деформаций эти тождества принимают вид: Здесь Н0 - внешнее поле и ш - квадрат модуля функции Ч ( = 4metz), которая является решением линеаризованных уравнений (2.2) и (2.3).
Особенности случая несимметричной соразмерной фазы, описываемой двухкомпонентным параметром порядка
Специфические особенности этого случая возникают только в несимметричной фазе благодаря ангармонизмам третьего порядка. Ограничимся следующим видом разложения Ландау для свободной энергии: Будем считать, что равновесные значения параметра порядка определяются соотношениями: rj2e=-A/B и J]2e=0- Соответствующие уравнения движения (как и выше, без учета ангармонизмов четвертого порядка) имеют вид: Тогда, аналогично тому, как это было сделано в случае однокомпонентного параметра порядка, для вкладов второго порядка по B!2tjle в собственно энергетические части обратных восприимчивостей, отвечающих каждой из компонент параметра порядка, найдем: Если Д и В2 одного порядка, то оценки для І Ц) будут теми же, как и в случае однокомпонентного параметра порядка, с той лишь разницей, что теперь существует два корреляционных радиуса, что несущественно, если последние также одного порядка. Это следует из того, что первый из двух членов в (3.45) определяется только модой а 01, а второй - только модой а 02. В то же время каждый из членов Z,2(q,Q) содержит обе частоты. Вследствие этого, для малых q разница между частотами остается того же порядка, как и для q «1 / rc, что и приводит к отсутствию дисперсии Z2(q,Q) на дъГ/с«г 1. В результате оценка (3.34) для затухания моды, отвечающей tj2i остается верной как для q «1/гс,так и для д&0. Следует подчеркнуть, что низкочастотные коэффициенты затухания для двух компонент параметра порядка отличаются на величину порядка самих коэффициентов. В общем случае они могут также существенно отличаться по пространственной дисперсии и температурным зависимостям в области волновых векторов q»\lrc, представляющей интерес для вычисления СРР. В то же время высокочастотные значения этих констант одинаковы с точностью до вкладов более высоких порядков по параметру теории возмущений. Для вычисления скорости СРР следует обобщить выражение (3.13) на случай двухкомпонентного параметра порядка: Коэффициенты ап,Ьп в общем случае отличаются для различных ядер в элементарной ячейке и, в частности, некоторые из них могут равняться нулю. Для случая 6„=0 оценки скорости СРР аналогичны оценкам для случая однокомпонентного параметра порядка. Для случая ан = 0 отсутствует вклад, обусловленный теплопроводностью, а также в первом приближении - и «смешанный» вклад.
Так как эти два вклада в любом случае пренебрежимо малы, то при Вх В2 константы затухания обеих мод при q rc должны быть величинами одного порядка. Это значит, что вклады этих мод в скорость СРР могут отличаться на величшгу того же порядка. В общем случае существует также смешанный вклад в скорость СРР, содержащий дополнительные члены типа {tjj(q,-&Q)f}l(-q,Q0))» которые, как и в случае однокомпонентного параметра порядка, оказывается также малыми по сравнению с вкладами прямых процессов. 6. Аномалии СРР в несоразмерной фазе вблизи перехода из нормальной фазы Аномалии скорости СРР в несоразмерной фазе рассмотрим на наиболее простом примере, когда 1С фаза характеризуется одномерным гармоническим распределением некоторого параметра порядка: В этом случае удобно ввести параметр порядка с компонентами щ и rj2. Тогда разложение свободной энергии будет иметь вид: Естественно, если в (3.486) перейти к полярным координатам щ рсоъ р, 77j=/ sin$?, то мы получим независящее от фазы р выражение. Отсутствие анизотропных в пространстве (//,,) инвариантов отражает тот факт, что структура образующейся 1С фазы является несоразмерной (т.е. ее период несоизмерим с периодом основной решетки). Выражение (3.486) можно также рассматривать как разложение по компонентам параметра порядка, описывающего понижение симметрии непосредственно при N-IC переходе. Этими компонентами являются линейные комбинации нормальных координат, частота которых обращается в ноль в точке перехода. На дисперсионной кривой мягкой моды в N фазе этим частотам отвечают волновые векторы (±kQ,Q,Q). В этом случае, используя разложение (3.486), мы, фактически, пренебрегаем не только более высокими гармониками в пространственном распределении параметра порядка в 1С фазе, но и слабым изменением периода при изменении температуры. Такие упрощения вполне допустимы вблизи N-IC перехода. Разложение (3.486) можно получить и из (3.42), положив в последнем Вг =0. Тогда в гармоническом приближении i)x \r,t) = % (F,t) - ijle будет отвечать ампли-тудонным(продольным), a TJ2 ( 0 фазонным(поперечным) флуктуациям Обратная фазонная функция отклика в нулевом приближении определяется соотношением: Ангармоническая поправка к (3.49) может быть вычислена из (3.46), если в I,2(g,Q) положить В2=0 (при этом интегралы в выражении для 1,2(д,С1) остаются конечными). Существенной является перенормировка величины затухания фазона (у2\ для которой, как и в случае Вг 0, вышеприведенная оценка (3.34) остается справедливой в области малых волновых векторов.
Вклад соответствующих прямых процессов (Jlph) в скорость СРР совпадает с результатом, полученным прежде в [143]: При вычислении амплитудонной функции отклика вышеописанная процедура неприменима, поскольку второй член в правой части (3.45) теперь является расходящимся при q - 0 и подобные расходимости возникают и в следующих порядках теории возмущений. Однако эту проблему можно обойти, если сформулировать теорию возмущений в прямых (а не обратных, как, фактически, было сделано выше) функциях отклика. Тогда из уравнений движения (3.43) и (3.44) для амплитудонной корреляционной функции получим: где Xu(q,Q) определяется уравнением (3.45). Теперь подстановка В2 = 0 также приводит к расходимости второго члена в (3.51), однако эта расходимость реальная и отражает расходимость продольной восприимчивости при q - 0, Q - 0, поскольку остаток ряда теории возмущений не содержит расходимостей в области применимости теории Ландау. Это утверждение представляет собой классическую версию известного результата, полученного в [162] для случая гейзенберговского магнетика. С точки зрения теории возмущений, причиной отсутствия расходимостей в более высоких порядках является взаимная компенсация расходимостей в каждом следующем порядке разложения, что является типичным для 1С фаз (см. Приложение Г). Отметим также, что продольная статическая восприимчивость Хц(ч) полученная этим методом, согласуется с результатами других авторов [164-166], однако вычисление динамической восприимчивости до нашей работы, насколько нам известно, отсутствовало. Обозначив предел В2 =0 для второго члена в (3.45) как -4(.6,7/,,. 11,( ,0) и с = -[Dim , получим, что В2=0, что отвечает частичному суммированию ряда теории возмущений. Выше уже упоминалось, что эта перенормировка приводит к оценке Г2 в соответствии с соотношением (3.34), а существенная дисперсия такого затухания в интересующей нас области волновых векторов отсутствует. Для выделения основной расходимости в (3.52) можно положить m = 0.
Похожие диссертации на Особенности термодинамики и кинетики вырожденных фаз в кристаллах
